拋物線的斜角坐標方程式和拋物線弓形面積
張海潮
本文從拋物線的 (準線—焦點) 定義出發, 以相似形比例關係導出拋物線滿足的各類方程 式 (第一節), 並據以得到拋物線比例性質 (第二節)。 此一比例性質是阿基米德以槓桿法和窮盡 法求拋物線弓形面積的基礎, 我們將在三、 四兩節重現阿基米德的論述。
一 . 拋物線滿足的方程式
先複習拋物線的標準式。 如圖一所示, 拋物線的焦點 F , 準線 L 和過拋物線頂點 V 的切 線 M, CV F 是拋物線的對稱軸, V F = V C。
圖一
在 L 上任取一點 Y , 連 Y F 交 M 於 T , 過 Y 作直線 N 平行於 V F , 並交 M 於 W ; 過 T 作 Y F 的中垂線交 N 於 Q , 則 Q 在以 F 為焦點, L 為準線的拋物線上 (註一)。
在直角三角形 Y QT 中, 有 Y W.W Q = W T2, 又因 W T = 12CY , 所以
4Y W.W Q = CY2 (1)
24
如果將 V F 看成 x 軸, V W 看成 y 軸, 則 (1) 式相當於
y2 = 4ax (2)
其中 a = Y W 是拋物線的焦距, CY = y, W Q = x。
接下來固定拋物線上一點 P 及過 P 點的切線 l(見註一)。 如圖二所示, 切線 l 交 N 於 S, 交 M 於 U;N′ 與 V F 平行並交 M 於 P′, 交 L 於 R。
CV = a CY = y W Q = x RC = r RY = r − y
∠SP R = θ
圖二 因為
△SW U ∼ △P P′U, SW : P′P = W U : P′U (3) 令 RC = r, 則 RY = r − y 並由 (1)、(2) 知 P′P = r2/4a。
在圖二中,
SW = SQ − W Q = SQ − x, W U = 1
2RC − CY = r
2− y, P′U = 1
2RC = r 2. 將相關的量代入 (3), 得到
SQ − x : r2/4a = r
2− y : r/2 或 SQ − x = r 2a(r
2 − y)
再將 x 以 y2/4a 代入, 得 SQ = r2
4a − ry 2a + y2
4a = 1
4a(r − y)2 = 1 4aRY2 由於 l 和拋物線的對稱軸夾定角 θ , 所以
SQ : P S2 = 1 4a
RY P S
2
= 1 4asin2θ
若以 l 與 N′ 兩直線作為夾角 θ 的斜角坐標軸, 原點定為 P , 則 Q 點滿足
sin2θ.P S2 = 4a(SQ) (4) 此即拋物線在斜角坐標 l − N′ 中滿足的方程式。 易見當 P 是頂點 V 時, θ = 90◦, 此時 (4) 式回歸到 (1)、(2) 的標準式。 總結以上的討論如下 (圖三):
圖三
固定拋物線上一點 P , l 是拋物線過 P 點的切線, S 是 l 上任一點, Q 在拋物線上並且 SQ 與拋物線的對稱軸平行, 則 SQ : SP2 是一個定值, 與 S 無關。
二 . 拋物線比例性質
如圖四所示, P T 是拋物線過 P 點的切線, SK、T J 均與拋物線的對稱軸平行, Q 在拋 物線上, 延長 P Q 交 T J 於 R。
圖 四 由上一節的結果,
(P S = m, SQ = p, P T = a, T J = n, T R = q)m2 p = a2
n 或 m p = a2
mn 因為 SK//T J, 所以 a
q = m p = a2
mn, 得到 n q = a
m, 從而 SK SQ = n
q, a
m = P J P K 或 SK
QK = P J
KJ (5)
(5) 式稱為拋物線比例性質 (註二)
三 . 以槓桿法求弓形面積
續圖四, 假設 P R 是 △P T J 底邊 T J 的中線, P R 交拋物線於 Q, SQ = QK, LI 平 行對稱軸, 並將 P R 延長一倍到 U 點:
圖 五
由式 (5) 拋物線比例性質得 LI : MI = P J : IJ = P R : RN = RU : RN 或
MI.RU = LI.RN (6)
當 I 沿 JP 從 J 變化到 P 時, MI 掃過拋物線弓形 P QJ, 此時 LNI 以 RN 為力 矩, 從 T J 掃過 △P T J。 以 R 為支點, (6) 式的左邊因此可以看成弓形 P QJ 掛在 U 點的力 矩, (6) 式的右邊可以看成 △P T J 掛在 △P T J 重心位置的力矩, 因此 (弓形 P QJ).UR = (△P T J).13P R 。 由於 UR = P R, 所以 3(弓形 P QJ) = △P T J 又因 △P T J = 4△P QJ, 所以 (註三) 弓形 P QJ = 43△P QJ 注意到 P K = KJ, SQ = QK。
四 . 以窮盡法求弓形面積
如圖六所示, P J 是拋物線的弦, CD 切拋物線於 Q 並且滿足 CD//P J, CP//QK//DJ // 對稱軸。 以 Q 為原點, CD, QK 為斜角坐標軸, 拋物線滿足 CP : QC2 = DJ : QD2; 又因為 CP = DJ, 所以 QC = QD, 亦即 K 是 P J 的中點。 再取 QC 的中點 E, 作 EG//CP , 交拋物線於 F 。 因為 EF : QE2 = CP : QC2, 所以 CP = 4EF 。 以下圖表示 (圖七)
圖 六 圖 七
連 P Q 交 EG 於 H, 則 EH = 12P C, 但因 EF = 14P C, 因此有 EF = F H = 12HG, 所 以 △P F Q = 2△P F H = △P HG = 14△P QK 或 (圖八, F, F′ 的取法如上) 斜線部分面 積 = 14△P QJ。
圖 八
以同樣的方法繼續填充拋物線弓形 P QJ, 因此而得一無窮等比級數 (△P QJ)(1 + 14 +161 +
· · ·) = 43△P QJ, 此即阿基米德的窮盡法, 結論與上一節的槓桿法相同: 拋物線弓形 P QJ 面 積 = 43△P QJ(註四)。
註一: T Q 是 Y F 的中垂線, 所以 QY = QF , 因此 Q 在拋物線上。 至於 T Q, 一方面 可以看成是 (當 Y 變動時) 拋物線的包絡線; 另一方面也可以證明 T Q 直線與拋物線只在 Q 點相交, 這表示 T Q 是拋物線在 Q 點的切線。 請參考數學傳播 30卷第一期, 45頁張海潮等人 所著 《圓錐曲線的光學性質》。
註二: C. H. Edwards 在所著 《The Historical Development of the Calculus》 第 37 頁提到此一拋物線比例性質和相關延伸時, 有下列的評論: Archimedes quotes these facts without proof, referring to earlier treatises on the conics by Euclid and Aristaeus.
(阿基米德引用歐幾里得和阿里斯泰奧斯早期有關錐線的結果, 並未給出證明。) 此一比例性質 並見 S. Stein 寫的 《阿基米德幹了什麼好事!》 第 7 章—譯者陳可崗, 2004 年, 天下遠見出版。
Stein 在該書的附錄 A 中提出了一個基於仿射變換的證明。
註三: 阿基米德以拋物線比例性質為基礎, 從力矩的觀點討論拋物線弓形面積, 見曹亮吉 著 《微積分》2.3頁, 歐亞出版社, 1990年。 並見 《阿基米德幹了什麼好事!》 第 7 章。
註四: 同註三。
—本文作者為台大數學系退休教授—