高級中學數理及資訊學科能力競賽 (

九十八學年度台灣省第七區(台南區)

高級中學數理及資訊學科能力競賽

(數學科筆試一參考解答)

1. 設過 (1, 2)直線方程式為 y 2 m x( 1)，其中m0， 與雙曲線 xy1 交於P x y 、( ₁, ₁) Q x( ₂,y 兩點。₂)

消去y，得x 、₁ x 滿足方程式 ₂ mx²(m2)x 1 0



   ， x x_{1 2} ¹

 m

又 _{1 2} ^{1 2}

1 2 1 2

1 1

x x 2

y y m

x x x x

       及 _{1 2}

1 2

y y 1 m

 x x   線段 PO 長為 (x₁x₂)²(y₁ y₂)²

2 2

1 2 1 2

(x x ) (y y ) ＝

2 4 2

2

2 2

4 5 4

( 4)

m m m

m m m

  

  

且 m² 0  ² 4₂ ² 4₂

5 5 2 9

m m

m m

     



2. 答： n144,k 127

將不等式分子及分母顛倒，化簡得^{8 7} 64 72 63

9 8

k n k n

  n  

自63n至64n之間共有n1個正整數，但題意知這n1個正整數之中僅 有一個是 72 的倍數。

如果n  1 2 72，則此n1個正整數之中至少有二個是 72 的倍數。

因此，滿足條件 n 的最大值為 144，故k 127。

3. 如圖

（1）作∠ABC 之平分線交 AC 於 D 點

∵∠ABC＝2∠ACB

∴∠ABD＝¹

2∠ABC＝∠ACB

△ABD 與△ABC 中

∠BAD＝∠BAC

∠ABD＝∠ACB

∴△ABD～△ACB(AA 相似性質)

 AB AD

AC  AB  AB ＝² AD× AC  AB ＝(² AC － CD )× AC 。

∵∠BDC＝1

2∠ABC＝∠ACB

∴△BCD 為等腰三角形，故 CD ＝BD。

 AB ＝(² AC － CD )× AC  AB ＝(² AC －BD)× AC  AC ＝² AB ＋² BD× AC 。

又^{BD AB}

BC  AC BD＝ BC × ^AB

AC ， ∴AC ＝² AB ＋ BC ×^{2 AB}

AC × AC 。 故AC ＝² AB ＋² AB× BC 。

【另解】

令∠ACB＝θ，則∠ABC＝2θ，∠BAC＝－3θ 由正弦定理知：

sin BC

A＝ sin

AC B＝

sin AB

C ＝2R

∴sin( 3 ) BC

  ＝ sin 2

AC

 ＝ sin

AB

 ＝2Rsin 3 sin 3

BC

 ＝ sin 2

AC

 ＝ sin

AB

 ＝2R＝k

 BC ＝ksin 3, AC ＝ksin 2,AB＝ksin

AC2＝k²sin 2² ＝k²(2sin cos )  ²＝4k²sin²cos² ＝4k²sin²(1 sin ²)＝4k²sin²4k²sin⁴ AB ＝2 k²sin²

AB× BC ＝ksin×ksin 3＝k²×sin×(3sin－4sin³)＝3k²sin²4k²sin⁴ AB ＋2 AB× BC ＝k²sin²＋3k²sin²4k²sin⁴＝4k²sin²4k²sin⁴＝AC ²

故 AC ＝² AB ＋² AB× BC

(2)過A 點作AE∥BD交 BC 之延長線於E點

∵BD∥AE ∴∠AEC＝∠DBC＝1

2∠ABC＝∠ACB

∴△ACE 為等腰三角形， 故AE＝ AC

又∠AEB＝∠EAB＝1

2∠ABC ∴△AEB 為等腰三角形， 故AB＝BE

△ACE 中， AE＋ AC ＞ CE 2 AC ＞ BC ＋BE 2 AC ＞AB＋ BC 。

4.該數列可寫為： 1 10 ,1 10 ⁴  ⁴10 ,⁸ ,1 10 ⁴ 10 ,⁴ⁿ ， 其中 n1, 2,3, , ,k

所以，可以考慮一般化的數列：

1x⁴,1x⁴x⁸, ,1x⁴ x⁴ⁿ, ，其中 x , x2 (1) 若 n 為奇數，設 n2k1, k ，則

1x⁴  x⁸ x^4(n1)x⁴ⁿ  1 x⁴  x⁸ x^{4(2 )k} x^4(2k1)



 







      







     因此，該數為合數。

當 k 0, x10 時，由於 1 10 ^{4 1} 10001 73 137  ，所以此數亦為合數。

(2) 若 n 為偶數，設n2 ,k k ，則

1x⁴  x⁸ x^4(n1)x⁴ⁿ  1 x⁴  x⁸ x^4(2k1)x^{4(2 )k}

 





4 4

1 1

1 1

k k

x x

x x

 

 

 

 









2 2

1 1

1 1

k k

x x

x x

 

 

 

 

 

 

2 2

1 1

1 1

k k

x x

x x

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2

1 x x ^k 1 x x ^k

   

           該數為合數。因此，綜合(1)(2)可證得這數列中沒有質數。

5. 負項中的分母為偶數，我們將每個 1

2k 化為 1 1 2k k 所以

1 1 1 1 1 1

(1 ) (1 )

2 3 1359 2 3 679

1 1 1

680 681 1359

p

q          

   

因為 1 1 1359 680

680 j 1359 j (680 j)(1359 j)

  

   

對所有的 j 將上述分數配對相加，得到常數分子

1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

680 1359 681 1358 1019 1020 2039 2039 2039

680 1359 681 1358 1019 1020 2039 '

' p

q

p q

      

   

  

 

其中，q’為從 680 到 1359 的所有整數之積，每個整數與 2039 互質 (因為 2039 是 個質數)

因為 pq’=2039p’q，且 2039 不能整除 q’，它須能整除 p 故 p=2039m，m 為整數

由二項式定理，可知(p1)²⁰⁰⁹= pn+1，n 為整數。

得到(p1)²⁰⁰⁹=2039mn+1

故(p1)²⁰⁰⁹除以 2039 的餘數是 1。