中學數學漫談 由龜兔賽跑談無窮級數求和

中學數學漫談

由龜兔賽跑談無窮級數求和

洪鋕 雄

大家一定都聽說過龜兔賽跑的故事: 驕 傲的兔子常常嘲笑烏龜說: 看你這個醜傢伙, 爬起路來又笨又慢, 假如我們來作一萬公尺 的賽跑, 我讓你先爬一千公尺, 我還是會贏 你。 烏龜實在嚥不下這口氣, 終於答應跟兔子 比賽, 他們請來了猴子當裁判, 起跑前烏龜先 爬在前面一千公尺, 然後槍聲一響, 兩者同時 出發, 祇見兔子健步如飛, 一下子就趕過烏龜 而遙遙領先, 這時兔子驕傲的心理又在作祟 了: 現在我已經領先這麼多了, 我姑且在路旁 陰涼處休息一陣, 等等烏龜也不遲啊! 說著躺 下就睡著了, 一臉神氣狀, 還將屁股朝向烏龜 呢! 正當兔子好夢正酣時, 烏龜默默辛苦地爬 著, 發揮堅忍不拔的毅力一直爬到終點, 獲得 了這場比賽的勝利, 這時兔子還未醒過來呢!

當人們聽了這個故事都在為烏龜的獲勝 兔子的慘敗高興時, 希臘有一位詭辯家齊諾 (Zeno), 卻給大家潑了一盆冷水, 他說: 這 個故事是絕對不可能發生的, 因為當兔子讓 烏龜先爬行一段距離時, 兔子就永遠趕不上 烏龜了, 因而不會發生兔子睡覺而烏龜得勝 的事來, 他的理由是: (參閱下圖)

兔子 烏龜

P0 P1 P2 P3 P4···

假如出發時兔子在 P₀ 處, 而烏龜在兔 子前面 P₁ 處, 則當兔子由 P₀ 跑到 P₁ 時, 烏龜同時也由 P1 爬到了 P2, 然後當兔子由 P1 跑到 P2 時, 烏龜也同時由 P2 爬到了 P3, 如此繼續兔子永遠落後烏龜一段距離, 因 而趕不上烏龜。

當然, 大家不會相信齊諾的鬼話, 我們可 以用無窮級數求和來駁倒他, 為了說明方便, 我們得假設一些文字數字來計算比較好, 譬 如說我們假設 P0P1 = a, 而兔子的速度為 每秒 V1 公尺, 烏龜的速度為每秒 V2 公尺 (V1 > V2 且設兩者均以等速度前進), 則兔 子由 P0 跑到 P1 的時間為 a/V₁ (秒), 這也 是烏龜由 P₁爬到 P₂的時間, 因此烏龜由 P₁ 爬到 P₂ 的距離 P₁P₂ = (_V^a

1) × V₂ = a(^V_V²

1) (公尺), 仿此可求得 P₂P₃ = a(_V^V22

1 ) × V₂ = a(^V_V²₁)² (公尺), P3P4 = a(^V_V²₁)³ (公尺), 於 是 P0P1 + P1P2 + P2P3+ P3P4 + · · · = a + a(^V_V²₁) + a(^V_V²₁)² + a(^V_V²₁)³ + · · · 成等

1

比級數, 藉無窮等比級數求和可得上式之和 為 _v^av1

1−v2 (公尺) 這是兔子趕上烏龜所跑的 距離, 由此可求得兔子趕上烏龜所花的時間 是 _v ^a

1−v2 (秒), 這就表示兔了在有限的時間 內就能趕上烏龜, 當然過此時間後兔子就超 過烏龜了! (註 1)

上面 P₀P₁+ P₁P₂+ P₂P₃+ P₃P₄+

· · · = a + a(^v_v²₁) + a(^v_v²₁)² + a(^v_v²₁)³ + · · · 中, 因為有無窮多項, 所以稱它是一個無窮級 數, 它的和是怎麼求出來的呢? 為了答覆這 個問題, 我們先來看一個例子:

例1. 試求 1 − ¹₂ + ¹₄ − ¹₈ + · · · + (−1)ⁿ⁻¹₂ⁿ⁻¹¹ + · · · 的和是多少?

解: 這個問題我們可以用圖形來解答它, 如下圖, △ABC 中令 AM₁ 為 BC 上的中 線其長為 1, 取 AB, AC 兩邊的中點 D₁, E₁ 與 M₁ 連成 △D₁M₁E₁, 令 D₁E₁ 交 AM₁ 於 M2, 又連 D1M1, E1M1 之中點 E2, D2 所成線段交 AM1 於 M3, 又連 E2M2, D2M2 之中點所成線段交 AM1 於 M4· · · 如此繼續至無窮, 則

AM1 = 1 AM2 = 1 − 1

2

AM3 = 1 − 1 2+ 1

4 AM4 = 1 − 1

2+ 1 4− 1

8

所以1−1 2+1

4−1

8· · ·+(−1)ⁿ⁻¹ 1

2ⁿ⁻¹= AMn

因 n 越大, Mn會越接近於 G, 也就是 AMn

會越接近於 AG(G 為 △ABC 的重心, 也 是 △D₁M₁E₁, △D₂M₂E₂· · · 的重心), 故 1−1

2+1 4−1

8+ · · · +(−1)ⁿ⁻¹ 1

2ⁿ⁻¹+ · · ·

= AG = 1 × 2 3 = 2

3

上面這是一個無窮多個數 (項) 相加能 得一個有限值的例子 (註2), 也就是一個無窮 級數有和的例子, 直覺上您會覺得一個無窮 級數 a₁+a2+a3+· · ·+an+· · · 有和的先決 條件是: 當 n = 1, 2, 3 · · · 逐次增大時, |an| 越來越小, 也就是 an越來越接近於 0(這種接 近可到任意所欲之程度), 我們就稱數列 hani 的極限為 0, 記為 lim_n→∞an = 0 或 an → 0, 但這祇是一個必要條件, 並非充分條件, 也就 是說: 當級數 a₁+ a2+ a3+ · · · + aⁿ+ · · · 有和時, 必 lim_n→∞an = 0, 但 lim_n→∞an = 0 時, 級數 a1+ a2+ · · · + an+ · · · 未必有和, 為什麼這樣, 我們等下再談。

那麼一個級數有和時, 我們如何求它的 和呢? 除了上面的例 1 外, 我們再舉一個例 子, 希望能由此得出一般求無窮級數之和的 方法 (假如它有和的話):

例2. 無窮級數 ¹₂+¹₄+¹₈+· · ·+(¹₂)ⁿ+

· · ·, 它的和是多少?

這 個 問 題 我 們 可 以 把 它 看 成 是 長 為“1”的線段, 第一次去掉全長的一半, 第 二次去掉第一次所剩下的一半, 第三次去掉 第二次所剩下的一半 · · ·, 如此繼續無窮多 次, 求所去掉之線段長的總和是多少? 很明 顯的, 我們可以發現每次去掉前次所剩之一 半, 剩下的另一半必越來越小 (當然所去掉的 一半也很小), 因此次數多了以後所剩下的應 很接近於 0, 因而去掉的線段長總和應很接 近很接近於原線段的長“1”, 故我們可以想像 無窮多次後, 其總和應為 1, 我們就稱無窮級 數 ¹

2 +¹₄ +¹₈ + · · · + (¹₂)ⁿ+ · · · 其和為 1。

將以上步驟用數學符號重新表示如下:

令這個級數的第 n 項為 an, 則 an = (¹₂)ⁿ, 也就是第 n 次去掉之線段長, 那麼第 1 次到第 n 次所去掉之線段長的總和 (以 Sn

表示) 為 Sn = ¹₂ + ¹₄ + ¹₈ + · · · + (¹₂)ⁿ, 藉等比級數求和可得 Sⁿ =

1

2(1−(¹₂)ⁿ) 1−¹₂ = 1 − (¹₂)ⁿ, 因當 n = 1, 2, 3 · · · 逐次增大時, (¹₂)ⁿ 越來越接近於 0, 故 Sn 越來越接近於 1(即 lim_n→∞Sn = 1), 這個 1 就是無窮級數

1

2 +¹₄ + ¹₈ + · · · + (¹₂)ⁿ+ · · · 的和。

由上面的討論可知:

對一般無窮等比級數 a1 + a2 + a3 +

· · · + an+ · · · 來講, 令首 n 項的和為 Sn(即 Sn= a1+ a2+ · · · + an, 亦稱為 n 項部分 和), 當 n = 1, 2, 3 · · · 逐次增大時, 假如 Sn

越來越接近於某一個定數 S, 這個定數就稱 為此無窮級數的和, 即和 S = lim

n→∞Sn, 這是 說當 lim_n→∞Sn 存在時, 我們求出 lim_n→∞Sn 的 值就是和了; 可是當 lim_n→∞Sn 不存在時, 那 當然此級數就沒有和了, 因此一個級數 a₁+

a2+ a3+ · · · + an+ · · · 有沒有和, 完全取 決於 lim

n→∞Sn是否存在, 存在就有和, 反之則 無。 有和的級數稱為收斂級數, 沒有和的級數 稱為發散級數, 舉個例子:

例3.判斷無窮級數 _1·3¹ +_3·5¹ +_5·7¹ +· · ·+

1

(2n−1)·(2n+1)+ · · · 是否收斂? 若收斂並求其 和。

解: 1. 先求 Sn,

Sn = 1

1 · 3 + 1

3 · 5 + 1

5 · 7+ · · ·

+ 1

(2n − 1) · (2n + 1)

= 1 2[(1−1

3)+(1 3−1

5)+(1 5−1

7)+· · · +( 1

2n − 1− 1 2n + 1)]

= 1

2(1 − 1 2n + 1)

2.因為當 n = 1, 2, 3 · · · 逐次增大時, _2n+1¹ 越來越接近於 0, 故 1 − _2n+1¹ 越來越 接近於 1, 所以¹₂

^

^

2, 也就是 lim_n→∞Sn = ¹₂, 故此級 數收斂, 其和為 ¹₂。

我們再回顧例 1 重新將其列為例 4. 用 求 lim_n→∞Sn 的方法求其和於下:

例4. 求無窮級數 1 −¹₂+¹₄−¹₈+ · · ·+

(−1)ⁿ⁻¹₂ⁿ⁻¹¹ + · · · 的和。

解: 1. 先求

Sⁿ = 1−1 2+1

4−1

8+· · ·+(−1)ⁿ⁻¹ 1 2ⁿ⁻¹

= 1[1 − (−¹₂)ⁿ] 1 − (−¹₂)

= 2 3



1 − (−1 2)ⁿ



2. 當 n = 1, 2, 3, · · · 逐次增大時, (−¹₂)ⁿ 越來越接近於 0, 故 1 − (−¹₂)ⁿ 越來越 接近於 1, 所以²₃

^h

ⁱ

3, 也就是 lim_n→∞Sn = ²₃, 故此 級數的和為 ²

3。

例 4與例2都是無窮等比級數的例子, 仿 照例 4的辦法, 我們可以證明:

當 |r| < 1 時, 無窮等比級數 a + ar + ar²+ · · · + arⁿ⁻¹+ · · · 收斂, 其和為 _1−r^a ,

|r| > 1 時, 此級數發散, 沒有和。

因為此部分課本上已有詳細討論, 故在 此不再贅述, 不過我們可以利用這個結果來 說明本文開始時, 龜免賽跑中免子追上烏龜 所跑的距離 a + a(^V_V²

1) + a(^V_V²

1)² + · · · =

aV1

V1−V2 是怎麼求出來的? 因為它是一個無窮 等比級數, 公比 r = ^V_V²

1 < 1, 首項 a, 故其 和 = ^a

1−^V2_V1 = _V^aV1

1−V2。

最後我們再來說明一下在前面所提: 若 無窮級數 a₁+ a2+ a3+ · · · + an+ · · · 收 斂則 lim

n→∞an= 0, 但反之則未必。 我們將證 明前者, 並舉反例說明後者:

證明:

1. an = (a1 + a2 + · · · + an−1 + an)

−(a1 + a2 + · · · + an−1) = Sn − Sn−1 (n ≥ 2)

2. 因級數 a1+ a2+ · · · + an+ · · · 收斂, 故 lim_n→∞Sn 存在, 所以 lim_n→∞Sn−1 亦存 在且 lim_n→∞Sn = lim_n→∞Sn−1(註 3) 3. 所以 lim_n→∞aⁿ = lim_n→∞(Sⁿ − Sⁿ⁻1) =

n→∞lim Sn − lim_n→∞Sn−1 = 0(註 4)。

反之: 例如無窮級數 1 + ¹₂ +¹₃ + ¹₄ +

· · · +¹_n+ · · ·, 其 n 項部分和 Sⁿ= 1 +¹₂+

1

3 + ¹₄ + · · · + _n¹, 我們考慮 n 為 2 之乘冪 時, Sn 之值:

當n = 1時, S1 = 1 n = 2時, S2 = 1 +1

2 n = 4時, S₄ = 1 +1

2 +1 3 +1

4

> 1 +1 2 +1

4 +1 4

= 1 +1 2 +1

2 = 1 + 1 2× 2 n = 8時, S8 = S4+ (1

5 +1 6 +1

7 +1 8)

> 1 +1

2 × 2 + 1 8 × 4

= 1 +1 2 × 3

... ...

n = 2^m時, S2^m = S₂^m−1

+ 1

2^m−1+1+· · ·+ 1 2^m−1+ 1

2^m

| {z }

共2^m−1個

> 1 +1

2 × (m − 1) + 1 2

= 1 +1 2 × m.

當然 m 越大, 則 S₂^m 也越大, 因此 lim

n→∞Sn

不存在, 也就是原級數發散。

從上面這個例子, 我們也可看出一個無 窮級數之 n 項部分和 Sn有時是求不出來的,

因此要求出此級數的和或判斷其發散有時並 非易事, 不過當一個無窮級數成等比時, 要求 出其和或判斷其發散, 則甚為容易。

註1.當然這裡您可以用簡單的代數方程式來 求得距離, 不過基本上仍要 “兔子能在 有限時間內趕上烏龜”之前提下才能辦 到:

設兔子趕上烏龜所跑的距離共 x 公尺, 則兔子跑此距離所花的時間為 _v^x

1 (秒), 在此 時間內烏龜共爬了 v₂(_v^x

1)(公尺), 因為起跑 時烏龜是在兔子之前 a 公尺, 故 x = a + v2(_v^x₁)(參閱上圖), 由此解得 x = _v1^av_−v¹₂(公 尺)。

註2. 有限多個數相加, 其和當然是定值, 但 無窮多個數相加就未必了, 如 1 + 2 + 3 + · · · + n + · · · 與 1 − 1 + 1 − 1 +

· · · + (−1)ⁿ⁻¹ + · · · 其和均非定值。

註3. 一般道理我們不講, 祇舉下例讓您“相 信”: 如設 Sn = _nⁿ₊₁ 則 Sn−1 = ⁿ⁻_n¹ 於是 lim

n→∞Sn = 1 = lim_n→∞Sn−1。 註4. 一般若 haⁿihbni 均收斂則 lim_n→∞(an±

bn) = lim_n→∞an ± lim_n→∞bn。 lim_n→∞(an · bⁿ) = ( lim_n→∞aⁿ)·( lim_n→∞bⁿ)。 又設 bⁿ 6=

0, ∀ n ∈ N 且 lim_n→∞bn 6= 0 則

n→∞lim(^a_bⁿ_n) = ^n→∞lim

an

lim

n→∞

bn。

—本文作者任教於省立嘉義女子高級中學—