高中數學（三） 隨 堂

24 – 

第三章　復　習

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　24　回}

範圍

計算題^（每題 25 分﹐共 100 分）

1 設圓 C：x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0﹐試求圓 C 上距直線 L：3x + 4y = 15 最近之點的 坐標﹐以及此時之最短距離•

x：C：x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0

⇨（x² – 2x + 1）+（y² + 4y + 4）= 4 + 5

⇨（x − 1）² +（y + 2）² = 3²

圓心 Q（1﹐−2）﹐半徑 r = 3﹐P（x﹐y）∈ C

⇨ 圓 C 的參數式為 P（x﹐y）： x = 1 + 3 cosθ

y = −2 + 3 sinθ﹐0 ≤ θ < 2π

⇨ d（P﹐L）= │3．（1 + 3 cosθ）+ 4（−2 + 3 sinθ）− 15│

√^{32 + 42}           = 3

5

│

3

│

│

│

          = 3

│

│

          其中 cosα = 4

5﹐sinα = 3 5 故當 sin（θ + α）= 1﹐即 θ + α = π

2﹐亦即 θ = π

2 − α 時﹐

d（P﹐L）= 3

│

│

此時﹐P（x﹐y）：

x = 1 + 3 cos（π

2 − α）= 1 + 3 sinα = 14 5 y = −2 + 3 sin（π

2 − α）= −2 + 3 cosα = 2 5 亦即 P（14

5﹐2

5）為圓 C 上距 L 最近之點

24 – 2

2 設 R 為圓 C：x² + y² + 4x – 6y – 19 = 0 上之動點﹐A（2﹐−3）為一定點﹐若 P 為 AR 之中點﹐試求動點 P 所形成的圖形之方程式﹐若為一圓﹐則求其圓心與半徑•

x：設 R（a﹐b）∈ C﹐則 P（x﹐y）=（2 + a

2 ﹐−3 + b 2 ）

⇨ R（a﹐b）=（2x − 2﹐2y + 3）∈ C

⇨（2x − 2）² +（2y + 3）² + 4（2x − 2）− 6（2y + 3）− 19 = 0

⇨ 4x² − 8x + 4 + 4y² + 12y + 9 + 8x − 8 − 12y − 18 − 19 = 0

⇨ x² + y² = 8 =（2√2）²

故動點 P 所形成的圖形為一圓﹐圓心 Q（0﹐0）﹐半徑 r = 2√2

3 空間坐標中﹐球面 S：x² + y² + z² = 16 上有兩點 A（−2﹐2√2﹐−2）﹐B（−2﹐−2√2﹐2）﹐

現有一隻螞蟻沿球面 S 從 A 爬到 B﹐試求其所經最短路徑之長•

x：球面 S：x² + y² + z² = 16 ⇨ 球心 Q（0﹐0﹐0）﹐半徑 r = 4 令 O⇀A =（−2﹐2√2﹐−2）﹐O⇀B =（−2﹐−2√2﹐2）

如右圖﹐設 θ 為 O⇀A﹐O⇀B 之夾角﹐則有 cosθ = O⇀A．O⇀B

│O⇀A││O⇀B│ = 4 − 8 − 4 4．4 = −8

16 = − 1

2 ⇨ θ = 2π

3 （= 120°）

故所求劣弧 AB 之長 A︵

B = r × θ = 4 × 2π 3 = 8π

3

4 試求半徑為 6 且與 E：x – 2y + 2z = 15 相切於點 P（1﹐−2﹐5）的球面方程式•

x：如右下圖，令 n⇀ =（1﹐−2﹐2）為 E：x – 2y + 2z = 15 之一法向量﹐

則 d⇀ = n⇀ =（1﹐−2﹐2）亦為球心 Q1﹐Q2 所在直線 Q↔

1Q2

之一方向向量﹐又直線↔ Q

1Q2 過 P（1﹐−2﹐5）﹐

故其參數式為↔ Q

1Q2：

x = 1 + t

y = −2 – 2t﹐t ∈ ℝ z = 5 + 2t

│td⇀│= 6 = r ⇨│t（1﹐−2﹐2）│= 6 ⇨│（t﹐−2t﹐2t）│= 6

⇨ t² + 4t² + 4t² = 36 ⇨ 9t² = 36 ⇨ t² = 4 ⇨ t = ±2 1 當 t = 2 時﹐球心為 Q1（3﹐−6﹐9）

所求之球面方程式為 S1：（x − 3）² +（y + 6）² +（z − 9）² = 36 2 當 t = −2 時﹐球心為 Q2（−1﹐2﹐1）

所求之球面方程式為 S2：（x + 1）² +（y − 2）² +（z − 1）² = 36