基于改进悬链线及多目标优化的系泊系统设计

基于改进悬链线及多目标优化的系泊系统设计 摘 要

本文运用系统分析的方法研究系泊系统，分析了系统参数（风速、水速、水深、构 件的尺寸和质量）与系统状态变量（浮标吃水深度、游动区域和锚链形状、钢桶倾斜角 度）的关系。通过汇交力系的平衡方程分析了构件之间的作用力、构件和系统外部的作 用力，再通过力矩平衡方程分析了构件的倾斜角度。

问题一是求解问题，在给定水深、风速和链长、球重等系统参数的条件下，求系统 的平衡状态。本文运用了系统整体分析和自底向上的局部隔离法分析。首先，假设吃水 深度为h，得到浮标浮力，对由锚链、钢桶、钢管和浮标组成的系统进行整体分析，根 据总重力、总浮力、风对浮标的推力和锚对锚链下端的拉力这四种外力的均衡，得到锚 对第一节链环的拉力；再将链环作为研究对象，根据改进的悬链线方程得到所有链环的 拉力和倾斜角；接着，根据最后一节链环对钢桶的拉力，利用力平衡方程分析得到钢桶 的拉力和倾斜角；然后，类似地依次向上计算4 节钢管的拉力和倾斜角；最后，计算所 有构件的竖直投影高度，加上浮标吃水深度，即为水深。通过逐步求精找到满足水深条 件的吃水深度，从而确定所有链环、钢桶、钢管的倾斜角度，计算构件水平投影长度，

得到浮标游动半径，并利用线段模拟得到锚链的形状。为了验证模型的误差大小，根据 最上一节钢管的拉力分析浮标的受力情况，由浮标浮力得到浮标吃水深度，将其与前面 所求吃水深度对比。具体结果如下：

风速 (m/s)

锚链与 海床夹

角

未拉起 锚链长 度(m)

钢桶倾 斜角度

浮标游 动半径

(m)

浮标吃 水深度

(m)

校验吃 水深度

(m)

误差率 12 0° 6.72 0.5272° 14.25988 0.73688 0.73095 0.8%

24 0° 0.21 2.0475° 17.26319 0.75103 0.74528 0.7%

问题二是问题一的反问题，给定系统平衡状态满足的两个条件（钢桶倾斜角不超过 5°，锚链与海床夹角不超过 16°）求系统的参数——重物球的质量。首先计算海面风 速为36m/s 时锚链与海床夹角为 17.83892°、钢桶的倾斜角度为 4.40762°、浮标的最 大游动半径为18.42819m。然后推导了重力球质量与上述两个角度的关系，求得锚链与 海床夹角不超过16°时重力球质量至少为 1630.8851kg。

问题三，当风荷载与水流力方向一致时，合力最大，钢桶的倾斜角度最大，浮标游 动半径最大。因此只考虑方向一致的情况，将三维空间问题转化为二维平面问题。首先，

建立考虑水流作用的模型，并通过理论推导和数值实验分析了水深、重物球质量、锚链 长度、型号等参数对浮标吃水深度、浮标游动区域半径和钢桶倾斜角度等状态的影响。

然后，将系泊系统设计看作多目标的系统优化问题，即确定锚链的型号、长度和重物球 质量这三个系统参数，使得浮标的吃水深度和游动区域半径及钢桶的倾斜角度这三个系 统状态量尽量小。由于水深16m~20m 之间，系泊系统的三个状态量不固定，经分析，

水越深，浮标吃水深度越大，浮标游动区域半径和钢桶倾斜角度越小，因此用最小水深 时的浮标游动半径和钢桶倾斜角度、最大水深时的浮标吃水深度作为优化目标。最后，

转化为双目标优化模型，求得帕累托最优边界。

关键词：改进悬链线方程；多目标优化设计；平面任意力系平衡；整体分析；误差分析

§1 问题的提出

1.1 背景知识

随着世界科技与经济的快速发展，人类对海洋领域的开发探索也进入了发展新阶段。

众所周知，开发利用任何形式的能源都离不开工程结构设备，如船舶、水下探测器、近 浅海观测网等，然而无一例外在这些工程结构设备中，系泊系统是设备的重要组成部分，

在维护设备持续稳定工作中有着至关重要的作用。系泊系统不仅是收集海洋环境资源的 数据资料辅助工具，还是海洋工程、海洋平台、海洋养殖最常用的定位方式之一。伴随 着近海工程从近海领域逐步向深远海领域发展，系泊系统的应用亦越来越广泛，推动了 海洋科技的发展。

1.2 相关的数据

附表 锚链型号和参数表

型号 长度(mm) 单位长度的质量(kg/m)

I 78 3.2

II 105 7

III 120 12.5

IV 150 19.5

V 180 28.12

1.3 要解决的问题

设计系泊系统，确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游 动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

1、某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg。现将 该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3 的海域。若海 水静止，分别计算海面风速为12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、

浮标的吃水深度和游动区域。

2、在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链 形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5 度，锚链 在锚点与海床的夹角不超过16 度。

3、由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m~20m 之间。布放点的海 水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情 况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水 深度和游动区域。

§2 问题的分析

从系统分析的角度，系泊系统包含多个组件及参数、变量，归纳如下。

1、问题一是求解问题，在给定水深、风速和链长、球重等系统参数的条件下，确 定系统平衡状态时各构件的状态变量，包括钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮 标的吃水深度和游动区域。显然，本题给定的系统参数可以唯一确定系统平衡状态变量。

因为系统参数可以唯一确定系统状态变量，那么，吃水深度是系统参数的函数，在 给定其余参数值时，吃水深度可由水深唯一确定，因此，水深可以表示为吃水深度的函 数。我们假设吃水深度为h，即可得到浮标浮力，根据系统整体处于重力、浮力、风的 推力、锚的拉力这四种系统外力的平衡状态，可得锚对第一节链环的拉力；再根据改进 的悬链线方程计算得到最上一节链环的受力情况；进而依次向上分析得到钢桶、钢管的 受力情况，再根据力矩平衡得到所有链环、钢桶、钢管的倾斜角，从而得到锚链、钢桶、

钢管的竖直投影高度，加上吃水深度，即为水深。因此，根据吃水深度h 可以得到水深 H0，求解方程即可计算出吃水深度h。在确定了吃水深度 h 的值后，即可确定所有构件 的倾斜角度，从而得到所有构件的水平投影长度，即得浮标的游动半径。

2、问题二是问题一的反问题，给定系统平衡状态满足的两个条件，即钢桶倾斜角不 超过5 度，锚链与海床夹角不超过 16 度，求系统的参数——重物球的质量。

3、问题三的系泊系统设计可以看作多目标的系统优化设计问题，即确定锚链的型 号、长度和重物球质量这三个系统参数，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜 角度这三个系统状态量达到最优（即尽量小）。

§3 模型的假设

 假设浮标水平；

 不考虑海浪的影响；

 忽略锚链和重物球的浮力；

 不考虑链环连接处重叠部分对链环节数的影响；

 海水各层次的水流速度相等；

 风荷载和水流力方向平行于海平面。

§4 名词解释与符号说明

4.1 名词解释

 悬链线方程^[1]：悬链线是一种曲线，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂 相似而得名；

 力矩：在物理学中是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。

4.2 符号说明 符号 说明

H

0 海域的水深

h

标 浮标的高度

h

浮标的吃水深度

H

链 锚链在

_z

轴方向的投影高度

H

桶 钢桶在

_z

轴方向的投影高度

H

管 钢管在

_z

轴方向的投影高度

l

链 锚链的长度

l

环 每节链环的长度

l

桶 钢桶的长度

l

管 每节钢管的长度

m

链 锚链的质量

m

桶 钢桶的质量

m

球 重物球的质量

m

管 钢管的质量

m

标 浮标的质量

d

桶 钢桶的直径

d

管 钢管的直径

d

标 浮标的直径

G

锚链、钢桶、重物球、钢管、浮标组成系统的重力

F

风 锚链、钢桶、重物球、钢管、浮标组成系统的风荷载

F

浮 锚链、钢桶、重物球、钢管、浮标组成系统的浮力

F

浮_桶 钢桶的浮力

F

i 自下而上第

_i

个构件下端的拉力大小

V

桶 钢桶的排水体积

V

n_管

n

管节钢管的排水总体积

V

四节钢管的排水总体积

V

标 浮标的排水体积

i 自下而上第

_i

个构件拉力方向与水平方向的夹角

i 自下而上第

_i

个构件轴向方向与水平方向的夹角

n

锚链的链环节数

n

管 钢管的节数

n

0 沉在海底链环的节数

n 钢桶下端拉力方向与水平方向的夹角

1

n_ 钢桶上端拉力方向与水平方向的夹角

n 钢桶轴向方向与水平方向的夹角

_桶 钢桶的倾斜角度

R

浮标的极限游动半径

1

F

水 浮标所受的水流力

2

F

水 钢桶受到的水流力

1

S

水 浮标在水流速度法平面的投影面积

2

S

水 钢桶在水流速度法平面的投影面积

v

风 海风速度

v

水 水流速度

R

s 最小水深时的浮标游动区域半径

_R

^s

h

d 最大水深

n 1s

 最小水深时的钢桶倾斜角度

§5 模型的建立与求解

5.1 对问题一的分析与求解 5.1.1 问题一求解思路

首先从整体出发对锚链、钢桶、重物球、钢管、浮标组成的系统进行受力分析，分 别考虑所有链环均被拉起和部分链环未被拉起两种情况，分别求出锚对系统的拉力或最 后一节没有被拉起来的链环对系统剩余部分的拉力（均记为

_F

₁），及拉力轴向方向倾角

 。接着从系统的局部出发自下而上分别对锚链的链环单元、钢桶、每一节钢管进行受1

力分析，根据平面任意力系的平衡方程，分别列出链环单元、钢桶和每一节钢管的受力 平衡方程式，进而推导出链环单元轴向方向倾角 和链环受力方向倾角_i  之间的关系式_i 以及链环单元首尾两端受力方向倾角 和_i _i1（亦即下一节链环首段受力方向的倾角）

之间的关系式，其中最后一节链环的受力需要考虑到重物球对其的拉力，同理推得钢桶 和钢管单元首端轴向方向倾角和受力方向倾角、末端轴向方向倾角之间的关系式。最后 利用迭代法自下而上求得各段轴向方向倾角和受力方向倾角，钢桶和各节钢管的倾斜角 度即为各倾角的余角。再由各段的倾角值求得各段的函数表达式、各段在竖直方向的投 影高度和在水平方向的投影长度，用分段函数表达式描述出锚链的具体形状，根据水深 和吃水深度、各段在竖直方向投影高度的关系求解出浮标的吃水深度，各段在水平方向 的投影长度即为浮标的极限游动半径，从而求出浮标的游动区域。求解思路图示如下。

图1 吃水深度的求解流程

5.1.2 系统整体受力分析

以锚链和锚的连接点为原点，海面风的风向为

_x

轴，垂直于海床指向海平面的方向 为

_z

轴建立直角坐标系。

图2 xOz 坐标系

将锚链、钢桶、重物球、钢管、浮标看作一个整体，进行受力分析，整体受力包括风荷 载

_F

_风、系统重力

_G

、浮力

_F

_浮（为了简化计算，略去锚链和重物球所受到的浮力，仅考 虑钢桶、钢管、浮标所受到的浮力）以及锚对第一节链环的拉力。

风荷载为

_F

_风

_{=0.625 S v}

_{上 风}²

_{=0.625 d v h h}

_桶 ²_风

_{( - )}

_标 钢桶的排水体积为

2

4 V

_桶





l

_桶

d

^桶

n

管节钢管的排水总体积为

2 n

4

V 



l n d

管

管 管 管

四节钢管的排水总体积为

2 2

4

4 4

V 



l

_管

d

^管





l d

_{管 管}

浮标的排水体积为

2

4 V

_标





h d

^标

整体受到的浮力为

_F

_浮





_gV 



_{g V (}

_桶

 _V

_管

 _V

_标

₎

整体受到的重力为

G m g m g m g n m g m g 

_链



_球



_桶



_{管 管}



_标

锚对整体的拉力即锚对第一节链环的拉力

_F

₁ ,将拉力

F

₁分解为沿

_x

轴方向的水平分 力

_F

_x和沿

_z

轴方向的水平分力

_F

_z，整体受力平衡关系式如式(1)所示。

x z

F F

F F G

 

  



风

浮

(1) 在上式中，对系统需考虑两种情况。

图3 第一种情况 图4 第二种情况

第一种情况，总浮力大于总重力。当

_F

_浮

 _G

，即

_{F }

_z

₀

时，式(2)成立，则锚对第一 节链环的拉力和链环受力方向的倾角为

2 2

1

1

arctan

z x

z x

F F F

F



F

  

 

 



(2)

第二种情况，总浮力小于等于总重力。当

_F

_浮

 _G

，即

_{F }

_z

₀

时，式(2)不成立，此时 锚对系统无竖直方向拉力，忽略链环所受浮力，有部分链环水平躺在海床上，仅受海床 的支持力和自身重力，则最后一节没有被拉起的链环对系统剩余部分有竖直方向的拉 力，设共有

_n

₀ 链环没有被拉起来。

其中，

_n

₀

^F

^z

m g

  

 



^环



（

_{   }

表示向上取整），则最后一节没有被拉起来的链环对系统 剩余部分的拉力为

0

0 0 0

xn

zn z

F F

F n m g F n m g F G

 

     



风

环 环 浮

解得拉力、拉力方向与水平方向的夹角分别为

0 0 0

0 0

0

2 2

1

1

arctan

n zn xn

zn n

xn

F F F

F



F





  

 

 



(3)

5.1.3 锚链的受力分析

悬链线方程的改进^[2]：传统的悬链线方程是在绳受力方向必沿绳切线方向的基础上 推导而得，但是链环、钢桶和钢管均不是二力杆，所以需要考虑到实际情况下链环、钢 桶和钢管的受力方向并不是沿着它们的轴向方向，轴向方向倾角和受力方向倾角有一定 的偏差。传统的悬链线方程仅仅根据所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分

别等于零，我们在其基础上进行改进，加入力矩平衡方程式（

 _{M F }

_o

_{( ) 0}

_i ^{），得到改}

进后的悬链线方程，具体改进过程如下。

以链环、钢桶和钢管作为研究对象，根据平面任意力系的平衡方程，分别列出链环、

钢桶和钢管的受力平衡方程式。

0 0 ( ) 0

z x

o i

F F M F

 

 

  



 



系泊系统正常工作时，锚链是悬链状态。由于锚链质量均匀，具有较好的柔韧性，

因此可以将其视为悬链线问题，以单个链环为研究对象进行受力分析，如下图 所示。

设链环单元的轴向方向斜角为 ，下端的拉力方向斜角为_i  ，上端的拉力方向斜角_i 为_i1 。

图5 对链环的受力分析

单一链环单元受力包括下端受到的拉力

_F

_i和上端受到的拉力

_F

_i1，以及自身重力

_G

_环

（为了简化计算，忽略链环单元所受到的浮力），得到任一链环单元的受力平衡关系式 如下式所示

1 1

1 1

cos sin cos cos sin 0

2

sin sin

cos cos

i i i i i i i

i i i i

i i i i

G l F l F l

F G F

F F

    

 

 

 

 

    

 

 

  

 

环

环 环 环

环

推导得 和_i  、_i _i1 之间的关系式

1 1

1

1 1

tan tan

2 cos

tan tan

cos

i i

i i

G F G F

 



 

 ^

  

 

   



环

环

①

②

(4)

最后，由式(4)求解出的拉力

F

₁、拉力方向与水平方向的夹角 ，利用迭代法对上式₁

②进行迭代得到链环的受力方向斜角 ，再通过式①得到链环单元的轴向方向倾角_i  。_i 值得注意的是，假设锚链共有

_n

节链环，当推导至对最后一节链环受力分析，即第

_n

节链环时，链环的受力情况改变（末端链接处悬挂了一重物球，增加竖直向下的拉力

G

球），受力分析图如图6 所示。

图6 自下而上的最末端链环受力分析图

同理，推导得到 和_n  、_n _n1 之间的关系式如下

1 1

1

1 1

tan tan

2 cos

tan tan

cos

n n

n n

G F

G G

F

 



 

 ^

  

 

 

  



环

环 球

(5)

进而利用迭代法得到最后一节链环首段受力方向倾角 ，以及最后一节链环的轴向_n 方向倾角 。_n

5.1.4 钢桶的受力分析

以钢桶为研究对象进行受力分析，受力分析如下图所示

图7 对钢桶的受力分析

钢桶受力包括钢桶两端张力（第

_n

节链环对钢桶的拉力

_F

_n1和第1 节钢管对钢桶的 拉力

_F

_n2），重物球对钢桶的拉力

_G

_球，以及钢桶自身重力

_G

_桶和浮力

_F

浮桶，受力平衡关 系式如下式所示。

 

1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

cos sin (cos cos sin ) 0

2

sin sin

cos cos

n n n n n n n

n n n n

n n n n

G F l G l F F l

F G G F F

F F

    

 

 

      

   

   

        

  

 

    

  

 

桶

桶

桶 浮

桶 球 桶 桶

浮

桶 球

经过推导得到_n1和_n1、_n2 之间的关系式如下

1 2

1 1

1 1

1 1

tan tan

cos

2 2

tan tan

cos

n n

n n

G G F

F

G F G

F

 



 



 

 

 

  

 

  

  



桶

桶

浮

桶 球

浮

桶 球

(6)

进而利用迭代法得到钢桶的下端受力方向倾角_n1、_n2和钢桶轴向方向倾角_n1。 5.1.5 钢管的受力分析

以钢管单元为研究对象进行受力分析，对钢管上端点求矩，如图8 所示。

图8 对钢管的受力分析

设共有

_n

_管节钢管，第

_i

节钢管单元的受力包括钢管两端所受的张力

F

管i 和

1

F

管i_ ，以 及自身重力

_G

_管和浮力

_F

浮管，建立受力平衡方程式如下式

1 1

1 1

cos sin cos cos sin 0

sin 2 sin

cos cos

i i

i i

i i

i i i i i

i i

i i

G F

l F l F l

F G F F

F F

    

 

 









 

   

    

  

 

管

管

浮 管

管 管 管 管 管

管 管 管 浮

管 管

经过推导得到 和_i  、_i _i1 之间的关系式如下式

1

1

1

1 1

tan tan

2 cos

tan tan

cos

i i

i i

G F

F G F F

 



 

 ^

 

 

 

 

  

 

管

管

浮 管

管

浮 管

管

(7)

同理，最后利用迭代法得到钢管单元的受力方向倾角 和钢管单元的轴向方向倾角_i

 。i

5.1.6 系统状态

钢桶和各节钢管的倾斜角度：由图可知各段的轴向方向倾角是各段倾斜角度的余角，

根据上述模型可先求出钢桶和各节钢管的轴向方向倾角，再得到钢桶和各节钢管的倾斜 角度。

锚链形状：由于锚链是由无数段链环组成，每一节链环不可伸缩弯曲，所以可将锚 链的函数关系式看作由无数条直线函数表达式组成的分段函数。设每节链环的函数表达 式为

_{y kx b  }

。

首先，根据上文所求得的每一节链环受力方向竖直角 ，可求得每一节链环模拟直_i 线的斜率为

_k  _tan

_i。

图9 截距

其次，截距的求解由图9 可知，截距为 ₁

1 1

tan

ⁿ

cos

ⁿ

sin

i i i i

i i

b

_

l



l



 

  

^环

 

^{环 ，因此链}

环模拟直线的函数表达式为

1

1 1

1 1 0 0

tan

_i

tan

_i ⁿ

cos

_i ⁿ

sin

_i ⁿ

cos

_i ⁿ

cos

_i

i i i i

y

_

x

_

l



l



l



x

^

l



   

 

      

 



^环



^环



^环



^{环 (8)}

浮标的吃水深度：设每节链环的长度为

_l

_环，则锚链在

_z

轴方向的投影高度为

1

sin 1, ,

n i i

H l



i n



 

^环

 ^

链

若钢桶的长度为

_l

_桶，则钢桶在

_z

轴方向的投影高度为

sin

_i

1

H

_桶

 l

_桶 

i n  

若每节钢管的长度为

_l

_管，则钢管在

_z

轴方向的投影高度为

+1 2

sin 2, , +1

n n i n i

H

^

l



i n n n

 

 

^管

  ^ 

管 管 管

由上可知，锚链、钢桶、钢管在

_z

轴方向的总投影高度为

+1

1 2

sin sin

^{n n}

sin

n

i i i

i i n

H H H H l



l

 ^

l



  

    

^环

  

^管

总 链 桶 管 桶 管

设该型传输节点布放在水深

_H

₀的海域，则水深

_H

₀为

+1

0 1 2

sin sin

^{n n}

sin

n

i i i

i i n

H H H H h l



l

 ^

l



h

  



^链



^桶



^管

  

^环



^桶

 

^{管 管}



⁽⁹⁾

求解浮标的游动区域：

锚链在

_x

轴方向上的投影长度为

1

cos 1, ,

n i i

x l



i n



 

^环

 ^

链

钢桶在

_x

轴方向上的投影长度为

_x

_桶

 _l

_桶

_cos

_i

_{i n}   ₁

钢管在

_x

轴方向上的投影长度为

+1 2

cos 2, +1

n n i n i

x

^

l



i n n n

 

 

 

^管

    

管 管 管

因此浮标的极限游动半径为

+1

1 2

2

ⁿ

cos

_i

cos

^{n n}

cos

_i

2

i i n

R x x x d l



l

 ^

l



d

  



^链



^桶



^管

  

^环



^桶

 

^{管 管}



₍₁₀₎

即浮标在以半径为

_R

的圆形区域内游动（海平面上），轨迹方程为

2 2 2

x y R z H

  

 



5.1.7 模型的求解

将公式(5) (6) (7)代入公式(8)，得到关于吃水深度

h

的方程，利用

_Matlab

编程（程序 见附录），采用逐步求精搜索出海面风速为12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角 度、浮标的吃水深度和最大游动半径，具体结果如下表所示。

表1 风速为 12m/s 时的求解结果

钢管倾 角

1 0.52521° 底层锚链夹角 0°

2 0.52356° 钢桶倾角 0.52725°

3 0.52192° 游动区域 14.25988 4 0.52028° 吃水深度 0.73688

表2 风速为 24m/s 时的求解结果

钢管倾 角

1 2.03976° 底层锚链夹角 0°

2 2.03346° 钢桶倾角 2.04752°

3 2.02720° 游动区域 17.26319 4 2.02098° 吃水深度 0.75103 海面风速为12m/s 和 24m/s 时的锚链形状如下图所示。

图10 海面风速为 12m/s 时的锚链形状 图11 海面风速为 24m/s 时的锚链形状

5.1.8 模型的误差检验

在上文吃水深度h 的求解过程中，总体思路是用吃水深度 h 表示锚链、钢桶、钢管 的倾斜角度，再根据水深等于浮标的吃水深度与锚链、钢桶、钢管在竖直方向的投影高 度的总和，求得浮标的吃水深度值。为了验证模型的可靠度，在求解出浮标的吃水深度 后，依次计算得到锚链、钢桶、钢管的受力和倾角，根据最上端一根钢管的受力，可以 对浮标进行受力分析，从而求得浮标的吃水深度。将其与之前求解的浮标吃水深度进行 对比。

对浮标进行受力分析，受力分析图如下所示。

图12 浮标受力分析图

浮标受力包括浮力，重力，风荷载以及最后一节钢管对其的拉力（大小等于最后一 节 钢 管 的 末 端 所 受 拉 力 ） ， 由 平 衡 方 程 关 系 式 可 以 解 得 吃 水 深 度

_h

， 误 差 率 为

h h h



  

，其对比结果如下表所示。

表3 吃水深度误差

风速

_{h h}



12m/s 0.73688 0.73095 -0.0080380 24m/s 0.75103 0.74528 -0.0076527

5.2 问题二的分析与求解

5.2.1 风速为 36m/s 时的系统状态

在问题1 的假设下，利用问题一的模型计算得出海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢 管的倾斜角度、和浮标的最大游动半径，结果见下表。

表4 风速为 36m/s 时的求解结果

底层锚链夹角 17.83892° 钢桶倾角 4.40762°

钢管倾 角

1 4.39138° 游动区域 18.42819 2 4.37821° 吃水深度 0.77168 3 4.36511° 校验吃水深度 0.766195246 4 4.35209° 吃水深度误差率 -0.0071050

海面风速为36m/s 时锚链形状见下图

图13 海面风速为 36m/s 时的锚链形状

5.2.2 重物球质量求解 1、求解思路

第二小问是在问题一的基础上，通过已经建立的各段首端轴向方向倾角和受力方向 倾角、末端轴向方向倾角之间关系的数学模型，将重物球看作是外力施加在整个系统上，

推导得到重物球的质量与锚链在锚点夹角、钢桶轴向方向倾角的关系式。此关系式反映 了锚链在锚点夹角与钢桶轴向方向倾角之间的变化规律，由变化规律可知随着重物球的 质量的增加，锚链在锚点与海床的夹角与钢桶轴向方向倾角逐渐减小，又由计算可知海 面风速为36m/s 时倾斜角度小于 5 度，结合变化规律可知问题二中钢桶的倾斜角度一定 不超过5 度，因此问题二仅需考虑锚链在锚点与海床的夹角的限制条件。假设锚链在锚 点与海床的夹角为极限情况16 度，再建立重物球的质量与吃水深度的关系式，根据问 题一的数学模型求解出极限情况下的吃水深度，进而得到极限情况下重物球的质量，即 满足条件的最小重物球质量。

2、确定重物球的质量和锚链在锚点与海床的夹角、钢桶的倾斜角度的关系

首先，将重物球看作是外力施加在整个系统上，并通过推导得到重物球的质量

_m

_球和 锚链在锚点与海床的夹角 、钢桶轴向方向斜角₁ _n1的关系式。根据在问题一中推导的 任一链环 和_i  、_i _i1 之间的关系式以及最后一节链环 和_n  、_n _n1 之间的关系式可 知

1

1 1

1 1

1 1

tan tan

cos 1, ,

tan tan

2 cos

i i

i i

G G

F i n

G F

 



 





 

 

 

  

   





环 球

环

即 ₁

1 1 1 1

tan tan

cos 2 cos

i i

G G

F F

 

  ^



^球



^环



。又由式(5)可知递推关系式

1

1 1

tan tan

i i

cos

G

 

F

 

 

^环

由迭代法递推可得

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

tan ( 1) = tan

cos 2 cos cos

tan tan

2 cos

i

G

i G G

F F F

G F

 

  

 





 

  

 

  



球

环 环

化简得

1 1

1 1 1 1

tan tan

cos cos

ⁱ

iG G

F F

 

  ^



^环



^球



又

_G

_球

_{=m g}

_球 ，故得重物球的质量

_m

_球与锚链与海床夹角 、钢桶倾角₁ _n1的关系式为

1

cos tan

1 1 1

cos tan

1 1

=

ⁿ

g

F F nG

m g g

  _

_

 

_

环

球 (11)

此关系式反映了锚链在锚点与海床的夹角 与钢桶的倾斜角度₁  （_桶 

2 

_n1）之间 的变化规律，即随着重物球的质量

_m

_球的增加锚链在锚点与海床的夹角 与钢桶的倾斜₁ 角度_桶逐渐减小。

3、减少约束条件

在问题一的假设下计算已得知海面风速为36m/s 时倾斜角度小于 5 度，锚链在锚点 与海床的夹角超过16 度，由变化规律可知问题二中钢桶的倾斜角度一定不超过 5 度，

因此问题二仅需考虑锚链在锚点与海床的夹角 的限制条件。假设₁  为极限情况 16 度，₁ 通过固定重物球的质量与吃水深度

_h

的关系以及第一问的递推关系式，求得重物球的质 量和吃水深度。

4、确定固定重物球的质量与吃水深度的关系

将锚链、钢桶、钢管、浮标看作一个整体，进行受力分析，整体受力包括荷载

_F

_风， 以及自身重力

_G

和浮力

_F

_浮（为了简化计算，略去锚链和重物球所受到的浮力，仅考虑 钢桶、钢管、浮标所受到的浮力）如下图 所示。

其中，锚链、钢桶、钢管、浮标的重力分别是

_G

_链、

_G

_桶、

_G

_管、

_G

_标，锚链在锚点与 海床的夹角为 ，将锚对系统的拉力₁

_F

₁分解为沿

_x

轴方向的水平分力

_F

_x和沿

_z

轴方向的 水平分力

_F

_z，整体受力平衡关系式如下式所示。

2

+

=

= =

( + + )

=G +G +G +G

=0.625

z x

F F F G

F F

F G m g F g V V V G

F Sv



 

 

 

 

 

 

浮 拉 总

风

拉 球 球

浮 桶 管 标

总 链 桶 管 标

风

由

_tan

₁ ^z

x

F G F

F

F F



 

^拉

^

^总

^

^浮

风

，又

_F

_拉

 _m

_球

_g  _F

_风

tan

₁

 _F

_浮

 _G

_总，可得重物球的质 量

_m

_球与吃水深度

_h

的关系式

1

2 2 2

2 1

tan +

0.625 tan ( + + )

4 4 4

F F G

m g

d

d d

Sv G

l l n h

g



    

 

  

风 浮 总

球

桶 管 标

总

桶 管 管

(12)

由于

h    0 , 2

，所以根据(12)式可得重量球质量上限。

5、重物球质量范围的确定

最后在问题一的数学模型的基础上，已知初始拉力方向竖直角 和浮标的吃水深₁ 度，初始拉力

_F

₁关于吃水深度

_h

的关系式，代入问题一的模型求解出极限情况下的吃水 深度，再根据重物球的质量与吃水深度的关系式求出极限情况下重物球的质量，即满足 条件的最小重物球质量。

利用

_Matlab

编程求解得到最小重物球质量为

min

1630.8851

m

_球

 kg

，即只要重物球的 质量满足

_m

_球

 _{1630.8851 kg}

，就可以使得海面风速为

_{36 / m s}

时钢桶的倾斜角度不超过5 度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16 度。求解得到钢桶和各节钢管的倾斜角度、和 浮标的最大游动半径，结果见下表。

表5 风速为 36m/s 时控制倾角的求解结果

底层锚链夹角 16.00000° 钢桶倾角 3.07277°

钢管倾 角

1 3.06419° 游动区域 18.32894 2 3.05721° 吃水深度 0.86864 3 3.05027° 校验吃水深度 0.864799413 4 3.04336° 吃水深度误差率 -0.0044237 重量球质量 1630.8851

球加重后锚链形状如下图所示

图14 球加重后的海面风速为 36m/s 时的锚链形状

5.3 对问题三的分析与求解

5.3.1 考虑水流影响的系泊系统分析

根据系泊系统的设计问题有锚链的型号、锚链的长度、重物球的质量、浮标的吃水 深度、游动区域和钢桶的倾斜角度多个指标，分别考虑五种不同型号的锚链，取锚链的 长度和重物球的质量为决策变量，以锚链的型号为约束条件，建立了以浮标的吃水深度、

游动区域和钢桶的倾斜角度为目标函数的多目标规划数学模型，根据多目标规划分析方 法，利用

_Matlab

进行数值计算，得到多目标优化解（帕累托解）。

图15 合力与倾角关系

在问题三中，不仅要考虑风荷载，还要考虑水流力的作用。这两个空间力在并不一 定是共线的，这就在求解产生了麻烦。但根据理论实践可知，在空间直角坐标系中一物 体受到多个力作用，力的大小越大；力矢量方向末端和原点的连线与

_z

轴正方向的夹角 越大（即被作用的物体倾角与端点受力成正比）。如图所示，

_F

₃是

_F

₁与

_F

₂的合力，当

_F

₁ 与

_F

₂共线时，合力

_F

₃最大，合力

_F

₃与

_z

轴正方向的夹角亦是最大。换句话说，当风荷 载与水流力方向一致时，钢桶的倾斜角度最大。由此本文只考虑这种对倾角最不利的状 态进行求解，将三维空间问题转化为二维平面问题。

由于钢管的体积较小，这里忽略水流力对其的作用，只考虑水流力作用在浮标和钢 桶上。水流力的近似计算公式为

374

水2

水

Sv

F 

(13)

其中，

_S

为物体在水流速度法平面的投影面积。记浮标所受的水流力为

_F

_水1，在水流速 度法平面的投影面积为

_S

_水1；钢桶受到的水流力为

_F

_水2，在水流速度法平面的投影面积 为

_S

_水2。由图 可知，

_{S }

_水1

_hd

_标，

_S

_水2

_



_cos

_n1

_d

_桶²

_{2  l}

_桶

_d

_桶

_sin

_n1。

图16 对钢桶的受力分析及水流速度发平面的投影面积

对浮标和钢管（钢管数量可根据选取不同数量）系统进行受力分析，如图 所示，得



 











浮标

标 水 风

F F G

F F F

i

i

cos



解得

 

 

 















 







 

标 标

浮 管

管 管

标 管 浮

F G

n n n

G i i n

n G F F

i i

i i







tan

tan

2 ,

, 2 sin ,

2 

(14)

对钢桶进行如图所示的受力分析，得到

 





 









































































0 cos

2 sin sin

2 cos

sin 2 cos

cos 2 sin

2 cos

0 sin

sin

0 cos

cos

1 2

1 1

2

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1 2

1 2 1

1 2

n n

i n

n i

n n

n n

n n

n

n n

i n

n n

i n

l F l F

l F l F

l G

G G F

F

F F F



























桶 桶

桶 桶

球 桶

桶 球 水

解得

 



 









 





 













 











2 2

1

2 2

1 1 1

2 1 1

1 2 1

cos cos

sin tan sin

sin tan sin

n n

n i

n n

n n n

n n

n n n

F F

F F

G

F F

G G F







 



 

球

水 桶 球

(16)

5.3.2 系统参数与系统状态变量的关系

经分析可推导出各变量之间的关系（详细推导过程见附录）。

命题1 系统状态与参数满足如下关系

游动范围 钢桶倾角 吃水深度

锚链长度

_l

单调递增 单调递增 先增后减

重物球质量

_m

单调递减 单调递减 单调递增

水深

_H

₀ 单调递减 单调递减 单调递增

根据5.3.1 的模型计算不同参数情况下的系统状态，如表 6 所示。

表6 述例结果

底角(°) 钢桶倾角(°) 吃水深度(m) 游动范围(m)

型号

Ⅰ

单调 增

29.832

单调 减

4.222

单调 增

0.785

单调 减

19.147

Ⅱ 24.493 3.980 0.799 19.104

Ⅲ 16.905 3.599 0.821 18.762

Ⅳ 6.764 3.069 0.850 18.406

Ⅴ 0.000 2.308 0.889 17.672 重物

球质 量

_m

1000

先减 后增

24.831

单调 减

5.657

单调 增

0.738

单调 减

19.188 1200 24.493 3.980 0.799 19.104 1400 24.155 2.555 0.861 19.050 1600 23.909 1.242 0.922 18.998 1800 31.448 0.475 1.002 17.520

锚链 长度

l

20

单调 减

30.344

单调 增

3.823

单调 减

0.808

单调 增

16.544 21 27.231 3.912 0.803 17.851 22 24.493 3.980 0.799 19.104 23 22.124 4.034 0.796 20.225 24 19.760 4.080 0.793 21.431 水深

H

0

16

单调 增

17.268

单调 减

4.243

单调 增

0.784

单调 减

20.305 17 20.773 4.119 0.791 19.745 18 24.493 3.980 0.799 19.104 19 28.267 3.830 0.808 18.408 20 32.353 3.653 0.818 17.601

（注：底角即锚链在锚点与海床的夹角）

由表6 可知

① 实验数据所显示的系统参数与状态变量之间的变化规律，与命题1 的结论相符；

② 锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角受锚链型号的影响较大。为了保 证其夹角尽可能不超过16°，本文选取Ⅳ型号的锚链。接下来考虑重物球重力和锚链长 度对系统状态变量的影响。

5.3.3 多目标的系统优化设计

系泊系统设计可以看作多目标的系统优化问题，即确定锚链的型号、长度l 和重物 球质量m 这三个系统参数，使得浮标的吃水深度 h 和游动区域 R 及钢桶的倾斜角度 这桶

三个系统状态量达到最优（尽量小）。建立多目标优化模型如下。

  m l h , min R ,   m l min   m, l min

桶

  ,  16  .

. t

₁

m l s



由于水深16m~20m 之间，系泊系统的浮标吃水深度、浮标游动区域半径和钢桶倾 斜角度不确定，根据命题1，游动半径、钢桶倾角、吃水深度分别关于水深单调减、单 调减、单调增。即水越深，浮标吃水深度越大，浮标游动区域半径和钢桶倾斜角度越小，

因此用最小水深时的浮标游动区域半径

_R

^s和钢桶倾斜角度 、最大水深_桶^s

h

^d时的浮标吃 水深度作为优化目标。

  m l h

^d

, min R

^s

  m , l min

^s

  m , l min

桶

  ,  16  .

. t

₁

m l s

^d

根据命题1，重物球质量、锚链长度以及水深对系统状态变量（即三个目标）的影 响并非是同向的，因此，模型不存在完全帕累托解，即系统设计不存在理想解。为保证 设备的工作效果，可令钢桶倾角小于5°作为约束条件，将上述问题转化为双目标规划问 题。

min h

^d

  m , l

  m l R

^s

, min

 

  

 









 5 ,

16 . ,

.

¹

l m

l t m

s

_s

d

桶

