∫∫ 提要 336 ：線積分之第二個方法 -- 直接對積分曲線 C 作積分

提要 336：線積分之第二個方法 -- 直接對積分曲線 C 作積分

複數函數之線積分有很多方法，本單元將介紹第二種線積分的方法。

線積分之第二個方法 – Use of Representation of the Path

( ) ∫ [ ] ( )

∫

C C

dt dt t dz z f dz z f

條件： ^f

( )

 可以找到一個參數 t ，將積分曲線 C 表為^z=z

( )

【附註】

1. 筆者較喜歡此一解析方法，因可免去公式之背誦。

2. 尚有許多其他解析方法可推求出積分式之積分值，後面會陸續加以介紹。

範例一

試推求積分式

∫

C

z dz

1 之積分值，其中積分曲線 C 為單位圓（Unit Circle）。

【解答】

圖一 單位圓示意圖

因為積分曲線 C 為如圖一所示之單位圓，故可以引用參數 t 將單位圓表為:

eit

z= 、0≤ t<2π 基於此，原積分式可推求出其積分值為2πi：

(

)

de e dz e

z

it it it

it C

π π

π π

1 2 1

1 ²

0 2

0 2

0

=

=

=

=

∫ ∫ ∫

∫