aa 一元一次方程式的解法

1

a

a

一元一次方程式的解法

單 元 內 容

1 一元一次方程式

n 方程式：含有未知數的等式稱為方程式。 【說明】2x+3=5、2x+3y=3 都是方程式。

n 一元一次方程式：方程式經化簡後只含有一 個的未知數且最高次數是1 稱為一元一次方 程式。它的標準式是ax+ b= c，a≠0。

【說明】2x+3=5 一元一次方程式 -X²+2x+3=1 一元二次方程式 x+5 一元一次多項式

2x+3=X-5 一元一次方程式 x+y=5 二元一次方程式 n 恆等式: 方程式經化簡後左右兩邊皆變為 0

稱為恆等式

【說明】5y+3=5y+3、-2x+x=-x 都是恆等式。

n 解:能使方程式左右相等的未知數的值，稱為 這個方程式的解或根。

【說明】x=5 可以使方程式 2x-7=3 成為 0=0 的 恆等式，即x=5 是 2x-7=3 的解(根)。

2 解一元一次方程式

n 等量公理

u 加法等量公理：如果a= b，則 a+ c= b+ c

【說明】小明的體重和小華相同，兩人同時吃下 三公斤的牛肉，體重仍然相同。

【說明】 x-3=5 x-3+3=5+3 x=8

u 減法等量公理：如果a= b，則 a- c= b- c

【說明】小明的體重和小華相同，兩人都減重三 公斤後，體重仍然相同。

【說明】 x+3=1 x+3-3=1-3 x=-2

u 乘法等量公理：如果a= b，則 a×c= b×c

【說明】包子和饅頭重量相同，五個包子和五個 饅頭，重量仍然相同。

【說明】 1 5 x=2

2

1

5 x×5=2×5 x=10

u 除法等量公理：如果a= b，且 c≠0，

則

a÷c= b÷c

【說明】批薩和蛋糕重量相同，各等分為3 片以 後，每一小片的重量仍然相同。

【說明】 6x=12 6x÷6=12÷6

x=2

n 移項法則

u 加法移項：如果ax+ b= c 則 ax= c- b 【說明】 x+3=5 x=5-3 x=2 u 減法移項：如果ax- b= c 則 ax= c+ b 【說明】 2x-1=3

2x=3+1 2x=4 u 乘法移項：如果ax= c 且 a≠0 則

x= c a

【說明】 2x=4 x=4÷2 x=2

u 除法移項：如果b

a x= c 則 bx= c×a 【說明】

1 5 x=2 x=2×5

x=10

範 例 講 解

Ex1.

(1).下列各式中，哪一個是一元一次方程 式？(A)-5x-3 (B) 5x+4=9 (C) 2y

3 +5=x (D) 3x-2y=1。

(2).何者是一元一次方程式？(A) 6x-8 (B) 8x- 2¹⁰=0 (C) x²=15 (D) 3x+y=50。

Hw1.

(1).下列各式中，哪一個是一元一次方程式？

(A) -6x+3 (B) -20x+1

x=0 (C) 2y

7 -5=7 (D) 3x+y=1。

(2).下列各式中，哪一個是一元一次方程式？

(A) x-3x=3² (B) x²-2x+1=0 (C) x²=4 (D) 3x+y=1。

3

a

Ex2.求下列各式的解:

(1).x+2=5 (2). x-1=6 (3).x×3=12 (4).x÷4=1 (5).2x+3=4x (6).24÷2x=4

(7).4x-(5x+3)=12x+1 (8).63÷x+3=2

(9).｜x＋8｜＝14 (10).｜3x－2｜＝20

Hw2.求下列各式的解:

(1).2x+3=7 (2).4x-5=5 (3).60÷2x=3 (4).6×2

3 x=8 (5).3x=x (6).1

2 x+3=

1 2 x (7). x-(2x+1)=2 (8).356÷x+2=1 (9).｜x－8｜＝14 (10).｜3x+2｜＝20 Ex3.求下列各式的解:

(1).18-2(x-4)=16 (2).2(x+3)-3(2x-1)=15 (3). 6x-4=(3x-8)-(2x+12) (4).2x-〔3+(x-4)〕=6

(5). 5(x-3)-〔2-(2x-1)〕=10 (6).12x-{2-3〔x-2(x-3)〕}=20

Hw3.求下列各式的解:

(1).(x-4)-(3x-8)=2

(2).5(y-4)-7(7-y)-9=12-3(9-y) (3).-4a+3(2-3a)=4(2-3a)-1 (4).3〔2(2x-1)-4〕=x-5 (5).3〔2(x-1)〕-2(x+2)=0 (6).2{3[4(5x+1)+8]+20}-7=225

3 同類項的合併

n 同類項：以加減分開同元等次的項稱為同類 項；同類項可視為同單位，可以加減合併，

不同類項不可以加減合併。

【說明】x+2x=3x 3x+3=3x+3 5y-3x=5y-3x 5x²-5x=5x²-5x 4x-2x=2x

(2x+3)+(3x-1)=(2x+3x)+(3-1)=5x-2 (5x+3)-(3x+1)=(5x-3x)+(3-1)=2x-2 (5x-3)-(3x-1)=(5x-3x)+(-3-(-1))=2x-2

範 例 講 解

Ex4.求下列各式的解:

(1).9 x -

3 x=-10

(2).x-3－ =1 x

Hw4.求下列各式的解:

(1).2x - 3x +

4x =1 (2).x－ -3 x＋ =1 6

4

(3). 4 1 3 ＋ =x

3 8 12 － x (4).31 (9x-6)-

1 (4x-2)=2 2 (5).x=1+

4x - 8x +

16x (6).23 x-

52 =2(x+1) (7).51 {

4 1〔

31 (

1 x-2)-3〕-4}=-1 2

(3).3－7x 5 =

1－4x 3 -1 (4).1 (6x-4)+3

1 (8x-6)=4 32 (5).x=1+x

2 +x 4 +x

8 + x 16 (6).32 x+1=

54 x-12 (7).51 {

4 1〔

31 (

1 x-1)-2〕-3}=4 2 Ex5.求下列各式的解:

(1). 0.6x-2=0.4x+1 (2).2(x-0.8)-4=2.4x-1.6 (3).52 x+0.05=0.15x+0.2 (4).0.4=

3 . 0

27 . 0 +

09 . 0

27 . 0 x 9 . 0 ＋

Hw5.求下列各式的解:

(1).-0.4x-1.2=-0.3x+2.4, (2).1.2(2x-1)=2.7x+0.3 (3).2

3 x-0.5=-1.2x+2 (4).1.5=

3 . 0

42 . 0 -

7 . 0

14 . 0 x 21 . 0 －

Ex6.王冠解方程式 31 x＝

21 x－2 的計算過程中，

哪一個步驟開始發生錯誤？(A)步驟一(B)步 驟二(C)步驟三(D)步驟四。

步驟一：3 1x－

2

1x＝－2 步驟二：2x－3x＝－2 步驟三：－x＝－2 步驟四：x＝2

Hw6.阿福解方程式 5x＝2x 的計算過程中，哪一 個步驟開始發生錯誤？(A)步驟一(B)步驟二 (C)步驟三(D)都沒有。

步驟一：5x÷x＝2x÷x 步驟二：5＝2

步驟三：x＝無解

Ex7.

(1).5x-2=8 與-3x-m=8 有相同的解，則 m=?

(2).x=-3是2x-2a=ax-9的解，求a=?

Hw7.

(1).方程式 x-4=2(x-1)與 4(x-3)+2(x-1)=k+x 有相同的解，則k＝？

(2).x=5 是 3x-(a-1)=2a(x-1)-2 的解，求 a=?

Ex8.某數的 5 倍加 3 等於某數的 7 倍減 14，則 某數是多少？

Hw8.已知兩個數的和為 40，且這兩個數的差為 22，求這兩個數。。

Ex9.王冠將一段繩子折成相等四折，每一段的長 度比折成相等五折的每一段的長度多出

2 1 公1 尺，則此繩長為多少公尺？

Hw8.宗宗有若干元，先用去原有錢的三分之一買 兩本書，再用剩下的錢的二分之一買 3 枝筆 後，結果剩下 200 元，問宗宗原有多少 錢？

Ex10.將相鄰兩數字相加，答案填入下方的空格 內：

Hw9.承左題:

5

例 則

求： x＝？○^１、○^２各為多少？

Ex10.已知臺灣汽車輪胎倉庫中有一種輪胎可以 裝在六輪貨車上，也可以裝在四輪汽車上。

今天用這種輪胎 160 個恰好裝配了 32 輛車 子，請問這些車子中，六輪貨車有幾輛？四 輪汽車有幾輛？

Hw10.順億、政廷、毓軒三人共有 1000 元，順 億比政廷多160 元，政廷比毓軒少 180 元，則毓軒有幾元？