高中基礎數學統整講義

第廿二回 排列組合(1)

集合論與計數原理

高中基礎數學統整講義

一、基本邏輯概念及其運算

1. 敘述敘述敘述敘述及及及及其否定敘述其否定敘述其否定敘述其否定敘述：：：：

(1)凡是可以判別其為真或為偽的語句，我們稱為敘述。

例如下列的語句都是敘述：

(a)所有正整數都大於零，此一敘述為“真”。

(b)平行四邊形的對角線互相平分，此一敘述為“真”。

(c)平面上三角形的內角和為 360°，此一敘述為“偽”。

(d) 3 是有理數，此一敘述為“偽”。

(2)設 p 是一個敘述，否定 p 而成的新敘述，稱為 p 的否定敘述，

記作～p (讀作非 p)。例如：

(a)如果 p 是一個敘 述，那麼～p 也是一個敘述。

(b)當敘述 p 為“真”時，則～p 為“偽”。

(c)當敘述 p 為“偽”時，則～p 為“真”。

2. 複合敘述複合敘述複合敘述複合敘述及及及及其否定敘述其否定敘述其否定敘述其否定敘述：：：：

(1)生活中常用“且”或用“或”連接兩個敘述，稱為複合敘述。

在數學裡也常見一些複合敘述，例如：

(a) 2＜x＜5，意指 x＞2 且 x＜5。

(b) x ≥ 7，意指 x＞7 或 x＝7。

(c) ab≠0 即 a≠0 且 b≠0。

(d) ab＝0 即 a＝0 或 b＝0。

(2)複合敘述的真偽：

(a)當兩個敘述 p 與 q 都是真時，那麼「p 且 q」(記作 p∧q)才是「真」，否則就是「偽」。 (b)當兩個敘述 p 與 q 中，至少有一個是真，則「p 或 q」(記作 p∨q)為「真」，否則就是「偽」。

p q p∧q p∨q (1) 真 真 真 真 (2) 真 偽 偽 真 (3) 偽 真 偽 真 (4) 偽 偽 偽 偽

題號 敘述 p 否定敘述～p

(1) △ABC是銳角三角形 △ABC不是銳角三角形 (2) 3是無理數 3不是無理數

(3) 10－3＝7 10－3≠7

(4) 全班同學都出席 班上有人缺席 (5) 數學測驗有人考不及格 數學測驗全部考及格

3 33

3.... 笛摩根定律笛摩根定律笛摩根定律笛摩根定律(De Morgan’s Law)：：： ：

(1) p∧q 的否定敘述為(～p)∨(～q)，記作～(p∧q)≡(～p)∨(～q)。

(2)p∨q 的否定敘述為(～p)∧(～q)，記作～(p∨q)≡(～p)∧(～q)。

【例題 1】試判斷下列各敘述是“真”或“偽”：

(1) 2＜4＜5 (2) 2＜6＜5 (3) 5 ≥ 5 (4) 4 ≥ 5 解：

【類題 1】試判斷下列各敘述是“真”或“偽”：

(1)矩形的四邊長相等且四個角相等。[偽]

(2) 91 是奇數且是質數。[偽]

(3) 3 ≤ 1.732。[偽]

解：

複合敘述 複合敘述的否定

a²＝4 即 a＝2 或 a＝－2

(p∨q)

a²≠4 即 a≠2 且 a≠－2

(～p∧～q) ab＝0

即 a＝0 或 b＝0 (p∨q)

ab≠0 即 a≠0 且 b≠0

(～p∧～q) a²＋b²＝0

即 a＝0 且 b＝0 (p∧q)

a²＋b²≠0 即 a≠0 或 b≠0

(～p∨～q) 2＜x＜5

即 2＜x 且 x＜5 (p∧q)

x ≤ 2 或 x ≥ 5 (～p∨～q)

【例題 2】寫出下列各複合敘述的否定敘述：

(1)全班同學的數學及英文都及格。 (2)－1≤x≤2。

(3)三角形至少有一內角小於或等於 60°。 (4) x≥3。

解：

【類題 2】出下列各複合敘述的否定敘述：

(1)正方形的四邊相等且四角相等。[有些正方形有兩邊不相等或有兩角不相等]

(2) x＞1 或 x＜－2。[－2≤x≤1]

解：

二、集合論

1. 集合集合集合集合(Set)及其表示法及其表示法及其表示法及其表示法：：：：

(1)將一群可以明確指定的物件看做一個整體，此整體稱為一個集合，組成集合的每一個 「物件物件物件物件」稱為此集合的元素(Element)。習慣上，

集合常用大寫英文字母 A, B, C, …表示，

元素常用小寫英文字母 a, b, c, …表示。

(2)集合的元素可能是有限個，也可能是無限多個。

只含有限個元素的集合稱為有限集合，

包含無限多個元素的集合稱為無限集合。

(3)如果 x 是集合 A 的元素，就稱 x 屬於 A，記作x∈A； 如果 x 不是集合 A 的元素，就稱 x 不屬於 A，記作x∉A。 例如：A={x|x² −3x−28=0，x∈R}，− 4∈A，但5∉A

(4)集合的元素不考慮先後次序不考慮先後次序不考慮先後次序不考慮先後次序，，，，也不考慮元素重複出現的次數也不考慮元素重複出現的次數也不考慮元素重複出現的次數也不考慮元素重複出現的次數，

例如：{1,2,3}={1,2,2,3,3}={3,1,2,1,3,2} (5)集合 A 的元素個數(基數)一般以符號n( A)表示，

相同的元相同的元相同的元相同的元素不管重複出現幾次素不管重複出現幾次素不管重複出現幾次素不管重複出現幾次，，，一律視為一個元素，一律視為一個元素一律視為一個元素。 一律視為一個元素 例如： ({ 3, 1, 2, 1, 3, 2 })n = 3

(6)不含任何元素的集合稱為空集合，記作{ }或φ，n(φ)=0。 (7)集合的表示法：

(a)列舉法：將集合中的所有元素列出，再加上一個大括號{}，

例如：{1,3,5,7,9}。

(b)描述法：在大括號內先寫出集合元素的一般形式，再畫一豎線，

並在豎線右邊寫出能夠界定這個集合元素的屬性，即 {元素|性質}形式，例如：{x|x是正奇數}。

(8)一個方程式 f(x)=0的所有解組成的集合稱為解集合。

【例題 3】試分別用列舉法與描述法表示下列集合：

從 1 到 50 的自然數中，被 5 除餘 3 的數所成的集合。

解：

2. 集合之間的關係與運算集合之間的關係與運算集合之間的關係與運算集合之間的關係與運算：：：：

(1)如果集合 A 中的每一個每一個每一個每一個元素都屬於集合 B，則稱 A 是 B 的子集或部分集合，記作 B

A⊂ (A 包含於 B)，或B⊃ A(B 包含 A)。並且規定：

空集合空集合空集合空集合φ是任何集合的子集是任何集合的子集是任何集合的子集是任何集合的子集。

(2)如果集合 A 內存在存在存在存在一個元素 a，使得使得使得使得a∉B，則 A 就不是 B 的子集，記作 B

A⊄ (A 不包含於 B)。

(3)設 A，B 二個集合滿足：

(a)集合 A 中的每一個元素都屬於集合 B，即A⊂B，且

(b)集合 B 中的每一個元素都屬於集合 A，即B⊂ A，則稱集合 A 與與與 B 相等與 相等相等，記作相等 A=B。 (4)設集合 A 的元素個數有 n 個，則 A 的子集個數有2 個。 ⁿ

說明：

【類題 3a】試指出：所有正整數組成的集合 N 與 所有整數組成的集合 Z 與

所有有理數組成的集合 Q 與 所有實數組成的集合 R 與

所有複數組成的集合 C 之間的包含關係。[ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ] 解：

【類題 3b】試寫出集合 S＝{ a，b，c } 的所有子集。[有 8 個不同子集]

解：

B

A A ∩ B

(5)設 A、B 是二個集合，則由集合 A 與集合 B 的所有共同元素組成的 集合，稱為集合 A 與 B 的交集(Intersection)，記作A ∩B，讀作 「A 交集交集交集 B」，即交集 A∩B={x|x∈A且x∈B}

(6)文氏圖(Venn’s Diagram)：表示集合關係的直觀圖形表示法，

例如：下圖中的陰影區域代表集合 A 與 B 的交集A ∩B。

(7)設 A、B 是二個集合，則由屬於 A 或屬於 B 的所有元素組成的集合，

稱為集合 A 與 B 的聯集(Union)，記作A ∪B，讀作「A 聯集聯集聯集聯集 B」，

即A∪B={x|x∈A或x∈B}，下圖中陰影區域就代表A ∪B。

(8)設 A 與 B 是兩集合，則交集、聯集運算適用交換律：

(a) A∩B=B∩A (b) A∪B=B∪A

(9)設集合 A、B、C 元素個數分別以 n(A)、n(B)、n(C)表示，則有 (a)n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

(b) (n A∪B∪C)=n A( )+n B( )+n C( ) _{−n A(} ∩_{B)−n B(} ∩_{C)−n A(} ∩_{C)+n A(} ∩_B∩_C) 說明：

B A ∪

A B

B A−

A B

(10)設 A、B 是二個集合，則所有屬於 A 而不屬於 B 的元素組成的集合，稱為「A 減 B 的差集」， 記作A−B，即A−B={x|x∈A且x∉B}，下圖中的陰影區域就代表A−B。

(11)設集合 A、B 的元素個數分別以n( A)、n(B)表示，則

(a)n(A−B)=n(A)−n(A∩B) (b)n(B−A)=n(B)−n(A∩B) 說明：

(12)設 A 與 B 都是非空集合，則 A 與 B 的積集合，記作 A×B，

定義為 A×B＝{ (a, b) | a∈A，b∈B }。

(13)設 A1，A2，…，Ak是 k 個非空集合，則 A1，A2，…，Ak的積集合，

記作 A1×A2×…×Ak，定義為

A1×A2×…×A_k＝{ (a1, a2, …, a_k) } | a_i∈A_i，i＝1，2，…，k }。

【類題 3c】設 A＝{ 1，2 }，B＝{ 3，4 }，C＝{ 5，6 }，試求 A×B×C。

[A×B×C＝{ ( 1，3，5 )，( 1，3，6 )，( 1，4，5 )，( 1，4，6 )，

( 2，3，5 )，( 2，3，6 )，( 2，4，5 )，( 2，4，6 ) }]

解：

A

' A U

3. 宇集宇集宇集宇集(Universal Set)與補集與補集與補集與補集(Complementary Set)：：：：

(1)在探討某些問題時，所涉及的集合往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合就稱為 宇集(Universal Set)，通常用符號 U 表示，

也就是宇集含有我們所要研究的各個集合的全部元素宇集含有我們所要研究的各個集合的全部元素宇集含有我們所要研究的各個集合的全部元素宇集含有我們所要研究的各個集合的全部元素。

(2)當 A 是宇集 U 的子集時，則在 U 中所有不屬於 A 的元素所組成的

集合稱為 A 在 U 中的補集(或餘集)，記作 A’(或 A )，下圖陰影區域就代表 A 的補集 A’。

(3)笛摩根定律(De Morgan’s Law)：

設 U 是宇集，A 與 B 都是 U 的子集，則有 (a)(A∩B)'= A'∪B' (如下圖所示)

∪ ＝

(b)(A∪B)'= A'∩B' (如下圖所示)

∩ ＝

【例題 4】設 A＝{ x | x²＝2，x∈ }，試寫出 A 的所有子集。

解：

【類題 4】設 A＝{ | x |

x | x≠0，x∈R }，試寫出 A 的所有子集。

[○／、{－1 }、{ 1 }、{－1 , 1 } 共 4 個]

解：

【例題 5】設 T＝{○／, {○／} , 2 }，則下列何者為真？[(A)(B)(C)(E)]

(A) ○／∈T (B) {○／}∈T (C) 2∈T (D) { 2 }∈T (E) ○／⊂T。

解：

【類題 5】設 T＝{ x | x²＋3x－4＜0，x∈ }，A＝{ x | | x |＜1，x∈ }，則下列何者為真？[(A)(D)(E)]

(A)－3∈T (B) 3∈T (C) { 0 , 1 }⊂T (D) A⊂T (E) 0∈A。

解：

【例題 6】設 A＝{ 2x－y , x＋5 }，B＝{ 2 , 3 }，若 A＝B，求 x、y 之值。[(-2, -6)或(-3, -9)]

解：

【類題 6】設 A＝{ a , a＋1 , a＋2 }，B＝{ 3 , 4 , b }，若 A＝B，求 a，b 之值。[(3, 5)或(2, 2)]

解：

【例題 7】設 A＝{ x | x²＋2x－3＜0，x∈ }，B＝{ x | x²－4x＜0，x∈ }，試求：

(1) A∩B [{ x | 0 < x < 1，x∈ }]

(2) A∪B [{ x |－3 < x < 4，x∈ }]

(3) A－B [{ x |－3 < x ≤ 0，x∈ }]

(4) B－A [{ x | 1 ≤ x < 4，x∈ }]

解：

【類題 7】設 A＝{ x | x²－x－2≤0，x∈ }，B＝{ x | | x＋1 |≤2，x∈ }，試求：

(1) A∩B。[{ x |－1 ≤ x ≤ 1，x∈ }]

(2) A∪B。[{ x |－3 ≤ x ≤ 2，x∈ }]

(3) A－B。[{ x | 1< x ≤ 2，x∈ }]

(4) B－A。[{ x |－3 ≤ x <－1，x∈ }]

解：

【例題 8】設 A＝{ 2 , 4 , a²－2a－3 }，B＝{－4 , a²＋2a＋2 , 2a²－3a－9 }，

若 A∩B＝{ 2 , 5 }，試求 a 之值及集合 B。[a = -2，B＝{ -4, 2 , 5 }]

解：

【類題 8】(1)設 A＝{ x | x²－3x＋a＝0，x∈ }，B＝{ x | x²＋2ax＋b＝0，x∈ }，

若 A∩B＝{－3 }，試求 A∪B。[{－3 , 6 , 39 }]

(2)設 A＝{ 0 , 1 , 2 }，B＝{ x | x³－x²＋ax＋b＝0，x∈ }，若 A－B＝{ 0 }，試求 B－A。[{－2 }]

解：

【例題 9】設 A∪B＝{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }，A∩B′＝{ 2 , 5 }，A′∩B＝{ 1 , 3 , 6 }，試求集合 A 與 B。[A＝{ 2, 5, 4, 7 }，B＝{ 1, 3, 4, 6, 7 }]

解：

【類題 9a】設 A＝{ x |－4≤x≤1，x 為實數 }，B＝{ x | | x |＞1，x 為實數 }，試求：

(1) A∩B。[{ x |－4 ≤ x <－1，x 為實數 }]

(2) A′∪B′。[{ x | x <－4 或 x ≥ －1，x 為實數 }]

解：

【類題 9b】設 A＝{ x | 2＜x≤5，x 為實數 }，B＝{ x |－3≤x＜4，x 為實數 }，試求：

(1) A∪B。[{ x |－3≤x≤5，x 為實數 }]

(2) A′∩B′。[{ x | x＜－3 或 x＞5，x 為實數 }]

解：

【例題 10】中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌「外 側車道大客車專用」。請選出不違反此規定的選項：[(1)(3)(4)]

(1) 小型車行駛內側車道 (2) 小型車行駛外側車道 (3) 大客車行駛內側車道 (4) 大客車行駛外側車道 (5) 大貨車行駛外側車道 【93.學測】

解：

【類題 10】學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。

一、國文成績或英文成績 70 分(含)以上； 二、數學成績及格。

已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確 的？[(5)]

(1)小文的英文成績未達 70 分 (2)小文的數學成績不及格 (3)小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格

(4)小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格

(5)小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格 【102.學測】

解：

【例題 11】某一班共有 45 人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有 35 人有手機，而有 24 人有平板電腦。設：

A 為同時有手機與平板電腦的人數 B 為有手機，但沒有平板電腦的人數 C 為沒有手機，但有平板電腦的人數 D 為沒有手機，也沒有平板電腦的人數 請選出恆成立的不等式選項。[(2)(3)(4)]

(1) A＞B (2) A＞C (3) B＞C (4) B＞D (5) C＞D 【104.學測】

解：

【類題 11】某班級 50 位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為 45、39、34 人，且英 文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有 x 人，數學及格但英文不及格的 有 y 人。請選出正確的選項。[(2)(5)]

(1) x＋y＝39 (2) y≤11 (3) 三科中至少有一科不及格的學生有 39－x＋y 人

(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有 11 人

(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有 27 人 【106.學測】

解：

三、基本計數原理

1. 窮舉法窮舉法窮舉法窮舉法：：：：

集合元素的計數最自然的方法，就是將集合的元素一一列出，並算出元素的個數，這種方法 就叫窮舉法。

2. 樹狀圖樹狀圖樹狀圖樹狀圖：：：：

將一些原本零散的東西，組織成像樹枝分叉般的結構，稱為樹狀圖，例如：族譜圖，電腦的 檔案結構……等。

【例題 12】介於 500 與 700 之間的自然數，被 7 除餘 4 的數共有多少個？[29]

解：

【類題 12】三位正整數，被 6 除餘 5 的數共有多少個？[150]

解：

3. 加法原理加法原理加法原理加法原理：：：：

(1)設完成一件事的方法，依某種性質可區分為兩類，而在做這件事時，

這兩類不會同時發生。如果第一類有 m₁種方法，第二類有 m2種 方法，則完成這件事總共有(m1＋m2)種方法。

(2)假設完成一件事的方法，依某種性質可區分為 k 類，且任兩類都不 會同時發生。若第一類有 m₁種方法，第二類有 m2種方法，…，第 k 類有 mk種方法，則完成這件事總共有(m1＋m2＋…＋mk)種方法。

(3)分類兩準則：(1)互斥，(2)窮盡。

【口訣】先分類，再相加。

4. 補集的計數補集的計數補集的計數補集的計數(元素個數元素個數元素個數元素個數)：：： ：

集合 A 之補集 A’ 的計數等於宇集 U 的計數減去集合 A 的計數，即 )

( ) ( ) '

(A nU n A

n = −

【例題 13】設 U 是宇集，且 A ⊂ U，試證：n ( A′)＝n ( U )－n ( A )。

證明：

【類題 13a】設 A，B 為兩集合，試證：n ( A－B )＝n ( A )－n ( A∩B )。

證明：

【類題 13b】從 1 到 100 的自然數，能被 3 整除，但不能被 5 整除者有多少個？[27]

解：

【例題 14】上數學課時，小明試著用完 20 枝等長牙籤排出三角形，請問他一共可以排出多少種 不全等的三角形？[8]

解：

【類題 14】將一張 100 元的鈔票換成 5 元，10 元，50 元的硬幣(每一種硬幣不一定都需要兌換)，

試問共有多少種兌換方法？[18]

解：

5. 乘法原理乘法原理乘法原理乘法原理：：：：

(1)假設完成一件事需要經過兩個步驟，若第一個步驟有 m1種方法 可供選擇，第二個步驟有 m2種方法可供選擇，則完成這件事的 方法數共有(m1×m2)種。

(2)設完成一件事共需經過 k 個步驟，

若第一個步驟有 m1種方法可供選擇，

第二個步驟有 m2種方法可供選擇，

…

第 k 個步驟有 mk種方法可供選擇，

則完成這件事的方法數共有(m1×m2×…×mk)種。

【口訣】先分段，再相乘。

6. 積集合積集合積集合積集合的計數的計數的計數的計數(元素個數元素個數元素個數元素個數)：：： ：

設 A，B 是非空集合，則 n ( A×B )＝n ( A )×n ( B )。

B

A A ∩ B

【例題 15】2520 的正因數共有多少個？

解：

【類題 15】320 的正因數共有多少個？[14]

解：

7. 取捨取捨取捨取捨(排容排容排容排容)原理原理原理原理：：：：

設 A, B, C 都是有限集合，則有 (1)n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

(2)n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(A∩C) +n(A∩B∩C)

【例題 16】某班學生第一次段考，國文、英文、數學成績不及格人數分別為 8 人，15 人與 20 人。國文、英文兩科都不及格的有 3 人；英文、數學兩科都不及格的有 6 人；數學、國文兩 科都不及格的有 4 人，國文、英文、數學三科都不及格的有 2 人。請問：

全班學生中國文、英文、數學三科至少有一科不及格的有多少人？[32]

解：

【類題 16】接上例，(1)試分別寫出只有一科不及格，只有兩科不及格以及三科都不及格的人數。

[23；7；2]

(2)三科中至少有一科不及格的人數，是否與(1)中三種人數的總和一致？[是]

(3)如果全班共有 43 人，那麼這次段考全班學生中三科都及格的有多少人？[11]

解：

【例題 17】1 到 500 的自然數中，

(1) 2，3 或 5 的倍數共有多少個？[366]

(2)不是 2，3，5 中任一數的倍數共有多少個？[134]

解：

【類題 17】1 到 200 的自然數中，

(1) 4，6 或 7 的倍數共有多少個？[86]

(2)不是 4，6，7 中任一數的倍數共有多少個？[114]

解：

8. 更多集合時的取捨更多集合時的取捨更多集合時的取捨更多集合時的取捨(排容排容排容)原理排容原理原理：原理：： ：

當 有 n 個 集 合 A A₁, ₂,, A_n 時 ， 其 聯 集 的 元 素 個 數 n A( ₁∪A₂∪ ∪A_n) 等 於

1 2

( ) ( ) ( _n)

n A +n A ++n A 減 去 任 二 集 合 交 集 的 元 素 個 數 ( 如

1 2 1 3 2 3

( ), ( ), ( ),

n A ∩A n A ∩A n A ∩A  ) ， 再 加 上 任 三 集 合 交 集 的 元 素 個 數 ( 如

1 2 3 1 2 4 2 3 4

( ), ( ), ( ),

n A ∩A ∩A n A ∩A ∩A n A ∩A ∩A )，再減去任四集合交集的元素個數，…，直 到 n 個集合交集的元素個數n A( ₁∩A₂∩ ∩A_n)為止，其中奇數個集合交集時都取「加」，偶 數個集合交集時都取「減」，而且每一種個數集合交集的項數(要加或要減的項數)恰與 巴斯卡三角形每一層第二個以後的係數相同，例如：

二個集合時為：(1, )2, 1 三個集合時為：(1, )3, 3, 1 四個集合時為：(1, )4, 6, 4, 1

五個集合時為：(1, )5, 10, 10, 5, 1；………

【例題 18】1 到 1000 的自然數中與 35 互質的數有幾個？[686]

解：

【類題 18a】1 到 1000 的自然數中與 105 互質的數有幾個？[457]

解：

【類題 18b】一個正五邊形的所有邊及對角線共可圍成多少個三角形？[35]

解：

A

E

C D

B F G

【例題 19】下圖中有 A, B, C, D 四個區域，若有 5 種顏色供選用，將每個區域塗上一種顏色，

相鄰區域不得同色，則有幾種方法？[260]

解：

【類題 19a】下圖中有 5 個區域，若有 5 種顏色供選用，將每個區域塗上一種顏色，相鄰區域不 得同色，則有幾種方法？[420]

解：

【類題 19b】一家四口，父母兄妹，每人都會洗碗，也會做飯，但每餐飯，做飯者不洗碗，某假 日午晚兩餐，做飯者非同一人，洗碗者也非同一人，問有幾種情形？[84 種]

解：

B A

C D

【例題 20】有一樓梯共有 5 階，某學生登樓梯時，每步上一階或二階，試問該生上樓方式共有 多少種方法？[8 種]

解：

【類題 20】有 5 個不同的門，甲、乙二人由不同的門進入，不同的門出來，(1)若自己可由相同 的門進出，則有幾法？[400]

(2)若自己不可由相同的門進出，則有幾法？[260] 有一樓梯共有 5 階，某學生登樓梯時，

每步上一階或二階，試問該生上樓方式共有多少種方法？[8 種]

解：

【例題 21】下圖中﹐一大長方形等分成九個小長方形﹐試求：

(1)包含 A(紅色)的長方形共有幾個？[9]

(2)至少包含 A(紅色)的長方形或 B(藍色)的長方形共有幾個？[15] 【90.學測】

解：

【類題 21】某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。

其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰 三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，

至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有 種不同款式的

「阿民」公仔。[25] 【96.學測】

解：

【例題 22】設 a1，a2，…，a50是從−1，0，1 這三個整數中取值的數列。若 a1＋a2＋…＋a50＝9 且( a1＋1 )²＋( a2＋1 )²＋…＋( a50＋1 )²＝107，則 a1，a2，…，a50當中有幾項是 0？[11]

【92.學測】

解：

【類題 22】新新鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙不用錢買一送一」的活動。該鞋店共 有八款鞋可供選擇，其價格如下：

規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例如：買一個「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋之 一）。若有一位新新鞋店的顧客買一送一，則該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共有 種。[21] 【95.學測】

解：

款式 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛

價格 670 670 700 700 700 800 800 800

【例題 23】某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母，後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個 4。例如 AA1234，AB4434 為可出現的車牌號碼；

而 AO1234，AB3444 為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼 個數為：[D]

(A) 25×9³ (B) 25×9²×10 (C) 25×900 (D) 25×990 (E) 25×999 【97.學測】

解：

【類題 23】棒球比賽每隊的先發守備位置有九個：投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游 擊手、右外野、中外野、左外野各一位。某一棒球隊有 18 位可以先發的球員，由教練團認定 可擔任的守備位置球員數情形如下：

(一)投手 4 位、捕手 2 位、一壘手 1 位、二壘手 2 位、三壘手 2 位、游擊手 2 位；

(二)外野手 4 位(每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備)；

(三)另外 1 位是全隊人氣最旺的明星球員，他可擔任一壘手與右外野的守備。

已知開幕戰的比賽，確定由某位投手先發，而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定，並 由人氣最旺的明星球員擔任一壘手守備，其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安 排，則此場開幕戰共有 種先發守備陣容。(當九個守備位置只要有一個球員不同時，就 視為不同的守備陣容)。[192] 【99.指考乙】

解：

【類題 24】有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）

兩個條件之一，可得到獎金100元；若兩個條件都滿足，則共得200元獎金；若兩個條件都不 滿足，則無獎金。

（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數

（B）三個點數由小排到大為等差數列

若已知有兩顆骰子分別為1, 3，且所得獎金為100元，則未知的骰子點數可能為何？[(1)(2)]

(1)2 (2)3 (3)4 (4)5 (5)6。 【109.學測】

解：