第 9 章 向量微分，梯度，散度，旋 度
9.1 二度與三度空間向量 9.2 內積（點積）
9.3 向量積（叉積）
9.4 向量函數與純量函數，場，導數
9.5 曲線，弧長，曲率，扭率
9.6 微積分複習：多變數函數（選讀）
9.7 純量場的梯度，方向導數 9.8 向量場的散度
9.9 向量場的旋度
向量微分探討兩種函數，一為向量函數（vector functions），其值為向量
且由空間 P 點而定；另一為純量函數（scalar functions），
其值為純量
也由 P 點而定。此處 P 為定義域內的點，定義域在應用時，
可為三維區域或曲面或空間曲線。本節主張以向量函數定義 向量場（vector field），而以純量函數定義在曲面或曲線定 義域的純量場（scalar field）。將向量函數的例子示範在圖 168 至171。純量場的例子有物體的溫度場或地球大氣層
向量函數與純量函數
的空氣壓力場。向量與純量函數也與時間 t 或其它一些參數 有關。
符號 若引入笛卡兒座標 x、y、z，則可取代 v(P) 而寫為
不過切記一點，分量取決於座標系統的選擇，然而，具有 物理或幾何意義的向量場，其大小與方向應該只由 P 而定，
而非座標選擇；同理，純量場的值（大小）f (P) ＝ f (x, y, z) 也類似。
圖168 曲線的切線向量場
圖169 曲線的法線向量場
空間由一已知點 P0 至任一點 P 的距離 f (P) 是純量函數，
其定義域為整個空間。 f (P) 定義為空間的純量場，若採笛卡 兒座標系統且 P0 座標為 x0, y0, z0，則我們熟悉的距離公式 f 為
其中 x、y、z 為 P 的座標。若以其它系統取代此固定直角 座標系，使得此已知系統經過旋轉且平移而成另一系統，則 一般來說，P 與 P0 座標值會改變，但是 f (P) 卻仍如先前保 持相同值。通過 P 與 P0 的直線，其方向餘弦並非純量，是因 為方向餘弦值與選取的座標系統有關。
範例 1 純量函數（空間的歐幾里得距離）
範例 2 向量場（速度場）
任意瞬間旋轉物體B 的速度向量 v(P) 構成向量場，稱為旋 轉的速度場（velocity field）。若我們引入笛卡兒座標系統具 有原點在旋轉軸上，則（見 8.3 節範例 5）
(1)
其中 x、y、z 為所考慮瞬間 B 物體上任一點 P 的座標。若 使得此座標 z 軸為旋轉軸，且w 指向正 z 方向，則w ＝ωk 以 及
旋轉物體的例子與對應的速度場呈現在圖170 上。
範例 2 （圖170）
範例 3 向量場（力場，重力場）
令質量 M 的質點 A 固定在 P0，與質量 m 的質點 B 可自由 運動到空間不同位置點 P，那麼 A 吸引 B。根據牛頓重力定 律（Newton’s law of gravitation），此對應的重力 p 由 P 指向
P
0，而其大小正比1/r2，其中 r 為 P 與 P0 的距離，即(2)
此處 G ＝ 6.67．10－8 cm3/(gm．sec2) 為萬有引力常數，因此 p 為空間中所定義向量場。若我們採笛卡兒座標使得 P0 的座 標為 x0, y0, z0 以及 P 座標為 z, y, z，那麼由畢氏定理知
範例 3 （續）
假定 r ＞ 0，且引進向量
則得 |r| ＝r，與 (－1/r) r 為 p 方向的單位向量；負號代表 p 是由 P 指向 P0（圖171）。由此點與 (2) 式得
(3)
此向量函數描述作用在 B 的重力。
範例 3 （圖171）
收斂性（convergence） 一無窮序列向量 a(n), n ＝ 1, 2,…
若存有一向量 a 使得 (4)
則稱此序列向量為收斂（converge）；a 稱為此系列的極限 向量（limit vector）。然後寫成
(5)
對固定笛卡兒座標，若且唯若無窮序列向量的連續三個分 量收斂至 a 的對應分量，則此序列向量收斂至 a。
向量微分
同理，含實數變數 t 的向量函數 v(t)，若其在 t0 的一些鄰 域（或許除了t0 點）定義為
(6)
則當 t 趨近於 t0 時，此向量函數具有極限值（limit）l，因此 記為
(7)
此處，t0 的鄰域為 t 軸含 t0 為內部點（並非端點）的區間（線段）。
連續性（continuity） 向量函數 v(t) 若在 t0（包括 t0 本身）鄰域可被定義且成立
(8)
則稱其為連續（continuous）。
若我們採笛卡兒座標系統，則可寫為
那麼若且唯若 v(t) 的三個分量在 t0 連續，則 v(t) 在 t0 為連 續。下面將陳述這些最重要的定義。
定義 向量函數的導數
圖172 向量函數的導數
以固定笛卡兒座標系統表示的分量為 (10)
因此導數 v’(t) 係分別對每一分量微分得到，例如，若 v ＝ [t, t2, 0,]，則 v’ ＝ [1, 2t, 0]。
由 (9) 式推得方程式 (10) ，以及反過來因為 (9) 式是微積分 常用公式，它是單一變數函數導數的定義 [圖 172 的曲線是 (9) 式中 v(t) 在自變數 t 與 t＋△t 區間，所表示 v(t) 終點的軌 跡]。我們推知眾所熟悉的微分法則對微分向量函數而言仍然 成立，例如
特別是 (11)
(12) (13)
此簡單證明留給同學。仔細察看 (12) 式中向量的次序，因 為交叉乘積不具交換性。
範例 4 定值長度（大小）的向量函數導數
令 v(t) 是長度為常數的向量函數，例如說v(t) ＝ c，那麼
v2 ＝ v．v ＝ c2，且微分[見(11) 式] 得(v．v)’ ＝ 2v．v’ ＝ 0。此產生下列結果。定值長度的向量函數 v(t) 的導數，或為 零向量或與 v(t) 垂直。。
向量函數的偏導數
目前討論顯示，含兩個或以上變數的向量函數，我們可對 其偏導數（partial derivative）做如下介紹。假定向量函數的 分量
是含 n 變數 t1,…, tn 的可微分函數，那麼 v 對 tm 的偏導數 記為 ∂v/∂tm，且定義為下列向量函數
同理，二階偏導數為
依此類推。
