解： 5.計算下表中 X 與 Y 的相關係數

(1)

108 下作業 10(單元 9 二維數據)(1090527) 一年____班座號：____ 姓名：

1.下面 5 個散布圖中，x，y 的相關係數由左而右分別為 r1，r2，r3，r4，r5，則其大小依序為_______

2.設一數據的標準化數據如下表，試求其相關係數＝______

3.利用未標準化數據的相關係數公式，計算下表中 X 與 Y 的相關係數＝______

解：

4.利用未標準化數據的相關係數公式，計算下表中 X 與 Y 的相關係數＝______

解：

5.計算下表中 X 與 Y 的相關係數＝_______

解：

X 3 4 7 11 15 Y 5 40 15 35 55

X 1 2 3 4 5 Y 2 4 6 8 10

X 1 2 3 4 5 Y 4 5 3 1 2 ui＝ ⁱ ^x

x

µ σ

− 1.5 －1.5 －1 －0.5 1 0.5 0

vi＝ ⁱ ^y

y

µ σ

− 1 －1.5 －1 0.5 1.5 0 －0.5

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

(2)

6.已知一組二維數據如下表，試求其相關係數 r＝______

7.下表為五位學生學測國文與英文的成績表，試求這兩科的相關係數為＝______

8.下表為甲、乙、丙、丁、戊五人做仰臥起坐與伏地挺身的次數表，試求 X 與 Y 的相關係數為_____

9.某班 40 位同學期中考數學平均成績 50 分，標準差 4 分。今老師將成績做線性調整，將每位同學的成績先乘以 1.5 倍，

再減去 3 分，令變量 X，Y 分別表示同學的原始成績與調整後的成績，則：

(1)µ_y^＝______ ⁽²⁾σy^＝______ (3)兩變量 X，Y 的相關係數為_____

10.下表為五位同學的身高體重，令 x 表身高，y 表示體重，試求迴歸直線方程式為__________

解：

x 2 6 8 10 14 y 3 6 5 9 7

甲乙丙丁戊仰臥起坐(X) 4 5 8 12 16 伏地挺身(Y) 6 41 16 36 56 x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

^{國文 X}_{英文 Y} ¹³ ¹¹ ¹⁰ ¹² ¹⁴

12 13 14 15 11

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

身高(公分) 160 164 168 172 176 體重(公斤) 50 52 48 56 54 x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

(3)

11.下表為一組二維數據，試求迴歸直線方程式為_________

解：

12.設有 20 筆數據(x ，_i y )，其中_i x 與_i y 的算術平均數分別為_i

µ

_x^與µy^，若已知

∑

=

−

20 −

1

) )(

(

i

y i x

i y

x

µ µ

^＝36，

∑

= 20 −

1

)2

(

i

x

xi

µ

^＝36，

∑

= 20 −

1

)2

(

i

y

yi

µ

^{＝49，試求(}x ，i y )的相關係數 r＝______ _i

13.設有一組數據(x ，_i y )，得其平均數_i

µ

_x^＝5，

µ

y^{＝3，標準差}

σ

x^＝2，

σ

y＝6，若已知 y 對 x 的迴歸直線通過點(2，6)，

則 x 與 y 的相關係數為_____

14.設兩組數據 x，y，若依據最小平方法，得 y 對 x 的迴歸直線為 y＝6＋

5

3x，今 x′＝

2

−1x＋10，y′＝

6

1y－1，

則 y′對 x′的迴歸直線之斜率為_____

15.某班 40 位同學期中考數學平均成績 51 分，最高 75 分。今老師將成績做線性調整，將每位同學的成績先乘以 3

4倍，再減 去 10 分，令變量 X，Y 分別表示同學的原始成績與調整後的成績，設 r 表變量 X 與 Y 的相關係數，則下列何者正確？

(1)0.3＜r＜0.5 (2) 0.5＜r＜0.7 (3) 0.7＜r＜0.9 (4) 0.9＜r＜1 (5) r＝1

16.高三自然組學生的數學成績與物理成績以(x ，_i y )表示，已知_i x 的算術平均數_i

µ

_x^＝68，y 的算術平均數i

µ

_y^＝69，

∑

= 15 −

1

)2

(

i

x

xi

µ

^＝1920，

∑

= 15 −

1

)2

(

i

y

yi

µ

^＝2040，

∑

=

−

15 −

1

) )(

(

i

y i x

i y

x

µ µ

＝1010，則數學成績與物理成績的相關係數為_____

(已知 17 ≈4.12，小數點後四捨五入到第二位)

x 35 20 15 25 45 40 30 y 42 12 24 18 36 30 6 x y x−

µ

x y−

µ

y

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

(4)

17.有一組二維數據(x ，_i y )，i＝1，2，…，n，若已知 y 對 x 的迴歸直線方程式為 y＝2x＋1，且已知平均數 µ_i x＝2，

µy＝5，標準差 σx＝3，σy＝7。試求 x 與 y 的相關係數＝_______

18.已知兩變數 X、Y 的數據如下：

若以最小平方法求得 Y 對 X 的迴歸直線為 1 11 2 2

y= − x+ ，，求，， a之值為______

19.設(3，1)，(5，3)，(1，t)為三筆(x，y)的數據資料，其Y 對 X 的迴歸直線為 1 5 4 4

y= x+ ，求 t 之值為______

20.設有一組數據(x ，_i y )，得其平均數_i

µ

_x^＝5，µy^{＝3，標準差}

σ

x^＝2，σy＝6，若已知 y 對 x 的迴歸直線通過點(2，6)，

則 x 與 y 的相關係數為_____

21.若有一組(x_i，y_i)，i＝1，2，…，10，算出標準差

σ

x＝1，

σ

y＝4，若 y 對 x 做迴歸線為 y＋1＝3(x＋5)，則 x 與 y 的相關係數r＝_____

22.已知五名考生的數學級分(X)與自然級分(Y)如下：

(1)求甲、乙、丙、丁四名考生之 Y 對 X 的迴歸直線方程式為_________

(2)若戊生未發生意外狀況，則依(1)之迴歸直線預測，其自然科成績應為_____級分？

解：

X 1 2 3 6 Y 4 5 a 2

考生甲乙丙丁戊 數學級分 X 13 11 9 7 15 自然級分 Y 14 12 8 10 6 x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

(5)

23.某機構研究六位成人的 EQ(情緒智力)測驗( X )與職場成就測驗( Y )的分數如下：

(1)求 Y 對 X 的迴歸直線方程式為_________

(2)利用迴歸直線，當 EQ 測驗分數為 10 分時，預測職場成就測驗的分數為_____

解：

24.某一實驗測得 15 組樣本點(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x ，₁₅ y )，已知₁₅

∑

= 15

1 i

x ＝165，i

∑

= 15

1 i

y ＝315，i

∑

= 15 −

1

)2

(

i

x

xi

µ

^＝64，

∑

= 15 −

1

)2

(

i

y

yi

µ

^＝144，

∑

=

−

15 −

1

) )(

(

i

y i x

i y

x

µ µ

^{＝24，則：}

(1) x 與 y 的相關係數為_____ (2)依據最小平方法，求 Y 對 X 的迴歸直線為_________(以 y＝ax＋b 表示)

25.某班數學段考第一次成績的平均分數為 60 分，標準差為 12 分，第二次成績的平均分數為 69 分，標準差為 10 分，兩次成績的相關係數為 66 分，小寶第一次成績是 66 分，若以最小平方法預測小寶第二次成績是_____分

26.汽車的耗油量與行駛速度有關聯性。今測試一部 1500c.c.的汽車，得到如下表之數據：

試求：(1)耗油量對行駛速度的迴歸直線方程式為________

(2)請預測當速度為 85(公里/小時)時，其耗油量為_______公里/公升

27.設二維數據(x ，_i y )，i＝1，2，…，n 之相關係數為 r＝0.6，則(2x_i _i＋3，5y_i＋4)之相關係數為_______

行駛速度 x (公里/小時) 60 70 80 90 100 耗油量 y (公里/公升) 14 16 19 20 21

成人代號 A B C D E F X 5 6 8 9 9 11 得分 Y 5 8 8 12 13 14 x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

(6)

28.某大學日文系，其測驗分成筆試及口試兩項測驗。系主任調閱邰邰五次的測驗成績如下表：

(1)試求邰邰五次筆試及口試成績的相關係數為__________(化為小數)

(2)試求 Y 對 X 的迴歸直線方程式為__________(化成 ax＋by＋c＝0，其中 a：b：c 為簡單整數比且 a＞0)

29.有一組 40 筆的二維數據(x ，_i y )滿足_i

40

1 i 120

i

x

= =

∑

^，

40

1 i 100

i

y

= =

∑

^，

40

1 i i 700

i

x y

= =

∑

^，

40 2 1

i 1360

i

x

= =

∑

^，

40 2 1

i 500

i

y

= =

∑

試求：(1)相關係數 r＝______ (2) y 對 x 的迴歸直線方程式為__________

30.已知兩組數據 x，y 如表所示，求：

(1)標準差

σ

_x＝______ (2) x 和 y 之相關係數為______

(3)若 y 對 x 的迴歸直線方程式為 y－a＝m(x－b)，試求數對(a，m，b)＝______

31.有 10 組變量 X 與 Y 的數值資料，已知

∑

= 10

1 i

x ＝120，i

∑

= 10

1 i

x ＝200，i

∑

= 10

1 2 i

x ＝3940，i

∑

= 10

1 2 i

y ＝7600，i

∑

= 10

1 i

i i y

x ＝4000，則：

(1) X 的標準差為_____ (2) X 與 Y 的相關係數為_____

(3)以最小平方法求得變量 Y 對變量 X 之迴歸直線的斜率為_____

第一次第二次第三次第四次第五次

筆試成績 X 3 5 4 7 9

口試成績 Y 3 1 4 3 9

x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)

x 15 17 19 21 23 y 34 37 31 25 28 x y x−

µ

x y−µy

(

^x⁻^µ^x

)

²

(

^y⁻

^µ

^y

)

²

⁽

^x⁻^µ^x

⁾ (

^y⁻^µ^y

)