高中數學（三） 隨 堂

9 – 

2－2  空間坐標系

高中數學 （三）

隨 堂 評 量 卷 ^{第　9　回}

範圍

計算題^（每題 20 分﹐共 100 分）

1 在第一卦限內有一點 P 到 x 軸﹐y 軸﹐z 軸距離依次為 13﹐√106﹐15﹐試求 P 點 坐標•

x：設 P（x﹐y﹐z）﹐則

y² + z² = 13² = 169 ………1 x² + z² =（√106）² = 106 ………2 x² + y² = 15² = 225 ………3 1 + 2 + 3得 2（x² + y² + z²）= 500 ⇨ x² + y² + z² = 250 ……4 4 − 1得 x² = 81 ⇨ x = 9（取正）

4 − 2得 y² = 144 ⇨ y = 12（取正）

4 − 3得 z² = 25 ⇨ z = 5（取正）

故得 P（x﹐y﹐z）=（9﹐12﹐5）

2 1 平行四邊形 ABCD 中﹐A（1﹐−7﹐3）﹐B（5﹐4﹐−2）﹐C（3﹐5﹐−9）﹐

試求 D 點坐標•

2 定點 A（3﹐−2﹐5）﹐動點 P（1 − 2t﹐3t − 1﹐t + 2）﹐t ∈ ℝ﹐試求 AP 之最 小值•

x：1 設 D（x﹐y﹐z）﹐則 AC 中點為 M（1 + 3

2 ﹐−7 + 5

2 ﹐3 − 9

2 ）= （2﹐−1﹐−3）

而在平行四邊形 ABCD 中﹐

AC 中點 M（2﹐−1﹐−3）亦為 BD 中點（x + 5

2 ﹐y + 4

2 ﹐z − 2 2 ） ⇨ D（x﹐y﹐z）=（−1﹐−6﹐−4）

2 AP² =（1 − 2t − 3）² +（3t − 1 + 2）² +（t + 2 − 5）² =（2t + 2）² +（3t + 1）² +（t − 3）²

= 4t² + 8t + 4 + 9t² + 6t + 1 + t² − 6t + 9 = 14t² + 8t + 14 = 14〔t² + 2•2

7 t +（2

7）²〕+ 14 − 14• 4 49 = 14（t + 2

7）² + 90 7 ≥ 90

7 ﹐故 AP 之最小值為

√

9 – 

3 設 A（3﹐−1﹐2）與 B（−1﹐3﹐4）﹐P 是 y 軸上一點﹐試求使 PA² + PB² 為最小 值時之 P 點坐標•

x：設 P（0﹐y﹐0）為 y 軸上一點﹐則

PA² + PB² =〔（0 − 3）² +（y + 1）² +（0 − 2）²〕+〔（0 + 1）² +（y − 3）² +（0 − 4）²〕 =〔9 +（y² + 2y + 1）+ 4〕+〔1 +（y² − 6y + 9）+ 16〕

= 2y² − 4y + 40 = 2（y² − 2y + 1）+ 40 − 2 = 2（y − 1）² + 38 ≥ 38

故當 P（0﹐1﹐0）時﹐可使 PA² + PB² = 38 為最小值

4 設△ ABC 三頂點坐標分別為 A（−1﹐3﹐−2）﹐B（2﹐−2﹐−5）﹐C（4﹐6﹐−7）﹐

試求 BC 上之中線長•

x：設 BC 上之中點為 M（2 + 4

2 ﹐−2 + 6

2 ﹐−5 − 7

2 ）=（3﹐2﹐−6）

∴ AM = √^{（−1 − 3）2 +（3 − 2）2 +（−2 + 6）2} = √^{42 + 12 + 42} = √16 + 1 + 16

= √33

5 如右圖﹐有一邊長為 1 的正立方體﹐今置頂點 A 於空間坐標系中之 原點（0﹐0﹐0）﹐置頂點 B 於正 z 軸上﹐試求頂點 C 之 z 坐標•

x：如右下圖﹐設 C 在 z 軸上之投影點為 P（0﹐0﹐z）

則 BC ⊥ AC 且 BC = √2﹐AB = 1 ⇨ AB = √3

因△ ACP﹐△ ABC 皆為直角三角形且∠ACP =∠ABC

∴△ ACP ∼△ ABC

⇨ AP AC = AC

AB ⇨ z 1 = 1

√3

⇨ z = 1

√3 = √3 3