國立宜蘭大學土木工程學系 碩士論文 Department of Civil Engineering National Ilan University Master Thesis

國立宜蘭大學土木工程學系 碩士論文

Department of Civil Engineering National Ilan University

Master Thesis

作業工期與關係延時的模糊估計下權衡工期、成本 與執行可行性之最佳化排程模式

An Optimal Time-Cost Trade-Off Procedure of Project Scheduling under the Fuzzy Estimation of Duration and Precedence Relationship of Activities

研究生：邱 華 偉 Hua-Wei Chiou

指導教授：曾 浩 璽 博士 Advisor: Hao-His Tseng Ph. D

中華民國九十九年七月

July, 2010

摘 要

施工排程規劃受到天候環境、工程地質、施工技術、資源調度與工程介面等因素 的影響，對於作業日程及其延時的估計往往具相當程度之模糊性與不確定性。傳統排 程技術使用上固然簡便，卻難以在不確定的環境下正確的評估作業日程及其延時，因 此也使得排程之精確度與合理性均難以掌握。

為此，本研究建構出一套能權衡工期、成本與執行可行性之最佳化排程模式。首 先基於作業工期與關係延時估計的不確定性，藉由模糊推估方式模擬出管理者在估量 時間所產生的模糊語意與經驗判斷，並以隸屬函數來量化管理者對不同的估算時程在 執行可行性上的期望程度。接著運用線性規劃法建構網圖之計算模型，其中以彙總各 項時程之隸屬度作為目標函數，透過優化的過程尋求排程方案中最能符合管理者期望 之時程計畫，據此評估時程方案的執行可行性。為使模式在實務應用上能兼顧施工成 本的考量，因而將作業時間與成本之權衡關係導入排程模式中，以探尋出工期限制下 專案執行可行性最高且成本最低之時程計畫。

最後透過案例來說明模式應用流程，並從中發現同時考量作業工期與關係延時的 不確定性以及作業時間成本之間的關係，促使排程規劃更為貼近實際需求，有效提升 排程規劃的準確性；在專案實際執行控管上，除以要徑來顯示管制焦點外，更藉著隸 屬度來檢視路徑個別工項執行之可行性，以此區分作業控管之輕重緩急，強化時程控 管之成效。此外，藉著計算結果的整合，顯示出專案在時間、成本與執行可行性三者 的權衡關係，以提供決策者依其自身的偏好擬定出最佳的時程計畫。確實改善了往排 程規劃僅以成本為考量，而忽略工期執行的可行性，致使預定排程與實際進度產生過 大的落差甚至造成工期延宕之情事。

關鍵字：排程規劃、時間成本權衡、最佳化、模糊推估

A BSTACT

Many uncertain factors can have a substantial effect on project planning. Factors such as weather, geographical features, technical skills, resource allocation, and construction interface, often result in ambiguous estimated project durations and precedence relationship of activities. Although traditional project scheduling may easily be applied, it is difficult to accurately assess the durations and other possible delays under the uncertainties mentioned above. As a result, accuracy and aptness are not easily achieved in project scheduling.

This research tries to establish an optimum scheduling model considering the effect of duration, cost, and feasibility at the same time. We employed fuzzy estimation to simulate the functions based on judgments and experiences associated with the manager’s estimation of project durations, and to use fuzzy number to quantify the managers’ expectation on the feasibility of each activity under different durations and precedence relationship. Next, linear programming is used to establish the computing model of the network, which takes the sum of membership function of each activity as the objective, and by optimization to deicide the durations that best meets the manager’s needs, with an aim to evaluate the feasibility of the project. Considering the construction costs in real practice, the model takes into account the trade-offs between duration and cost to find the project of highest feasibility and the lowest cost under a specific duration.

This research found that the scheduling can better meet the needs in real practice and its accuracy can be enhanced by considering the fuzziness in duration and precedence relationship of activities and the trade-offs between the time and cost. Secondly, we can improve the effectiveness of scheduling control because, under our new model, we can focus on critical paths on one hand, and prioritize different critical paths by comparing the membership function of each activity within them on the other. Thirdly, decision-makers can better determine the best scheduling plan according to their preferences by considering the time, cost, and feasibility at the same time. With this character, the proposed model can narrow the difference between the estimated duration and the actual duration often found under traditional project scheduling, which is predominantly based on cost, and better avoid the delay of project due to this estimated bias.

KEY WORD: PROJECT PLANNING, TIME COST TRADE-OFF, OPTIMIZATION, FUZZY ESTIMATION

目 錄

摘 要 ...I Abstact... II 目 錄 ...III 圖目錄...V 表目錄...VI

第一章 緒論 ...1

1.1 研究動機 ...1

1.2 研究目的 ...2

1.3 研究範圍與限制 ...2

1.4 研究方法與流程 ...3

1.5 論文架構 ...4

第二章 文獻回顧 ...6

2.1 傳統施工排程技術的探討 ...6

2.1.1 桿狀圖（Bar Chart） ...6

2.1.2 要徑法（Critical Path Method, CPM） ...7

2.1.3 計畫評核術（Program Evaluation and Review Technique, PERT）...8

2.1.4 傳統排程技術的限制 ...9

2.2 模糊理論在排程技術的應用 ...10

2.3 時間與成本之權衡關係 ...13

2.4 小結 ...15

第三章 同時考量模糊作業工期與延時之排程模式 ...17

3.1 模糊時間之推論 ...17

3.2 PDM 網圖計算 ...21

3.3 模糊排程模式之建構 ...22

3.4 應用案例 ...26

3.4.1 案例說明 ...26

3.4.2 計算結果之分析與探討 ...36

3.5 小結 ...46

第四章 模糊作業工期及延時下專案時間成本之權衡分析 ...47

4.1 模糊作業工期與成本之關係 ...47

4.2 權衡成本與執行可行性之排程模式 ...48

4.3 應用案例 ...51

4.3.1 案例說明 ...51

4.3.2 計算結果之分析與比較 ...58

4.4 小結 ...65

第五章 結論與建議 ...66

5.1 結論 ...66

5.2 建議 ...66

參考文獻...68

圖目錄

圖1-1 研究流程圖...3

圖1-2 論文架構圖...5

圖2-1 ADM 網圖之表示...7

圖2-2 PDM 網圖之表示 ...8

圖2-3 三角形模糊數運算之圖例...10

圖2-4 三角形模糊數取最大值運算之圖例...12

圖2-5 作業工期與成本關係...14

圖2-6 傳統專案工期與成本之關係曲線...15

圖3-1 模糊推估時間-第Ⅰ型 ...18

圖3-2 模糊推估時間-第Ⅱ型 ...18

圖3-3 模糊推估時間-第Ⅲ型 ...19

圖3-4 模糊推估時間-第Ⅳ型 ...19

圖3-5 模糊推估時間-第Ⅴ型 ...20

圖3-6 案例總工期為 200 天，總隸屬度直=42.5 之網圖...35

圖3-7 案例總工期為 192 天，總隸屬度=47.0 之網圖...37

圖3-8 案例總工期為 188 天，總隸屬度=47.0 之網圖...38

圖3-9 案例總工期為 185 天，總隸屬度=45.9 之網圖...39

圖3-10 案例總工期為 181 天，總隸屬度=44.4 之網圖...40

圖3-11 案例總工期為 173 天，總隸屬度=39.7 之網圖...42

圖3-12 案例總工期為 161 天，總隸屬度=29.5 之網圖...43

圖3-13 案例總工期為 211 天，總隸屬度=37.0 之網圖...44

圖3-14 案例之專案工期與模糊時間隸屬度彙總值之對應關係...45

圖4-1 模糊估計下作業工期、成本與工期隸屬度之關係...48

圖4-2 案例總工期為 200 天，總隸屬度=42.4、費用=6,721,300 元之網圖 ...57

圖4-3 案例可行工期區間中總隸屬度與專案直接成本之關係...58

圖4-4 案例總工期為 192 天，總隸屬度=47.0、直接成本=6,947,800 元之網圖 ...60

圖4-5 案例總工期為 173 天，總隸屬度=39.7、直接成本=7,480,900 元之網圖 ...61

圖4-6 案例總工期為 161 天，總隸屬度=29.5、直接成本=7,853,400 元之網圖 ...62

圖4-7 案例可行工期區間工期與成本之關係曲線...63

圖4-8 案例可行工期區間專案工期、成本與總隸屬度之權衡關係...64

表目錄

表3-1 模糊作業工期與關係延時估計之數學式...20

表3-2 案例之模糊作業工期、關係延時之推估...27

表3-3 模糊排程模式在合約工期為 200 天之計算結果...34

表4-1 作業工期與成本關係之數學式...48

表4-2 案例之作業工期與成本關係...52

表4-3 權衡成本與執行可行性排程模式在合約工期為 200 天之計算結果...55

表4-4 案例為 200 天-加入成本考量與未考量成本之排程結果比較 ...56

表4-5 案例在可行工期區間總隸屬度與成本之結果...65

第一章 緒論

本章將分為四小節作為本研究之初步介紹，首先第一節說明研究之動機與目的；

第二節為界定研究範圍；第三節為研究方法與流程；最後將說明本研究各章節的構成 架構與內容，並以流程圖來說明研究之組成與執行順序。

1.1 研究動機

施工排程規劃之目的，是在確立工程施工過程中各項施工項目的執行內容與其相 互間之關係，以便於模擬出工程的執行過程，透過排程規劃的內容，適時、適當的安 排人力、機具、材料及作業設備來執行規劃項目上的作業，以使工程能在預定的時程 下順利的完成。

諸多的排程技巧中，要徑法可說是近代工程排程技術上最為重要的方法，要徑法 以網圖為基礎描述出整體工程的執行流程，並將圖形中所描述的事件集合利用數學模 型來加以計算，藉其清楚簡要的計算成果來解析出工程之執行內容與管制重點，發展 迄今已是當前最為廣泛應用的排程技術。但是要徑法對於時程的估計僅侷限於單一明 確值，無法反應出實務管理者考量實際施工過程受各種不確定性因素，而在時間估計 上所產生模糊性與不確定性，使得排程內容的精確度難以掌握，因而導致預定排程內 容與實際進度執行之間易產生落差，造成工期管控失當的案例亦屢見不鮮。為此，諸 多研究將機率或模糊理論的概念導入要徑法，透過數學模式的精進與改良，分析出排 程內容如期完成的可能性與進度管制之重點。

專案的時間成本權衡問題亦是要徑法排程規劃中重要的一環，其藉由作業時間與 成本的分析，選擇出適當的作業進行壓縮，達到專案直接成本最低之目標，接著藉由 分析直接成本與間接成本在專案工期上的關係，來尋求總成本最低之時程方案。而以 往的研究亦提出了各種線性、非線性與離散的數學形式來分析作業時間與成本之關係

，並採取各種模型來求解專案時間與成本之權衡關係，以提供最佳工期之決策依據。

然而無論在排程計算與時間成本之間的權衡問題，多數的理論架構均忽略了關係 延時的估計，關係延時的估計往往受到施工介面、資源運送及管理能力等因素的影響

，亦具有極高的不確定性，其與作業工期的估計偏差均同樣會影響整體排程的規劃內 容，且在時間成本權衡分析中，延時雖不具施工成本卻左右專案工期的推算結果，而 對間接成本形成影響。因此，排程模式若僅只考量作業工期的不確定性，而忽略延時 的影響則容易使得排程的精確度受到折損。

1.2 研究目的

本研究為提升排程模式的準確性，將同時考量作業工期與關係延時在時間估計上 的不確定性，嘗試建構一簡單且快速的計算模型，提高在實務應用上的價值，然後透 過模式的延伸，將作業時間成本關係一併納入考量，使排程內容含括成本的議題。最 後經由計算結果的整合來分析整體專案在時間、成本與執行可行性三者的權衡關係，

以此來改善要徑法在面對規模龐大、內容複雜且充滿不確定性因素的營建工程時可以 透過可行性與合理性的檢討，探索出最佳的排程方案。

1.3 研究範圍與限制

本研究主要基於作業工期與關係延時在時間估計的不確定性，以及作業時間與成 本之間的關係，來探討專案的日程與專案時間與成本之間的權衡關係。為使排程分析 與模式計算較為簡單、快速，提升模式運用的便利性，並且能以簡易的數學規劃方式 來處理時間估計的不確定性以及作業與時間成本間的關係，在此先設定以下的研究條 件：

（1） 各項作業間邏輯順序關係之安排由管理者評估而得，排程中必須滿足邏輯順 序關係的限制，即作業間邏輯順序關係為確定的。

（2） 各項作業工期與關係延時為模糊之判斷，作業個別之執行可行性係由管理者 依其自身經驗來推估，其對應關係以隸屬函數表示並假設其為線性關係。

（3） 模式中考慮專案之直接成本與間接成本，直接成本為作業成本之彙總，而作 業時間與成本假設呈線性關係；間接成本則與專案工期呈線性之關係。

（4） 專案中若有一項作業工期與關係延時之執行可行性過低，即會使整體專案之 執行可行性下降。

（5） 每項作業一旦開始進行則必須持續至結束，即作業具連續不可中斷之特性。

1.4 研究方法與流程

本研究進行的流程如圖1-1所示，其內容概述如下：

確立研究動機與目的

模糊時間排程模式

構思研究方法

最低專案成本 之排程模式

論文撰寫 界定研究範圍與限制

相關文獻回顧

時間成本權衡關係

建議與結論

修正 修正 案例測試與分析 案例測試與分析

案例測試與分析 案例測試與分析

圖1-1 研究流程圖

首先確立研究之動機與目的，透過相關文獻的蒐集與探討，對目前施工排程技術 與時間成本權衡問題等研究領域發展之現況進行瞭解，以界定出研究之範圍與限制。

從而在 PDM 的基礎下，藉由模糊推估作為作業工期與關係延時之估計方式，並運用 數學規劃方式結合網圖計算與模糊時間的估計內容，建構出模糊排程之計算模型，然 後再藉由案例的測試與探討來確立模式的正確性、適用性。為使模糊排程內容能含括 成本的考量，接著在其原有的模式中將作業時間與成本的權衡關係導入於其中，並藉 著目標函數的改善，建立模糊時間估計下最低專案成本之排程模式。最後再次透過案 例的測試與解析來確立模式所達成之目標，並將研究成果做成結論與建議。

1.5 論文架構

本論文之架構如圖1-2所示，其內容概述如下：

第一章、緒論：本章主要說明本研究之動機與目的、研究範圍與限制、研究方法與流 程，並且概述本文之整體架構。

第二章、文獻回顧：本章主要回顧傳統排程以及相關研究在排程技術上的改良與演繹 過程，並對排程問題在時間與成本之關係進行探討，以說明既有的排程模式 中尚待解決之課題，進而導引出本研究之方向。

第三章、同時考量模糊作業工期及關係延時之排程模式：本章首先運用模糊推估方式 模擬出五種實務上對時間估計的模糊語意，並以 PDM 網圖為排程基礎，同 時考量作業工期與關係延時在時間估計上的不確定性，使排程模式能貼近實 務狀況，確保排程內容忠實呈現實際施工情形。接著說明如何運用線性規劃 建構排程計算模式，藉其目標函數的優化探尋出工期限制下最具執行可行性 之時程方案。最後則透過小型的實務案例說明模式之應用流程以及計算結果 之分析，以探討模式在實務運用的可行性。

第四章、模糊作業工期及關係延時下專案時間成本之權衡分析：為使第三章所建構出

之模糊時間之排程模式更加符合實務需求，進而將作業時間與成本關係考量 於排程模式，並說明如何藉著目標函數的修正，探尋出工期限制下專案執行 可行性高而成本最低之時程計畫，最後同樣在案例的應用與計算結果解析，

確立本研究之實用性。

第五章、結論與建議：本章將就本研究之模式建構過程與所達成之目標作一總結，並 提出後續進行相關研究之方向提出建議。

確立研究動機與目的

模糊推估作業工期 與關係延時 模糊理論於排程技術

之應用

模糊施工排程之建構

第一章

第二章

第三章

第四章

第五章 界定研究範圍與限制

建議與結論

傳統排程技術探討 專案時間與成本

之權衡關係

應用案例

模糊時間下最低 專案成本之排程模式

時間成本權衡關係

應用案例

圖1-2 論文架構圖

第二章 文獻回顧

施工排程技術即是藉由各種圖形化的表示方法，清楚簡要的描述出整體工程的執 行流程，並將圖形中所描述的事件集合利用數學模型來加以計算，藉其成果來解析出 工程之執行內容與管制重點，提供管理者制訂出更為縝密且妥善的規劃。傳統的施工 排程技術中包含甘特圖、要徑法、計畫評核術等方法，隨著近年來營建工程日趨龐大 與複雜，為能因應實務上的需要則有許多研究對既有的排程技術提出改良，以獲取更 為良善的排程規劃內容。因此，本研究將透過排程技術的分析與探討，瞭解其發展的 趨勢以確立研究之方向與目標。

2.1 傳統施工排程技術的探討

2.1.1 桿狀圖（Bar Chart）

桿狀圖係由美國 Frankfort 兵工廠管理顧問甘特（Gantt）先生於1918年所提出的專 案管理方法，故又稱甘特圖（Gantt Chart）。其將圖面分為垂直與水平的軸面，垂直軸 用來表示每項施工項目，以水平軸作為時間刻劃，將每項作業以一條直線或桿狀繪於 水平軸上，以線段起點與終點作為作業開始、完成的時間點，其長度即表示出作業所 需的時間。

面對小型而單純的工程專案，使用簡單、易讀的甘特圖即可明白表示的作業進行 之日程，且適合各階層的工程人員使用，但是卻無法明確表示作業間的順序關係，故 難以掌握作業間相互關係對整體專案的影響，對於進度落後與超前難以提供有效的預 警作用，而缺乏對進度控管的實質效用。因此，業界在因應大型工程中龐雜的作業項 目與錯綜的順序關係，仍採用以網圖技術為基礎之要徑法。

2.1.2 要徑法（Critical Path Method, CPM）

CPM 的發展起始於1956至1958年間美國杜邦（Dupont）公司之工程師，其藉著箭 線與節點的連結，清楚的組織與描述各作業之邏輯順序關係，經由數學模式的計算出 各作業的時程計畫，據此可明確的辨別整體專案之工期與要徑，使工程專案的管制焦 點集中於要徑上之作業，以便具體執行進度與預算的控管。其觀念簡要且具執行成效 的優點，在近年來相關套裝軟體的開發（如 P3、MS Project 等）更增進此法在數學計 算、修正的便利性，發展迄今已成為最為廣泛使用的排程技術。

i A j k

D

B D

EET

LET

EET

LET

EET

LET

圖2-1 ADM 網圖之表示

以 要 徑 觀 念 所 發 展 出 的 網 圖 分 析 方 法 可 分 為 箭 線 式 圖 法(Arrow Diagramming Method, ADM)及先行式圖法(Precedence Diagramming Method, PDM)兩種。ADM 之網 圖結構是以箭線用來表示作業項目，利用結點代表一個時間點區隔出作業間之先後順 序關係，如圖2-1所示。PDM 則是由 ADM 改良而來，其以結點表示作業項目，利用箭 線的連結描述出作業間更多元的邏輯關係，其連結關係包含：（1）完成到開始（Finish To Start, FTS）；（2）開始到開始（Start To Start, STS）；（3）開始到完成（Start To Finish, STF）；（4）完成到完成（Finish To Finish, FTF）等四種，並可藉著關係延時考 量到作業間必要的延遲或等待時間，如圖2-2所示，使排程內容較能描述出實際作業所 面對的各種情境(Oberlender, 2000)。且由於 PDM 網圖的表達簡單易懂且能避免 ADM 圖形結構所產生的虛作業，減少網圖繪製的錯誤；在計算更無須計算結點時間就可直 接進行日程計算，因此較ADM 適合使用於實務的排程規劃工作（劉福勳，1998）。

ES

i D

EF

LS

LF

ES

j D

EF

LS

LF

(STF

) LT

(STS

) LT

(FTS

) LT

(FTF

) LT

圖2-2 PDM 網圖之表示

2.1.3 計畫評核術（Program Evaluation and Review Technique, PERT）

PERT 起源於1958年美國海軍特種工程局之北極星飛彈專案，此法利用要徑觀念的 延伸應用，將機率之觀點導入網圖分析中。其假設作業工期的估計均服從 Beta 分配之 隨機變數，在三時估計下以其均值進行網圖的分析計算，並且利用變異數考慮專案計 畫工期與期望工期間之關係，求得如期完工之可能性。

因此在 PERT 之計算模式中，首先必須以三時估計作業時間，即最樂觀時間（a）

、最可能時間（M）及最悲觀時間（b），接著以式（2-1）至（2-3）算出每項作業的平 均值（t ）、標準差（_e

te

σ

te

v ）：

6 b m 4 a+ +

e =

t (2-1)

6 b−a

e =

σ

(2-2)

2 2

6 a b ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ −

= e

e t

vt

σ

(2-3)

專案總工期之期望值（T ）即為要徑上各作業時間平均值之總和，專案總工期之_E 變異數（V ）則為要徑上各作業工期變異數之和，並以專案總工期之變異數推算其標TE

準差（

σ

TE

σ

（T ）完成的可能性（Z）。 _S

∑

=

x tex

TE

(2-4)

∑

=

x t_e

v VTE

(2-5)

E

E T

T = V

σ

TE

E

S T

T

σ

= −

Z (2-7)

2.1.4 傳統排程技術的限制

透過以上傳統的排程技術的探討，可知排程技術在圖形的表現上，由於網圖可在 箭線與結點的連結過程描述出專案整體的施工流程，因而在其圖形基礎與要徑觀念下 發展出CPM 與 PERT 兩種數學計算模式。兩者間最大差異即是時間估計的方式不同，

CPM 以單一明確值進行估計，無須經過時程參數的轉換即可快速的進行網圖的時程分 析，但卻無法有效評估排程規劃的執行可行性，導致預定時程計畫與實際進度執行之 間易產生落差。PERT 則以三時估計法考量管理者面對各種施工過程諸多的不確定因素 所產生的不確定性判斷，透過機率概念的導入分析出估計值與期望值間關係，藉此評 估出專案計畫工期與期望工期間的差異與專案如期完工的可能性，獲得更加的管制效 果。因此自 PERT 提出以後，不確定性的排程技術受到廣泛的探討，後續則有研究嘗 試不同機率分配於計算模型，例如三角形分配、卜瓦松分配、常態分配等作為的工期 函數分佈，以描述各種不同的專案屬性使排程內容更為貼近實務狀況。

然而在工程實務上，工期的估計是管理者考量各種專案特性與諸多不確定性因素

，藉由自身良好的經驗、知識與審慎衡量各項工程條件而下的主觀判斷，這樣的預測 值實為一種可能性的分配情形，絕非服從某種特定的機率函數分佈，而且工程專案具

有相當的獨特性，故現實環境中也難有足夠的樣本數說明工期呈某一函數分配的合理 性（Chanas, S. and Kamburowski, 1981）。再者，只以期望值進行網圖的時程運算，仍 是以一明確值分析網圖中的所有路徑，因此其計算結果僅能透過單一條要徑評估整體 工程的可行性，實無法顧及其他路徑成為要徑作業之可能，容易導致要徑的誤判而影 響進度的控管效果(Mac Crimmon and Ryavec, 1967; Chen, 2007 )。

2.2 模糊理論在排程技術的應用

隨著模糊理論的提出與發展，對於各種主觀性、模糊性的不確定問題得到了更佳 的詮釋，而開始有許多研究將模糊理論應用於排程技術上，此類的研究多以模糊數取 代作業工期為隨機變數的假設，再利用此模糊工期透過模糊數運算取代傳統網圖計算 中對明確值加、減法及取最大值與取最小值的運算過程，進行作業時程估算與網圖路 徑分析（Didier et al. 2003）。

為瞭解模糊數在排程計算上的運作，在此先行說明模糊數的運算方式，故假設兩 個三角型模糊數，A~

：（A^L ,A^m ,A^R）=（8, 9, 12）；B~：（B^L ,B^m ,B^R）=（7, 12, 14）並 以圖2-3表示。在模糊數的加、減法運算式分別可以式（2-8）、（2-9）表示，而在取最 大（小）值的處理上，一般以式（2-10）、（2-11）進行運算。

1

B^m

B^L B^R

A^m

A^L A^R

1

圖2-3 三角形模糊數運算之圖例

(

)

B~

A~⊕ = + + + (2-8)

(

)

B~

A~Θ = − − − (2-9)

( )

[

(

)

(

)

(

) ]

MAX = ^{L L m} − ^{m R} + ^R (2-10)

( )

[

(

) (

) (

) ]

MIN = ^{L L m}− ^{m R} + ^R (2-11)

最早時程的計算則利用式（2-8）、（2-10）取代傳統網圖的推算，若以本例之模糊 數相加其結果為^C~：（15, 21, 23），在^A~與^B~中取最大值則為（8, 12, 14），依此可推算出 各作業之最早開始時間與最早完成時間與專案工期；在最遲時程方案則利用式（2-9）

、（2-11）進行推算各作業的最晚開始時間與最晚完成時間（Zammori et al. 2009）。然 而在本例中，若以^C~Θ^B~則等於（1, 9, 16），依此可看出模糊減法不等同於模糊加法的 反運算，即 C~

B~

A~+ = ；但 A~ B~ -

C~ ≠ ，故將造成網圖在進行最早時程方案與最遲時程方案 所對各作業推算所推算出的時程資訊產生極大的差異；倘若再以

B ~

McCahon 與 Lee（1988）則計算其他路徑所需工期與專案工期兩模糊工期之交集的最 高隸屬度作為其要徑度（Degree of criticality），以判斷其他要徑成為路徑的可能；

Lorterpong 與 Moselhi（1996）則又以兩模糊數交集的比例來衡量要徑。陳惠國等人（

1996）則由於三角模糊數的頂點在推算過程不易受模糊運算的影響，故依各模糊結點 時間在隸屬度為1時之時間值，求算各作業之浮時與判斷要徑。

然而MAX 此一模糊運算式是由模糊集合中的延伸原理（Extension Principle）推倒 而 來 ， 因 此 在 取 最 大 值 的 過 程 中 ， 倘 若 無 法 同 時 滿 足A^L≥B^L ,A^m ≥B^m ,A^R ≥B^R 或

R R m m L

L B ,A B ,A B

A ≤ ≤ ≤ ，其所得之模糊數將破壞原來模糊數的型態，而成為一個多邊

行的模糊數，以本例說明則如圖2-4；反觀取最小值時亦然如此。此隸屬函數的改變雖 不影響時程計算，但為因應要徑度在求取兩模糊數之交集時，而必須在排程計算過程 記錄其隸屬函數的變化情形，使得後續結點之計算變得相當繁複且易錯。為避免模糊 運算造成時程分析上的困擾，則有學者提出以模糊排序的方式，將模糊數轉換為可反 映其大小之確定值後進行最大值與最小值比較，以取決出適當的模糊數作為網圖之結 點時間（McCahon and Lee, 1988；賴瓊華，2001；Chang and Lee,1999），避免模糊數的 型態產生變化。但是在數值轉換的運算過程仍相當繁複，加上模糊排序方法眾多但各 自計算出的結果卻不盡相同，亦無法證實何種方法為最佳的（陸海文，2001），且以模 糊數表示各作業之時間點，雖可突顯出作業的模糊性與變異性，卻容易造成進度執行 與控管無一具體可行之依據，因此運用於進度控管上仍然造成一定的不便與困難，致 使模式僅適合作為初期規劃工具。故 Yao and Lin（2000）利用解模糊的方式，直接將 模糊數轉換成確定值後再進行網圖的時程計算，即可提供明確的時間點供作進度控管 的依據，惟此法數值轉換的過程相似於 PERT 所計算之期望值，因此仍難以避免 PERT 在要徑判斷上的缺陋。

1

(B

) B

A

A

A

B

1

(B

) B

A

A

A

B

MAX MIN

圖2-4 三角形模糊數取最大值運算之圖例

為能迴避艱澀且複雜的模糊運算原理， Mon et al.（1995）則以模糊三角分佈與常 態分佈表達作業不同的施工屬性，利用α截集的觀念表達管理者對工期估計的樂觀程 度，在模糊工期的函數中獲取模糊數左、右側各一的明確值進行網圖計算，進而分析 不同樂觀程度及風險水準下作業時間與成本的關係。潘南飛與黃冠智（2004）以三角

模糊數取代 PERT 的三時估計，同樣以α截集的概念於模糊數獲取出明確值，在出不 同確信度下求算作業時間，並分析出專案最早與最晚的完成工期。曾浩璽與陳昌楙（

2002）則提出五種模糊數表達不同作業工期的估計屬性與 PDM 網圖的運用，使得時程 計畫內容更能描述實際施工情形，並評估不同工期其信心水準指數以檢討整體工期的 合理性。上述方法將模糊工期利用α截集來表達管理者對作業估時在一定程度的接受 程度，並以其最低限度所對應出的確定值來進行網圖計算，改善了模糊運算的困難亦 藉此提供管理者評估排程內容之精確度，確實有利於運用在大型複雜之專案與實務上 的推廣與應用。然而此類方法運用最大的缺陷，在於α截集是由管理者所定義的，此 即意味著管理者尚需對其自身所估計出的模糊工期，再賦予其一定程度的收斂後方能 進行排程計算，顯然與實務狀況有所矛盾。其次則是每項作業的模糊工期均必須服從 單一的隸屬度，使得時程計畫中非要徑之作業因受到隸屬度的限制而捨棄在更為合理 的工期規劃，致使整體排程內容無法獲得最佳的時程資訊，容易忽略進度控管與資源 調配上的重點。

2.3 時間與成本之權衡關係

工程專案在品質與工期上均須符合業主所訂定之要求，因此如何達到總成本最低 乃是施工排程規劃之目標。一般而言，專案總成本可分為直接成本與間接成本，直接 成本係指直接用於施工上的各種費用，如材料、機具、人員、加班費等；而間接成本 則定義為，非直接用於施工，但該費用之耗費是由該工程施工而起，通常包括：行政 管理費、開辦費、工程雜支、稅金、利息等費用。為能達到專案總成本最低之目標，

則可藉由兩個層次來達成，首先是藉由作業時間與成本的分析，以選擇出適當的作業 進行壓縮，達到專案直接成本最低之目標，進而分析出直接成本與間接成本在專案工 期上之律動，以探求出專案在工期的約束下總成本最低之目標。

在作業時間成本的關係中，由於作業欲縮短作業時間則必須投入較多的資源以提 高作業執行速率，但卻造成施工成本的增加，而根據採用的施工技術與資源的使用量

不同而產生多種可行的施工方案，倘若分析出每項可行施工方案所對應的工期與成本

，則構成作業的時間成本關係曲線，藉著作業時間成本曲線即可比較出各作業因趕工 所需額外支付費用的高低，並在既定的排程方案中選擇出適當之作業來縮短專案工期

。然而，在資源使用的特性下，此一時間成本的關係實際情形呈一下凹曲線，但是基 於排程規劃的便利性，一般可假設為線性關係（Kelley, 1959），如圖2-5所示。因此，

作業時間與成本的分析即可藉由正常時間與趕工時間點的估計表示作業可行的工期區 間，再依其所需之資源則可估計出正常成本與趕工成本，將此兩點間之斜率稱為成本 斜率，據此來計算出作業工期縮短每單位時間所需增加之金額，如式(2-12)。而為達到 縮短專案工期之目標故必須選擇要徑作業進行壓縮，由於要徑作業的壓縮會消耗非要 徑之浮時，故必須同時考量壓縮過程中是否有新要徑，且當其中一條要徑上之作業均 達趕工時間時，專案工期將無法再縮短（沈進發，1999）。

作業工期

作業成 本

T_n T_c

C_n C_c

正常點 趕工點

實際曲線 線性假設

圖2-5 作業工期與成本關係

c n

n c c

T T

C S C

−

= −

Sc：成本斜率（元/天）

Cc：趕工成本（元）

Cn：正常成本（元）

Tc：趕工時間（天）

Tn：正常時間（天）

藉著上述方法即可將專案在各種可行工期中將各作業之施工成本彙總，分析出專 案工期與最低直接成本之關係，而受到作業時間成本的特性，專案工期與直接成本應 呈反比關係。為探討出專案之總成本則將其與間接成本一併考量，由於間接費用之開 辦費為開工初期一次付出，而其他各項費用則隨著工程進行而定期支付，故可假設間 接費用與專案工期成正比。依據直接成本與間接成本之特性，即可瞭解專案的在趕工 的情況下雖額外增加直接成本，但卻可縮短專案工期減少間接費用的支出，故透過直

接成本與間接成本的彙總，即可探求出專案工期與總費用之關係曲線，據此提供管理 者擬定出一個能符合合約工期且總成本最低之最佳時程方案，如圖2-6所示。

然而當作業項目漸多時，時間成本權衡問題將使管理者面對複雜的計算問題，因 此 Burns et al.（1996）混合線性規劃與整數規劃法求解對應於目標工期之最佳解，

Chassiakos 與 Sakellaropoulos（2005）則在其模式中考量 FS、FF、SS、SF 四種邏輯關 係與延時估計，以及對作業、專案特定的制約時間，以線性規劃建構計算模型。上述 說明時間成本權衡問題之研究透過數學規劃方式，即可在各種可行方案中快速探尋出 最佳解，提供管理者正確的決策依據。

專案工期

專案成本

間接成本 直接成本 總成本 合約工期

圖2-6 傳統專案工期與成本之關係曲線

2.4 小結

經由以上文獻的回顧，發現在排程技術的演繹過程中，運用模糊概念可較為妥善 的詮釋工程管理者在作業工期估計過程中的主觀性與不確定性，使時程估計更能切合 實際狀態，而為了達到最佳的施工排程規劃目標，考慮專案在時間與成本間的權衡問 題實為必然，惟從實務運用及規劃者的角度觀之，目前之研究方法仍有不足之處，導 致在實際應用上產生諸多的困難與障礙，其內容可簡要歸納如下：

（1） 在排程規劃中，關係延時與作業工期的估計，對於專案工期的推算具有同等 的支配權力，而作業間的關係延時受到工程介面或資源調度的影響亦難以準

確的估計，若忽略延時估計的不確定性將造成工期與成本等排程內容的可靠 度受到折損，然而目前之研究均為將延時之處置納入議題中討論。

（2） 對於專案時間與成本的權衡分析往往以最低成本作為唯一考量，忽略作業工 期與關係延時在專案執行的可行性，如此經常使得進度計畫難以執行，反而 容易造成工程延宕之情事，亦悖離了原來採取最低成本規劃之初衷。

（3） 以模糊運算所求算出時程資訊皆以區間值表示，雖可顯示作業工期的模糊性 與變異性，然而如此卻容易造成進度在執行與控管上，無一具體可行之依 據，致使模式僅適合作為初期規劃工具。

（4） 利用α截集的概念將模糊數轉換為確定值的方式固然可簡化網圖的運算，惟 其迫使每一作業均服從單一的隸屬度。然而實際上，每項作業之工期推估均 應有其獨立的隸屬度，如此方能正確的表達個別作業在時間推估上的屬性，

也唯有如此方能產出更為合宜的時程規劃內容。

（5） 過於艱澀的理論基礎與繁複的運算方式，難以切合當前營建工程規模日益龐 大之需求，容易造成在應用與推行上之困難。

就上述不足之處，本研究將以管理者的觀點與思維方式，運用模糊估計建構出作 業工期、關係延時之估計類型，表達規劃者對不同時程的估計的期望程度，使得作業 獨立擁有各自的耗時屬性，使排程內容得以忠實的呈現實際施工狀態。並且嘗試以常 用的數學規劃方式建構網圖計算模型，使其在透過對目標函數優化的過程中，迫使每 項作業工期與關係延時盡可能的擁有最高之隸屬度，以提升排程計畫的執行可行性。

接著透過作業時間與成本間關係的導入，進一步的來探索執行可行性最高且成本最低 的時程計畫，以提供管理者在執行決策與管控時有明確可行之工具可用。

第三章 同時考量模糊作業工期與延時之排程模式

本研究為使排程模式貼近實務狀況與期望排程內容可忠實呈現出實際施工之情形

，故藉著PDM 網圖多元的邏輯關係與延時表達整體專案的執行流程，並採取模糊推估 方式同時考量作業工期與關係延時在時間估計上的不確定性，而為能處理此一模糊時 間的排程計算，則運用線性規劃法建構網圖計算模型，透過目標函數的優化探尋出最 佳的專案時程計畫，以提供管理者具體的管制依據。為此，本章首先說明模糊時間的 推論方式與PDM 網圖在程式上的計算原理，接著說明如何以線性規劃法建構出排程計 算模式，最後則透過一小型的實際案例說明模式之應用流程，並對其計算結果進行探 討，分析模式在實務運用的可行性。

3.1 模糊時間之推論

由於管理者在進行排程規劃時，對於各項時間的估計往往必須綜合考量實際執行 過程，可能受到天候、地質條件、社會環境、施工介面、機具與人員的工作效率、以 及資源供給與配合等不確定因素的影響，使得對工期的估計產生各種不確定語彙，如

：作業 A 最快可在5天完成，最晚則不會超過9天，但最可能應該是6到7天之間；或作 業 B 應該可以在10天左右完成；亦或作業 C 應該可在8天完成，最晚則不超過10天等

。因此，本模式利用模糊推估方式將上述管理者對作業工期估計的模糊語意轉化為隸 屬函數來表示，以隸屬度(λ)表達管理者對不同估算時程在其執行可行性與期望程度的 差異。由於各項作業的施工屬性不同因此在工期估計上可能呈現出不同的推估語意，

為能增加模式使用的便利性，本研究整理出幾種常見的推估情境以作為主要的推估類 型（Chishaki et al., 1995; 曾浩璽、陳昌楙，2002），其說明如下：

第Ⅰ型：作業的執行內容、環境與介面單純，管理者能準確的估計其時間在τ天完成 為最佳。例如室內門窗之安裝作業，由於該工班技術嫺熟、出工穩定且外在 影響因素較少，所以有高度的把握來設定該工項的作業工期。而本類型推測

內容可由圖3-1 表示，並以式(3-1)說明作業工期與隸屬度之函數關係。

時間(t) 1

τ 隸屬度(λ)

圖3-1 模糊推估時間-第Ⅰ型

1 τ

λ = ， t =

第Ⅱ型：作業最早可在 a 天、最晚則不超過 d 天完成，但愈接近 d 天其執行可行性愈 高。例如混凝土澆置完成經養護後最早 3 天可以拆模，但是通常為了獲得較 佳的施工品質，一般期望養護的時間愈長愈好，但是考慮到模板的轉用，因 此在不影響其他後續作業的情況下，將養護的時間適當的延長實為較合理的 安排。而本類型推估內容可用圖 3-2 表示，並以式(3-2)說明作業工期與隸屬 度之函數關係。

1

d

a 時間(t)

隸屬度(λ)

圖3-2 模糊推估時間-第Ⅱ型

⎩ ⎨

⎧ − −

≤ 1

a) /(d ) (d t λ

(3-2)

第Ⅲ型：作業最早可在 a 天、最晚則不超過 d 天完成，但愈接近 a 天其執行可行性愈 高。例如開挖完成後其擋土支撐的架設須 4 天內完成，但是基於安全考量及 希望後續作業能盡速展開，於是期望廠商在能力範圍內盡可能的提早完成，

然而衡量廠商之技術、機具、人力及作業空間的限制，縱使在全面趕工的狀 況下其工期至少仍需 2 天。而本類型推估內容可用圖 3-3 表示，並以式(3-3)

說明作業工期與隸屬度之函數關係。

1

d

a 時間(t)

隸屬度(λ)

圖3-3 模糊推估時間-第Ⅲ型

⎩ ⎨

⎧ − −

≤ 1

a) /(d ) (d t λ

(3-3)

第Ⅳ型：作業最早可在 a 天、最晚則不超過 d 天完成，但工期越接近 b 至 c 天時其具 有愈高之執行可行性，此類時間估計的方式最為接近一般管理者對作業工期 與延時的推測。而本類型推估內容可用圖 3-4 表示，並以式(3-4)說明作業工 期與隸屬度之函數關係。

1

d

a b c 時間(t)

隸屬度(λ)

圖3-4 模糊推估時間-第Ⅳ型

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) c /(d ) (d

1

a) b /(

a) (

t t

λ

第Ⅴ型：本類型為第 IV 型的特例，基本上管理者有較高的把握在某一時間點完成工 作 ， 因 此 將 其 執 行 可 行 性 最 高 的 時 間 確 實 估 計 為 m 天，即第 IV 型中 b=c=m，但該作業能否依預估之工期完成仍須視其外在條件的變化，如果極 其順利，作業最早可提前在 a 天完工，萬一狀況在最差的情況下，最遲亦不 超過 d 天。而推估類型之內容可用圖 3-5 表示，並以式(3-5)說明作業工期與 隸屬度之函數關係。

1

d

a b=c=m 時間(t) 隸屬度(λ)

圖3-5 模糊推估時間-第Ⅴ型

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) m d /(

) d (

1

a) m /(

a) (

t t

λ

上述式中之λ為工期估計區間值(t)所對應的隸屬度，其值為0至1且當該值越接近1 時，表示與其對應之時間擁有較高之隸屬度，即其依時完成的可行性越高。而由於關 係延時受到工程介面或資源調度的影響亦難以準確的估計，本研究為能同時考慮作業 工期與關係延時不確定性的排程模式，故將上述對作業工期的推估情境將其應用於關 係延時的估計，以描述出關係延時的不確定性，其內容經整理後列於表3-1。

表3-1 模糊作業工期與關係延時估計之數學式

估計型態 作業工期 關係延時

（第Ⅰ型）

λ

= 1 ， D

= τ λ

= 1 ， LT

= τ

（第Ⅱ型）

⎩ ⎨

⎧ − −

≤ 1

) a /(d ) a

( D

λ

⎩ ⎨

⎧ − −

≤ 1

) a /(d ) a

( LT

λ

（第Ⅲ型）

⎩ ⎨

⎧ − −

≤ 1

) a /(d )

(d

D

λ

⎩ ⎨

⎧ − −

≤ 1

) a /(d )

(d

LT

λ

（第Ⅳ型）

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) c /(d ) (d

1

) a b /(

) a (

i i i i

i i i i

i

D D

λ ⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) c /(d ) (d

1

) a b /(

) a (

ij ij ij ij

ij ij ij ij

ij

LT LT λ

（第Ⅴ型）

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) m d /(

) d

( 1

) a m /(

) a (

i i i i

i i i i

i

D D

λ ⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) m /(d ) (d

1

) a m /(

) a (

ij ij ij ij

ij ij ij ij

ij

LT LT λ

符號說明

i

=

λ

i

=

D

ij

=

λ

ij

=

LT

3.2 PDM 網圖計算

PDM 以結點表示作業項目，利用箭線連結描述出作業間的邏輯順序關係，包含以 下：（1）完成到開始（Finish To Start, FS）；（2）開始到開始（Start To Start, SS）； （3

）開始到完成（Start To Finish, SF）；（4）完成到完成（Finish To Finish, FF）等四種，

網圖在本模式中所採行的前進、後退計算式與符號如以下說明：

（A）以前進計算求得作業之最早時程方案

a. 定義專案的開始時間點為零，

0

S_start = (3-6)

b. 定義每項作業時間均不可中斷，

i i

i D EF

ES + = (3-7)

c. 每項作業依前置作業的邏輯關係求取其最早開始時間，

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

−

−

−

=

i ij i j i

ij i j i

i ij i j i

ij i j i

j

D LT EF : FF

LT EF : FS

D LT ES : SF

LT ES : SS max ES

) , (

) , (

) , (

) , (

(3-8) d. 當作業反覆 b. c 之步驟推算至完成時間點，其完成時間即為專案工期。

proj end T

F = (3-9)

（B）以後退計算求得作業之最早時程方案

a. 定義每項作業時間均不可中斷，

i i

i D LS

LF− = (3-10)

b. 每項作業依後續作業的邏輯關係求取其最晚完成時間，

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

− +

− +

−

=

ij j j i

ij j j i

i ij j j i

i ij j j i

i

LT LF : FF

LT LS : FS

D LT LF : SF

D LT LS : SS min LF

) , (

) , (

) , (

) , (

(3-11) 由完成時間點反覆b. c 之步驟推算出各作業最晚開始與完成時間。

3.3 模糊排程模式之建構

在傳統的PDM 網圖計算是將各項作業工期與延時視為一確定值，來計算各項時程 內容與推算出專案工期。而本研究為處理作業工期與關係延時為一模糊區間值的求解

，在此採用線性規劃法來建構計算模式，將專案工期與各類型之推估內容作為限制條 件，並透過目標函數的優化，求解出專案具有最高執行可行性之時程方案。由於本模 式之目標是求解出排程方案中最具執行可行性之時程方案，故以彙總各個作業與延時 之隸屬度，並使其最大化作為目標式，使專案中各項作業工期與延時均能獲得最高之 隸屬度，其內容如式(3-12)。另外，專案之執行可行性實質上是受制於作業工期與延時 之隸屬度，而各項作業工期與延時之隸屬度均個別獨立，在求解優化的過程中，為避 免再追求整體隸屬度最大的目標下，犧牲了某些個別作業工期或延時之隸屬度，致使 某些工期或延時的隸屬度過低，造成整體專案的執行可行性產生瓶頸點，故在此另行 定義_αlim作為專案中各項作業與延時所能允許的最低限度，即各作業工期與延時之隸屬 度必須大於α_lim（_λi ≥_αlim、λ_ij ≥α_lim），並在可能的情況盡量地對其求取最大化，來提 升專案中對個別作業的工期與延時之最低隸屬度的限制點。而此目標可設定成式(3-13) 之內容。

∑

∑

∈

+

=

Rel Act

Maxmize

ij ij i

i

λ

λ

λ

式中：

i

=

λ

Act=為專案中各項作業的集合；

ij

=

λ

Rel=為專案中各項邏輯關係的集合。

Maxmize α

上述內容顯示本模式呈現多目標的型態，為簡化其計算，在此擬以單一的目標函 數同時對兩目標式進行優化。但是若直接將兩者相加並同時取最大值，由於α_lim之值域 與隸屬度同樣為0至1之間，因此將造成目標式(3-12)所求解出之總隸屬度值

(

)

，據此可將模式之目標函數整理成式(3-14)之內容。

接著將PDM 的時程計算原理與所推估的模糊時間，整併成線性規劃之限制式，故 在本模式中之限制式主要可分為五個部分：（1）PDM 網圖之前進計算；（2）各項作業 所推估的模糊工期與隸屬度之關係；（3）各項作業邏輯關係所推估的模糊延時與隸屬 度之關係；（4）限制α_min為0至1之間；（5）各限制式中之變數均為非負值的限制。綜 上所述，本模式所建構之線性規劃式可整理如下：

目標函數：

Rel Act

Rel Act

lim

X X

Maxmize

+ +

+ ∑ ∑

∈

∈ ij

ij i

i

λ

λ

α

限制式：

（1）PDM 網圖前進計算：

a. 定義作業之開始時間為0，

0

S_start = (3-15)

b. 設定專案工期之完成時間為合約工期或某特定工期，

proj

end T

F = (3-16)

c. 定義每項作業時間均不可中斷，

i D

i+ =EF ∀

ES (3-17)

d. 設定每項作業與前置作業之邏輯順序關係式，

j i

i ij i j i

ij i j i

i ij i j i

ij i j i

j ∀ ∀

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

−

−

−

= ,

D LT EF : FF

LT EF : FS

D LT ES : SF

LT ES : SS max ES

) , (

) , (

) , (

) , (

(3-18)

（2）各項作業所推估的模糊工期與隸屬度之關係：

a. 依各項作業工期之估計型態與模糊工期代入下列之數學式：

第Ⅰ型：λ_i =1 ，

D

第Ⅱ型： ⎩⎨⎧ − −

≤ 1

) a /(d ) a

(

D

λi (3-20)

第Ⅲ型： ⎩⎨⎧ − −

≤ 1

) a /(d )

(d_i

D

λi (3-21)

第Ⅳ型：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) c /(d ) (d

1

) a b /(

) a (

i i i i

i i i i

i

D D

λ (3-22)

第Ⅴ型：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) m d /(

) d (

1

) a m /(

) a (

i i i i

i i i i

i

D D

λ (3-23)

b. 定義各項作業工期之隸屬度均大於α_lim：

i

≥ α

∀ i

λ

（3）各項作業邏輯關係所推估的模糊延時與隸屬度之關係：

a. 依各項關係延時之估計型態與模糊工期代入下列之數學式：

第Ⅰ型：λ_ij =1 ，

LT

第Ⅱ型： ⎩⎨⎧ − −

≤ 1

) a /(d ) a

(

LT

λij (3-26)

第Ⅲ型： ⎩⎨⎧ − −

≤ 1

) a /(d )

(d_ij

LT

λij (3-27)

第Ⅳ型：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) c /(d ) (d

1

) a b /(

) a (

ij ij ij ij

ij ij ij ij

ij

LT LT

λ (3-28)

第Ⅴ型：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

−

≤

) m /(d ) (d

1

) a m /(

) a (

ij ij ij ij

ij ij ij ij

ij

LT LT

λ (3-29)

b. 定義各項作業工期之隸屬度均大於α_lim：

j

ij ≥α_lim ∀

i

λ (3-30)

（4）限制α_lim為0至1之數值，故定義專案之隸屬度小於1；

lim ≤1

α (3-31)

（5）設定各變數為非負值：

0 EF , ES , , , ,

lim,λ_i λ_ij

D

LT

α (3-32)

式中：

lim

=

α

i

=

λ

Act =為專案中各項作業的集合；

ij

=

λ

Rel =為專案中各項邏輯關係的集合。

Act

=

X

Rel =

X 作業邏輯順序關係之個數；

start

=

S

end

=

F

proj

=

T

i

=

D

i

ij

=

LT

( j i , )

i

=

ES

i

i

=

EF

i

3.4 應用案例

本節將透過一模擬案例來說明此排程模式之應用流程，並藉以驗證其在實務上應 用之可行性。

3.4.1 案例說明

本研究在此假設出一個具有21項作業並配以26個邏輯關係的專案，依據模糊時間 的推估方式進行作業工期與關係延時之估計，其個別作業之工期與關係延時的模糊估 計值與專案之施作流程整理於表3-2。