解題漫談

解題漫談

單

^土

尊 _• 王子俠

學數學, 必須解題。

解題, 不僅鞏固、 復習所學的知識, 而且 可以培養能力: 運用所學知識解決問題的能 力。 學數學而不解題, 如入寶山空手而返。

問題千變萬化, 可以分為兩大類, 一類是 有固定套路遵循的, 另一類沒有固定的套路, 因而需要較多的創造性。 後一類問題, 在各種 數學競賽中經常出現, 我們著重談談這類問 題。

這類問題沒有固定的解法, 需要自己去 探索。 探索中有兩點最值得注意:

一、 從簡單、 具體、 特殊的情況入手, 通 過對它們的研究, 熟悉問題, 發現規律。

二、 大膽猜測。 “先猜後證, 這是大多數 的發現之道”。

請看一個例題:

已知銳角三角形 ABC, 點A

₁

, A

₂

取在 邊 BC 上 (A

₂

在A

₁

與 C 之間), B

₁

, B

₂

在 邊 AC 上 (B

₂

在B

₁

與 A 之間), C

₁

, C

₂

在邊 AB 上 (C

₂

在C

₁

與 B 之間), 使得

∠

AA

₁

A

₂

=

∠

AA

₂

A

₁

=

∠

BB

₁

B

₂

=

∠

BB

₂

B

₁

=

∠

CC

₁

C

₂

=

∠

CC

₂

C

₁

.(1) 直線AA

₁

, BB

₁

, CC

₁

圍成一個三角形, 直 線AA

₂

, BB

₂

, CC

₂

圍成另一個三角形。 證明

這兩個三角形的六個頂點X, Y , Z, U, V , W 共圓。

要證明六點共圓, 至少有兩個辦法。 一 是利用四點共圓的定理證明四點共圓, 再證 明其它點也在這個圓上。 另一種辦法是證明 有一個點到這六個點的距離均相等。 這兩個 辦法都行得通。 我們採用後一種, 因為它不但 能證明六點共圓, 而且還給出了圓心。

問題是這個圓心在哪裡?

這個圓心多半是△ABC 的一個特殊 點, 可能是外心, 內心, 重心或垂心, 當然也可 能不是這些點, 如果畫一個比較準確的圖 (圖 1), 或許你會發現這個圓心應當是△ABC的 垂心。 怎樣畫圖, 我們留到後面再說。 即使 圖不容易畫得準確, 也可以通過簡單的特例 發現圓心是垂心 H。 為此, 畫一個瘦長的等 腰三角形 ABC(我們不要正三角形, 因為正 三角形的外心, 內心, 重心, 垂心是同一點), AB = BC, 而且就取 A

₁

= B, A

₂

= C(圖 2), 這時為使 (1) 成立, B

₁

應與C重合, C

₂

應 與B重合, 而且

∠

BB

₂

C =

∠

CC

₁

B =

∠

ABC =

∠

ACB (2)

59

60

數學傳播

₂₂

卷

₁

期 民

₈₇

年

₃

月

...

... ...

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... .

...

... ... ...

...

A ₁ A ₂ C ₁

C ₂

B ₂

B ₁ Y

V U

H X

W Z A

B C

圖1

...

... ..

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... ...

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A

B (= A ₁ = C ₂ ) D C (= A ₂ = B ₁ )

C ₁ B ₂

E H

圖2

因為 U, V , W , X, Y , Z 分別與 B, C, C

₁

, B

₂

, B, C 重合, 所以實際上只要證 明 B, C, B

₂

, C

₁

四點共圓, 這由 (2) 立即 得出。

我們看一看圓心在哪裡? 如果圖足夠 瘦長, 那麼這圓心顯然不是 △ABC 的重心 與外心, 也不是內心 (

∠

CBA 的平分線在

∠

B

₂

BA 內)。 不難證明它是 △ABC 的垂 心 H: 因為 △ABC 高 AD 是 BC 的垂 直平分線, 另一條高 BE 正好是等腰三角形 BCB

₂

的底邊 CB

₂

的垂直平分線, 所以 H

就是 △BCB

2

的外心。 同理也是 △BCC

1

的外心, 即 H 為 B, C

₁

B

₂

, C

₁

四點 (U, V , W , X, Y , Z 六點) 所在圓的圓心。

即然在特殊情況中, H 是所求的圓心, 那麼在一般情況中, 也應如此, 即H 到 U, V, W, X, Y, Z 這六點的距離應當相等。 這一 大膽的假設 (猜想), 需要小心的求證。

為此, 我們應當算一下 HX 的長。

回到圖 1。 記

_∠

AA

₁

A

₂

為 α。 因為 AH⊥BC, 所以,

∠

A

₂

AH = 90

^◦

− α。 同 理,

_∠

B

₂

BH = 90

^◦

− α。 於是 H, X, A, B 四點共圓。 設 d 為這個圓的直徑, 則由正弦 定理

HX = d sin

∠

A

₂

AH = d cos α。

同樣由正弦定理, d = AB

sin

∠

AHB = AB

sin(180

^◦

−

∠

ACB)

= AB sin

∠

ACB.

從而 d 也就是 △ABC 的外接圓的直徑。

同理, HY 、HZ、HU、HV 、HW 也都 等於 d cos α。 於是 X、Y 、Z、U、V 、W 六點 共圓, 並且圓心是 △ABC 的垂心 H , 半徑 是 d cos α, d 是 △ABC 的外接圓的直徑。

最後, 我們說一下如何作出較為準確 的圖。 角是比較難作的, 但

_∠

AA

₁

A

₂

=

∠

AA

₂

A

₁

等價於 AA

₁

= AA

₂

, 所以, 以 A 為圓心畫弧交 BC 於 A

₁

、A

₂

, 那麼

∠

AA

₁

A

₂

=

∠

AA

₂

A

₁

, 就成立了, B

₁

怎麼 作? 因為

_∠

BB

₁

B

₂

=

∠

AA

₂

A

₁

, 所以 A

₂

, B

₁

, A, B 四點共圓, 即 A

₂

B

₁

與 AB (關 於 BC、AC) 逆平行。 如果作出 △ABC 的 高 AD, BE, CF (只要有三角板, 這很容易

解題漫談

₆₁

作), 那麼熟知 DE 與 AB (關於 BC, AC)

逆平行, 所以 A

₂

B

₁

//DE。 只要過 A

₂

作 DE 的平行線與 AC 相交, 便得到 B

₁

。 再 在 CA 上取 B

₂

, 使 EB

₂

= B

₁

E, 過 B

₂

作 EF 的平行線交 AB 得C

₁

, 最後在 AB 上 取 C

₂

, 使F C

₂

= C

₁

F (圖 3)。

..

... .

... .

...

.. .. . .. ...

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . ..

... ..

...

.

... .

... .

... ...

...

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. ..

A ₁ A ₂ C ₁

C ₂

B ₂

B ₁ F

E

D H A

B C

圖3

既然我們的作圖與 △ABC 的高密切相 關, 那麼所求的圓心, 捨 H 其誰?

猜到圓心是 H, 證明便不太困難, 所以 學會猜測是很重要的。

作者簡介 :

單土尊教授為中國大陸首批國產博士之 一 (1983), 專長為數論。 在研究之餘, 並擔任 各種數學競賽之訓練及輔導工作多年。 1989 及 1990 年兩屆世界數學競賽 (IMO), 中國 隊均榮獲世界冠軍, 單博士分別擔任副領隊 及領隊之職。 單教授曾任教於中國科技大學, 目前為南京師範大學數學系正教授。 單博士 著作等身, 包括“國際數學競賽解題方法”等 數學叢書廿餘冊。

王子俠教授, 畢業於台大數學系 (19- 65), 1971 年加拿大英屬哥倫比亞大學數 學博士。 研究領域為數論及組合學。 對解題 (Problem Solving) 有濃厚之興趣。 曾擔 任加拿大數學競賽委員會委員 (1989-1997), 並在 1992-1995 年間, 擔任委員會主席之 職。 目前為滑鐵盧 (Waterloo) 偉佛羅利亞 (Wilfrid Laurier University) 大學數學系 正教授。