台灣地震損失評估系統之強化與落實應用整合型研究---子計畫：地下維生自來水管線之耐震容量譜法分析(III)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

台灣地震損失評估系統之強化與落實應用整合型研究--子 計畫:地下維生自來水管線之耐震容量譜法分析(III)

研究成果報告(完整版)

計 畫 類 別 ： 整合型

計 畫 編 號 ： NSC 95-2625-Z-011-005-

執 行 期 間 ： 95 年 08 月 01 日至 96 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立臺灣科技大學營建工程系

計 畫 主 持 人 ： 黃慶東

計畫參與人員： 碩士級-專任助理：李侑价、鄭仰盛、林建宏、余旭州

處 理 方 式 ： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 96 年 10 月 31 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 ▓ 成 果 報 告

□期中進度報告

台灣地震損失評估系統之強化與落實應用整合型研究 -子計畫:地下維生自來水管線之耐震容量譜法分析(III)

計畫類別：□ 個別型計畫 ▓ 整合型計畫

計畫編號：NSC 95 － 2625 － Z － 011 － 005 － 執行期間：95 年 08 月 01 日至 96 年 07 月 31 日

計畫主持人：黃慶東 共同主持人：

計畫參與人員： 李侑价、鄭仰盛、林建宏、余旭州

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ▓完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計 畫、列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢 執行單位：國立台灣科技大學

中 華 民 國 96 年 07 月 31 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

計畫編號：NSC95-2625-Z-011-005

計畫期間：95 年 08 月 01 日至 96 年 07 月 31 日 計畫主持人：黃慶東 國立台灣科技大學營建工程系 中文摘要

本研究主要是建立地下管線含接頭之等效力-彈簧系統以探討地表變形作用下之 外力分佈模式，並分別以正解及有限元素法進行擬動態分析連續管線之管線-接 頭位移關係，以了解管線應變率及接頭變形率之變化情形。研究首先以解析方式 建立單一管線之等效力-彈簧系統關係，進而延伸推求連續管線含接頭之正解分 析模式，研究亦將地表土壤與管體滑動後之非線性效應納入考慮，進而推導出地 表位移-管體變形增額矩陣關係式，以便執行非線性效應下之擬動態分析。研究 並以一假想之地表位移函數作用下之管線分析為例，分析結果顯示，地下管線在 管體與周圍土壤發生滑動後，將產生類似隔震效應之外力隔絕現象，因而對管線 產生保護作用，並不會因大量地表位移的強制束縛產生管體或接頭的大幅變形。

ABSTRACT

The main objective of thesis is to develop a method for constructing equivalent force-spring models for underground piping systems. In this method, the underground pipes are modeled as a series-connected spring system with a set of externally applied loads. The proposed force-spring model is capable of providing a more transparent analytical method for the underground piping structures. Based on the force-spring model, the expression for the equivalent spring and equivalent force are both provided for the exact analysis and the Finite-Element method analysis.

A subsequent equivalent force-spring model is also developed for underground pipe systems considering slippage between the pipe element and the surroundings soil.

An example problem based on an artificially generated ground deformation is used to illustrate the developed analytical procedure, and the system response behavior under the pipe-soil slippage effects. Analytical results show that the slippage between the pipeline and surroundings soil provides an excitation isolation mechanism. For this reason, both the joint deformation and pipe strain deformation are significantly relieved as compared to the non-slippage linear case.

一、前言

近幾年耐震性能設計法(Performance-Based Design)之發展，已成為地震工程 領域之重要研究課題，此一研究是藉由簡單有效的結構物之非線性變形分析，以 檢測各種性能目標下之耐震需求，並使建築物達到所選擇的性能目標。耐震性能 設計法之關鍵步驟在預測由地震引致結構非線性反應下之力量及變形需求，而目 前最廣為一般工程界接受之近似分析，不外 Freeman 於 1970 年代末期所提之方 法，即所謂容量譜法(Capacity Spectrum Method, CSM)，而此概念更於近年直接 引用作為新一代耐震設計法(如 ATC-40 及 FEMA-274)之主軸分析模式。就一般 地上結構而言，容量譜法之基本執行包含了下列幾個步驟：

1. 以側推分析(push-over analysis)評估結係圖表構物之側推曲線，一般而言，此 曲線可以基底剪力與屋頂頂層位移之關示。

2. 於 Sa-Sd之座標軸轉換側推曲線成為容量曲線(capacity spectrum)。

3. 利用傳統之割線勁度概念作為計算非彈性系統之等效勁度，並以遲滯能量計算 等效阻尼，而此等效系統之近似可再進一步配合地震之耐震需求譜，反覆疊代 計算出結構之功能點(performance point)。

經近幾年之發展，容量譜法於地上結構物之應用已趨成熟，然就地下管線結 構而言，目前並未見合理且具體執行方法之提出，此相關研究之相對落後，可能 歸因於地上及地下結構受震模式存在極大之基本差異。傳統自來水管線之耐震能 力分析研究，大多以簡易之震波型態為假設，進行管體結構之細部耐震評估，並 延伸作為耐震設計及評估之基本原則，然因地下土壤之波動應變行為之不明確，

管線互相連結與空間廣佈之複雜特性，管線接頭力學性質資料庫之不足，及問題 本身高度複雜性因而吸引大量研究之投入[1-14]。文獻[8、10]發表有關地下埋 設連續管線的最大軸向應變與最大地表應變關係之探討，Shah and Chu[14]則建 立了地下連續管線受到地震波動影響的近似分析表示式，Wang et al.[15]探討含 接頭管線受到波動影響的行為及分析程序，文獻[17-19]之研究則剖析地震波造 成的永久地表位移對地下管線之影響。此外，美國O’Rourke 教授領導的一支研 究團隊，針對地下埋管之耐震問題及其所需支援之相關管材及接頭等之力學性質 曾作出一系列之研究[18-21]，此一研究指出地下管線接頭之力學特性可大幅影 響管線本體與接頭所需承受位移需求之分配比例，尤其當接頭採用具延性之柔性 接頭時，則地表之受震位移量極可能由接頭處大量承擔而引發破壞。

綜觀以上之研究成果雖已成功建立地下管線分析模式之基本雛形，然而此成 果卻無法直接稼接於容量譜法之分析模式，而其關鍵點並簡述如下：

 傳統地上房屋結構通常為上部懸空而震源由基底單點輸入，此造成頗為一 致之結構受震變位型態，即變位量隨樓層數增加而遞增，但地下管線結構 卻是以波傳方式輸入，因而具時間-空間相依之多點輸入脈動特性，而其基

本變位型態又相關於震波之時空特性，因而不易加以探討。

 容量譜法以基本模態作為地上結構之整體耐震容量特徵曲線，而此基本模 態之概念在地下管線結構而言並不明確，此因地下管線結構一般具無線延 伸特性，其受震反應受波傳效應影響遠較單一模態效應之影響為強。

 容量譜法以正比質量之方式作為側推程序之假想地震力，而地下管線結構 亦因其迥異於地上結構之受震模式，若仿效以側推分析執行，則相應側推 力之分配型態亦不明確。

而綜合以上說明，如何引進容量譜法概念，作為地下管線結構之耐震分析，

不僅為極具挑戰性之研究課題，且亦可能含寬廣之研究子題。本計畫即著眼於地 下維生管線容量譜法分析之可行性，研究目標鎖定於：

 建立簡易單管及連續管線之等效力-彈簧分析模式及外力分佈模式。

 建立以側推分析(push-over analysis)執行地下管線非線性分析之執行模式。

此兩項研究目標可視為建立地下管線系統容量譜分析之理論基礎。本報告中，具 體之線性分析結果於第二節中說明，第三節則考慮管體與土壤產生滑移之非線性 分析成果，最後並提出簡要之結論與建議。

二、地下管線等效力-彈簧系統線性分析

就一單管元素，假設埋置的維生管線的管體和周圍的土壤完全黏合，管線與 土壤間並無滑動的情形，節點以及周圍土壤皆為線彈性，管線內位移函數為非線 性變化，且各管線之材料性質均相同。則單一地下管線系統在不考慮接頭變位 時，管線軸向變位

u

(x)之靜力平衡控制方程式如下式：

) ( )

( )- (

2 2

x u -k x u dx k

x u

EA d

_s  _{s g} ，

0  x  L

(1)

其中，

u

( x)、

u

_g

(x )

分別為管線元素之軸向位移及土壤之軸向位移，而

k 代表土

_s 壤-管壁間之土壤均布束制勁度，並假設管線元素間之地表應變為線性分佈，E 為管線的彈性模數，A 為管線斷面積。

圖一: 單管無接頭元素示意圖

圖一為單管無接頭地下管線元素示意圖，其中

d 為管線元素起始端的地表位

₁ 移，

d 為管線元素末端的地表位移，

₂

u 為管線元素起始端的管線位移，

₁

u 為管

₂ 線元素末端的管線位移。因管線元素中軸向土壤位移

u

_g(x)假設為線性變化，其 地表位移函數可表示為下式：

2

1

( )

) 1 ( )

( d

L d x L - x x

u

_g

 

(2)

將(2)式代入(1)式中，且經由邊界條件的設定，可得在線性土壤位移假設下之管 線位移控制方程式，管線之位移反應

u

(x)可寫成為

u 、

₁

u 、

₂

d

₁、

d

₂之函數，且 經簡化整理後改以超越函數(sinh

β

)表示為：

2 1

2 1

sinh } )]

( [ sinh { )}

1 sinh (

)]

1 ( [ sinh {

sinh } )]

( [ sinh { sinh }

)]

1 ( [ sinh { ) (

L d x β

L β x -

L d - x β

L - x β -

β u L β x β u

L - x β x

u













(3)

其中(3)式中之參數

β

為一無因次勁度係數比，定義為

L EA

β



k

^s 。管線元素的應 變則可由管線位移函數

u

(x)對距離 x 的做一次微分得：

2 1

2 1

1 } sinh

)]

( [ cosh {

1 } sinh

)]

1 ( [ cosh {

sinh } )]

( [ cosh { sinh }

)]

1 ( [ cosh ) {

) ( (

L d β

L β x L

β - L d

β - L - x L β

β

β u L β x L

β β u

L - x L β

β dx -

x x du ε













(4)

在管線元素內力方面則可由

P

(

x

) 

EAε

(

x

)求得，在此設定

P

₁

 P ( 0 )

為管線元素 起始端所產生的內力，

P

₂

 P ( L )

為管線元素末端所產生的內力，且當假設管線受

拉力為正時，即

P

₁ 

-P

(0)，則管線元素的勁度矩陣為：

 

 



 



 













 

 

 



 



 



 

 

 





2 1 2

1 2

1

1 coth 1

csch

1 csch 1

coth coth

csch

csch coth

d d β -

β -

β - β

-β L EA u

u β β β -β

β β -β

β L EA P

P

(5)

圖二：為管線-接頭之力平衡關係圖，其中

k

_j為接頭勁度，

u 為前一根管線

₀ 末端位移，

u 為後一根管線起始端位移。

₃

圖二：管線-接頭之力平衡關係圖 根據力平衡條件可得

P ，

₁

P 的兩個平衡式如下：

₂

 

 



 

 

 





j j

k -u u

k -u u - P P

) (

) (

2 3

0 1

2

1 (6)

因(5)式與(6)式必須互為等式，經整理後可得單管含接頭之關係式為：

 

 



 



 







 

 

 

 







 

 

 







 







 











2 1

3 2 1 0

1 coth 1

csch

1 csch 1

coth coth

csch 0

0 csch

coth

d d β - β β -β

β -β β - β L EA

u u u u

-k β k L β

β EA L β

- EA

β L β

- EA β k

L β -k EA

j j j

j (7)

本研究中將尋找出等效力-彈簧系統以取代原均布土壤勁度系統進行分析，

進而將此原系統之結構矩陣以等效力-彈簧模式之結構矩陣來加以取代分析，以 便於分析者能更有效率且精準的解決連續管線之管體與接頭之變化關係，亦可利 用此關係了解管線端點位移量、接頭位移差及管線變形率之變化情形。

在此，首先針對單管無接頭之情況下進行分析，如圖三所示，因暫時不考慮 接頭勁度，即

k

_j= 0 的情況下單管之端點位移關係式可寫成：

 

 



 



 







 

 

 



 



 





2 1 2

1

1 coth 1

csch

1 csch 1

coth coth

csch

csch coth

d d β - β β

-β

β -β β -

β L EA u

u β β β -β

β β -β

β L

EA

(8)

由於(8)式中，難以將此矩陣以物理彈簧模式清楚表示，然若將(8)式之勁度作拆

解，可得單管等效力-彈簧勁度系統及結構矩陣式如下：

k e k d

k e - k d u

u k k u u k k -

k - k

s s

s s s

s p

p p

p 



 





 



 







 







 

















)

~ 6

~ (~ 6)

~ ( 0 ~

~ 0

~

~

~

~

1 1

1 1 2

1 2

1 (9)

其中：

管線等效勁度：

β β

L

k ~ 

_p

EA csch

(10a)

土壤等效勁度：

β β

L - EA β L β

k ~ 

_s

EA coth csch

(

tanh 2

~ β

L β

k

_s

 EA

) (10b)

平均地表位移：

2

2 1 1

d

d



d

 ，故管線平移外力

P

~

d k

~_s

1

1  (10c)

地表位移差：

e

₁ 

d

₂

- d

₁，故管線拉伸外力

6

~ ~

1 2

k

s

e

P

 (10d)

圖四為（9）式所對應單管等效力-彈簧物理模式，此一模式可藉由簡單結構 學的概念建立出管線之等效力-彈簧物理模式之對應結構矩陣。單管等效力-彈簧 系統建立後，將單管等效系統與接頭做串連的動作即可建立出連續管線之等效力 -彈簧系統的結構矩陣式。

圖三: 單管原系統示意圖 圖四：單管等效系統示意圖

2.2 多管含接頭之物理模式分析

圖五為連續管線含接頭勁度之物理模式，其中每根管線皆會有兩個管線端點 位移量

u

_2n-1、

u

_2n；兩個地表位移量

d

_2n-1、

d

_2n；及一組平移外力 P1n

一組拉伸外 力 P2n

，而

u

_2n-1為每根管線起始端的管線位移量，

u

_2n為每根管線末端的管線位移 量，

d

_2n-1為每根管線起始端的地表位移量，

d

_2n為每根管線末端的地表位移量，

若取出 m 根管線分析時，便會產生 2×m 個方程式，故根據此等效力-彈簧系統之 建立結果，各管線端點位移量便可以下列之通式表之：

1

u

2 n- ：

~ 6 )

~ ( ) ~

~

( ~

_{2 1 2}

2

2n- p s j n- p n n s n s

j

u k k k u - k u d k - e k

-k    

(11a)

u

₂n：

~ 6 )

~ (

~ ) ( ~

~

1 2 2

1

2n- p s j n j n n s n s

p

u k k k u - k u d k e k

k

-   

_

 

(11b)

其中：

平均地表位

d

_n：

2

2 1

2n- n

n

d

d d



 (12a)

地表位移差

e ：

_n

e

_n 

d

_2n

- d

_2n-1 (12b) 原系統：

等效系統：

圖五: 連續管線原系統與等效系統示意圖

2.3 邊界條件設定

無窮連續管線在分析上，須藉由端點管體之變位假設予與有限化，以進一步 執行數值分析或理論解析。本小節介紹 2 種不同端點邊界條件之處理方式分別 為，case1：端點接頭位移差均相同；case2：端點管線位移差均相同

Case 1：等接頭位移差修正

在無窮連續管線中擷取出 m 根管作此種修正之分析，取第 1 根管與第 m 根 管的兩端接頭位移差均相等之設定下，即

u

₁

-u

₀

u

₃

-u

₂、

u

_2n1

-u

_2n 

u

_2n-1

-u

_2n-2，便 可得連續管線等接頭位移差修正後之通式為：









 



 

 



 



 



 

 

 



 



 







 

 

 





 





 













m

n n

n s

s s s m

n n

n- j nm j j

nm

j n j

n j

n n- m

n p nm j p s j nm j

j n p j

n j s p

e d / k k

/ k - k u

u k -k

k

k k

-k

u u k - k k k k

- k -

k - k - k

- k k k

1

1 2 1

2 1 2

1

2 1 2 1

1 1

)

~ 6

~ ( ~ 6 )

~ ( δ

δ

δ δ

~ δ δ ~

~ ~ δ

~ δ

~

(13)

其中，δ為替代函數(delta function)，當_ij

i

 時

j δ

_ij

 1

；當

i

 時

j δ

_ij

 0

。 原系統：

等效系統：

圖六: 四根管線示意圖

欲更明確的了解在等接頭修正後矩陣型態之改變，茲以取出如（圖六）四根 管線分析，因各接頭位移差均相等，故

u

₁

- u

₀ 

u

₃

- u

₂，

u

₅

- u

₄ 

u

₃

- u

₂，便可得 等接頭位移差之修正矩陣如下：

 

 







 

 









 

 

 





 

 





 

 







 

 



















)

~ 6

~ ( ~ 6 )

~ ( ~ 6 )

~ ( ~ 6 )

~ (

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

2 2

2 2

1 1

1 1

4 3 2 1

s s

s s

s s

s s

s p j

p j

p j

s p j

j j

s p p

j j

p s

p

k e k d

k e - k d

k e k d

k e - k d

u u u u

k k -k

k - k

k - k k k -k

-k k

k k k -

k -k

k - k

k

(14)

由(14)式可推導出管線端點位移與管線端點地表位移之關係式，並將此關係式代 入矩陣(14)式中，即可求出接頭兩端位移量之關係式：

















 



 

























)

~ 6 (

~) 2~ (

)

~ 6 (

~ ) 2~ (

~ 2~

~ 2~

2 2

1 1

3 2

s s

p

s s

p

j s p j

j j

s p

k e - k k d

k e k k d u

u k k k -k

-k k

k

k

(15)

圖七: 接頭兩端位移量之等效物理模式

圖七為式(15)之等效物理模式，經由式(15)不僅可了解接頭位移差，進而可 分析連續管線之節點變形率之變化情形。解析(15)式可得：

ε L R R R

R

R

_{s s s s j} ^g

j

)

2 csch coth

( 2

Δ   

(16)

其中

ε

_g^{為地表應變量，參數}

^R

_s為土壤勁度與軸向管線勁度之比值，定義為

EA L R

_s

k

^s

2



；

R 為接頭勁度與軸向管線勁度之比值，定義為

_j

EA L R

_j 

k

^j 。 根據節點變形率之定義可得其解如下：

tanh 2 2

tanh 2 Γ

s j

s

s

j

R

R R

R





(17)

Case 2：等管線位移差修正

在無窮連續管線中擷取出 m 根管線作等管線位移差之修正，將第 1 根管與 第 0 根管及第 m+1 根管與 m 根管的管線位移差相等之設定下進行分析，即

1 2 1

0

-u u -u

u

_-  、

u

_2n2

-u

_2n1

u

_2n

-u

_2n-1，便可得等管線位移差之修正後之通式為：













  



  

 

 







 

 







 

 



 

 

 





 





 







 

 

 





 





 













1

1

1 1 1

1 2

3 2 ) 1 ( )

1 (

1 1

1 2

2 2 1

1 ( 1) ( 1)

1 1

~ 6 0 ~

0

0 0

~ 6

~ δ ~

~ δ ~

δ ~ δ ~

~

δ ~

~

~ δ ~

δ ~ δ ~

~

~

m

n

n n n- n-

s s s s m

n n

n- p m n p p m n

p n p

n p

n- n- m

n j n m p p s j nm p

p n j p

n j s p

e d e d

/ k - k / k k u

u k k

- k

k k

k -

u u k -

k k k k

- -k

k - -k k

- k k k

(18)

原系統：

等效系統：

圖八: 三根管線示意圖

為簡化分析，圖八為三根管線之模型，在各管線位移差均相等之情況下，知

1 2 1

0

-u u -u

u

_-  、

u

₄

-u

₃ 

u

₂

-u

₁，便可得等管線修正後之矩陣形式為：

 

 







 

 













 

 





 

 





 

 







 

 



















)

~ 6

~ ( ~ 6 )

~ ( ~ 6 )

~ ( ~ 6 )

~ (

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

2 2

1 1

1 1

0 0

3 2 1 0

/ k e - k d

/ k e k d

/ k e - k d

/ k e k d

u u u u

k k -k

k - k

-k k

k k k

-

k - k

k k -k

k -k

k - k

k

s s

s s

s s

s s

j s j

p p

j j

s p p

p j

s p j

p j

p j

s

(19)

經由(19)式可得管線端點位移與管線端點地表位移之關係式，將此關係式代入矩 陣(19)式中，即可得管線端點位移量之關係式：





















 



 

























)

~ 6 (

~ ) (

)

~ 6 (

~ ) (

~ 2

~

~ 2 ~

~

~

1 1

2

1 1

0

2 1

s j

s j

s j

s j

j s p p

p j

s p

k e k k d k d

k e - k k d k d u

u k k k k

-

k - k

k

k

(20)

圖九: 管線兩端位移量之物理模式

圖九為式(20)之等效物理模式，此法之修正結果不僅可充分了解管線端點位 移差，進而可了解到各管線之管線應變率。由(20)式可知連續管線之管線端點位 移差為：

ε L R R

R

R

-

_g

s j

s

s

p )

tanh 2 2

tanh 2 1

Δ (



 (21)

當地表位移為線性時，各管線最大應變量會發生於各管線之中點，即將

2 x  L

代 入(4)式中，經過簡化整理後可得：

) )(

sinh 2 2

1 ( 1

) )(

sinh 2 2 ( 1 2 )

(

_{2 1}

d

₂

-d

₁

L β - β -u L

β u L

β

ε L  

(22)

將(21)式代入(22)式中，可得管線最大應變之反應如下：

g s s

s j

ε R R

R R L -

ε )

sinh 2 2

cosh 2 1 1 ( 2 ) (





(23)

經由管線應變率定義可得其解如下：

sinh 2 2

cosh 2 1 1 Γ ^max

s

s j g s

s

R

R R R

ε - ε





 (24)

2.4 等效系統分析與有限元素法分析之比較

本研究所建立之等效系統是以正解分析而得，在此將與傳統以有限分析弱解 分析所推求之等效系統相作比較。

典型有限元素分析假設軸向管線位移

u (x )

及軸向地表位移

u

_g(x)皆為線性 變化：

) ( )

( )

(

x u

₁

φ

₁

x u

₂

φ

₂

x

u

  (25a)

) ( )

( )

(

x d

₁

φ

₁

x d

₂

φ

₂

x

u

_g   (25b)

其 中 ， 在 方 程 式 (25a) 、 (25b) 中 管 線 端 點 之 形 狀 函 數 分 別 為

L

- x

φ

₁

( x )  1

、

L x x

φ

₂

( ) 

。利用有限元素中的弱解分析求解(1)式，並搭配力學之疊加原理整合 後，便可得單管無接頭之位移關係式為：

 







 







 







 









 







 







 







 









 







 







 







 







2 1

2 1

2 1

3 6

6 3 3

6 6 3

d d L k L k

L k L k

u u L k L k

L k L k

u u

L EA L

- EA

L - EA L

EA

s s

s s

s s

s s

(26)

(26)式經過分解後，亦可得單管等效力-彈簧勁度系統，此系統之結構矩陣式與正 解之形式相同。但有限元素法中之等效勁度則改變為：

管體等效勁度：

6

~

k L

L -

k _p



EA ^s

(27a)

土壤等效勁度：

2

~

k L

k _s



^s

(27b)

此有限元素分析也可進行接頭位移差、節點變形率、管線位移差及管線應變 率的分析。有限元素法分析下之接頭位移差為：

ε L R R

_{s j} ^g

j )

12 12

( 12

Δ    (28)

將(28)式經由節點變形率之定義，便可求得連續管線之節點變形率為：

j s

g

j

ε L R R

-u u

12 12

Γ ^{3 2} 12



 

 (29)

此外，有限元素法分析下之管線位移差為：

ε L R R

R R

g j s

j s

p

)

12 12

( 12

Δ  

 

(30)

其對應管線最大應變量為：

g

s j s s

ε

R R R R

ε - ]

6

) 12 12

( sinh 2

1 1

max

[



 

(31)

由管線應變率之定義可得知有限元素法分析下之管線應變率：

sinh 2 6

) 12 12

( 1 1 Γ

^max

s s

j s

g

s

R

R R - R

ε ε



 



(32)

正解與有限元素法所求得之節點變形率及管線應變率，可以圖十及圖十一作 為說明。圖十為管線應變率及節點變形率之數值比較，分析結果顯示誤差主要發 生在 6＜R_s＜100 之參數範圍，但此範圍內誤差有限，故在利用有限元素法分析 管線應變率時，其近似解與正解分析所得之結果相當的接近，可供工程上之分析 與應用。圖十一為節點變形率之數值結果比較，此結果顯示在 R_s>1 時有限元素 法將產生不可忽視之誤差，且接頭變形率之誤差，相對於管線應變率之誤差，顯 然較為敏感。

圖十: 管線應變率

圖十一: 接頭變形率

三、非線性地下管線等效力-彈簧系統：管體滑動分析

地下管線系統在承受大量地表位移時，可能產生管體滑移之非線性行為，此 一情形下可考慮重新整理(1)式得

2

2

( ) _{s g}( )- ( )

d u x

EA -k u x u x

dx

   (33)

上式右手側代表土壤對管體之束制力量，必須隨滑移過程作更改，假設土壤-管 體之力-位移關係如圖十二所示，則當管線與土壤位移差之摩擦力比土壤靜摩擦 力小時，即

k _s [ u _g  )] u ( x  f _y

，此時管體與周圍土壤尚未發生滑移，其靜力平衡 控制方程式仍為式(33)；倘若管線與土壤位移差之摩擦力比土壤靜摩擦力大時，

即

k _s [ u _g  )] u ( x  f _y

，此時管體與周圍土壤就產生滑移，其靜力平衡控制方程式 則變為

2

2

( ) -

_y

d u x

EA f

dx 

，

0  x  L

(34)

其中

f 為土壤靜摩擦力，E 為管線的彈性模數，A 為管線斷面積。式(34)可解出 _y

管線元素之軸向位移

u x ( )

為：

2

1 2

( ) 2 -f x

y

u x C x C

 EA  

(35)

( )- ( ) u x u x

g

f

s

f

y

ks

u

圖十二: 管體-土壤之軸向位移差與土壤靜摩擦力之關係圖 式(35)含兩個未定係數可由兩個邊界條件決定係數值。此兩個邊界條件為：

(0) 1

u



u

(36)

( ) 2

u L



u

(37)

其中

u 為管線元素起始端的管線位移，

₁

u 為管線元素末端的管線位移。由(36)

₂ 式與(37)可求得兩個未知數C 與₁ C 為₂

u 、

₁

u 、

₂

f

_y之函數如下：

2 1

1

2

f L

y

u - u

C L EA

 

   

 

(38)

2 1

C



u

(39)

其中(37)式與(39)式中之

f

_y為管體與周圍土壤間滑移的平移力。根據(38)式與(39) 式，此位移反應

u (x )

可寫為：

2 2 1

( )

1

2 2

y y

-f f L u - u

u x x x u

EA EA L

 

     

 

(40)

管線元素的應變則為管線位移函數

u (x )

對距離 x 的一次微分：

2 1

( ) ( )

2

y y

-f f L u u

εx du x x

dx EA EA L

    

(41)

而管線元素中的內力可由

P

(

x

)

EAε

(

x

)求得，在此設定

P

₁

 P ( 0 )

為管線元素起 始端所產生的內力，

P

₂ 

P

(

L

)為管線元素末端所產生的內力，假設管線受拉力 為正時，即

P

₁ 

-P

(0)，則管線元素的勁度矩陣為：

1 1

2 2

1 1 1

1 1 2

y

y

P EA - u f L P L - u f L

      

   

    

 

      (42)

3.1 單管等效彈簧系統

單管無接頭如圖十三，因暫時不考慮接頭勁度，即

k

_j= 0 的情況下，可將(42) 式簡化為：

EA EA

1

L L

EA EA

2

L L

1 2

y

y

- u f L - u f L

    

  

  

 

   

(43)

(43)式中之矩陣排列為典型之彈簧串連模式，因而可直接表作

1

2

p p

p p

k -k u P

u P

-k k

    

   

   

 

  

   (44)

其中：

管線等效勁度：

k

_p

^EA

 L



(45)

管線平移力：

P  

¹₂

f L

_y (46) 其對應之等效系統則示於圖十四。

L A,

E, ¹ ₂ f L _y

1 2 f L y

圖十三： 單管原系統示意圖 圖十四： 單管等效系統示意圖

3.2 多管含接頭等效彈簧系統

圖十五為連續管線含接頭勁度於進入非線性時之物理模式，其中每根管線皆 會有兩個管線端點位移量

u

_2n-1、

u

_2n；及一組平移外力 P，而

u

_2n-1為每根管線起 始端的管線位移量，

u

_2n為每根管線末端的管線位移量，若取出 m 根管線分析時，

便會產生 2×m 個方程式，故根據此一力-彈簧系統，則各管線端點位移量便可以 下之通式表之：

2_n-1 _j 2_n-2

(

_{p j}

)

2_n-1 _p 2_n

u ： - k u   k  k u - k u   P 

(47)

2_{n p} 2 1_n- ( _{p j}) 2_{n j} 2_n 1

u

：

- k u

  

k



k u - k u

_

P

 (48)

其中 P：每根管體所受之平行力

 ^

¹²

^{f L}

^y



。而其對應之物理模式如圖十五所示。

原系統：

等效系統：

圖十五：連續管線原系統與等效系統示意圖

執行非線性分析時可採 step-by-step 之方式，由前一節所說明之線性系統作 為分析起點，每一步檢查管體與土壤間之束制力，當

k _s [ u _g  )] u ( x  f _y

時，表示 該管線仍在未滑移階段，但若

k _s [ u _g  )] u ( x  f _y

時，則表示該管線已產生滑移。

進入此階段後，需要將此連續管線的等效勁度矩陣做修正，其修正方式為以式(44) 之子矩陣取代線性矩陣，典型修正後之連續管線的等效 tangential 勁度矩陣如下 式：

1 1

2 2

2 1 1 1

2

2 1

( 6 ) ( 6 )

( 6 )

p s j j n- n- s n- s

j p s j p n- n- s n- s

p j j n

n n s n s

j p s j

... k k k -k ... u d k - e k

... -k k k k -k ... u d k e k

... -k k -k ... u

u d k e k

... -k k k k ...

^

    

      

    

       

     

    

     

  

   

 

   

    

  

 

p

  P

k

 

 

  

 

 

  

(49)

此一 step-by-step 的過程持續進行直到力量平衡及位移收斂為止，此時管線不會 再產生滑移，所求得累積之位移量即為管體滑移後之位移量。

3.3 實例分析

本實例採地表位移函數為

u (x)

_g 之數學式

2 2

1 cos ( )

g xL

u (x)



- π



  (50)

其中，

xL

為單一管線長度。

分析採以下假設：1. 每根管線之材料性質均相同，即

E

、

A

、

L

均相同；

2. 各管線長度

L

=10m、土壤之勁度

K

_s=200、接頭之勁度

K =120、

_j

f

_y分別為 8.85、5.85、2.85 進行分析、地表位移總長

L = m xL ×

，m 為此函數涵蓋之管線 根數，總根數 m=50。將此假設情況下以 Fortran 程式進行分析，在不同

f

_y時分 析所得之管線軸向位移比較於圖十七。

由分析結果發現，當

f

_y越低，即管體與土壤間的磨擦力越小越容易發生滑 動，所造成的位移差牽引力就會越大。線性階段的管線軸向位移與地表位移是相 同的，但在產生滑動後其管線的軸向位移會減少，且隨著

f

_y下降軸向位移減少 幅度有增大的趨勢，意味著在此位移函數作用下於位置 100m~400m 內的管線已 達滑移狀態，其顯示出在地表位移的作用下，當地下管線與周圍土壤發生滑動後 是對管體產生一保護作用並不會造成管線的破壞。

圖十六: 線性、非線性狀態之管線軸向位移比較

四、結論與建議

本研究結果可得到以下的結論。

 本研究中將原均布土壤彈簧系統之結構矩陣以等效力-彈簧系統取代分析，

以便能更有效率且精準地推測連續管線的端點位移量、接頭位移差及管線變 形率之變化情形。此等效的概念適用範圍甚廣，即使在連續管線中各管線之 材料性質均不同，亦可利用此概念將各管線一一的做出所對應於該管線的等 效力-彈簧模式來進行分析。

 本研究提出等接頭位移差及等管線位移差兩種不同的邊界條件，作為切割無 限連續管線之方法以便於進行數值分析。此兩種邊界條件不僅可提供更快之 數值收斂效果(以較少之管體數模擬無窮延伸管線系統)，更可於線性位移情 形下，將連續管線自由度減至最少求出數學解析解。

 本研究比較正解與有限元素法分析管線最大應變，比較結果顯示兩方法所求 得之最大管體應變差異不大；即說明了利用有限元素法在分析連續管線之管 線最大應變時，可提供可靠之近似解，然在接頭位移量分析時，有限元素分 析可產生明顯之誤差。

 地下管線在管體與周圍土壤發生滑動後，將產生類似隔震效應之外力隔絕現 象，因而對管線產生保護作用，並不會因大量地表位移的強制束縛產生管體 或接頭的大幅變形。

本研究並提出以下建議以供後續之分析參考。

 本研究分析所得之等效系統可判讀出在地表變形下管線所承受之端點外力 分配模式，含一對同向力(正比於地表絕對位移)及一對反向力(正比於地表相 對位移，即地表應變)，此一結果有助於在地表變位已知之情形下類似側推 程序中之外力施加動作，直接對管體進行外力之分配。

 本分析模式應可繼續延伸，以連結地表應變與地動參數如 PGV 作為系統之 輸入，以管線系統之最大非線性節點變位與最大管體變形量作為輸出，而形 成管線系統功能設計分析之基本架構。