1 為準線的拋物線的方程式為何？ (A) y2 = 4x (B) y2

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.02. 27 班級

範

圍 1-2 拋物線

座號

姓 名 一、選擇題( 每題 10 分)

1. 以F(0，1)為焦點，以L：y = − 1 為準線的拋物線的方程式為何？

(A) y² = 4x (B) y² = − 4x (C) x² = 4y (D) x² = − 4y (E) y = x²

【解答】(C)

【詳解】

焦點F(0，1)，準線L：y = − 1 ⇒ 對稱軸方程式為x = 0，開口向上 4 | c | = 4 × 1 = 4，頂點(0，0)，由標準式得拋物線方程式為x² = 4y

2. (複選)已知一拋物線之焦點為(1，1)，準線為 y + 3 = 0，則下列何者正確？

(A)其頂點為( − 1，1) (B)其焦距為 2 (C)其對稱軸為 x = − 1 (D)若此拋物線與 x 軸交於 A，B 兩點，則 AB= 4 2

(E)過 P(1，− 1)且與其相切之直線方程式為 x = 1

【解答】(B)(D)

【詳解】

已知焦點F(1，1)，準線L1：y + 3 = 0，則拋物線如右圖，對稱軸 L2 ⊥ L1且過F(1，1)，對稱軸L2：x − 1 = 0，L1，L2之交點C(1，− 3)

∴ 頂點V為CF之中點(1，− 1)，焦距 | c | =VF = 2，過V(1，− 1) 且與拋物線相切之直線為y = − 1

拋物線Γ：(x − 1)² = 8(y + 1)……c，

令y = 0 代入c ⇒ (x − 1)² = 8，得x = 1 ± 2 2 即A(1 + 2 2，0)，B(1 − 2 2，0) ⇒ AB = 4 2

3. (複選)拋物線y² − 4x − 2y − 7 = 0，下列何者正確？

(A)開口向上 (B)頂點(−2，1) (C)正焦弦長 = 4 (D)焦點F(2，1) (E)準線ρ：x + 3 = 0

【解答】(B)(C)(E)

【詳解】

y² − 4x − 2y − 7 = 0 ⇒ (y − 1)² = 4(x + 2)

∴ 此拋物線開口向右，頂點V(− 2，1)，c = 1

∴ 焦點F(− 1，1)，準線ρ：x = − 3，正焦弦長 = 4c = 4

二、填充題( 每題 10 分)

1. 拋物線(x − 3)² = 8(y + 1)的頂點坐標為 ，焦點坐標為 ，準線方程式為

。

【解答】(3，− 1)；(3，1)；y = − 3

【詳解】

3

2. 拋物線x² − 2x + 4y − 5 = 0 的對稱軸方程式為 ，頂點坐標為 ，焦點坐標 為 ，準線方程式為 ，正焦弦長 = 。

【解答】x − 1 = 0；(1，

2

3)；(1，

2

1)；y = 2 5；4

【詳解】

x² − 2x + 4y − 5 = 0 ⇒ (x − 1)² = − 4y + 6 ⇒ (x − 1)² = 4 ×(− 1)(y− 2

3)，開口向下 (1)軸為x − 1 = 0 (2)頂點(1，

2

3) (3)c = − 1，焦點(1，

23 − 1) = (1，

2 1) (4)準線y =

23 − ( − 1) ⇒ y = 2

5 (5)正焦弦長 = −4 = 4

3. 已知一拋物線之準線方程式為x − y − 3 = 0，焦點坐標為( − 2，3)，則頂點坐標為 ， 若點(t，− 1)在此拋物線上，則t = 。

【解答】(0，1)， − 6

【詳解】

拋物線Γ 準線方程式 L：x − y − 3 = 0，焦點 A( − 2，3)

∴ 對稱軸方程式L′：x + y = 1，與 L 交點為 B(2，− 1)，

AB 中點(0，1)為Γ 頂點

設點P(t， − 1)，根據拋物線定義 ( , )d P L =PA⇒

2 3 ) 1 (− −

−

t = (t+2)² +(−1−3)² t = − 6

⇒

4. 根據下列條件，求出拋物線之方程式。

(1)焦點(2，1)，準線平行於y軸，正焦弦長為 8： 。

(2)頂點(0，0)，焦點在直線x − y = 2 上，對稱軸為y軸： 。

【解答】(1) (y − 1)² = 8x或(y − 1)² = − 8(x − 4) (2) x² = − 8 y

【詳解】

(1)焦點F(2，1)，準線平行於y軸⇒軸的方程式為y = 1(即垂直y軸) 4 | c | = 8 4c = ± 8 c = ± 2

c c = 2 時，拋物線開口向右，頂點在焦點F(2，1)的左方 頂點坐標為(0，1)，拋物線方程式為(y − 1)

⇒ ⇒

2 = 8x

d c = − 2 時，拋物線開口向左，頂點在焦點F (2，1)的右方，

頂點坐標為(4，1)，拋物線方程式為(y − 1)² = − 8(x − 4) ∴ 拋物線方程式為(y − 1)² = 8x或(y − 1)² = − 8(x − 4)

(2)焦點在直線x − y = 2 上，也在對稱軸x = 0 上，∴焦點坐標為F(0，− 2) 又頂點A(0，0)，∴ | c | = AF = 2，又拋物線開口向下⇒ c = − 2，

故拋物線方程式為x² = − 8 y

【解答】x + 2y = − 2，4 5

【詳解】

頂點A(1，1)，焦點 F(2，3)，則對稱軸為過 A，F 之直線方程式：

1 1

−

− x y =

1 2

1 3

−

− ⇒ 2x − y = 1 設準線方程式為x + 2y = k，設準線與對稱軸交於 B(a，b)，則 A(1，1)為 F(2，3)與 B(a，b)之 中點，∴(a，b) = (0，− 1) 0 − 2 = k k = − 2

∴ 準線方程式：x + 2y = − 2，正焦弦長 = 4

⇒ ⇒

c = 4 AF = 4 1² +2² = 4 5

6. 一拋物線的頂點(4，− 1)，焦點(4，2)，則拋物線之準線方程式為 ，正焦弦長 =

，拋物線方程式為 。

【解答】y = − 4，12，(x − 4)² = 12(y + 1)

【詳解】

頂點V(4，− 1)，焦點F(4，2)，c =VF= 3，

準線y = − 1 − 3 ⇒ y = − 4，正焦弦長 = 4 | c | = 12，軸為x − 4 = 0，

∴拋物線方程式為(x − 4)² = 12(y + 1)

7. 拋物線 (x−2)² +(y−2)² =

2 +4 x+ y

的對稱軸方程式為 ，頂點坐標為

，正焦弦長為 。

【解答】x − y = 0，(0，0)，8 2

【詳解】

拋物線 (x−2)² +(y−2)² =

2 +4 + y

x ，焦點F(2，2)，準線 L：x + y + 4 = 0

設對稱軸方程式為x − y + k = 0，過焦點 F(2，2) ⇒ 2 − 2 + k = 0 k = 0

∴ 對稱軸方程式為x − y = 0，又 A(− 2，− 2) 則頂點為A 與 F 中點 ∴ 頂點(

⇒

⎩⎨

⎧

=

−

= + +

0 0 4 y x

y

x ⇒

2 2 2+

− ，

2 2 2+

− ) = (0，0)

正焦弦長 = 2 AF =2 (−2−2)² +(−2−2)² = 2 × 4 2= 8 2 8. 過(0，3)，(1，2)，( − 1，6)三點且對稱軸垂直x軸之拋物線的

(1)方程式為 。 (2)準線方程式為 。

【解答】(1) y = x² − 2x + 3 (2) y = 4 7

【詳解】

(1)設y = ax² + bx + c，(0，3)，(1，2)，( − 1，6)三點代入

得 ⇒ ，即y = x

⎪

⎪⎨

⎧

+

−

=

+ +

=

=

c b a

c b a c 2 3

⎪

⎪⎨

⎧

=

−

=

= 2 1

c b a

2 − 2x + 3

4c = 1，c = 4

1 ∴ 準線y = 2 − 4

1 ⇒ y = 4 7

9. 與直線 2x + 3y + 2 = 0 及點(1，− 1)等距離的點的軌跡方程式為 。

【解答】9x² − 12xy + 4y² − 34x + 14y + 22 = 0

【詳解】

13

| 2 3 2 ) | 1 ( ) 1

( − ² + + ² = x+ y+ y

x ⇒平方之 13(x − 1)² + 13(y + 1)² = (2x + 3y + 2)²

⇒ 9x² − 12xy + 4y² − 34x + 14y + 22 = 0

10.探照燈的外殼是拋物線繞它的對稱軸旋轉一周所形成的曲面，如圖所示。

已知燈口處的直徑是 60 公分，燈的深度是 40 公分，則焦距 公分。

【解答】 8 45

【詳解】

建立坐標系，頂點O為原點，則設拋物線方程式為y² = 4cx，過(40，30) 與(40，− 30)⇒ (30)² = 4c(40) ⇒ c =

160 900 =

8

45，即焦距 = 8 45

11.設拋物線Γ 的頂點為(1，4)，準線為 2x + 1 = 0，則Γ 的方程式為

，又拋物線Γ ′與Γ 對稱於y軸，則Γ ′的方程式為 。

【解答】(y − 4)² = 6(x − 1)；(y − 4)² = − 6(x + 1)

【詳解】

以(1，4)為頂點，L：2x + 1 = 0 為準線的拋物線Γ，如圖，對稱軸與準線的 交點H( 2

−1，4)，所以焦點(1 + 2

3，4) = ( 2

5，4)，c =

25 −1 = 2 3， 故拋物線方程式為(y − 4)² = 4 ×

2

3(x − 1)，即Γ：(y − 4)² = 6(x − 1)，

拋物線Γ ′與Γ 對稱於y軸，則Γ ′的頂點(− 1，4)，開口朝左，

故Γ ′的方程式為(y − 4)² = − 6(x + 1)

12.設 5[(x + 1)² + (y − 2)²] = (x + 2y + 2)²之軌跡為Γ，則

(1) Γ 之對稱軸方程式為 。 (2) Γ 之正焦弦長為 。(3) Γ 之頂點為 。

【解答】(1) 2x − y + 4 = 0 (2) 2 5 (3) (− 2，0)

【詳解】

5[(x + 1)² + (y − 2)²] = (x + 2y + 2)² ⇒ (x+1)² +(y−2)² =

5

| 2 2

|x+ y+

∴ 焦點F(− 1，2)，準線ρ：x + 2y + 2 = 0

(1)對稱軸為過(− 1，2)且斜率為 2 的直線 ∴ 2(x + 1) − (y − 2) = 0 2x − y + 4 = 0 (2)正焦弦長 = 2．d(F，ρ) = 2．

⇒

5

| 2 4 1

|− + + = 2 5

(3) ⇒ 頂點V (− 2，0)

⎩⎨

⎧

= +

−

= + +

0 4 2

0 2 2

y x

y x

13.拋物線y = x² − (k − 2)x − 2k與x軸交於A，B兩點，且 AB = 6，求k值。

【解答】− 8 或 4

【詳解】

設A(α，0)，B(β，0)，則

⇒ x

⎩⎨

⎧

−

−

−

=

=

k x k x y y

2 ) 2 ( 0

2

2 − (k − 2)x − 2k = 0 之兩根α，β ⇒ α + β = k − 2，αβ = − 2k 且AB= | α − β | = 6，∴(α − β)² = (α + β)² − 4αβ ⇒ 36 = (k − 2)² + 8k

⇒ k² + 4k − 32 = 0 ⇒ (k + 8)(k − 4) = 0 ⇒ k = 4 或 − 8

14.給兩個點A(1，− 5)，B(3，− 3)，且點P是拋物線y = x²上的任一點，試求△ABP面積的最小值 ___________，並寫出對應的P點坐標__________。

【解答】△ABP 面積的最小值 = 4 23，P(

2 1，

4 1)

【詳解】

設P(t，t²)，且A(1， − 5)，B(3， − 3)，則 AP^_____\ = (t − 1，t² + 5)， = (2，2)，

則△ABP =

AB^\

_____

2 1|

2 2

5 1 ² +

− t

t | = 2( 1) 2( 5) 2

1 ₂

+

−

− t

t =

4 ) 23 2 ( 1

6 ²

2 −t+ = t− +

t 當t =2

1時，△ABP面積有最小值 = 4

23，此時P(

2 1 ，

4 1 )

15.設圓C與圓x² + y² − 4x + 3 = 0，及直線L：x − 5 = 0 相切，則動圓C的圓心軌跡方程式為何？

【解答】y² = − 8(x − 4)，y² = − 4(x −3)

【詳解】

x² + y² − 4x + 3 = 0 ⇒ (x − 2)² + y² = 1，圓心C1(2，0)，半徑r = 1 令C之圓心P(x，y)，則

(1) C與C₁外切時，PC₁= r + 1 = d(P，L) + 1

⇒ P的軌跡是以C1(2，0)焦點、x= +5 1為準線的拋物線 ⇒ 頂點 (4, 0)，c= − 2

⇒ (y−0)² = × − × − )4 ( 2) (x 4 ⇒ y² = − 8(x − 4)

(2) C與C1內切時，PC₁= r − 1 = d(P，L) − 1

⇒ P的軌跡是以C1(2，0)焦點、x= − 為準線的拋物線 5 1 ⇒ 頂點 (3, 0)，c= −1

x )

⇒ (y−0)² = × − × −4 ( 1) ( 3 ⇒ y² = − 4(x −3)