編號：__________

110 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 第四區(台南一中)數學科筆試(一)試題

編號：__________

注意事項：

(1). 考試時間：2 小時。

(2). 本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分。

(3). 將計算及證明過程寫在答案卷上。

(4). 不可使用電算器。

(5). 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

一、設正整數𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑滿足^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑 < 1且a + c = 10，試求^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑的最大值。

二、已知𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑為正數，且滿足𝑎𝑏𝑐𝑑 = 1，試證：

1 + 𝑎𝑏

1 + 𝑎 +1 + 𝑏𝑐

1 + 𝑏 +1 + 𝑐𝑑

1 + 𝑐 +1 + 𝑑𝑎 1 + 𝑑 ≥ 4

三、某網球隊有偶數𝑛個選手，進行了兩輪的單循環比賽。在每輪的比賽中，每兩人都 比一場，比賽結果若為和局，則兩人各得1分；若有分出勝負，則贏者得2分，敗者 得0分。如果在第二輪比賽中，每個選手的得分之和都比第一輪比賽變化了不少於 𝑛分，則每個選手都剛好變化多少分？請證明你的答案。

四、對自然數𝑛，令𝑎_𝑛 = [^7𝑛

8]，其中[𝑥]表示不超過𝑥的最大整數，若𝑏_𝑛 = ∑^𝑛_𝑘=1𝑎_𝑘，試求 𝑏₂₀₂₂除以50的餘數。

110 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 第四區(台南一中)數學科筆試(一)試題

編號：__________

注意事項：

(1). 考試時間：2 小時。

(2). 本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分。

(3). 將計算及證明過程寫在答案卷上。

(4). 不可使用電算器。

(5). 試題及計算紙必須連同答案卷交回。

一、設正整數𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑滿足^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑 < 1且a + c = 10，試求^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑的最大值。

【參考解答】

根據對稱性，不妨設𝑎 ≤ 𝑐

∵ ^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑< 1 ∴ 𝑏 > 𝑎, 𝑑 > 𝑐

令𝑏 = 𝑎 + 𝑝, 𝑑 = 𝑐 + 𝑞，其中𝑝, 𝑞為正整數

∵ 1 − (^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑) = 1 − ( ^𝑎

𝑎+𝑝+ ^𝑐

𝑐+𝑞) = ^{𝑝𝑞−𝑎𝑐}

(𝑎+𝑝)(𝑐+𝑞) > 0 ∴ 𝑝𝑞 > 𝑎𝑐 ⟹ 𝑝𝑞 ≥ 𝑎𝑐 + 1

∵ (𝑎 + 𝑝)(𝑐 + 𝑞) = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑞 + 𝑝𝑐 + 𝑝𝑞

= 𝑎𝑐 + 𝑝𝑞 + 𝑐𝑝𝑞 + 𝑎 − (𝑞 − 1)(𝑐𝑝 − 𝑎)

≤ 𝑎𝑐 + 𝑝𝑞 + 𝑐𝑝𝑞 + 𝑎

= (𝑎 + 𝑝𝑞)(𝑐 + 1)

∴ 1 − ( ^𝑎

𝑎+𝑝+ ^𝑐

𝑐+𝑞) = ^{𝑝𝑞−𝑎𝑐}

(𝑎+𝑝)(𝑐+𝑞) ≥ ^{𝑝𝑞−𝑎𝑐}

(𝑎+𝑝𝑞)(𝑐+1)= 1 − ( ^𝑎

𝑎+𝑝𝑞+ ^𝑐

𝑐+1)

∴ ^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑= ^𝑎

𝑎+𝑝+ ^𝑐

𝑐+𝑞 ≤ ^𝑎

𝑎+𝑝𝑞+ ^𝑐

𝑐+1≤ ^𝑎

𝑎+𝑎𝑐+1+ ^𝑐

𝑐+1= 1 − ¹

(𝑎+𝑎𝑐+1)(𝑐+1)

上式在𝑞 = 1且𝑝𝑞 = 𝑎𝑐 + 1時等號成立，故當(𝑎 + 𝑎𝑐 + 1)(𝑐 + 1)達最大值時，

𝑎 𝑏+^𝑐

𝑑為最大值。

∵ 𝑎 + 𝑐 = 10且𝑎 ≤ 𝑐 ∴ (𝑎, 𝑐) = (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5)

分別計算對應的(𝑎 + 𝑎𝑐 + 1)(𝑐 + 1) = 110, 171, 200, 203, 186，其中203為最大 值，所以^𝑎

𝑏+^𝑐

𝑑的最大值為1 − ¹

203 =²⁰²

203。

二、已知𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑為正數，且滿足𝑎𝑏𝑐𝑑 = 1，試證：

1 + 𝑎𝑏

1 + 𝑎 +1 + 𝑏𝑐

1 + 𝑏 +1 + 𝑐𝑑

1 + 𝑐 +1 + 𝑑𝑎 1 + 𝑑 ≥ 4

【參考解答】

利用𝑐𝑑 = ¹

𝑎𝑏，𝑑𝑎 = ¹

𝑏𝑐，可得 𝐴 =1 + 𝑎𝑏

1 + 𝑎 +1 + 𝑏𝑐

1 + 𝑏 +1 + 𝑐𝑑

1 + 𝑐 +1 + 𝑑𝑎

1 + 𝑑

=1 + 𝑎𝑏

1 + 𝑎 +1 + 𝑏𝑐

1 + 𝑏 + 1 + 𝑎𝑏

𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐+ 1 + 𝑏𝑐

𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑

= (1 + 𝑎𝑏) ( 1

1 + 𝑎+ 1

𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐) + (1 + 𝑏𝑐) ( 1

1 + 𝑏+ 1

𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑) 利用算幾不等式知¹

𝑥+¹

𝑦≥ ⁴

𝑥+𝑦，其中𝑥, 𝑦為正數，因此 𝐴 ≥ (1 + 𝑎𝑏) ( 4

1 + 𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐) + (1 + 𝑏𝑐) ( 4

1 + 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑)

= 4 ( 1 + 𝑎𝑏

1 + 𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐+ 1 + 𝑏𝑐

1 + 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑)

= 4 ( 1 + 𝑎𝑏

1 + 𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐+ 𝑎(1 + 𝑏𝑐)

𝑎(1 + 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑)) = 4 故得證

三、某網球隊有偶數𝑛個選手，進行了兩輪的單循環比賽。在每輪的比賽中，每兩人都 比一場，比賽結果若為和局，則兩人各得1分；若有分出勝負，則贏者得2分，敗者 得0分。如果在第二輪比賽中，每個選手的得分之和都比第一輪比賽變化了不少於 𝑛分，則每個選手都剛好變化多少分？請證明你的答案。

【參考解答】

將所有運動員分為兩組：第二輪得分高於本人第一輪得分者為第一組，第二輪得分

低於本人第一輪得分者為第二組。顯然，至少有一組中不少於n/2 個運動員，不妨

設第一組中的人數為 x>=n/2 人。假設該組成員在第二輪中的得分總和比第一輪中 的得分總和多D，則由題意知

D>=xn。 (1)

這些分數均由該組的x 名運動員與其餘 n-x 名運動員的比賽產生（同組運動員間的 比賽在兩輪中所產生的總分都是x(x-1)/2*2=x(x-1)）。每一場比賽至多為第一組的得 分總和增加2 分 ，所以

D<=2x(n-x)。 (2)

聯立式(1)和(2)，得知 2(n-x)>=n，即 x<=n/2。結合前面假設 x>=n/2，即知 x=n/2。

將此代入式(1)和(2)，又得 D=n²/2，即第一組中的每個運動員在第二輪中都剛好比 自己在第一輪中多得n 分。

由於第二組中也剛好有n/2 個運動員，所以經過類似的分析，可知他們每個人在第

二輪中都剛好比自己第一輪中少得n 分。

四、對自然數𝑛，令𝑎_𝑛 = [^7𝑛

8]，其中[𝑥]表示不超過𝑥的最大整數，若𝑏_𝑛 = ∑^𝑛_𝑘=1𝑎_𝑘，試 求𝑏₂₀₂₂除以50的餘數。

【參考解答】

顯然，對任意自然數n ， 8 7ⁿ

不是整數，但

_



 



  8 7

a

所以對任意自然數 k

_



 



 

 



 



 







1

8 1 7 8 2 7

7

2 1

2 1

2

k k

k

_



 



 

 

 



 

8 7 8

7

^{2 1}

2 1 2

8 7 7 8

7 ^ _





 ^{k k k}

故可得 7^2k12

a

a

a

a

749^k1 17(501)^k1 1 7(1)^k11 (mod 50)

所以 𝑏₂₀₂₂ = ∑²⁰²²_𝑘=1 𝑎_𝑘 = (𝑎₁+ 𝑎₂) + (𝑎₃+ 𝑎₄) + ⋯ + (𝑎₂₀₂₁+ 𝑎₂₀₂₂) ^



 







1004 (mod 50) 46 (mod 50)

故 𝑏₂₀₂₂ 除以 50 之餘數為 46