高中數學（二） 隨 堂

13 – 1 2－5

正弦定律與餘弦定律（1）

高中數學 （二）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　13　回}

範圍

計算題（共 100 分）

（以下各題均假設 a﹐b﹐c 分別為△ ABC 中∠A﹐∠B﹐∠C 之對邊長）

1 1 △ ABC 中﹐∠A = 30°﹐∠B = 105°﹐BC = 10﹐則 AB = 　　　　　

﹒

2 △ ABC 中﹐AB = 5﹐∠A = 83°﹐∠B = 67°﹐則其外接圓半徑為　　　　　

﹒

（15 分）

x：1 △ ABC 為 AAS 條件﹐

∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 30° − 105° = 45°

由正弦定律： AB sinC =

BC sinA ⇨

AB sin45° =

10 sin30°

∴ AB = 10 1 2

× √2

2 = 20 × √2

2 = 10√2 即為所求

2 △ ABC 為 ASA 條件﹐

∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 83° − 67° = 30°

由正弦定律： AB sinC = 2R ⇨ R = 5

2 × sin30° = 5 2 × 1

2

= 5 即為所求

2 △ ABC 中﹐∠A = 60°﹐∠B = 45°﹐b = 2√2﹐則 △ ABC 之面積為 　　　　　

﹒

（20 分）

x：△ ABC 為 AAS 條件﹐∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 60° − 45° = 75°

由正弦定律： a

sinA = b sinB

⇨ a = b

sin45° × sin60° = 2√2 1

√2

× √3

2 = 2√3

∴ △ ABC 面積 = 1

2 ab sinC = 1

2•2√3•2√2•√6 + √2

4 = 3 + √3 即為所求

13 – 

3 1 △ ABC 中﹐∠A = 60°﹐AB = 4﹐AC = 7﹐則 BC = 　　　　　

﹒

2 △ ABC 三邊長為 a = 12﹐b = 20﹐c = 28﹐則∠C = 　　　　　

﹒

x：1 △ ABC 為 SAS 條件﹐由餘弦定律：

BC² = 4² + 7² − 2•4•7•cos60°

= 16 + 49 − 28 = 37 ∴ BC = √37 即為所求

2 △ ABC 為 SSS 條件﹐由餘弦定律：

cosC = 12² + 20² − 28²

2•12•20 = 144 + 400 − 784 480 = −240

480 = − 1 2 ∴∠C = 120° 即為所求

4 1 △ ABC 中﹐AB = 6﹐AC = 8﹐若 D 為 BC 上一點且 BD = 4﹐CD = 3﹐則 AD = 　　　　　

﹒

2 △ ABC 中﹐a = 3﹐b = 5﹐c = 7﹐則 AB 邊上中線之長為 　　　　　

﹒

x：1 △ ABC 為 SSS 條件﹐設 AD = x﹐由餘弦定律：

cosB = 6² + 4² − x²

2•6•4 = 6² + 7² − 8²

2•6•7 ⇨ 52 − x² 4 = 21

7 = 3 ⇨ 52 − x² = 12 ⇨ x² = 40

∴ x = 2√10 即為所求

2 設 CM = x 為 AB 邊上之中線﹐由平行四邊形定理：

（2CM）² + AB² = 2（a² + b²） ⇨（2x）² + 7² = 2（3² + 5²）= 68 ⇨ 4x² + 49 = 68 ⇨ 4x² = 19 ∴ x = √19

2 即為所求