數以載情一 一
古文詩詞意境的一些數學描繪
顧宇成
筆者平日以數學統計模型為業, 對舞文弄墨亦頗多喜好, 閒暇之餘嘗試以一般數學統計工 具來刻畫古代文豪們詩詞裡的意境, 在創作思考的過程中頗感妙趣橫生, 故撰此文冀與讀者分 享。 本文提供四幅以月亮為主題的作品, 均由當前頗為普及的 R 語言創作, 原始程式碼也開放 予有興趣的讀者下載。
一、 今宵酒醒何處? 楊柳岸, 曉風殘月。 — 柳永 [雨霖鈴]
第一幀作品 (圖1) 使用簡單的二次函數完成, 主角 「楊柳」 是以多個開口向下的拋物線所描繪, 透過調整不同的頂點、 焦距與函數的定義域, 即可構造型態各異的柳條。 由於此句所描述的時間 是在酒醒後的拂曉時刻, 因此天空與水色為淺藍至淡紫的漸層色調。
圖1: 拋物線的應用創作 — 今宵酒醒何處? 楊柳岸, 曉風殘月。
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二、 月明星稀, 烏鵲南飛, 繞樹三匝, 何枝可依? — 曹操 [短歌行]
根據 [三國演義] 描述, 曹操的 [短歌行] 作於東漢建安十三年冬天的長江岸邊, 因此作品圖 2 的 刻畫中, 安排了枯樹與綿延江水的景緻, 兩者皆為碎形 (fractals) 之應用。 碎形之概念已於 [數 學傳播] 期刊中介紹多次 (例如林琦焜[3]), 其最重要的特徵在於自相似性(self-similarity), 亦 即任意尺度上皆呈現相似的結構。 本文不再贅述其數學之表述, 而是透過創作應用的機會, 介紹 幾種碎形產生模式。
圖2: 兩種碎形產生模式的應用創作 — 月明星稀, 烏鵲南飛, 繞樹三匝, 何枝可依?
首先, 「繞樹三匝」 中的枯樹為一經典的二岔碎形樹, 其生成模式稱為 Lindenmayer 系統 (Prusinkiewicz and Lindenmayer [12], 簡稱為 L-系統)。 一個 L-系統, 假設為 G, 是由三 個參數所定義, 可表為
G = (V, ω, P ),
其中 V 為符號的集合, ω 為初始狀態, P 為生成規則。 給定初始狀態後, 將生成規則套用在符 號集合上進行迭代, 則可產生相應的碎形圖像。 以圖 3 為例, 此二岔碎形樹系統中, V = 線段;
ω =一根樹幹並有著夾角為 35◦ 的枝幹; P = 在枝幹末端向左右伸出夾角為 35◦ 的線段成為 新枝幹, 且枝幹長度依照 0.85 之比例遞減, 依此規則 P 迭代四次 (n = 4) 便顯現出枯樹的輪 廓。 我們可進一步可觀察到每根枝幹與開岔的枝條都是相似的, 此為自相似的意涵。 若我們在產 生樹枝的迭代中加入一些隨機的干擾, 使樹枝在分岔時略向左或右傾, 即可得到如圖 2 作品裡 不對稱的樹枝體態。
n = 1 n = 2
n = 3 n = 4
圖3: L-系統構造的二岔碎形樹。
圖 2 中的江水是使用 logistic 映射 (logistic map) 來刻畫, 其定義為一迭代的映射 Xt+1 = rXt(1− Xt),最初用以描述人口成長的動態 (見田光復 [1] 與念家興 [4]), 式中的 Xt∈ [0, 1], 代表 t 期時系統的人口數與最大可能人口數之比例, 由成長率參數 r 與初始值 X0 所控制。 圖 4(a)展示了在不同成長率 r 的設定下, 給定 X0 = 0.5, 迭代 50 期後 Xt 的軌跡。 我們可見當 r = 0.5, Xt 很快便趨於 0; 事實上若 r < 1, 則無論初始值為何, Xt 皆會凋亡收斂至 0, 此為 一個頗為直觀的結果。 當 r 分別為 1.5 與 2.5 時, Xt 均收斂到一固定值; 然而當 r = 3.1, Xt 的軌跡不再收斂, 而是呈現周期為二的震盪; 到了 r = 3.47 時, Xt軌跡變為四周期震盪, 產生 周期倍分的現象。 以上顯示隨著 r 的不同, Xt 可能收斂於一固定點, 或在兩個、 四個甚至更多 值之間震盪。 當 t 足夠大時, 這些 Xt 軌跡所在的值, 稱為此系統的 「吸子」 (attractor), 其可 能為單一值或是多值的集合。 以圖 4(a) 為例, r = 1.5 時的吸子為固定點 0.33, 而 r = 3.1 時 吸子則有兩個值, 分別為 0.56 與 0.76。
前述吸子周期的倍分現象, 可透過圖 4(b) 所示的分岔圖 (bifurcation diagram) 來觀察, 其中橫軸為 r, 縱軸為 t 大到 501 至 1000 時的 Xt值(可視為吸子的值), 標記為 XT;注意此處 省略了 r < 1、 吸子為零值的區段。 當 1 < r ≤ 3 時, Xt的軌跡最後皆被吸引至固定點 r− 1
r ,
因此吸子與 r 呈現一曲線關係 (我們可驗證之前 r = 1.5 的例子, 吸子值為 0.33 = 1.5− 1 1.5 )。 當 r > 3, 吸子周期為二, 如之前 r = 3.1 時的設定所展示; 約在 r = 3.45 時震盪週期進一步 增加為四, 而後持續倍分至八、 十六 . . ., 大約 3.57 以後, 吸子的周期趨近無窮大, 稱為奇異吸 子 (strange attactor), 此時 Xt 不再有循環現象, 系統進入了 「混沌」 (chaotic) 狀態, 兩初 始值間的差異即便再微小, Xt 也將產生明顯不同的迭代結果。
有趣的是, 在混沌出現後, 某些特定的 r 值仍會使得系統回到有限周期的非混沌狀態, 這 些區間稱為 「穩定島」 (islands of stability)。 圖 4(c) 展示了在 r = 3.83 附近的穩定島結 構, 我們可從中觀察到類似圖 4(b) 展示的周期倍分形態, 這個自相似的特徵顯示奇異吸子擁有 碎形結構, 也因此成為一種碎形創作的模式。 關於 logistic 映射的細節可參考 Boeing [10] 與 Addison [8], 而利用奇異吸子產生碎形的方法可進一步參見 Sprott [13], 該文獻提供了許多 精彩的範例。 圖 2 作品中的河流景象即是截取分岔圖中 r ∈ [3.57, 4] 的區段, 透過旋轉矩陣做 順時針旋轉, 即得到如圖 4(d) 所示, 由遠而近開展、 如織絹般的視覺感, 系統的穩定島更巧妙 地形象出了流水裡間或出現的島洲與不規則的激流光影。
圖4: (a)Logistic 映射中, 給定X0 = 0.5, Xt 在不同 r 下的迭代結果; (b)Logistic映射的分 岔圖; (c) 穩定島與奇異吸子的碎形結構; (d) 分岔圖的旋轉與江水生成。
最後, 月亮旁的雲朵是多變量統計分析 (multivariate statistical analysis) 的經典圖形
—橢圓狀的雙變量常態 (bivariate normal) 隨機樣本散布圖。 當 (Y1, Y2)兩常態變量之間零 相關時, 此分佈的隨機樣本即呈現橫橢圓般的雲朵, 長寬比例可透過 Y1 與 Y2 自身的標準差進 行調整。
三、 三五之夜, 明月半牆, 桂影斑駁, 風移影動, 珊珊可愛。 — 歸有光 [項脊軒志]
圖 5 作品刻畫的對象是高中課文 [項脊軒志] 內的段落, 圖中桂樹枝幹亦為 L-系統產生的二岔 碎形樹, 將桂樹的座標點進行線性拉伸與平移, 即可得牆面上斑駁的桂影。
圖5: 圖形拉伸與平移 — 三五之夜, 明月半牆, 桂影斑駁, 風移影動, 珊珊可愛。
四、 料得年年腸斷處, 明月夜, 短松岡。 — 蘇軾 [江城子]
最後一幀作品圖 6, 描繪的是蘇軾 [江城子] 的末句, 畫面構成為明月與山崗上的短松相對望。
此圖中的短松葉為筆者自行設計之碎形, 其生成是透過一系列的收縮映射 (contraction map- ping,見蔡宜諴 [5]), 此種模式稱為迭代函數系 (iterated function systems, 見謝南瑞 [2] 與 La Torre [11]),具體例子如圖7。 首先我們給定如圖7(a) 的塔狀形體作為初始圖像, 接著將此 塔形切割為如圖7(a) 中的 E 區塊元素 (讀者可判斷這樣的 E 共有18個); 圖7(b) 是 E 區塊 的放大, 如果把 E 均切成十五格, 略去第 1、 2、 4、 5、 6、 10 格, 則我們就得到了與圖 7(a) 一
模一樣的塔形, 這個過程複製並壓縮了原本形體。 將每個區塊 E 都進行相同操作, 就能得到圖 7(c) 的模樣, 我們可以注意到其中每一個堆疊的小塔都是原本圖 7(a) 的壓縮複製。 將同樣的 過程重複一次, 亦即把小塔再切割作 18 個區塊元素進行壓縮, 即成圖 7(d) 的短松形象。
圖6: 迭代函數系的應用創作 — 料得年年腸斷處, 明月夜, 短松岡。
(a)
E
(b)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
(c) (d)
圖7: 短松葉碎形的生成迭代。
數學發展之目的之一, 乃描述世間現象與刻畫萬物規律; 挖掘數學式與周遭事物的連結, 既 饒富興味, 也可領略生硬方程背後的絕妙智慧, 而筆者相信圖像化是一個絕佳的習作與實踐。 許 多教育研究已闡明圖像對數學教育的重要 (例如 Bautista et al. [9]), 而數學界也早已出現結 合數學與圖像來引起學習興趣的專題, 例如陳明璋等 [7] 將數學模式應用於繪畫創作, 甚至可 產生國畫山水。 本文藉由分享古文刻畫的創作呼應此觀點, 盼立於蕭文強 [6] 的 「數學教育與滑 鼠(Mathematics and the Mouse)」 視角, 為提升初學數學者們的興趣作貢獻。
原始檔網址提供如後, 供有興趣的讀者們參考:
[雨霖鈴] https://jimyku.weebly.com/uploads/1/2/5/6/125622610/River_Town.R [短歌行] https://jimyku.weebly.com/uploads/1/2/5/6/125622610/Short_Song_Ballad.
R
[項脊軒志] https://jimyku.weebly.com/uploads/1/2/5/6/125622610/Xiang_Ji_Studio.
R (亂數產生的結果可能使圖形不盡滿意, 可重新執行幾次)
[江城子] https://jimyku.weebly.com/uploads/1/2/5/6/125622610/Tinkling_Heavy_Rain.
R
參考資料
1. 田光復。 迭代、 動態系統與混沌。 數學傳播, 15(3), 11-15, 1991。
2. 謝南瑞。 多重碎形 (multifractals)。 數學傳播季刊, 25(1), 27-32, 2001。
3. 林琦焜。 從 Cantor 集到碎形。 數學傳播季刊, 25(1), 3-14, 2001。
4. 念家興。 碎形與動態系統。 數學傳播季刊, 25(1), 15=26, 2001。
5. 蔡宜諴。 定線複製法之特性及其運用之研究。 國立交通大學應用數學系所碩士論文, 2005。
6. 蕭文強。 數學可以怎樣教得更好? 數學傳播, 40(1), 81-86, 2016。
7. 陳明璋等。 Ama (activate mind and attention) 阿嬤的家, 2019. URL http://ama.nctu.edu.tw/.
Accessed: 2019-05-28.
8. Paul S. Addison, Fractals and chaos: an illustrated course, CRC Press, 1997.
9. A. Bautista, M. Carnadas, Brizuela B., and A. Schliemann, Examining how teachers use graphs to teach mathematics during a professional development program, Journal of Education and Training Studies, 3(2), 91-106, 2015.
10. Geoff Boeing, Visual analysis of nonlinear dynamical systems: chaos, fractals, self- similarity and the limits of prediction, Systems, 4(4):37, 2016.
11. Davide La Torre, Approximating by iterated function systems and iterated multifunc- tion systems, Convegozo su Metodi Matematicie Stastici per le Assicuraziono e la Fi- nanza, 12, 2006.
12. Przemyslaw Prusinkiewicz and Aristid Lindenmayer, The Algorithmic Beauty of Plants, Springer Science & Business Media, 2012.
13. Julien C. Sprott, Strange attractors: Creating patterns in chaos, volume 9. M & T Books, 1993.
—本文作者任職加拿大皇家銀行資本市場部—
