第 4 章　二次曲線

4-1　拋物線

1. 右圖中哪一個圖形是以_F為焦點﹐_L為準線的拋物線﹖

(1) 　₁ (2) 　₂ (3) 　3

(4) ﹒₄

因為焦點與準線的距離為正焦弦長的一半﹐

所以由圖可知 是以 F 為焦點﹐ L 為準線的拋物線﹒₂ 因此正確的選項為(2)﹒

2. 求下列各拋物線的方程式﹕

(1)焦點^F^{0 , 3} ^﹐頂點V^{0 , 0}﹒　(2)頂點^V ^{1,1 ﹐}

準線L x: 4﹒

(1)因為焦點 F 在頂點V 的下方﹐所以拋物線開口向下﹐

且c  ﹐如右圖所示﹒3

由拋物線的標準式x²4cy可得其方程式為x² 12y﹒

(2)因為頂點 V 在準線 L 的左方﹐所以拋物線開口向左﹐c  ﹐如3 右圖所示﹒

因為拋物線開口向左﹐

所以由標準式^{y k} ^{24c x h} ^ ^{可得其方程式為}

^y1^{2 12}^{x ﹒1}

第 4 章　二次曲線

3. 求下列各拋物線的方程式﹕

(1)頂點^{0 , 0}^{﹐準線平行x軸﹐且通過點}^{2 , 6}^﹒

(2)頂點^{2 ,1}^{﹐準線垂直x軸﹐正焦弦長為}8﹒（有兩個解）

(1)由頂點0 , 0 ﹐準線平行 x 軸﹐可設拋物線的方程式為 y ax ²﹒ 因為拋物線通過點2 , 6 ﹐將其代入 y ax ²﹐解得 3

a ﹐2 所以拋物線的方程式為 3 ²

y2x ﹒

(2)由正焦弦長為 8 可得 4c  ﹐解得8 c  ﹒又由頂點2 2 ,1 ﹐準線垂直 x 軸﹐可知拋物線的

開口向左或向右﹒

當拋物線開口向左時﹐c  ﹐方程式為2 ^y1^{2 8}^x2^﹔

當拋物線開口向右時﹐c ﹐方程式為2 ^y1^28^x2^﹒

4. 下列哪個拋物線的焦距最大﹖其中焦距表示焦點和頂點的距離﹒

(1)y x ²　(2)y4x²　(3)y16x²　(4)4x y²　(5)16xy²﹒

將各選項的方程式改成標準式﹕

(1) 1 ²

4    4 y x ﹒　(2) 1 ²

416 y x ﹒　(3) 1 ²

464 y x ﹒　(4)^{4 1 x}  ^y2﹒ (5)^{4 4x} ^y2﹒

可知各拋物線的焦距分別為(1)1 4　(2) 1

16　(3) 1

64　(4)1 　(5) 4﹐ 故正確的選項為(5)﹒

5. (1)求拋物線^x1^{2 4}^y2^{的準線與焦點﹒}

(2)求拋物線x4y²8y1的頂點與對稱軸﹒

(1)將方程式^x1^24^y2^依^{x h} ^{24c y k} ^ 

改寫成^{x } ¹^{2  4 1} ^y2^{﹐得拋物線的頂點為V}^1,2﹐c1

﹐且其圖形開口向上﹐如右圖所示﹒

故拋物線的焦點為^F^1,3﹐準線為 :L y ﹒1 (2)將x4y²8y 配方可得1 ^{x 3 4}^y1^2，

改寫成 ¹^{2 4 1} ³

y  16 x ﹐得拋物線的頂點為^V  ﹐對^{3, 1}

稱軸為y  ，如右圖所示﹒1

6. 求對稱軸為x1﹐且通過點^{2 , 2}^與^{1, 5}^{的拋物線方程式﹒}

因為拋物線的對稱軸為x ﹐所以可設其方程式為1 ^x1^{24c y k} ^ ^﹒

將點^{2 , 2 與} ^{1, 5}代入^x1^{24c y k} ^ ^﹐得  

 

1 4 2 4 4 5

c k c k

  

  

 ﹐再將兩式相除﹐得1 2 4 5

k k

 



﹐解得k ﹐並得1 1

c ﹐因此拋物線的方程式為4 ^x1^{2  ﹒y 1}

7. 已知拋物線 通過點^{7 , 8}^﹐且與y² 4x有相同的焦點與對稱軸﹐求 的 方程式﹒

由y²4x可知﹕拋物線的頂點為0 , 0 ﹐ c ﹐開口向右﹐因此其焦點為1 1, 0 ﹐對稱軸為

0 y ﹒

設 的頂點為^{h, 0} ﹐則c  ﹐且其方程式可設為1 h ^{y24 1} ^{h x h}  ^  ﹒ 因為拋物線 通過點7 , 8 ﹐所以將其代入方程式﹐得 ^{824 1} ^h ^7h^﹐

整理得h²8h  ﹐並解得9 0 h 或9 h  ﹐1 故 的方程式為^{y2 32}^x9^或y28^{x ﹒1}

8. 求對稱軸垂直^y軸﹐且通過^{3 ,1} ^﹐^{2 , 0}^﹐^{0 , 2} ^{三點的拋物線方程式﹒}

因為拋物線的對稱軸垂直 y 軸﹐所以可設其方程式為x ay ²by c ﹒

將^{3 , 1}﹐2 , 0 ﹐ ^{0 , 2} 三點代入x ay ²by c ﹐得 3 2 0 4 2

a b c c

a b c

   

 

   



﹐

解得a  ﹐2 b  ﹐3 c ﹐即拋物線的方程式為2 x 2y²3y ﹒2

9. 已知 ^{x 3} ^x1 ^{2 y1}² 的圖形是一個拋物線﹐關於此拋物線選出正 確的選項﹕

(1)焦點為^{1, 1} 　　　　(2)準線為x3　　　　(3)頂點為^{3 , 1} 

(4)對稱軸為^{y 1}　　　(5)正焦弦長為1﹒

由方程式 ^{x 3} ^x1 ^{2 y1}^2可知﹕

點x y 到直 線^,  x 的距 離 |3 x 與點3 | x y 到 點^,  ^{1, 1} 的距

離 ^x1 ^{2 y1}^{2 相等﹐}

因此由拋物線的定義可知﹕此拋物線的焦點為^{1 , 1} ﹐準線為

3

x ﹐如右圖所示﹒

由圖可知﹕拋物線的頂點為^{2 , 1} ﹐對稱軸為 y  ﹐1 c  ﹐正焦弦長 41 c  ﹒4 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒

10. 一拋物線形拱門如右圖所示﹒

已知此拋物線以通過最高點的鉛垂線為對稱軸﹐

拱門底部寬為8公尺﹐最高點高4公尺﹐求拱門 寬度為₄公尺處的高度﹒

選定拋物線的頂點為坐標平面的原點﹐軸為 y 軸﹐且讓拋物 線的開口向下﹐由此可設拋物線的方程式為y ax ²﹐a ﹒0

因為拱門底部寬為 8 公尺﹐最高點高 4 公尺﹐所以拋物線通過點

^{4 , 4} ﹐代入y ax ²﹐解得 1 a  ﹒4

設^P^{2 , 4}a 為拱門寬度為 4 公尺處的右邊端點﹐將 1

a  代入﹐得4 P 點坐標為^{2 , 1} ﹒

故由圖可知﹐ P 點的高度為       （公尺）﹒^{1 4 3}

11. 已知P ^{a b,} ^為拋物線 ^{: y2} ^x上一點﹐且點P到焦點的距離為 3﹐求^a的 值﹒

由 ² 1 4 4

y   x可知拋物線開口向右﹐

其焦點為 1 4, 0

 

 

 ﹐準線為 1

x  ﹐如右圖所示﹒4 因為拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等﹐

所以點 P 到準線的距離為 3 ﹐即 1 4 3

a   ﹐解得 3 24 a ﹒

12. 已知在坐標平面上﹐直線^{L y x:  4}與拋物線 :x² 4y相交於P﹑Q兩 點﹐且F為 的焦點﹐求PF QF 的值﹒

先在坐標平面上畫出x²4y的圖形﹐如圖所示﹒

由拋物線的定義可知﹐ PF PR ﹐ QF QS ﹐ 故 PF QF PR QS ﹐

又因為準線為y  ﹐所以可知1

   

1 1 2 1 1 2 2

PR QS y   y   y y  ﹒

將y x  改寫成4 x  ﹐並代入y 4 x²4y﹐整理得y²12y16 0 ﹐ 由根與係數的關係可知﹐y₁y₂12﹐即PR QS y₁y₂ 2 14﹐ 故PF QF 14﹒

4-2　橢圓

1. 右圖中哪一個橢圓是以F₁﹐F₂為焦點的橢圓﹖

(1) 　(2)₁  　(3)₂  　(4)3  ﹒₄

由圖可知﹕橢圓長軸之半為5 個單位長﹐兩焦點距離之半為 3 個單 位長﹐因此短軸長之半為 5²3² 16 4 個單位長﹐故由圖可知 正確的選項為(3)﹒

2. 設F14 , 2 ﹐F24 , 4 ﹐且圖形 上的動點P滿足PF₁ PF₂ k﹒下列哪 些選項中的k﹐可使得 是一個橢圓﹖

(1)4　(2)5　(3)6　(4)7　(5)8﹒

因為F F_{1 2} ﹐所以由橢圓的定義可知﹕當6  的圖形是一個橢圓時﹐長軸長 k 需大於F F ﹐因1 2

此正確的選項為(4)(5)﹒

3. 右圖是一個以F₁﹐F₂為其焦點﹐長軸長為 16 的橢圓﹒

若P為橢圓上的一點﹐△PF F_{1 2}是一個直角三角形﹐且

1 6

PF  ﹒則此橢圓的短軸長為何﹖

由 橢 圓 的 定 義 可 知 ﹕ PF₁PF₂為 長 軸 長 2a16﹐ 因 此 a ﹐8

2 10

PF  ﹒

因為△PF F_{1 2}為直角三角形﹐所以F F_{1 2}2c 10²6² ﹐即8 c ﹐4 並得b a²c²  8²4²4 3﹐故橢圓的短軸長 2b 2 4 3 8 3 ﹒

第 4 章　二次曲線

4. 求滿足下列各條件的橢圓方程式﹕

(1)焦點^{3 , 0}^﹐^{3 , 0}^{﹐短軸長為}8﹒

(2)中心在原點﹐一頂點^{0 , 5} ^﹐一焦點^{4 , 0} ^﹒

(1)由焦點3 , 0 ﹐ ^{3 , 0}可知﹕

長軸在 x 軸上﹐c ﹒3

因為短軸的長為8 ﹐所以b ﹐並可得4 a b²c²  ﹒5

故由橢圓的標準式可知其方程式為

2 2

25 16 1 x y  ﹒

(2)由中心在原點﹐一頂點^{0 , 5} ﹐一焦點4 , 0 ﹐

可知長軸在 x 軸上﹐b ﹐5 c ﹐並可得4 a b²c² 41﹒

故由橢圓的標準式可知其方程式為

2 2

41 25 1 x y  ﹒

5. 求下列各橢圓的中心﹑焦點與正焦弦長﹕

(1) ¹ ^{2 1}² ₁

16 25

x y

  ﹒ (2)4x²y²2x0﹒

(1)由橢圓方程式  ² ²

2 2

1 1

4 5 1 x y

  可知﹕

中心為^{1 , 1} ﹐長軸長之半為 a ﹐短軸長之半為5 b ﹐4 且兩焦點距離之半為c 5²4²  ﹐其圖形如右圖所示﹒3 由 圖 可 知 橢 圓 的 中 心 為^{1 , 1} ﹐兩焦點分別為 ^{1, 2 ﹐} ^{1, 4} 

﹐正焦弦長為2 ² 32 5 b

a  ﹒ (2)將4x²y²2x 配方為0

2

2 1 1 2 1

4 2

4 4 4

x x y

      

   

   

  ﹐即

2

1 2 1

4x4 y 4 ﹐將上式兩邊

同除以1

4﹐得標準式

2 2

2 2

1

4 1

1 1

4 2

x y

  

 

   

   

   

   

﹒

由標準式可知中心為 1 4,0

 

 

 ﹐長軸長之半為 1

a ﹐短軸長之半為2 1

b ﹐且兩焦點距離之4

半為

2 2

1 1 3

2 4 4

c          ﹒

故橢圓的中心為 1 4,0

 

 

 ﹐兩焦點分別為 1 3 4 4,

 

 

 

 ﹐ 1 3 4, 4

 

  

 

 ，正焦弦長為 2 2 1

4 b a  ﹒

6. 求滿足下列各條件的橢圓方程式﹕

(1)長軸的兩端點為^{6 ,1}^﹐^{4 ,1}^{﹐一焦點為}^{2 ,1}^﹒

(2)長軸長為10﹐且位在直線x5上﹐短軸長是長軸長的3

5﹐且位在直線 1

y 上﹒

(1)因為長軸的兩端點為6 ,1 ﹐ ^{4 ,1}﹐所以其中心為長軸 的中點 1, 1 ﹐a   ﹒又因為一焦點為6 1 5 ^{2 ,1}﹐所 以 ^c    ﹐ 並 求 得¹  ^{2 3} b a²c²  5²3²  ﹐ 其4 圖形如右圖所示﹒

由圖可得橢圓的方程式為

  ² ²

2 2

1 1

5 4 1 x y

  ﹒

(2)由題意可知﹕橢圓的中心為5 , 1 ﹐ a ﹐5 3 5 3

b a ﹐其圖形如右 圖所示﹒

由圖可得橢圓的方程式為

  ² ²

2 2

5 1

3 5 1 x y

  ﹒

7. 已知 ^x2^{2 }^y2^{2 } ^x2^{2 }^y4^{2 10}的圖形是一個橢圓﹐關於 此橢圓選出正確的選項﹕

(1)^{2 , 2}^{是橢圓的一個焦點} (2)^{2 ,1}^{是橢圓的中心}

(3)長軸長為 10 (4)短軸長為 8﹒

由方程式 ^x2 ^{2 y2}^2 ^x2 ^{2 y4}^{2 10}

可 知 ﹕ 點 x y 到 點^,  2 , 2 的 距 離 ^x2 ^{2 y2}^{2與 點} x y 到 點^, 

^{2 , 4} 的距離 ^x2 ^{2 y4}²之和為 10 ﹐因此橢圓的兩焦點為^{2 , 2}

﹐^{2 , 4}  ﹐中心為^{2 , 1} ﹐長軸長 2 a10﹐即a ﹐又5

 

2c    ﹐即2 4 6 c ﹐並得短軸長之半3 b a²c²  5²3²  ﹐即短軸長為 8 ﹒4 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)(4)﹒

8. 關於方程式

2 2

8 4 1

x y

kk 

  ﹐選出正確的選項﹕

(1)k6時﹐其圖形是一個圓 (2)k7時﹐其圖形是一個橢圓 (3)當其圖形為焦點在^x軸上的橢圓時﹐k的範圍為4 k 6

(4)當其圖形為焦點在^y軸上的橢圓時﹐k的範圍為6 k 8﹒

關於方程式

2 2

8 4 1

x y

kk 

  ﹐

(1)當k 時﹐方程式為6 ^{2 2} 1 2 2

x  y  ﹐即x²y² ﹐其圖形是一個圓﹒2

(2)當k 時﹐方程式為7 ^{2 2} 1 1 3

x  y  ﹐其圖形是一個橢圓﹒

(3)當

2 2

8 4 1

x y

kk 

  的圖形為焦點在 x 軸上的橢圓時﹐可得a²  ﹐8 k b²  ﹒k 4 因為a²b² ﹐所以 80     ﹐解得 4k k 4 0   ﹒k 6

(4)當 ^{2 2} 1

8 4

x y

kk 

  的圖形為焦點在 y 軸上的橢圓時﹐可得a²  ﹐k 4 b²  ﹒8 k 因為a²b² ﹐所以0 k    ﹐解得 64 8 k 0   ﹒k 8

故由上面的討論可知﹕正確的選項為 (1)(2)(3)(4)﹒

9. 求中心為原點﹐軸為坐標軸﹐且通過^{2 , 4}^﹐3 2 , 3 兩點的橢圓方程式﹒

因為橢圓的中心為原點﹐軸為坐標軸﹐所以可設橢圓的方程式為

2 2

2 2 1

x y a b  ﹒

將點2 , 4 ﹐ ^{3 2 , 3 代入} x²2 y²2 1

a b  ﹐得 ^{2 2}

2 2

4 16 1 18 9

1 a b

a b

  



  



﹐

由二式解得a²36﹐b²18﹐故橢圓的方程式為

2 2

36 18 1 x y  ﹒

10. 設點^A^{1 , 0}^{﹐圓C x:} ^1 ^{2 y2}^{2 16﹒}

(1)在坐標平面上畫出點A與圓C﹒

(2)求所有通過點A且與圓C相切之圓的圓心﹐所形成之圖形的方程式﹒

(1)作圖如下﹐並得點 A 在圓 C 內部﹒

(2)設與圓 C 相切之圓的圓心為P x y ﹐半徑為 r ﹐圓 C 的圓心為 ^, 

M ﹒

由右圖可知﹕ AP 等於 r ﹐且AP PM  r PM  ﹒4

因此﹐所有的 P 點形成以 A ﹐ M 為焦點﹐長軸長為 4 ﹐兩焦點 間距離為 2 的橢圓﹒

因為 A ﹐ M 為焦點﹐所以橢圓的中心為  ﹐且^{1, 1} c ﹐又1 因 為 長 軸 長 為 4 ﹐ 所 以 2a ﹐ 解 得4 a ﹐ 並 得2

2 2 3

b a c  ﹒

故所有圓心所形成的橢圓方程式為 ¹²  ¹² ₁

3 4

x y

  ﹒

11. 設橢圓

2 2

: 1

81 72

x y

   的兩焦點為F1與F₂﹒若點P為 上一點﹐且滿足PF₁ 的中點在^y軸上﹐求_PF1的長﹒

由方程式

2 2

81 72 1

x y  可知﹕a ﹐9 b²72﹐c a²b² 9 3

﹒

因 為PF 的 中 點 Q 在 y 軸 上 ﹐ 且 原 點 O 為₁ F F 的 中 點 ﹐ 所 以_{1 2}

2 1 2

PF F F ﹐即PF 的長為正焦弦長的一半﹒₂

因為正焦弦的長為

2 2 144 9 16 b

a   ﹐即PF 長為 8 ﹐又₂ PF1PF2等 於長軸長18 ﹐所以PF 的長度為10 ﹒₁

12. 右圖是一個橢圓﹐焦點F1與頂 點 _A的 距離 為 3 單位 長﹒現在有一道雷射光由F1出發﹐行經10單位長之後 碰到橢圓上的P點反射﹐再經過焦點F2碰到橢圓上的 Q點反射回F1點﹒若F PQ1  60 ﹐則△F PQ1 的周長 為何﹖

假設PF₂ ﹐則x AB PF ₁PF₂10 ﹒x 因為AF₁BF₂ ﹐所以3 F F_{1 2}  ﹒4 x

觀 察 △PF F1 2﹐ 由 餘 弦 定 理 可 知 ﹕

^4x^{2x2102   2 x 10 cos60 ﹐整理得18x84﹐}

解得 14

x 3 ﹐即長軸長為44 3 ﹒

因為△F PQ1 的周長為長軸長的 2 倍﹐所以△F PQ1 的周長為88

3 （單位長）﹒

4-3　雙曲線

1. 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 以^{2 ,1}^﹐^{4 ,1}為 焦 點 ﹐ 通 過 點

^{4 , 3}^{畫一個雙曲線} ﹐問雙曲線也會通過下列哪些

點﹖

(1) ^{1 ,1} (2)^{4 , 1}  (3)^{2 , 3}

(4)^{ 2 , 1} (5)^{1 , 3} ﹒

由雙曲線的焦點為^{2 ,1}^﹐4 , 1 ﹐且通過點 4 , 3 ﹐可以畫出雙

曲線大致的圖形﹐如右圖所示﹒

由雙曲線的對稱關係可知﹕^{4 , 1} ﹐ ^{2 , 3}與  均在雙曲^{2 , 1}

線上﹐而中心 ^{1, 1 ﹐點}1, 3 均不在雙曲線上﹐故正確的選項為(2)

(3)(4)﹒

2. 一船隻在海面上沿著一支雙曲線的航線航行﹐此雙曲線以 兩個燈塔A﹐B為其焦點﹐如右圖所示﹒

已知此船隻在海面上C點時﹐船隻和A燈塔的距離為50公 里﹐和B燈塔的距離為20公里﹐而在海面上D點時，此 船隻和A燈塔的距離與和B燈塔之距離的和是100公里﹐

求D點和A燈塔的距離是多少公里﹒

因為船隻在雙曲線上﹐所以雙曲線的貫軸長為AC BC 50 20 30  ﹐ 且AD BD AC BC   30﹒

又由題意可知AD BD 100﹐因此由兩式解得AD65﹒ 故 D 點和 A 燈塔的距離是 65 公里﹒

第 4 章　二次曲線

3. 求下列各雙曲線的中心﹑焦點與漸近線方程式﹕

(1)

2 2

9 4 1

y x  ﹒ (2)9x²y²36x4y 4 0﹒

(1)雙曲線 ₂^{2 2}₂ 1 3 2

y x  的中心為0 , 0 ﹐貫軸長之半 a ﹐共軛軸長3

之半b ﹐且兩焦點距離之半2 c 3²2²  13﹒

因為雙曲線為上下開口﹐所以焦點為^{0 , 13 與} ^{0 , 13}^﹐

又兩漸近線的方程式為 3

y 2x﹐即為 3x2y 與 30 x2y0

﹒

(2)將9x²y²36x4y  配方得4 0 ⁹^x2 ^{2 y2}^236﹐

即 ² ^{2 2}² ₁

4 36 x y

  ﹒

由方程式可得雙曲線的中心為^{2 , 2}  ﹐貫軸長之半a ﹐共軛軸長2 之半b ﹐且兩焦點距離之半6 c 4 36 2 10  ﹒

因為雙曲線為左右開口﹐所以焦點為^{2 2 10, 2  與} ^{2 2 10, 2}  ﹐又兩漸近線的方程式

為 ⁶ ² ²

y 2 x  ﹐即為 3x y  與 38 x y  ﹒4

4. 求滿足下列各條件的雙曲線方程式﹕

(1)頂點^{3 , 0}^﹐^{3 , 0}^{﹐有一焦點}^{5 , 0}^﹒

(2)漸近線方程式為^x2y0﹐x2y0﹐且通過點^{4 ,1} ^﹒

(1)由頂點3 , 0 ﹐ ^{3 , 0}可知﹕

雙曲線的中心為0 , 0 ﹐ a ﹐雙曲線為左右開口﹒3 又由焦點5 , 0 ﹐可得 c ﹐並推得5 b 5²3²  ﹒4 因為雙曲線為左右開口﹐所以由雙曲線的標準式

2 2

2 2 1

x y a b  ﹐ 可知其方程式為

2 2

9 16 1 x y  ﹒

(2)先畫出漸近線x2y ﹐0 x2y 與點0 4 ,1 ﹐如下圖所示﹕

因為漸近線方程式為 1

y2x與 1

y 2x﹐中心為0 , 0 ﹐所以由圖可知﹐其圖形為左右開

口﹐並可設其標準式為

2 2

2 2 1

x y a b  ﹒ 因為漸近線的方程式 1

2 y x bx

 a ﹐所以可設 a ﹐b 的值分別為 2k 與 k ﹐其中 k 是一個正 數﹐即其方程式為

2 2

2 2 1

4 x y

k k  ﹐

將4 , 1 代入方程式解得 k² ﹐故其方程式為3 ^{2 2} 1 12 3

x y  ﹒