幾何建構應用於藝飾品設計之研究初探─以Escher之平面規則分割應用為例

國立臺中教育大學數位內容科技學系碩士論文. 指導教授：羅日生教授. 幾何建構應用於藝飾品設計之研究初探. ─以 Escher 之平面規則分割應用為例. Exploring the Geometric Construction of Decoration. Products ─A Case Study on the Application of Escher’s. Regular Division of the Plane. 研究生：蕭乃慧撰. 中華民國一百零三年六月. I. 謝誌. 轉瞬之間時光飛逝，晃眼即過，這段求學的期間在班上同學的不斷鼓勵與協. 助以及各位老師的細心指導之下，終於有撥雲見日開花結果之時，謹藉此簡短的. 篇幅表達本人至高無上的謝意與感恩。. 撰寫論文的過程中，誠摯的感謝指導教授羅日生教授總是在繁忙之中仍時常. 的給予學生關心及細心的指導，盡心盡力地傾囊相授，使我有繼續完成論文的動. 力與決心，這心中的感激必將永記於心。另外，感謝李朝金教授與魏炎順教授，. 能在百忙之中抽空審閱學生的論文原稿，匡正的許多疏誤，並且提供許多的寶貴. 意見，使本論文在修改之後可以更加的嚴謹與齊備，在此特別感謝。. 論文的完成不可能僅靠獨自一人完成，在這後面必定有許多人的支持、幫助、. 協助以及指導才能完成。首先要感謝系主任王曉璿主任的協助與打氣，感謝俊宏、. 羚君、筱涵、嘉樺、宥伯、偉然、靖傑、薇澤、宗洋和崇瑋的幫忙，學妹昀芯、. 含諭和文欣的協助，以及親愛的 PeiPei 與 FangFang，雖然我們各自分散在北中. 南，但每日的互相分享、加油打氣已成為我的精神支柱，也恭喜我們一同攜手度. 過這個關卡。在這段日子中，我的視野更加開闊，相較過去有許多的轉變與成長，. 並獲得許多寶貴的知識。. 最後要感謝的就是我最摯愛的爸、媽以及姊妹們，有你們無微不至的愛與關. 護，鼓勵與支持，讓我能夠順利能全心全意地投入碩士論文的研究及撰寫，最後. 完成學業。最最後感謝一下凱迪，謝謝他的支持才能完成我的論文。需要感謝的. 人真的太多，無法逐一訴說，千言萬語還是只有「感謝，再感謝」。. 最後謹以這本仍不成熟的研究論文，呈獻給守護我的師長、同學、親朋好友. 及支持我的家人們，謝謝你們，我愛你們。. 蕭乃慧謹誌. 民國一百零三年六月 . II. 幾何建構應用於藝飾品設計之研究初探. ─以 Escher 之平面規則分割應用為例. 指導教授：羅日生教授研究生：蕭乃慧. 摘要. Escher 常綜合一般視覺透視和非視覺邏輯的異象性視覺方式，創作出無數的. 獨特作品，其中以「平面規則分割」原理作品尤為特殊，最常被引用與探討，此. 類設計風格的作品饒富數理美感，所呈現出特有的形式風格，常被廣泛應用在建. 築外牆裝飾或商品外觀的浮雕美化等設計上。因此，本研究針對 Escher「平面規. 則分割」圖形的美感邏輯：對稱、整齊、反覆及單元性等特性，進行解析與探討. 後，整合了功能強大的數位化創新工具，建構一套 CAD 模型密鋪之建置模式，. 透過正向建模、密鋪轉化設計、進階模型修潤、RP 輸出以及最後樣品完成之四. 大流程，分為三大階段測試範例，應用於創新藝飾品設計上，來闡述創新的設計. 流程如何便捷地將鑲嵌藝術轉置在複雜設計之外觀，展現高度彈性、數位化、便. 捷性與高自主性等特性，以此融合數理、科技與美感的設計利器，為設計師們在. 設計執行上提供更有效率的協助。. 關鍵字：藝術造型設計、平面規則分割、CAD 模型密鋪建置 . III. Exploring the Geometric Construction of Decoration Products. ─A Case Study on the Application of Escher’s Regular Division of. the Plane Advsior: Ri-Sheng Luo Student: Nai-Huei Xiao. Abstract. Escher often integrated general and non-visual logic visual way to creating nu-. merous of extraordinary works. Specially, the series of "The regular division of the. plane" works are usually quoted and discussed. This design style works had mathe-. matical beauty, presented a unique form of style and often widely used in the build-. ing's exterior decoration or relief goods appearance design. Therefore, this study used. the beauty of graphic logic of "The regular division of the plane": symmetrical, order-. liness, repeated and units to analyze and discuss before integrated the powerful tools. of digital innovation to construct a CAD tessellation build model. Through four pro-. cesses are forward modeling, transformation tessellation design, advance model re-. touch, rapid prototyping(RP) output to complete the final sample, and divided into. three stages of testing paradigm used in the design of decoration products, to illustrate. how the high of innovative design process will easily transpose mosaic art in the de-. sign of complex design look and show the characteristics of digitization, convenient,. high autonomy and flexibility. This set of integration design tool of mathematical,. technology and aesthetic, able to provide creative designers providing favorable as-. sistance in the implementation. . Keywords: Art Shape Design, The Regular Division of the Plane, CAD Tessellation. Build Model. . IV. 目錄. 謝誌................................................................................................................................ I. 摘要............................................................................................................................... II. Abstract ........................................................................................................................ III. 目錄.............................................................................................................................. IV. 表目錄.......................................................................................................................... VI. 圖目錄........................................................................................................................ VII. 第一章緒論.................................................................................................................. 1. 第一節背景與動機.............................................................................................. 1. 第二節研究假設與範圍...................................................................................... 2. 第三節研究目的.................................................................................................. 3. 第四節論文結構.................................................................................................. 4. 第二章文獻探討.......................................................................................................... 5. 第一節 M.C.Escher 之「平面規則分割」 ......................................................... 5. 第二節鑲嵌圖形................................................................................................ 11. 第三節解析 Escher 的鑲嵌圖形：「平面規則分割」 ..................................... 23. 第四節數位化應用：3D 數位化整合科技系統 .............................................. 37. 第三章研究方法........................................................................................................ 44. 第一節研究架構與流程.................................................................................... 44. 第二節研究設計................................................................................................ 47. 第四章 CAD 模型密鋪之建置模式 .......................................................................... 51. 第一節 CAD 模型密鋪建置之架構 .................................................................. 51. 第二節 CAD 模型密鋪建置之範例應用 .......................................................... 54. 第三節 CAD 模型密鋪建置之範例應用：以 Escher「平面規則分割」圖形為. V. 例.......................................................................................................................... 69. 第四節小結........................................................................................................ 83. 第五章結論................................................................................................................ 84. 第一節研究價值與貢獻.................................................................................... 84. 第二節未來後續研究........................................................................................ 86. 參考文獻...................................................................................................................... 88. . VI. 表目錄. 表 1- 1 Escher 相關文獻 ............................................................................................... 6. 表 1- 2 鑲嵌圖形相關論文 .......................................................................................... 8. 表 2- 1 鑲嵌圖形之分類 ............................................................................................ 14. 表 2- 2 可以平面密鋪的正多邊形 ............................................................................ 14. 表 2- 3 可以平面密鋪的正多邊形 ............................................................................ 15. 表 2- 4 非多邊形鑲嵌與基本骨架─以 Escher 作品為例 ....................................... 16. 表 2- 5 對稱的四種基本操作 .................................................................................... 17. 表 2- 6 對稱的五種網格系統 .................................................................................... 18. 表 2- 7 國際晶學表示法(IUC notation)..................................................................... 19. 表 2- 8 十七種二維對稱圖樣 .................................................................................... 20. 表 2- 9 單位格子形狀之圖樣型態比對表 ................................................................ 22. . VII. 圖目錄. 圖 1- 1 Escher 的「平面規則分割」圖形應用於包裝禮盒上 ................................... 2. 圖 2- 1 八王頭 ............................................................................................................ 11. 圖 2- 2 鑲嵌圖形之分類 ............................................................................................ 13. 圖 2- 3 不規則鑲嵌圖形 ............................................................................................ 16. 圖 2- 4 十七種壁紙圖案對稱型態的流程圖 ............................................................ 21. 圖 2- 5《No.67 騎兵》 ............................................................................................... 30. 圖 2- 6《騎兵》 .......................................................................................................... 30. 圖 2- 7《No.18 鳥》 ................................................................................................... 32. 圖 2- 8《白天和夜晚》 .............................................................................................. 32. 圖 2- 9《No.15 蜥蜴》 ............................................................................................... 33. 圖 2- 10《發展─第 1 號》 ........................................................................................ 33. 圖 2- 11《解放》 ........................................................................................................ 33. 圖 2- 12《開天闢地》 ................................................................................................ 33. 圖 2- 13《地球儀表上的魚》 .................................................................................... 35. 圖 2- 14《越來越小》 ................................................................................................ 35. 圖 2- 15《漩渦》 ........................................................................................................ 35. 圖 2- 16《圓形極限─第 3 號》 ................................................................................ 35. 圖 2- 17《圓形極限─第 4 號》 ................................................................................ 35. 圖 2- 18《No.25 蜥蜴》 ............................................................................................. 36. 圖 2- 19《爬蟲》 ........................................................................................................ 36. 圖 2- 20《No.63 悲觀者與樂觀者》 ......................................................................... 36. 圖 2- 21《相遇》 ........................................................................................................ 36. 圖 2- 22 DIDT 系統架構圖 ......................................................................................... 38. VIII. 圖 3- 1 研究架構與流程圖 ........................................................................................ 46. 圖 3- 2 以三角形骨架繪製《No.49 魚》主題元素之過程 ..................................... 48. 圖 3- 3《No.49 魚》 ................................................................................................... 48. 圖 3- 4 電腦軟體繪製的《No.49 魚》 ..................................................................... 49. 圖 4- 1 CAD 模型建置處理流程圖 ............................................................................ 51. 圖 4- 2 擬定為被密鋪之主體規則實體圖範例 ........................................................ 55. 圖 4- 3 CAD 模型密鋪建置流程圖 A ........................................................................ 55. 圖 4- 4 於測試範例(一)執行 Surface Domain Number 功能過程圖 ....................... 56. 圖 4- 5 於測試範例(一)執行 Offset Points 功能過程圖 ........................................... 57. 圖 4- 6 於測試範例(一)執行 Panel Custom 3D 功能過程圖 ................................... 58. 圖 4- 7 測試範例(一)：平面上建構密鋪之操作流程圖.......................................... 58. 圖 4- 8 於測試範例(二)執行 Surface Domain Number 功能過程圖 ....................... 59. 圖 4- 9 於測試範例(二)執行 Offset Points 功能過程圖 ........................................... 60. 圖 4- 10 測試範例(二)：正立方體上建構密鋪之操作流程圖................................ 60. 圖 4- 11 擬定為被密鋪之主體不規則實體圖範例 .................................................. 60. 圖 4- 12 於測試範例(三)Solidworks 軟體中酒杯製作過程圖 ................................ 61. 圖 4- 13 於測試範例(三)執行結構線分割過程圖.................................................... 62. 圖 4- 14 於測試範例(三)執行 Panel Custom 3D 功能過程圖 ................................. 62. 圖 4- 15 測試範例(三)：酒杯造型上建構密鋪之操作流程圖................................ 63. 圖 4- 16 CAD 模型密鋪建置流程圖 B ...................................................................... 64. 圖 4- 17 於測試範例(四)Solidworks 軟體中莫比烏斯帶製作過程圖 .................... 64. 圖 4- 18 測試範例(四)：莫比烏斯帶上建構密鋪之操作流程圖............................ 65. 圖 4- 19 測試範例(四)莫比烏斯帶實體模型輸出.................................................... 65. 圖 4- 20 於測試範例(五)Solidworks 軟體中克萊因瓶製作過程圖 ........................ 66. 圖 4- 21 測試範例(五)：克萊因瓶上建構密鋪之操作流程圖................................ 67. 圖 4- 22 密鋪鑲嵌克萊因瓶模型創新設計過程圖 .................................................. 68. IX. 圖 4- 23 克萊因瓶創新設計完成圖 .......................................................................... 68. 圖 4- 24 測試範例(五)克萊茵瓶實體模型輸出........................................................ 69. 圖 4- 25《No.91 甲蟲》 ............................................................................................. 70. 圖 4- 26《No.91 甲蟲》cm 對稱型態加減替補示意圖 ........................................... 71. 圖 4- 27 甲蟲單位形立體化流程圖 .......................................................................... 72. 圖 4- 28《Moebius Strip II》 ...................................................................................... 73. 圖 4- 29《Knots》 ....................................................................................................... 73. 圖 4- 30《dragon》 ..................................................................................................... 74. 圖 4- 31 甲蟲單位形密鋪於莫比烏斯帶之操作流程圖 .......................................... 74. 圖 4- 32《No.91 甲蟲》密鋪於莫比烏斯帶之完成圖 ............................................. 75. 圖 4- 33《No.105 飛馬》 ........................................................................................... 76. 圖 4- 34《No.105 飛馬》p1 對稱型態加減替補示意圖 .......................................... 76. 圖 4- 35 飛馬單位形立體化流程圖 .......................................................................... 77. 圖 4- 36 飛馬單位形密鋪於手機背殼之操作流程圖 .............................................. 78. 圖 4- 37 飛馬單位形密鋪於手機背殼之完成圖 ...................................................... 79. 圖 4- 38《No.73 飛魚》 ............................................................................................. 79. 圖 4- 39《No.74 飛鳥》 ............................................................................................. 79. 圖 4- 40《No.80 飛魚與飛鳥》 ................................................................................. 80. 圖 4- 41《No.80 飛魚與飛鳥》p1 對稱型態加減替補示意圖 ................................ 80. 圖 4- 42 飛魚與飛鳥單位形立體化流程圖 .............................................................. 81. 圖 4- 43 飛魚與飛鳥單位形密鋪於馬克杯之操作流程圖 ...................................... 82. 圖 4- 44 飛魚與飛鳥單位形密鋪於馬克杯之完成圖 .............................................. 83. 圖 5- 1 CAD 模型密鋪建置之成果 ............................................................................ 86. 1. 第一章緒論. 第一節背景與動機. Escher 是一位版畫技術高超並且極富想像力及創造力的藝術家，其創作原理. 與視覺表現形式相當豐富多元。因此除了藝術領域之外，在其他眾多領域也常常. 被提及，如：數學、物理、心理學等，其中他最鍾愛的就是平面分割原理的創作. (林曉婷，2004)。Escher 的平面分割原理創作深受摩爾人鑲嵌藝術的啟發，創作. 了非常多深具有原創性平面規則分割(The Regular Division of the Plane)作品，並. 將這系列的作品定義為：「必須將一個平面想像成『一種以沒有任何特定方向單. 元組合的延伸』，它能在被限定的系統內填入或建立永恆，伴隨著相似的幾何物. 形，它們彼此相連不留下任何『空白』。」就像是平鋪地面的磁磚，它可以是由. 許多的正方形平鋪而成，也可以把它想成兩條垂直交叉的直線組成的更複雜「規. 則劃分的平面分割」，意即變換出不同類型的單元，依照重複的運作，一樣達到. 無限延伸的空間效果(何政廣、張光琪，2008)。這樣極具創意與秩序美感的作品，. 在 Escher 個人的筆記本裡，詳細記載著他將平面分割圖分成五類水晶體格和十. 種系統。群論學家們認為，他的平面分割作品隱藏各式對稱群的結構(鄭文豪、. 葉李華，1997)；在數學上，意指對基本單位形，我們可以用平移、旋轉與對稱. 及加減遞補的操作來詮釋 Escher 的創作方式(許志農，2013)。. 在國內以 Escher 為主題之文獻非常少，不過這些文獻中皆指出「平面規則. 分割」圖形是 Escher 藝術品創作中有著非常重要的地位。以此為主題論述的國. 內資料很有限，而探討之相關議題同時兼具藝術與數理的理性感性兩種特質，相. 當有研究挑戰性。因此本研究先解構分析 Escher「平面規則分割」系列作品，萃. 取並彙整平面圖形對稱操作原理的操作邏輯，再利用數位化整合工具進行設計製. 圖，進而嘗試克服手繪誤差，展開快速、精準的處理。曾有學者透過解析鑲嵌圖. 2. 案之對稱原理，運用數位工具將 Escher 的「平面規則分割」圖形平鋪至立體圖. 形上，如圖 1-1 所示，仍是侷限於屬於類三維空間的應用，並未嘗試鋪陳到真正. 複雜的三維物體上。. 圖 1- 1 Escher 的「平面規則分割」圖形應用於包裝禮盒上. 資料來源:蕭慶利(2010)。從平面到空間-廣義四邊形磁磚的設計法與應用。. 因此，在研究嘗試將具有數理與藝術美感的「平面規則分割」圖形，透過. CAD 模型建構流程模式的建立後，應用於客製化創意商品之創新設計，快速且. 有效地把鑲嵌藝術廣泛應用於文化創意藝飾商品的創新設計上。. 第二節研究假設與範圍. 在 Escher 眾多藝術創作可歸類為：具象創作原理、結晶學原理、平面分割. 原理、對稱原理、圖地與視覺反轉原理、數量與空間無限延伸原理及錯視空間原. 理等七種。具豐富創造力與想像力的他，作品中又可分出十項創作視覺表現之形. 式：具象形式、平面規則分割、反轉形式、凸透鏡形式、鏡射形式、無限空間形. 式、虛實空間形式、錯視形式、超現實形式與多重視角形式等。可見 Escher 的. 作品變化多元，廣泛融合不同領域，建立了藝術界的美學新觀點。. 「平面規則分割」系列作品是 Escher 最鍾愛的創作之一，也有系統地建構. 完成自己的一套創作理論，其中牽涉的相關原理非常深廣。因此本研究將只針對. 其中的美感形式與數理之對稱操作概念部分進行深入研究，其他如：色彩對稱、. 3. 轉換系統等議題將不納入本研究之範疇中。「平面規則分割」的密鋪規則是由一. 個、兩個或由多個密鋪主題單位形所組成，其中兩個或兩個以上組成之「平面規. 則分割」作品，構成體系相當複雜，因此不納入本研究討論與創作範圍內。而平. 面的圖元對稱操作方式，以本研究選定之四種基本操作類型為範疇，其他定義之. 鑲嵌圖案之操作形式則不列入考慮。因此本研究之範圍設定如下：. 1. 以 Escher 的「平面規則分割」原理為探討議題，並且列出該原理作品. 中的五大創作主題之代表作的分析與研究。. 2. 以鑲嵌圖案角度分析 Escher「平面規則分割」圖形的對稱性構成原理，. 探討由單一主題單位形構成的鑲嵌圖案，其形式不論是正多邊形所組成. 的規則、半規則鑲嵌，或是非正多邊形由曲線輪廓線組成的鑲嵌圖案都. 屬本研究範疇。. 3. Escher 的「平面規則分割」原理作品為數多達三十多幅，在本研究的創. 作部份，將挑選其中三幅作品之設計單元，針對圖案之對稱操作構成，. 透過數位化工具設計實現，最後與設定之藝飾品進行創新設計融合，完. 成創作應用。. 第三節研究目的. 對於演譯自 Escher「平面規則分割」圖形的鑲嵌圖形應用之相關文獻探討發. 現，學者們雖各有不同的闡述，但都具備完善的學理解析。真實應用上，甚至有. 學者利用電腦軟體輔助設計方式，將 Escher 的藝術創作延伸擴展，嘗試以有限. 範圍表達無限延伸，找出可平鋪至立體圖形上的操作種類。此外也有學者將其導. 入互動式多媒體學習中，活化藝術教育的推展，成效斐然。然而綜觀這些應用發. 現，似乎僅只局限於二維平面上，意即純粹只是將「平面規則分割」圖形當作「裝. 飾」圖像來使用的情況居多。因此，本研究目的希望能夠跨越此侷限，結合數位. 化設計工具強大的運算能力，建立一套適合重現 Escher 的「平面規則分割」圖. 形的建構流程模式，將「平面規則分割」圖形從二維平面延伸至三維立體上，完. 4. 成創新 3D 立體模型鑲嵌創作。論文最後在藝飾品上的衍生設計創新應用，將突. 破以往將平面規則分割圖形做為「裝飾」的圖像。因此，本研究主要標目設定如. 下列三點：. 1. 由相關文獻得知，Escher「平面規則分割」的圖形實為鑲嵌圖形的一種. 應用。本研究將由鑲嵌圖形的對稱構成原理切入，探討「平面規則分割」. 圖形的構成，進而重現融合數理與美感的創新圖形設計。. 2. 結合強大的數位化設計工具，快速有效地進行平面規則分割應用，建立. 完成一套適合三維立體的設計創作的流程模式。. 3. 運用研究建置之上述鑲嵌建構流程模式，完成融合數學與美學雙重特性，. 又饒富特殊視覺風格之創新藝飾品設計。. 第四節論文結構. 本論文架構上分成五大章節，第一章緒論，說明論文的研究動機、研究限制. 與範圍、研究目的及預期本研究之價值貢獻；第二章文獻探討，針對藝術家 Escher. 「平面規則分割」原理作品的由來、鑲嵌藝術的歷史與背景、鑲嵌圖案的分類及. 對稱構成原理進行文獻探討，並在最後章節介紹 Escher五大創作主題之代表作。. 此外也將介紹本研究所使用的數位化整合科技系統之架構與應用概念；第三章研. 究方法，說明本篇論文的整個研究架構與概念，並預期可能遭遇之困難與結果；. 第四章 CAD 模型密鋪之建置，本章節說明本研究如何運用數位化 3D 整合設計. 科技系統，建置一套 CAD 模型密鋪流程，完成 Escher「平面規則分割」圖形從. 二維轉換成三維模型建構之實現，其中模型建構範例應用，明確且詳細地說明本. 論文之模型建構流程的特色與成效；第五章結論，將歸納總結本研究建置之設計. 流程模式，不但呈現藝術家作品中所要表達「無限延伸」的意境，更為設計師們. 的未來設計應用，提供更豐富多元的視覺創作效果，提升各類創意商品之創新設. 計能量。. . 5. 第二章文獻探討. 本章節將針對藝術家 Escher 的生平、其「平面規則分割」原理作品的由來、. 鑲嵌藝術的歷史與背景、鑲嵌圖案的分類及對稱構成原理進行文獻探討，並在最. 後章節介紹 Escher 五大創作主題之代表作。. 第一節 M.C.Escher 之「平面規則分割」. Maurits Cornelis Escher (June 17, 1898-March 27, 1972)出生於荷蘭的版畫家，. 主要以木板、銅板、石板和素描等方式進行創作，作品展現極獨特性，充滿豐富. 的對稱、平面分割圖形、雙曲幾何和多面體等數學性的原理概念與呈現手法(林. 曉婷，2004)。因此，Escher 以畫中的數學性聞名於世，主要創作原理被歸納為. 以下七種類型：具象創作、結晶學、平面分割原理、對稱原理、圖地反轉原理、. 無限延伸與錯式空間原理等(O'Connor& Robertson, 2000)。其中「平面規則分割」. 圖形類型在 Escher 作品中尤為特別而重要，被眾多文獻深入引述與研究，相關. 資料彙整將依據論文、期刊與專書方式如下表 1-1 說明，而有關鑲嵌圖案部分，. 另於表 1-2 說明。本研究也將針對這個議題進行深入研究，除了將「平面規則分. 割」圖形中數理對稱性問題和複雜抽象的邏輯概念解構、分析，也會進行實際應. 用設計。. 6. 表 1- 1 Escher 相關文獻論文作者年份題目論文摘要張瑜軒 2002 群論應用於艾雪. 鑲嵌藝術之對稱. 構成研究. 以「群」的數學概念，來探討平面鑲嵌. 圖案的對稱構成，因為群論是研究對稱. 性問題的數學基礎，也適用於其他領域. 的相關對稱性問題。. 研究之創作部分，將圖案對稱構成的理論藉由多媒體媒材來詮釋與呈現，並應. 用平面規則分割圖案的特性於互動式. 多媒體遊戲的設計與開發，讓使用者可. 以在愉快的情境認識艾雪及艾雪的鑲. 嵌藝術，在趣味的遊戲之中獲致學習及. 啟發的效果，以提供國內的藝術教育與. 設計領域之參考。林曉婷 2004 艾薛爾創作理念. 與視覺表現形式. 研究. 探索影響艾薛爾獨特畫面風格的關鍵. 因素和其對後代的影響，本論文的研究. 目的如下： (1)探討艾薛爾的生平。(2)探討艾薛爾的創作原理。(3)探討艾薛爾的創作表現形式。(4)探討艾薛爾作品之美學價值觀。其創作之視覺表現形式與分析如下： (1)具象形式。(2)平面規則分割：規則平面分割形式、不規則平面分割形式。(3) 反轉形式。(4)凸透鏡形式。(5)鏡射形式。(6)無限空間形式。(7)虛實空間形式。(8)錯視形式。(9)超現實形式。(10) 多重視角形式。. 7. 期刊作者期刊年份題目期刊摘要鄭文豪、. 葉李華 1997 科學月刊. 藝術界的異. 數－艾雪其. 人其畫. 艾雪一生的畫作，除了早期的風景畫之. 外，其餘的七十幾幅 1937 年之後的作品，全部都是具有數學結構理念的圖案. 畫。這七十幾幅畫作完全沒有重複之. 處，頂多只是一再地改良與演化，這些. 轉型後的作品，從頭到尾等於是艾雪後. 半生自我探索的歷程；每一幅畫都相當. 於他的個人研究紀錄。想要了解艾雪的. 人與畫，我們不僅要仔細賞析每一件作. 品，更要注意到後期這七十幾幅畫作的. 整體發展與演進。艾雪後半生三十年的. 心路歷程，主要涵蓋了三個重要領域：. 空間結構、平面圖案組織、二度與三度. 空間的相互關係與四大主題：鏡子、循. 環、異域、無限。. 書籍作者年份書名內文摘要張光琪 2008 . 藝術家. 出版社. 艾雪 M.C. Escher. 艾雪的作品可能與二十世紀科學研究不謀而合. 的藝術創作，有許多的科學家與數學家利用艾. 雪的純藝術作品來輔助瞭解科學上的圖解概. 念。書籍主要介紹擁有科學思維的版畫大師的. 生涯與藝術，書籍內文富含豐富的艾雪作品，. 內文描述他的成長與藝術養成過程，以及各階. 段不同主題原則說明。. 8. 表 1- 2 鑲嵌圖形相關論文論文作者年份題目論文摘要張瑜軒 2002 群論應用於艾雪. 鑲嵌藝術之對稱. 構成研究. 以「群」的數學概念，來探討平面鑲嵌圖案. 的對稱構成，因為群論是研究對稱性問題的. 數學基礎，也適用於其他領域的相關對稱性. 問題。研究之創作部分，將圖案對稱構成的. 理論藉由多媒體媒材來詮釋與呈現，並應用. 平面規則分割圖案的特性於互動式多媒體. 遊戲的設計與開發，讓使用者可以在愉快的. 情境認識艾雪及艾雪的鑲嵌藝術，在趣味的. 遊戲之中獲致學習及啟發的效果，以提供國. 內的藝術教育與設計領域之參考。蕭慶利 2007 運用二維對稱特. 性建構雙瓦片鋪. 磚之研究. 本研究主要目的希望研究出一套簡易的方. 式，讓雙瓦片的構圖能夠在一般的平台上可. 以完成。本研究發展出一套新的雙瓦片鋪磚. 法，直接採用 10 種二維對稱構圖，完成雙瓦片鋪磚。最後我們將這套方法實踐在數學. 簡報系統上；該系統提供以結構複製法為核. 心的構圖環境，可繪製複雜結構。張玉琪 2009 虛擬教具對於國. 中學生學習鑲嵌. 圖形之影響. 利用系統化教學設計模式，以 AMA 簡報系統和NLVM的Tessellations為教學輔具設計國中二年級鑲嵌圖形教材，並進一步研究將. 此教材應用於教學的成效。採不等組前後測. 準實驗研究設計，隨機抽取一班為實驗組，. 一班為控制組。實驗組學生接受以 AMA 簡報系統和 NLVM 的 Tessellations 作為教學. 輔具的教學，而控制組學生接受以傳統實體教具作為輔具的教學，並以研究者自編的鑲. 嵌測驗、學習單、心得及感想問卷、教學過. 程中的觀察紀錄與影片為工具進行學習成. 效資料之收集。. 9. 其他作者年份題目內文摘要蕭慶利、史謹誌、胡晉傑、張佐安. 2007 中小學科. 學展覽會- 國中組-數學科. 繪身繪影─ 正三角形磁. 磚設計方法. 與碎形密鋪. 之研究. 主要以正三角形作為基本單元，透過窮舉. 討論得到正三角形邊的作用方式只有五. 種，再經由排列組合歸納出 11 種正三角形密鋪磁磚設計方法。進一步，運用我們. 的研究結果，配合數學簡報系統製圖，創. 作新圖樣，也彌補了 Escher 在手繪時所造成的誤差，達到完全密鋪的效果。碎形. 磁磚的部份，我們也依據其背後的數學理. 論創作幾套結構圖，利用結構解析，碎形. 密鋪磁磚將變得十分容易，學習者將可輕. 鬆製作富有創意的新圖樣。胡晉華 2010. 中小學科. 學展覽會- 國中組-生活與應用. 科學科. 從平面到空. 間─廣義四邊形磁磚的. 設計法與應用. 著名的荷蘭籍藝術家 M.C. Escher 以手繪的方式，創作了許多豐富且極具創意的. 密鋪圖樣。本研究主要以正方形為基本單. 元，首先利用已知的 4 種等量變換推論出正方形磁磚邊的作用方式共有 9 種；再利用窮舉的討論出共有 47 種設計方法，其中 44 種可以密鋪；並對 Escher 的圖樣做結構解析，在結構解析下配合快. 速且精確的方法製圖，創作新圖樣。最. 後，從二維平面延伸到曲面及立體圖形. 上，探討正方形磁磚在各種不同曲面及立. 體圖形可密鋪的設計方法。如：環面、圓. 柱曲面及著名的莫比紙圈和正六面體，在. 適當軟體的支援下，將可以在平面與曲面. 上輕鬆製作富有創意的新圖樣。. 10. 許志農 2013 藝術上的密鋪平面…艾薛爾的跨界. 之旅. 艾薛爾的創意數學拼圖，拼圖塊的面積、. 形狀完全相同，頓時失去相鄰邊界的圖案. 必須連貫的線索，純粹以拼圖塊的外形是. 否互相嵌和的依據來判斷，相較於傳統拼. 圖遊戲，困難度提高許多。透過解析艾薛. 爾的平面分割創作以後，我們可以知道，. 他透過平移、旋轉與對稱的加減拼湊方. 式，將一個簡單可以填滿平面的幾何圖. 形，透過他豐富的想像力及熟練的手繪技. 巧，幻化為生動、有趣且一樣可以密鋪平. 面的美學圖案。. Escher 一生作品大致可以 1936 年為作品風格的分水嶺。早期階段以風景議. 題為主，其他部分也包括動物、植物、肖象、神話等，技巧純熟掌握，手法細膩，. 深具文學性、音樂性與流動性，此外作品中總是散發著濃濃的傳統寫實版畫氣息。. 西元 1937 年 Escher 第二次(第一次造訪時間於西元 1922 年)造訪阿罕布拉. (Alhambra)宮殿，是年正式開啟了他創作生涯中的第二個重要階段。他花了大量. 的時間研究與臨摹宮殿內饒富奇異又高尚簡潔魅力的裝飾藝術。視野所及一片接. 著一片相似且互相無縫接合的平面嵌瓷，連綿不絕，填滿了天花板、牆上與地板。. 這種摩爾人的規律間隔嵌瓷技法與表現方式，深深的影響他日後的作品風格，從. 寫實轉變為內在的抽象思維(沈玟妤，2013)。自此 Escher 開始專心探究創作平面. 規則分割圖的可能性，有系統的建構出自己的完整理論，並陸續完成為數相當多. 的平面分割原理作品。Escher 自己曾說過平面分割原理源源不絕地出現在他的作. 品裡，自開始接觸後，持續到死前(張瑜軒，2002)。Escher 在 1958 年出版一篇. 論文“The Regular Division of the Plane”一文中將他的鑲嵌圖案稱為「平面規則分. 割」，並將創作原理歸納為以下兩大類型：. 11. 1. 規則平面分割：Escher 將此定義為：「必須將一個平面想像成『一種以. 沒有任何特定方向單元組合的延伸』，它能在被限定的系統內填入或建. 立永恆，伴隨著相似的幾何物形，它們彼此相連不留下任何『空白』。」. 2. 不規則平面分割：指任意地把數個不規則相鄰又相似的反覆圖案，拼接. 後不重疊且不留空隙密鋪滿整個平面，並可無限的向四方延展的不規則. 平面分割(林曉婷，2004)。這類的第一幅作品完成於 1922 年 Escher 剛. 抵達羅馬那一年，如下圖 2-1 八王頭所示(單維彰，2011)。. . 圖 2- 1 八王頭. 資料來源：The Graphic Work of M.C.Escher (p.4), by J. E. Brigham, 1967, N.Y.,. American: American edition Meredith Press.. 第二節鑲嵌圖形. 回顧人類史自遠古至今，鑲嵌圖形幾千年前就已出現在人類的歷史上，從蘇. 美人、摩爾人、羅馬人、阿拉伯人、波斯人、希臘人、拜占庭人、日本人及中國. 人的不同文化中皆可以看到鑲嵌形式的文物出現，與人類生活關係異常密切。以. 鑲嵌文化的起源為例，約西元前四千年的蘇美人文明，鑲嵌圖形於他們的住所和. 12. 神殿牆上出現，不只提供裝飾功能，也巧妙地成為建築的一部份。從此鑲嵌圖形. 便不斷的在藝術元素裡被發掘，在藝術上扮演著重要角色(張瑜軒，2002)。. 雖然鑲嵌圖形在人類文化出現很早，但遲至約十世紀時才有真正壯觀之成就，. 到了十四世紀中葉達到全盛，其最具代表性的是在西班牙格拉那達(Granada)的伊. 斯蘭回教建築－阿罕布拉宮，那是非洲摩爾人佔據西班牙後留下的遺跡，宮殿內. 的天花板、牆壁與地板接用鑲嵌圖案來裝飾(廖純中，2004)。藝術家 Escher 深受. 影響，在第二次的造訪他與妻子一起整整花了三天時間對阿罕布拉宮的天花板、. 牆壁與地面上的鑲嵌藝術進行研究，並跟著上面的圖樣大量描摹，為他日後的「平. 面規則分割」圖形奠下基礎。. 一、鑲嵌圖形之分類. 人類將鑲嵌圖形應用在日常生活上，很早以前就出現，例如鋪磚或花玻璃窗. 等，爾後在歷史、數學、建築及藝術等眾多領域中，都有學者探討它的圖形色彩. 與構成規則性，直到現代仍隨處可見鑲嵌圖形的應用。凌春玉(1998)提出，鑲嵌. 圖案的構成可分為「平面圖案」與「立體圖案」兩大類，而「平面圖案」又可分. 為「單獨模樣」、「連續模樣」及「繪畫模樣」；丘永福(1990)也曾提出類似觀點，. 將建構圖案的類型區分為「單獨圖案構成法」、「二方連續圖案構成法」及「四方. 連續圖案構成法」三種。其中「連續」是指以連續的方式展開排列，或是向四方. 連續展開得圖案；「二方連續圖案」則是指單位圖案重複排列於平面上，可依方. 向不同，單一的向上下或是左右方向重複規律排列，因它會反覆連續構成像一條. 帶狀圖案，也稱之為「帶狀圖案」(Strip Pattern)。若以左右方向連續的圖案稱為. 「橫式二方連續」，上下方向連續的圖案則稱為「縱式二方連續」。「四方連續圖. 案」在生活中非常常見，如大自然中的蜂巢、魚鱗等，是指單位圖案以上下左右. 四個方向連續排列，也稱之為「壁紙圖案」(Wallpaper Pattern)。無論何種圖案，. 排列方式為何，首先都要有一個「單位形」，再以「單位形」去作圖案的構成(呂. 清夫，1993)。. 13. 綜合上述，鑲嵌圖形於圖案之範疇內，屬於一種特殊構成形式之圖案。因此. 圖案一詞較為一般廣泛性，但圖案不一定等於鑲嵌圖案。鑲嵌圖形可以簡單分為. 兩大類：多邊形鑲嵌和非多邊形鑲嵌。多邊形鑲嵌以所謂的「多邊形」來說就是. 由三至多條「直線線段」而非曲線所組成的封閉外型，多邊形鑲嵌可分為，正多. 邊形組成的「規則鑲嵌」與「半規則鑲嵌」兩種；而非正多邊形組成的「不規則. 鑲嵌」，如圖 2-2 及表 2-1 所示，多邊形鑲嵌以頂點相連接，因此與頂點相鄰的. 內角加起來需為 360 度(張瑜軒，2002)。「鑲嵌圖形」也就是以「單位形」邊以. 邊相鄰拼接後，連續反覆不重疊地密鋪展開於平面上，向四方無限延展。而「單. 位形」必須是所謂的「封閉的外形」，指的是在外型輪廓上有明確的內、外側。. 但「鑲嵌圖形」不限制於多邊形，任何不規則、彎曲或是有機線條皆可成立，因. 此在數學上「鑲嵌圖形」的使用較廣泛，也因「鑲嵌圖形」包含多邊與非多邊形. 的特性，因此，本研究也將嘗試進行從多邊形延伸至非多邊形性質的對稱構成來. 探討鑲嵌藝術之創作。. 鑲嵌圖形. 多邊鑲嵌. 非多邊鑲嵌. 規則鑲嵌圖形. 半規則鑲嵌圖形. 不規則鑲嵌圖形. 圖 2- 2 鑲嵌圖形之分類. 資料來源：張瑜軒(2002)。群論應用於艾雪鑲嵌藝術之對稱構成研究－以多媒體. 創作為例－。. 14. 表 2- 1 鑲嵌圖形之分類多邊鑲嵌圖形非多邊鑲嵌圖形. 規則鑲嵌圖形半規則鑲嵌圖形不規則鑲嵌圖形非多邊鑲嵌. . 資料來源：蕭慶利(2007)。運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究。. 以下針對表 2-2 鑲嵌圖形之分類，進行詳細的如下介紹：. 1. 規則鑲嵌圖形(Regular Tessellations). 此類鑲嵌圖形由數個一致正多邊形相鄰拼接後所組成的鑲嵌圖形，如表. 2-2 所示，「規則」意謂多邊形為等邊長，角度也相等的「正多邊形」，也就. 是由單一的正多邊形進行平面密鋪向四方無限延展。除此之外，多邊形鑲嵌. 以頂點相連接，相鄰的內角加起來需為 360 度，此正多邊形角度還必須滿足. 內角為 360 度之整除的條件，所以並非每種正多邊形皆可進行平面密鋪。. 表 2- 2 可以平面密鋪的正多邊形正三角形正方形正六角形. . 資料來源：張玉琪(2009)。虛擬教具對於國中學生學習鑲嵌圖形之影響。. 15. 2. 半規則鑲嵌圖形(Semi-regular tessellations). 此類鑲嵌圖形指的是有兩種或兩種以上的正多邊形所組成的鑲嵌圖形，. 如表 2-3 所示。若將兩種以上的正多邊形進行平面密鋪，可以得到如下所示. 十七種組合與二十一種排列方式：. (3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(3,12,12),(4,5,20),(4,6,12),(4,8,8),(5,5,10),(3,. 3,4,12),(3,4,3,12),(3,3,6,6),(3,6,3,6),(3,4,4,6),(3,4,6,4),(3,3,3,3,6),(3,3,3,4,4),(3,3,. 4,3,4),(3,3,3,3,3,3),(4,4,4,4),(6,6,6)，但是只有其中八種排列可以構成不重複，. 可以平面密鋪的正多邊形，如表 2-3 所示。. 表 2- 3 可以平面密鋪的正多邊形. 正三角形×4 正六角形. 正三角形×3 正方形×2. 正三角形×3 正方形×2. 正三角形正方形×2 正六角形. . 正三角形×2 正六角形×2. 正三角形正十二角形×2. 正方形正六角形正十二角形. 正方形正八角形×2. 資料來源：張玉琪(2009)。虛擬教具對於國中學生學習鑲嵌圖形之影響。. 3. 不規則鑲嵌圖形(Non-Regular Tessellation). 此類鑲嵌圖形指的是非正多邊形不重疊且不留空隙的平面密鋪，因此就. 所謂的「多邊形」來說就是由三至多條「直線線段」而非曲線所組成的封閉. 外型，不規則鑲嵌圖形很多，無法一一列舉，因此在這邊僅提供如下幾個例. 子，如圖 2-3 所示。. 16. 圖 2- 3 不規則鑲嵌圖形. 資料來源：Totally Tessellated 網站(http://library.thinkquest.org/16661/). 4. 非多邊鑲嵌(Nonpolygonal Tessellations). 此類鑲嵌圖形指的是由任意非多邊形，它可以是曲線在相鄰拼接後進形. 平面密鋪，非多邊形鑲嵌是以多邊鑲嵌為基本骨架(lattice)發展而來，如表. 2-4 所示 Escher 的「平面規則分割」圖形即是利用不規則的自由線條，創造. 出的有趣具象非多邊形鑲嵌藝術創作，其發揮性廣泛，在本章以多邊形鑲嵌. 為基礎為其對稱構成之分析，本研究將在第三節以 Escher 的「平面規則分. 割」圖形做對稱性構成之解析，也是對非多邊形鑲嵌的對稱性構成之解析(張. 玉琪，2009)。. 表 2- 4 非多邊形鑲嵌與基本骨架─以 Escher 作品為例正三角形骨架正方形骨架正六邊形骨架. . 資料來源：National Gallery of Art 藝術華盛頓美國美術館網站：Escher, M.C.作品. 17. 二、鑲嵌圖形與對稱性構成. 經過上述章節的探討得知多邊形鑲嵌至為重要，其分類系統也相當龐大。本. 章節將探討鑲嵌圖形的對稱性構成，探討在二維連續重複圖樣中，所有等量變換. 皆出自對稱的四種基本操作類型，其中在平面上對稱的四種基本的對稱操作，如. 表 2-5 所示；五種不同之網格系統，在平面上對稱的五種網格系統(曾俊雄、史. 謹誌，2010)，如表 2-6 所示，組合而成的十七種二維對稱圖樣。. 表 2- 5 對稱的四種基本操作. 平移對稱 transformation 旋轉對稱 rotation. 鏡射對稱 reflection 滑動鏡射 glide-reflection. 資料來源：蕭慶利(2007)。運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究。. . 18. 表 2- 6 對稱的五種網格系統. . 鄰邊不等之斜平行四邊形矩形. . 不含 60°及 90°角之菱形正方形. 含 60°角之菱形. 資料來源：蕭慶利(2007)。運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究。. 過去有許多數學家或藝術家曾研究圖案的各種對稱型態，發現平移、旋轉、. 鏡射與滑動鏡射等四種操作，可產生各式複雜的組合。而最早的十七種對稱圖樣. 可能性是由 1891 俄國的結晶學家費多洛夫(E.S. Fedorov)提出，但在「結晶學限. 制」中證明只可能有十七種二維圖樣，如表 2-8 所示；其分類方法如圖 2-4 所示. (張瑜軒，2002)。由於數理上旋轉以一點(360°)角度來看，只可能有 180°二重旋. 轉、120°三重旋轉、90°四重旋轉與 60°六重旋轉等四種情況，旋轉的角度受到限. 制，這也表示同時影響鏡射軸之間的夾角，這些限制使得最後僅剩十七種可能的. 組合(林壽福，2006)。1952 年國際結晶學聯盟組織(International Union of Crys-. 19. tallography, IUC)採用的結晶學標記法，如表 2-7 所示的 IUC notation，雖然其他. 還有許多表示法，不過 IUC notation 是目前最普遍使用到的，IUC notation 由四. 個連續記號組成，從左而右四個字母和數字代表的意義如下表 2-7 之介紹：. 表 2- 7 國際晶學表示法(IUC notation). 第一記號=﹛c,p﹜ 選擇的基本單位. P(primitive unit cell)：原始基本單位. c(centred unit cell)：位於中心的基本單位. 第二記號=﹛1,2,3,4,6﹜ 代表最高旋轉次數. 「1」代表無旋轉對稱. 第三記號=﹛m, g, 1﹜ 代表與 x 軸垂直的對稱軸. m(mirror)：代表反射. g：代表滑動鏡射. 「1」代表無鏡射也無滑動鏡射. 第四記號=﹛m, g, 1﹜ 代表對 x 軸呈 α 角度的對稱軸. m(mirror)：代表反射. g：代表滑動鏡射. 「1」代表無鏡射也無滑動鏡射. 資料來源：蕭慶利(2007)。運用二維對稱特性建構雙瓦片鋪磚之研究。. 20. 表 2- 8 十七種二維對稱圖樣. p1 pg pm cm. p2 pgg pmg cmm pmm. p3 p31m p3m1. p4 p4g p4m. p6 p6m. 資料來源：Symmetry and Pattern 網站. 21. 最高旋轉次數. 1 2 3 4 6. 有無鏡射有無鏡射有無鏡射有無鏡射有無鏡射. 是中心網狀系統嗎. 有無滑動鏡射. 有無兩次鏡射. 有無滑動鏡射. 是中心網狀系統嗎. 鏡射軸有無穿越中心點. 鏡射軸有無穿越中心點. cm pm pg p1 pmm cmm pmg pgg p2 p3m1 p31m p3 p4m p4g p4 p6m p6. ye s. no. ye s. ye s. ye s. no. no ye s. no ye s. no ye s. no ye s. no ye s. no ye s. nono no no. ye s. ye s. 圖 2- 4 十七種壁紙圖案對稱型態的流程圖. 資料來源：Clare E. Horne (2000). Geometric Symmetry in Patterns and Tilings (p.37). North and South America: CRC Pr I Llc.. 若無第三、四記號，代表次對稱圖樣沒有任何反射或無滑動鏡射，例如 p1、. p2、p3、p4 和 p6 這些單位格子圖樣形態，單位格子維分析結構，如表 2-9 所示，. 的準則之一，因此在下表列出所有單位格子型態，以方便比對整理。. . 22. 表 2- 9 單位格子形狀之圖樣型態比對表. 單位格子形狀圖樣型態. 平行四邊形 p1, p2. 矩形 pm, pg, pmm, pmg, pgg, cm, cmm. 菱形 cm, cmm. 正方形 p4, p4m, p4g. 六邊形 p3, p3m1, p31m, p6, p6m. 資料來源：Syed Jan Abas & Amer Shaker Salman(2004)。伊斯蘭的幾何藝術(廖純. 中譯) (頁 98)。台北：左岸文化。. 三、鑲嵌圖形之特性. 張瑜軒(2002)提到鑲嵌圖案必須符合以下三點：連續排列、單位反覆、封閉. 外形，因為這些必要條件使得鑲嵌藝術在視覺藝術的表現上，產生一些特殊的意. 義與功能。. 1. 單元完整性：. 鑲嵌圖形由單位元素排列組合而成，每個單位元素都可以看成一個小個. 體，經由對稱操作後，組合成的圖案也因而存在對稱點或對稱軸，因此圖案. 經過基本對稱操作後仍能保持圖案的不變性，由於鑲嵌圖案是由單位形所組. 成，可以說單位形簡化了繁複的圖案，所以易於建立圖案單位形的資料庫。. 2. 可無限延伸、連續：. 在圖案的範疇裡，鑲嵌圖案屬四方連續圖案，單位元素可以往上下、左. 右四個方向無限密鋪平面，造成連續不間斷的圖紋，非常適合應用於壁紙、. 織布、磁磚與地磚的紋樣設計上。. 23. 3. 單位形之間不留空隙：. 在鑲嵌圖案的單位元素需要具有獨立的封閉外形的條件下，兩兩之間邊. 與邊相互緊靠，彼此之間不留下任何空隙，達到充分利用畫面空間的成效。. 4. 共用邊界：. 鑲嵌圖案上的每一個單位元素，與其相鄰的單位元素彼此緊靠、共用邊. 界，也就是所謂的「一線兩用」特性，因此衍生更多的視覺表現效果，例如. 圖地反轉、矛盾圖形等。. 5. 圖地反轉：. 在視覺中，我們所視認得到的主題對象叫做「圖」(Figure)，其周圍叫. 做「地」(Ground)，此主題對象會從「地」這個背景浮現出來；在圖畫中，. 「圖」是視覺的專注焦點，「地」則扮演點綴角色，自動被忽略卻不可省略。. 「圖」與「地」兩者關係密切，相輔相成，若是兩者之間關係曖昧，便會造. 成「反轉」效果。在鑲嵌圖案中，由於單位元素擁有：共用邊界之特性，在. 人類視覺上難以同時辨認兩組造型的存在，因此造成圖地反轉的特性。. 藉由上述從文化發展歸納、以數學對稱性角度整理規則，得到鑲嵌圖形的種. 種特殊性，設計師可多善加利用這類手法在視覺藝術的創意表現上，製造意想不. 到的效果，挑戰觀者的內在視覺思維。Escher即是擅長運用這類技巧的箇中高手，. 具極高想像力，又能將之發揮極致的藝術家。. 第三節解析 Escher 的鑲嵌圖形：「平面規則分割」. 受到摩爾人鑲嵌藝術的啟發，Escher 創作屬於他的鑲嵌圖形：「平面規則分. 割」圖案作品，傳統的鑲嵌圖形利用抽象幾何線條表達錯綜複雜鑲嵌藝術，與傳. 統鑲嵌相似的是 Escher 非常喜歡將生物圖象用於創作中，對於傳統鑲嵌的幾何. 24. 形狀限制覺得相當可惜，也因此在他的作品中可以看到他設計各種元素的單位圖. 案，皆是具象圖形，他認為這樣的作品才具有趣味與真實性。對於這個領域的創. 作 Escher 樂此不疲，他創作相當多的此類型作品，且專心探究所有圖形的可能. 性，並有系統的建構出自己的一套理論。1958 年出版一篇論文“The Regular Di-. vision of the Plane”，他將「平面規則分割」定義為：「必須將一個平面想像成『一. 種以沒有任何特定方向單元組合的延伸』，它能在被限定的系統內填入或建立永. 恆，伴隨著相似的幾何物形，它們彼此相連不留下任何『空白』。」(何政廣、張. 光琪，2008)。這種無限與將有限數量拿來表達無限特性的設計理念，一直是. Escher 所強調的。. 一、Escher 的「平面規則分割」圖形系統. 雖然 Escher 並沒有受到正規的數學訓練，他所提出的理論也被稱為「外行. 人理論」(Layman’s Theory)，不同於科學、數學或晶體學的專門領域裡艱深的公. 式，是以一種邏輯角度來分析解構圖案。Escher 的主要理論在於創造自己的「平. 面規則分割」圖形，思考如何將單位圖形被自己的複製所包圍，Escher 也曾經在. 結晶學與幾何學領域做研究，嘗試所有「平面規則分割」的所有可能，發展出一. 套系統，在他的個人筆記裡以直接的圖畫方式，詳細的記載著 1941 至 1942 年之. 間所發展的「平面規則分割」理論的五種晶格與十種系統(Crowe, 2001)。「平面. 規則分割」指的是基本單位圖形複製，藉由某些移動動作之後，可以與原來的單. 位圖形重合在一起，而這些移動的操作方式分別為：「平移」、「旋轉」、「鏡射」. 與「滑動鏡射」，藉由這四種移動方式之後，我們可以完成所有的「平面規則分. 割」圖形。在 Escher 的「平面規則分割」理論中有提及主題元素、基本骨架與. 對稱形式等概念，本研究在此闡述說明(Schattschneider, 1992)。. 25. 1. 主題元素(Motif). Escher 的主題元素是可以表現出一個平面如何被平面規則分割，或填滿. 不留空隙，形狀相似相鄰排列的圖案，從 Escher 的「平面規則分割」系列. 作品中可以看出他所設計的圖題元素皆是可被辨認的各種具體形象。. 2. 平移單位(Sliding Cell). 若一個圖形能夠以反覆的排列方式密鋪平面，Escher 把這樣的基本圖形. 元素稱為平移單位，所有的平面規則分割都是由平移的單位平移重複排列成. 的。不過由於每個基本元素圖形設計的不同，平移單位可能不只有一種可能，. 但不管觀者如何選擇規劃平移單位，平移單位所組成的圖形是固定不變的。. 3. 基本骨格(Lattice). 若一個多邊形能剛好包含一個平移單位，且能反覆排列密鋪平面稱為數. 學骨架，Escher 將數學骨架分成兩大類：三角形與四邊形兩大基礎。以三角. 形系統為基礎的平面規則分割中，包含了正三角形、銳角三角形，正三角形. 所組成的菱形與六個正三角形所組成的正六角形為骨架，三角形系統的特徵. 在於由旋轉軸定義，沒有平移、滑行鏡射等對稱操作。以四邊形系統為基礎. 的平面規則分割中，包含了正方形、矩形、平行四邊形、由平行四邊形延伸. 之菱形，及兩個等腰三角形所構成之箏形。. 4. 對稱形式. 關於平面規則分割密舖平面，平移單位如何變換操作與複製的平移單位. 相鄰，Escher 對於這個問題提出了三種變化規則：反覆移動，平移(Translation)、. 繞軸而轉，軸向(Axes)及滑行翻轉(Glide Reflection)，其中軸向就是以一個軸. 心為中心旋轉發展圖形，滑行鏡射為平移與鏡射兩種操作的組合，這也就是. 26. 本研究在前面章節所提出的對稱性的操作：平移、鏡射、旋轉與滑行鏡射(蕭. 瑞甫，2013)。. 二、Escher 的「平面規則分割」圖形之視覺效果. 在經過上述鑲嵌圖形與「平面規則分割」圖形的系統分析之後，我們更清楚. 理解到畫面的構成原理與特性，而這類的造型設計手法對人類視知覺上造成之現. 象，是本章節所要探究的。. 人類的知覺(Perception)是外界周遭環境刺激作用於感官時，人類腦部對於整. 體外界刺激進行組織、辨別、解釋與理解的心智現象，之後，當人類再度接收到. 其中一種感覺刺激感官時，會學習將這些產生的感覺與先前的加以連結。在人類. 各個感覺：視覺、聽覺、嗅覺、味覺、與觸覺之中，「視覺」是感官知覺中最發. 達的，人類對於視知覺的認知是最多，其研究範圍也是最為廣泛。接收外界的刺. 激後，經過「知覺」中繼站的處理，將接收的感覺刺激做組織與辨別，接著由「認. 知」對這個刺激給予「是什麼」的概念，並思考下一步該如何做。認知能幫助我. 們指認、形成概念、記憶、分類、排序，解決問題並學習到新知，更能進一步的. 將所學類化到別的情境中(劉詩安，2009)。. 1. 視知覺. 我們的眼睛如同相機一般，角膜是鏡頭、瞳孔相當於光圈、視網膜則是. 感光晶片，內部的影像都是外界物體因光線照射反射投影後而成的，運作機. 制遵循物理與光學定律。不過人類視覺處理過程實際上是相當的複雜，當視. 覺經由眼睛輸入，經過大腦處理後，會加入大量的資訊，分別為「區辨」物. 體主要特徵、「前景背景」分辨主體與背景、「圖形區辨」如果一物體雖經放. 大縮小或是不同方向，能可辨認出同一物體、「視覺記憶」將現在所見的東. 西與先前經驗做比較，整合分類過後再儲存大腦中、「空間關係」意旨能認. 知物體自身的位置或與其他物體之間對應位置。由此我們可以知道，圖形的. 27. 視覺知覺原理，是與一般的「感覺」不相同的，「知覺」是由各種複雜的能. 力組成，以我們想像中還有能裡去區辨四面八方而來的圖像刺激，透過視覺. 知覺的過程，我們才可看到眼前的現象，才能從雜亂的視覺刺激做出辨識。. 2. 錯視. 在生活中，常有一些知覺分歧的錯誤發生，而視覺即是顯著的視覺分歧. 的現象(沙興亞，1988)。在心理學上，知覺無法與客觀的事物相符都稱作「錯. 覺」；而「錯視」即是眼睛的「錯覺」，即將對象(意旨對視覺的刺激)的大小、. 形狀、色彩以及明暗等關係，明顯地判斷錯誤(宋容姍，2008)。錯視的現象. 有很多種，引發錯視的刺激也非常的多，即使我們小心地觀察，或是曾經已. 經觀察過的錯視刺激成因，也常常會造成錯視的現象，其產生的主要原因包. 括：知覺引起的心理錯視、感覺器官引起的錯視，還有外界引起的物理幾何. 錯視，其中幾何錯視是大家較為所知的。. 日本心理學者今井省吾曾在他的著作中，把錯視的現象歸納為下列幾種. 類型(沙興亞，1988)：. A. 幾何學錯視之多種現象. B. 基於多義圖形(或曖昧圖形)之錯視. C. 基於逆理圖形(或矛盾圖形)之錯視. D. 月亮之錯視(Moon Illusion). E. 對比錯視(Illusion of Contrast). F. 運動之錯視. G. 傾斜之錯視. H. 方向判斷之錯視. 其中多義圖形(或曖昧圖形)之錯視，也就是鑲嵌圖形產生的主要錯視：. 「圖地反轉」現象，因此研究者在後面部分將再多做介紹。. 28. 3. 圖地反轉. 丹麥心理學家魯賓是首先提出「圖」與「地」分化，以作品魯賓之杯(Rubin. Vase)最有名氣，魯賓把視覺當作對象來看的物體稱為「圖」(Figure)，將其. 包圍的空間稱為「地」(Ground)。. 心理學上圖與地的問題，至今尚未完全了解人類是如何在平面圖形上區. 別圖與地，不過因為人類的知覺具組織性，有一些特徵能當作我們判斷的依. 據，因此我們會想辦法將視覺當作的對象，將它的「形」由背景中獨立出來，. 這個獨立出來的物體即為「圖」(Figure)，而周圍的部分則是「地」(Ground)，. 其中「圖」與「地」之間形狀、色彩、明度都必須有所差異，要滿足這樣的. 條件，我們才能識出其存在。如果「圖」與「地」之間差異性小，缺乏線索. 時，眼睛的焦點就會在「圖」與「地」互相轉移，因此產生圖與地曖昧不明. 的效果，像這樣眼睛焦點的判斷過程中，加上畫面裡的兩部份皆容易成「圖」. 時，就容易產生「圖地反轉」的現象。造成圖地反轉的成因，學者們有不同. 的觀點：學者楊清田(1992)提到，在條件均等的情況下，圖形中的兩個部分，. 其成為「圖」的容易度如果相等，則容易「反轉」；學者林品章(1986)認為：. 當「圖」、「地」的對比越強時，則其區別就越明顯。若「圖」、「地」之間的. 比例越接近時，則區別不明，就容易產生反轉的現象了。但是反轉現象，在. 三度空間的生活中幾乎很少發生，因為在三度空間裡，物體對於周圍空間的. 前後上下關係比較明確，人類知覺用於判斷圖、地關係的線索豐富，「反轉」. 現象不易發生。在二次元的平面上，因為判斷「圖」或「地」的條件有限，. 區別上較為困難，容易導致「反轉」現象產生。尤其二次元的平面上形象常. 以輪廓線表示，容易被符號化，進而造成視覺上的混淆。. 29. 三、解讀 Escher 的「平面規則分割」作品之五大主題. Escher 十分重視規則性與秩序，從小就熱中於練習於圖像技巧，而「平面分. 割」圖形的創作主題是他最有興趣的，與鑲嵌圖形相遇之後，這類的創作他始終. 沒有停過，我們也可以在這類作品中看到他卓越的思考與技巧表現。. Escher 曾自己提出依照表達理念與創作手法來區分自己的「規則平面分割」圖形. 可分成五大類別(Taschen, 1995)：. 1. 滑行反射(Glide Reflection). 2. 以影像為背景的功能. 3. 形體和對比的發展(Development of Form and Contrast). 4. 數目的無限(Infinity of Number). 5. 圖畫故事(Picture Story). 本研究將會列出這些類別中 Escher 的代表作品，探究這些作品構成規律密. 鋪之原理，解讀其創作題材理念及手法表現，與其透過作品想傳達之意涵。. 1. 滑行反射(Glide Reflection). Escher曾經表示自己一開始對於此系列的作品製作只是基於好奇而已，. 沒有特定目的地，只是近乎瘋狂、無法抗拒的重複著練習，也因如此不斷素. 描相同類型圖案才有此系列的成果。在 Escher 的《騎兵》、《天鵝》、《兩個. 相交的平面》等作品中皆將主題單位做滑行反射的深意表現於畫中。例如下. 圖 2-6《騎兵》就是採用與圖 2-5《No.67 騎兵》的相同原理。讓我們先觀察. 《No.67 騎兵》這幅作品，是個因循「滑行反射」規則的例子，兩方的騎士. 必定會相遇，而白影騎兵其實就是黑色騎兵的反面影像，經由 Escher 巧妙. 的外型設計，使得黑白騎兵能彼此互相融入，Escher有趣的設計並不只如此，. 他特別設計一條「莫比烏氏帶」讓騎兵們行走之上，我們可以想像這條環狀. 帶子有正反兩面，黑色騎兵在亮色背景裡；白色騎兵在暗色背景裡，前進至. 30. 中間地帶時帶子的正面和反面混在一起了，即變成白色騎兵與黑色騎兵一同. 將整個平面空間填滿，如此的景致即是《騎兵》作品的表現手法，給人一種. 無限循環的暗示，表現著時間性的「運動」。. 圖 2- 5《No.67 騎兵》. 資料來源：National Gallery of Art 藝術華盛頓美國美術館網站：Escher, M.C.作品. . 圖 2- 6《騎兵》. 資料來源：The Official M.C.Escher Website. 2. 以影像為背景的功能. Escher 對於此主題的說法為：當我們的眼睛凝視著某個特定的「物」時，. 則會產生此「物」周遭的東西都向後成為「背景」的現象，這就是丹麥心理. 學家魯賓所提出「圖」與「地」分化，作品魯賓之杯，魯賓把視覺當作對象. 31. 來看的物體稱為「圖」，將其包圍的空間稱為「地」，Escher 使用這樣的原理. 創作：《白天和夜晚》、《太陽和月亮》、《天和水─第 1 號》及《天和水─第 2. 號》等作品。我們可以看到依循平面規則原理的下圖 2-7《No.18 鳥》，是. Escher 經常使用的手法之一：「一線雙用法」，亦是圖地反轉之效果，由於白. 色鳥與藍色鳥共用邊界的緣故，我們無法同時看到牠們的存在，若我們將注. 意力放置藍色鳥上面，則白色鳥會往後蛻變成背景；反之亦然。圖 2-8《白. 天和夜晚》連續漸變圖則是由此概念延伸而來，圖中的灰色方形原野，漸漸. 向上發展成白色和黑色飛鳥，黑色飛鳥往左飛而白色飛鳥往右飛。圖的左上. 方白色飛鳥在此簇集一起，變成白天的景色，而黑色鳥在此逐漸地完成整體. 輪廓；相反的往圖的右邊看過去，黑色飛鳥漸漸地簇集一起，變成夜晚的天. 空與陸地，而白色飛鳥也因此漸漸獨立出牠們的輪廓。接下來我們往圖的下. 方看，白天與夜晚的陸地景色互為反面影像，中間以灰色方形原野聯結一起。. 這些灰色方形原野巧妙地將左右的白天、夜晚景色聯結起來，同時也是上方. 飛鳥們的發源地。. 鄭文豪、葉李華(1997)提出 Escher 的《白天和夜晚》運用的是丹麥心理. 學家魯賓圖地反轉效果，展現了視覺上的雙重性；單維彰(2011)也提出此圖. 是 Escher 作品中最具代表性的漸變圖，作品整體左右對稱，同時具備著奇. 對稱與偶對稱的雙重特性。. 32. . 圖 2- 7《No.18 鳥》圖 2- 8《白天和夜晚》. 資料來源：National Gallery of Art 藝術華盛頓美國美術館網站：Escher, M.C.作品. 3. 形體和對比的發展(Development of Form and Contrast). 《發展─第 1 號》、《發展─第 2 號》、《解放》及《開天闢地》等系列作. 品所要表達的是外型與對比的發展。下圖 2-10《發展─第 1 號》的主題元素. 來自於下圖 2-9《No.15 蜥蜴》中的蜥蜴，我們可以看到《發展─第 1 號》是. 從四周往內發展變化出型態的作品。原先四周不太清晰的灰色方塊，漸漸往. 中間發展出形體，形成對比色，直到正中央終於形成一個輪廓具體且黑白完. 全對比的兩大圖形：兩隻白色與兩隻黑色的蜥蜴。不過 Escher 本人對於此. 作品不是相當滿意，他認為往內推展的圖最後只有一點點的空間留給這四隻. 蜥蜴活動，也就是牠們能變化的自由度太小了。圖 2-11《解放》從圖的下方. 逐漸展開形狀與對比的發展。在展開的紙捲下方有著不是很清楚的三角形，. 逐漸往上發展成較具體的形狀，對比色也是逐漸地明顯，到了中間輪廓已經. 是相當明顯，可以看出是白色與黑色的鳥，牠們變成個體從此處往上飛向外. 界，而紙捲也跟著漸漸消失。圖 2-12《開天闢地》作品是從中心向外發展，. 與圖 2-10《發展─第 1 號》的方向完全相反，因此向外發展後便有充裕的空. 間完成圖象的發展。直觀來看這幅作品是個六邊形的圖，中心有 VERBUM. 的字樣，以及四種具體的生物從中延展出來。此圖 Escher 是借用《聖經》. 中創世紀的故事，從中間灰濛濛的地帶漸漸延伸出三角形的原始形體，進而. 33. 向六邊發展出經典的魚鳥變化以及青蛙的圖形，在白天與夜晚的背景之下，. 每個圖形都在自己所需之要素：空氣、水與土地好好的生存著，除了由內向. 外，還有順時針方向的漸變，豐富多樣的形體和對比漸變過程，使《開天闢. 地》作品更是奇特。. . 圖 2- 9《No.15 蜥蜴》圖 2- 10《發展─第 1 號》. . 圖 2- 11《解放》圖 2- 12《開天闢地》. 資料來源：National Gallery of Art 藝術華盛頓美國美術館網站：Escher, M.C.作品. 4. 數目的無限(Infinity of Number). 除了主題元素大小相同的密鋪平面以外，若針對大小作出變化，可以利. 用圖形逐漸變小的表現，這麼一來在圖中心位置就會無限內縮進去，就能象. 徵著永恆，表現出變動中的無限多數的情境，此概念之代表性作品有《地球. 儀表上的魚》、《生命的道路─第 2 號》、《愈來愈小》、《漩渦》、《圓形極限─. 34. 第 1 號》、《方形極限》、《圓形極限─第 3 號》、《圓形極限─第 4 號》、《魚和. 鱗片》及《蝴蝶》等。下圖 2-13《地球儀表上的魚》為此類型的第一作品，. 一個由經線與緯線交織網狀包覆的球體，由極地出發向外延展黑色與白色交. 替的魚，在赤道時發展出最大尺寸，再逐漸縮小消失至另一邊的極地。作品. 是以球體篇軸心概念，串聯的圖形在起點與終點兩核心之間游動著，它呈現. 出往起始點迴轉的一種律動。有別於以往的棋盤式規則劃分，Escher 開始鑽. 研以雙曲線的劃分邏輯思考，他曾說過：「圓形的平面規則劃分平面，一種. 無限往外延展的狀態，是我認為最美的事物。」(何政廣、張光琪，2008)圖. 2-14《越來越小》此圖以規則的爬蟲主題元素分割而成，以中央為軸心，形. 狀的大小與數目持續規律減半至無限小的極限表現，異則反之。. 如下圖 2-15《漩渦》所示圖案與上一幅作品有相關聯，畫面上呈現兩個. 核心，黑色與白色的魚互補又相依的朝著各自的方向，從一漩渦游出又捲入. 另一漩渦，在圖中間發展出最大的形狀。只不過以上作品都還沒達到 Escher. 滿意的樣子，接下來所介紹的《圓形極限》系列作品，他將極限之處從一個. 點轉換成線，加上主題元素以等同速率向四方延展，則此極限會發展成一個. 圓圈。. 如下圖 2-16《圓形極限─第 3 號》所示圖案由內向外縮小的方向，加上. 邊界線創造出一個圓盤，四種系列色彩的魚，沿著相互交錯的白色曲線移動，. 形狀大小從無限小至最大尺寸，再回到無限小。圖 2-17《圓形極限─第 4 號》. 以四分之一軸的分列由內向外縮小之要件組成，中心是三個白色天使與三個. 黑色惡魔的最大主要元素，向外散狀排列，規律持續縮小，直到消失在邊緣，. 產生遞迴與分數維度，在原理的圖紋有著類似數學裡「碎形」的特性(鄭文. 豪、葉李華，1997)，視覺上呈現一種無限延伸的空間異相性視覺(林曉婷，. 2004)，而此張圖正是《圓形極限》系列作品中的最後一張，也是 Escher 自. 認為最得意的一幅。. . 35. 圖 2- 13《地球儀表上的魚》. 圖 2- 14《越來越小》圖 2- 15《漩渦》. 圖 2- 16《圓形極限─第 3 號》圖 2- 17《圓形極限─第 4 號》. 資料來源：National Gallery of Art 藝術華盛頓美國美術館網站：Escher,M.C.作品. 5. 圖畫故事(Picture Story). 在此創作主題的最大特性為：從平面轉化至立體空間與立體空間轉換為. 平面，呈現出「虛」與「實」之間轉換的表現手法。此類型作品裡的主角，. 扮演著兩種角色，一是動彈不得規則的被鑲嵌在平面中，另外一個是擁有三. 度空間，自由活動的個體表現。我們可以看到這系列中的主題元素皆以靜態. 的方式，被描繪著動態移動的事實。此系列作品包含有《爬蟲》、《循環》、《相. 遇》、《神奇的鏡子》、《變形》、《命定》等。從別的主題系列中我們也可以找. 36. 到類似型的圖畫，例如前面提及的圖 2-8《白天和夜晚》、圖 2-11《解放》. 與圖 2-12《開天闢地》，也都有此主題作品特色在其中。圖 2-19《爬蟲》以. 圖 2-18《No.25 蜥蜴》平面規則分割圖案為題材延伸出的生命循環圖，攤開. 在桌上的素描簿裡，小爬蟲展開了他的真實生命，吃力地爬上坡路達到有生. 以來的最高點，以鼻噴氣後，又累又滿足的再次回到素描本上，扮演素描圖. 本裡的平面規則分割主題元素的角色。圖 2-21《相遇》背景由白色的人形和. 黑色的人形組合而成，圖中央的圓形是要讓背景可以明顯地映出來，這個圓. 也迫使了白色與黑色人形相遇，在圖的最前方握手打招呼。. 圖 2- 18《No.25 蜥蜴》圖 2- 19《爬蟲》. 圖 2- 20《No.63 悲觀者與樂觀者》圖 2- 21《相遇》. 圖片來源：National Gallery of Art 藝術華盛頓美國美術館網站：Escher,M.C.作品. 經由 Escher 表達理念與創作手法分析「規則平面分割」圖形，讓我們更清. 楚它所傳達創作思維與理念，以及延伸出的視覺效果，以上介紹可發現作品中的. 一些共通點：Escher 經常使用鳥、魚、青蛙或爬蟲當作主題元素，而這些動物各. 37. 有他們所具代表的象徵，如：鳥代表天空、魚代表水而青蛙則代表陸地，白色代. 表白天、正面積極，黑色則代表夜晚、消極。在作品中也經常出現迴圈的構造，. 例如：《騎兵》、《開天闢地》、《相遇》，其中《白天與夜晚》更是出現了兩個封閉. 迴圈，在有限範圍內製造出無限的可能性。利用這些元素，Escher 就像說故事一. 樣，巧妙地將「時間」、「空間」的先後感、運動性表現於畫面上，善用人類的視. 覺錯覺，結合鑲嵌藝術圖形之特性，找到二維與三維間的轉接點，完全不因平面. 而被侷限，以自己的方法找到另一種空間表現。. 綜合以上所述，透過作品我們可以看到中充滿 Escher 的創意，他極致多元. 的發展鑲嵌藝術，不受限制地，使用平凡的元素結合數學原理透過創意詮釋，讓. 觀者看到不同的視野，從中獲得視覺變化之樂趣。. 第四節數位化應用：3D 數位化整合科技系統. 隨著科技的快速發展，數位化設計已是當下公認各行業設計應用的工具發展. 新趨勢，如電腦輔助工業設計(Computer Aided Industry Design，簡稱 CAID)、文. 化商品設計(Cultural Product Design)及數位化珠寶設計 (Computer Aided Jewelry. Design，簡稱 CAJD)等，等已被廣泛應用在實務產業。科技進步，產業創新技術. 也更加複雜繁瑣，涵蓋整合性跨領域應用的情況司空見慣，因此如何結合現代新. 工具，提升數位化設計能力，已是當前企業圖存救亡的不二法門。. 本研究將運用圖 2-22 所示之數位化 3D 整合設計科技系統(Digitized. Three-Dimensional Integration of Design Technology，簡稱 DIDT)技術進行設計應. 用。主要構成部分包含：電腦輔助設計(Computer Aided Design，簡稱 CAD)、電. 腦輔助製造 (Computer Aided Manufactory，簡稱 CAM)及快速成形 RP(Rapid. Prototyping，簡稱 RP 或稱 Additive Manufacturing，簡稱 AM)、RE(Reverse En-. gineering，簡稱 RE)及美國 SensAble Technologies 公司所開發的 FreeForm 數位建. 模系統(Modeling System)等系統。流程執行的首先是數位模型建製：分為正向建. 模與逆向建模兩種形式，其中正向建模又區分為(1)利用灰階照片製作的數位浮. 38. 雕模型；(2)透過電腦輔助設計軟體，直接建製立體數位模型等兩種方式。第二. 種方式是逆向掃瞄：透過儀器掃描擷取實體模型幾何資料，再轉換成立體數位模. 型。緊接下來進行進階的模型修潤，可透過數位化修整模型系統或軟體的處理，. 例如：FreeForm、ZBrush 軟體或系統等修潤或轉化設計，完成數位模型。最後. 透過電腦輔助製造 CAM 或快速模型 RP 製作，完成樣品製作。. 圖 2- 22 DIDT 系統架構圖. 資料來源：羅日生、賴奎榕、王錦雄(2013)。數位化 3D 整合設計技術系統之應. 用探究。. 一、CAD. 電腦輔助設計(CAD)與電腦圖學(Computer Graphics, CG)技術都是發軔於美. 國，而 CAD 技術則是在 1962 年，由學者 Ivan E. 在 MIT 攻讀博士之論文中首先. 被提出，這促使 CAD 技術成為人類社會中極重要的新領域，而在 1979 年麻省. 理工學院召開史上第一次的電腦輔助及製造系統之會議上，CAD 和 CAM 的整. 合就進入新的紀元。在 1980 年美國『國家電腦繪圖聯合會』發表 CAD/CAM 系. 統的論文後，電腦輔助技術的發展，至此可說已相當成熟了(吳歲安，2004)。. 39. CAD 電腦輔助設計是指利用電腦具高速及精確的運算速度，協助提升模型. 的建構速度、加創造力及表現能力、提升溝通之質與量、提高精度及減低開發費. 用，逐步取代傳統設計方法，甚至未來可能有更多的設計工作會被其取代，例如. 傳統的手繪精描(Rendering)、精緻草模等複雜的設計過程(吳田瑜，2001)。現今. 電腦軟體功能有各家廠商研發日漸發展增加，使用 CAD 軟體進行設計理念實現. 已是設計流程標準作業的一大環節，這對於流程有許多助益，不僅減少繪圖時間、. 縮短開發時程、降低生產成本提高產物品質之外，不必擔心原創設計師的理念會. 由於作業工具電腦化而有所改變，選擇出適宜的 CAD 軟體，甚至能幫助提高創. 意發揮，提升更高效率(陳柏瑞，2005)。應用電腦科技來輔助產品設計是設計師. 與業界注重且投入的方向，藉此可滿足消費市場的快速變遷、提升設計效率及品. 質。(鄭宇杰，2002)。目前業界使用的電腦輔助設計軟體約略可歸類為三類：全. 參數軟體，如 CREO(原 Pro/Engineer)、SolidWorks；參變數混合軟體，如 NXT(原. Unigraphics)、Catia 及自由曲面軟體，如：Alias、CDRS 等(羅承軒，2005)。三. 類各有其特性，在功能與價格上有有不同的程度區隔(羅逸文，2012)。. 綜合上述可知 CAD 軟體已是現在產品設計的新趨勢。電腦輔助設計已