勾股定理 勾股定理

勾股定理 勾股定理

自我評量

平面上兩點的距離

平面上兩點的距離

小學時學過，三角形中若有一個內角是 直角 (90°) ，這樣的三角形就是直角三角形，其 中直角所對的邊稱為斜邊，其餘兩個邊稱為股（

如圖 2-12 ）。我們平常使用的三角板，都有一個 角是直角，它們都是直角三角形。

圖 2-12

記號 、 是用來標示這個 角是直角

∟∟

拿出附件三中，四個邊長為 a 、 b 、 c 的相同直角三角形（如圖 2-13 ）及甲、乙、丙 三個正方形，分別排成一個邊長為 a ＋ b 的大 正方形（如圖 2-14 、圖 2-15 ）。

圖 2-13

排法一：

排法二：

圖 2-14

圖 2-15

圖 2-15 中，由於紅色的角和藍色的 角加起來是 90 度，所以四邊形丙的四個內角 都是 90 度。且四個邊都等長，因此，四邊形 丙是一個正方形。而四邊形甲和乙也是正方形

。

由圖 2-14 、圖 2-15 發現：

甲面積＋乙面積＝丙面積 因此可得： a

＋ b

＝ c

直角三角形三邊長

的數量關係

我們也可換個角度討論直角三角形兩 股與斜邊的關係。

拿出附件四，將圖 2-16 和圖 2-17

的粗線框所圍的部分剪下，並將粗線框中兩個

相同的三角形疊合在一起（如圖 2-18 ）。

圖 2-16

圖 2-17

圖 2-18

由於兩粗線框所圍面積相等，

分別再扣除一個直角三角形後，

可以發現，甲面積＋乙面積＝丙面積，因此也 可得到 a

＋ b

＝ c

。

兩粗線框所圍面積

＝（邊長 a ＋ b 的正方形）減（三個直角三角形）

我們再從另一角度討論直角三角形兩 股與斜邊的關係。

正方形丙的面積＝大正方形面積－四個直角三角形面積

c

＝ （ a ＋ b ）

－

‧ 4

＝ a

＋ 2ab ＋ b

－ 2ab

＝ a

＋ b

ab 2

由上面的說明，我們可以推導出直角三角 形的三邊長關係：

任意一個直角三角形，其兩股長的平方和 等於斜邊長的平方。

這個關係叫做勾股定理，西方人則稱為畢 達哥拉斯定理（畢氏定理）。

接下來，我們舉一些應用勾股定理計

算邊長的例子。

1 斜邊長的計算

已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。

(1) (2)

解解

(1) 由勾股定理知：

c

＝ 5

＋ 12

＝ 25 ＋ 144 ＝ 1 69

因為 c ＞ 0 ，故得 c

＝ 13 。

配合習作 P24 基礎題 1

解解

(2) 由勾股定理知：

c

＝ 5

＋ 5

＝ 25 ＋ 25 ＝ 50

因為 c ＞ 0 ，故得 c ＝ ＝ 。

50

2

5

已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。

(1)

c

＝ 3

＋ 4

＝ 9 ＋ 16 ＝ 25

因為 c ＞ 0 ，故得 c ＝

5 。

已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊的長。

(2)

c

＝ 7

＋ 24

＝ 49 ＋ 576 ＝ 625

因為 c ＞ 0 ，故得 c ＝ 2

5 。

2 另一股的長

已知下列各直角三角形一股與斜邊的長，求另一 股的長。

(1)

(2)

解解

(1) 由勾股定理知：

a

＋ 15

＝ 17

得 a

＝ 17

－ 15

＝ 289 － 225

＝ 64

因為 a ＞ 0 ，故得 a ＝ 8 。

配合習作 P24 基礎題 1

解解

(2) 由勾股定理知：

3

＋ b

＝ 4

得 b

＝ 4

－ 3

＝ 16 － 9 ＝ 7

因為 b ＞ 0 ，故得 b ＝ 。

7

如右圖，直角三角形的斜邊長 為 10 ，一股長為 7 ，求另一股 的長。

a

＋ 7

＝ 10

a

＝ 10

－ 7

＝ 51

因為 a ＞ 0 ，故得 a ＝ 。

51

中國古時稱直角三角形的斜邊為

「弦」，直角的兩邊稱為「勾」和「股」，因 此直角三角形的三邊長關係稱為勾股定理或勾 股弦定理。

在西方，這項有名的數學定理，相傳

是由畢達哥拉斯 (Pythagoras of Samos ，古希

臘 ， 569BC—475BC) 發 現 的 。 西 元 前 二 世

紀，古希臘學者阿波羅多羅斯 (Apollodorus) 在

《希臘編年史》中提到：畢達哥拉斯的門徒為

了慶祝發現這個定理，宰了一百頭牛祭祀神話

中掌管文學、藝術、科學等的繆思 (Muses) 女

神，以酬謝神的啟示，這就是著名的百牛之

祭，所以也有人把畢氏定理稱為百牛定理。

3 長方形的對角線

(1) 求長方形的對角線長。

解解

(1) 由勾股定理知：

x

＝ 8

＋ 11

＝ 64 ＋ 121 ＝ 185

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 所以對角線長為 。

185 185

配合習作 P24 基礎題 2 、 3

3 長方形的對角線

(2) 求長方形的另一邊長。

(2) 由勾股定理知：

y

＋ 3

＝ 6

得 y

＝ 6

－ 3

＝ 36 － 9 ＝ 27

因為 y ＞ 0 ，故得 y ＝ ＝

所以另一邊長為 。

解解

27 3 3 3

3

配合習作 P24 基礎題 2 、 3

(1) 求長方形的對角線長。

a

＝ 5

＋ 9

＝ 25 ＋ 81 ＝ 1 06

因為 a ＞ 0 ，故得 a ＝

所以對角線長為

。

106

106

(2) 求長方形的另一邊長。

b

＋ 3

＝（ ）

b

＝（ ）

－ 3

＝ 18 － 9 ＝ 9

因為 b ＞ 0 ，故得 b ＝ 3

所以另一邊長為 3 。 2

3

2

3

4 斜邊上的高

如右圖，直角三角形斜邊長為 13 ，一股長為 5 ，求：

(1) 另一股的長。

(2) 此三角形的面積。

(3) 斜邊上的高。

配合習作 P25 基礎題 4

解解

(1) 設另一股的長為 x ，依據勾股定理：

x

＋ 5

＝ 13

得 x

＝ 13

－ 5

＝ 169 － 25 ＝ 144 因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 12 。

(2) 三角形面積＝ ×5×12 ＝ 30 (3) 設斜邊上的高為 h ，

由三角形面積公式知 ‧ 13‧h

＝ 30 ，

得 h ＝ ，所以斜邊上的高為 。

1 2

21

13 60

13 60

如右圖，求此直角三角形的面積及斜邊上的高。

設另一股的長為 x ， x

＋ 24

＝ 30

x

＝ 30

－ 24

＝ 324

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 18

所以三角形面積為

＝ 216 。  18 2 24

設斜邊上的高為 h ， ＝ 216 ， h ＝

所以斜邊上的高為 。

30 2  h

72 5 5

72

5 生活上的應用

如右圖，翰翰把長 2.5 公尺的梯子 放在離牆腳 0.7 公尺處。

(1) 請問梯頂離地面多少公尺？

(2) 如果翰翰覺得梯子架得太高了，

想要降低 0.4 公尺，則應將 梯腳

放在離牆腳幾公尺處？

解解

(1) 設梯頂離地面 x 公尺，根據勾股定理：

(0.7)

＋ x

＝ (2.5)

x

＝ (2.5)

－ (0.7)

＝ 5.76

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 2.4 。 所以梯頂離地面 2.4 公尺

梯子、地面與牆壁 圍成直角三角形。

解解

(2) 原本梯頂離地面 2.4 公尺，降低 0.4 公尺後

，

梯頂離地面 2.4 － 0.4 ＝ 2 公尺。

設此時梯腳離牆腳 y 公尺，根據勾股定 理：

y

＋ 2

＝（ 2.5 ）

y

＝（ 2.5 ）

－ 2

＝ 2.25

因為 y ＞ 0 ，故得 y ＝ 1.5 。

所以梯腳離牆腳 1.5 公尺。

一把梯子斜靠在牆上，已知梯子長 2.5 公尺，

梯腳離牆腳 2 公尺，

(1) 求梯頂離地面多少公尺？

(2) 若將梯腳向牆腳挪近 0.5 公尺，請問梯頂 會向上移多少公尺？

梯頂離地面 ( 2 . 5 )

2

 1.5 （公尺）

梯頂向上移動 ( 2 . 5 )

 ( 1 . 5 )

 1.5  0.5 （公尺）

6 長方體的對角線

右圖為一長方體， _{＝ 8 公分，}

_{＝ 6 公分， ＝ 4 公} 分，試問：

(1) 的長是多少公分？

(2) 的長是多少公分？

AB

AD DH

GE

AE

解解

(1) 因為 ，所以 △ GHE 為 直角三角形

由勾股定理知：

所以 的長為 10 公分 100 8

6

2

  

GE HE

HG 

 10

GE

GE

解解

(2) 因為 ，所以 △ AGE 為 直角三角形

由勾股定理知：

所以 的長為 公分 GE

AG 

116 10

4

2

  

AE

29 2

116 



AE

AE 2 29

右圖為邊長 4 公分的正方體， P 點為 的中點，試問：

(1) 是否垂直

？

(2) 的長是多少公分？

FG FG

EF

EP 是

5

2

2

2 2

4

EP   

(3) 是否垂直 ？

(4) 的長是多少公分？

AE

AP

EP 是

6

2

36

2 4

) 5 2 (

AP     ( 公分 )

一年級時我們學過，數線上 A （ a ）

、 B （ b ）兩點的距離為 ＝｜ a － b ｜

，現在讓我們來看看坐標平面上兩點間的距離 如何計算。

AB

如右圖，已知坐標平面上 A （ 3, 0 ）、 B （－ 5, 0 ）、 C （ 3, 2 ）、 D

（－ 5, 2 ）四點，

(1) 求 的長。

(2) 求 的長。

AB CD

7 與兩軸等距的兩點距離

解解

(1)A 、 B 為 x 軸這條數線上的兩點，由數 線上兩點間的距離公式可得

＝｜ 3 －（－ 5 ）｜＝ 8

(2) 圖中 C 、 D 兩點到 x 軸的距離相同（ y 坐標都為 2 ），所以 平行 x 軸。

同理， 平行 y 軸， 平行 y 軸，因此四邊形 ABDC 為平行四邊形，

所以

＝ ＝ 8 。 AB

CD

CA DB

CD AB

如右圖，已知坐標平面上 C （ 1, － 4 ）、 D （ 1, 3 ）兩點，求 的 長。

CD

＝｜ 3 －（－ 4 ）｜＝ 7

CD

8 在兩軸上的兩點距離

如右圖，已知坐標平面上

A （－ 4, 0 ）、 B （ 0, 3 ）

兩點，求 的長。 AB

解解

A （－ 4, 0 ）、 B （ 0, 3 ）、 O （ 0, 0 ） 三點形成一直角三角形，由勾股定理知

因為 ＞ 0 ，所以 ＝

＝ 5 。

25 9

16 3

4

2 2

2

 AO  BO     

AB

AB AB 25

在右圖的坐標平面上標出 A （ 5, 0 ）、 B （ 0, － 3 ）兩點，並求出 的長。 AB

因為 ＞ 0 ， 所以 ＝

AB AB

34

5

3

2 2

2

 

  AO  BO AB

34

9 ^{平面上任意兩點的距離}

如右圖，已知坐標平面上 A(1, 2) 、 B(4, 5 ) 兩點，

(1) 過 A 點作平行 x 軸的 水平 線，過 B 點作平行 y 軸的鉛垂線，設兩直線相 交於 C 點，求 C 點坐標

。

(2) 求 的長。

AB

解解

(1) 因為 A 、 C 兩點都在平行 x 軸的水平線 上，所以 C 點的 y 坐標為 2 。

因為 B 、 C 兩點都在平行 y 軸的鉛垂 線上，所以 C 點的 x 坐標為 4 。

故 C 點的坐標為（ 4, 2 ）。

解解

(2) 連接 A 、 B 、 C 三點可形成一直角三角 形，

其中

＝｜ 4 － 1 ｜＝ 3 ＝｜ 5 － 2 ｜＝ 3 由勾股定理知

因為 ＞ 0 ，所以 ＝ ＝ 。

18 3

3 C

C

2

 A  B   

AB C

A BC

AB AB 18 3 2

在右圖的坐標平面上標出 A （－ 4 , － 5 ）、 B （ 2, 3 ）兩點，

並求出 AB 的長。

過 B 點作平行 y 軸的水平 線，過 A 點作平行 x 軸的 水平線，兩線交於 C （ 2 ,

－ 5 ），且 △ ABC 為直角三角 形 AB

 AC

BC

 8

 100

AB AB

因為 ＞ 0 ，所以

＝ 10

圖 2-19

坐標平面上 A （ x

, y

）、 B （ x

, y

）兩點

，如圖 2-19 所示。

過 A 、 B 兩點分別作鉛垂線與水平線

，得到交點 C ，則 ＝｜ x

－ x

｜，

＝｜ y

－ y

｜ 由勾股定理可知

＝｜ x

－ x

2

｜

＋｜ y

－ y

｜

＝（ x

－ x

）

＋（ y

－ y

）

所以 ＝

BC AC

2 2

2

B C A C

AB  

AB

坐標平面上任意兩點 A （ x

, y

）、 B （ x

, y

）間的距離為

2

2

( )

)

( x

 x

 y

 y

2

2

( )

)

( x

x

y

y

AB    

10 兩點距離

已知坐標平面上 A （ 2, 1 ）、 B （－ 4, 9 ）兩 點，求 的長。 AB

解解

10 100

) 8 ( 6

) 9 1 ( )

4 (

2

2 2

2 2

 















 ﹝ ﹞

AB

配合習作 P25 基礎題 5

(1) 已知坐標平面上 A （ 0, 0 ）、 B （－ 8,

－ 6 ）兩點，求 的長。 AB

10 100

6 8

) 6 (

0 )

8 ( 0

2 2

2 2



  











 ﹝ ﹞ ﹝ ﹞

AB

(2) 已知坐標平面上 C （－ 2, 0 ）、 D （－ 7,

－ 12 ）兩點，求 CD 的長。

13 169

12 5

) 12 (

0 )

7 (

) 2 (

2 2

2 2



 















 ﹝ ﹞ ﹝ ﹞

CD

1. 勾股定理：直角三角形兩股長的平方和等於 斜邊長的平方。

2. 已知一直角三角形兩邊的長度，可以利用勾 股定理求出第三邊的長度。

3. 平面上兩點的距離：坐標平面上任意兩點 A

（ x

, y

）、 B （ x

, y

）間的距離為

2

2

( )

)

( x

x

y

y

AB    

你要確實的掌握每一個問題的核心，將工作 分段，並且適當的分配時間。

— 富蘭克林（

2-3 自我評量

1. 利用勾股定理計算下列各圖形未知的邊長或對角線長：

(1)

（ ）

＝（

）

＋ a

a

＝（ ）

－ ( )

＝ 7 － 3 ＝ 4

因為 a ＞ 0 ，所以 a ＝ 2

。

7 3

7 3

(2)

b

＝ 5

＋ 7

＝ 25 ＋ 49 ＝ 74

因為 b ＞ 0 ，所以 b ＝ 。

74

(3)

7

＝ 2

＋ c

c

＝ 7

－ 2

＝ 49 － 4 ＝ 45

因為 c ＞ 0 ，所以 c ＝

＝ 。

45 3 5

(4)

d

＝ 3

＋ 7

＝ 9 ＋ 49 ＝ 58 因為 d ＞ 0 ，所以 d ＝ 。

58

(5)

e

＝ 4

＋ 4

＝ 16 ＋ 16 ＝ 32 因為 e ＞ 0 ，

所以 e ＝ ＝ 32 4 2

(6)

9

＝ 6

＋ f

f

＝ 9

－ 6

＝ 81 － 36 ＝ 4 5

因為 f ＞ 0 ，

所以 f ＝ ＝

45 3 5

2. 已知一直角三角形的斜邊長為 8 ，一股長為 5

，求另一股長。

設另一股的長為 x ，由勾股定理知 x

＋ 5

＝ 8

，得

x

＝ 8

－ 5

＝ 64 － 25 ＝ 39

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 。 39

3. 已知一直角三角形的斜邊長為 41 ，一股長為 40 ，求另一股長。

設另一股的長為 x ，由勾股定理知 x

＋ 40

＝ 41

，得

x

＝ 41

－ 40

＝ 1681 － 1600 ＝ 81

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ ＝ 9 。 81

4. 已知一直角三角形的兩股長分別為 、 5

，求斜邊長。

11

設斜邊的長為 x ，由勾股定理 知

x

＝（ ）

＋ 5

＝ 11 ＋ 25 ＝ 36

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 6 。

11

5. 已知一直角三角形的兩邊長分別為 3 、 4 ，求 第三邊的長。

設第三邊的長為 x ，

(1) 若第三邊為斜邊，則由勾股定理知 x

＝ 3

＋ 4

＝ 9 ＋ 16 ＝ 25

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 5 。

(2) 若第三邊不為斜邊，則由勾股定理知 x

＋ 3

＝ 4

，得

x

＝ 4

－ 3

＝ 16 － 9 ＝ 7

因為 x ＞ 0 ，故得 x ＝ 。 7

6. 如右圖，兩個相同的綠色直角三角形（兩股長 分別為 a 、 b ，斜邊長為 c ）與一個藍色的等腰 直角三角形（腰長為 c ）拼成一個梯形，請問：

(1) 梯形面積＝ _____________ 。（以 a 、 b 表

示）

(2) 藍色三角形的面積＝ ____________

。（以 c 表示）

)

2 (

1 a  b

2

1 c

(3) 由「梯形面積＝藍色三角形的面積＋兩個 綠色三角形的面積」列出算式，並將它展開

、化簡，可以得到什麼式子？

＝ ＋ 2 ‧ ‧ab

（ a ＋ b ）

＝ c

＋ 2ab a

＋ 2ab ＋ b

＝ c

＋

2ab

a

＋ b

＝ c

)

2 (

1 a  b 1 2

1 2

C²

7. 虎克船長在無人島上埋藏寶藏，他先在 A 地 紮營，然後向東走 15 公里到達 B 地，藏了第 一批珠寶；再由 B 地向南走 8 公里到達 C 地，

藏了第二批珠寶；之後，疲倦的虎克船長由 C 地走直線回到 A 地。虎克船長共走了多少公 里？

289 64

25 2 8

15 8

15

2 2 2

2

2

      





BC AB

AC

BC

AB ，

因為 ＞ 0 ，所以 ＝

＝ 17 。

虎克船長共走了 （公里）

AC AC 289

40 17

8

15   





 BC AC

AB

8. 求下列各小題中，坐標平面上兩點間的距離：

(1) A （ 6, － 3 ）、 B （－ 2, － 3 ） 8

8

) 3 ( )

3 ( )

2 (

6

2

2 2

 













 ﹝ ﹞ ﹝ ﹞

AB

(2) C （ 2, － 1 ）、 D （ 5, 3 ）

5

5 2

) 4 (

) 3 (

) 3 ) 1 ( )

5 2

(

2 2

2 2





















 ﹝ ﹞

CD

(3) E （ 5, － 3 ）、 F （－ 2, 21 ）

25

25 6

) 24 (

7

21 )

3 ( )

2 (

5

2 2

2 2





















 ﹝ ﹞ ﹝ ﹞

EF

(4) G （ 1, 1 ）、 H （ 2, 3 ）

5

) 2 (

) 1 (

) 3 1

( )

2 1

(

2 2

2 2



















GH

畢氏數

在前面的課程中，我們學會了勾股定理：直角 三角形兩股長的平方和等於斜邊長的平方，即 a

2

＋ b

＝ c

。我們把滿足 a

＋ b

＝ c

的正整數

a 、 b 、 c 稱做畢氏數 (Pythagorean triples) ，畢

氏學派證明了有無限多組畢氏數存在。

畢達格拉斯提出一組直角三角形三邊長的公式

：兩股長分別為 2n ＋ 1 與 2n

＋ 2n ，斜邊長

為 2n

＋ 2n ＋ 1 ，其特點是斜邊與其中一股的

差為 1 。柏拉圖提出了另一組公式：兩股長分

別為 2n 與 n

－ 1 ，斜邊長為 n

＋ 1 ，此時斜

邊與其中一股之差為 2 。

若直角三角形兩股長分別為 u

－ v

與 2uv （ u

、 v 為正整數，且 u ＞ v ），運用第 1 章所學 的乘法公式，我們可得

（ u

－ v

）

＋（ 2uv ）

＝（ u

－ 2u

v

＋ v

）＋ 4u

v

＝ u

＋ 2u

v

＋ v

＝（ u

）

＋ 2 （ u

）（ v

）＋（ v

）

＝（ u

＋ v

）

因此可得直角三角形的斜邊長為 u

＋ v

。

將 u 、 v 分別用不同的正整數代入，

即可得到許多組畢氏數。例如：

用 u ＝ 2 ， v ＝ 1 代入可得 u² － v² ＝ 2² － 1² ＝ 4

－ 1 ＝ 3

2uv ＝ 2

2

1 ＝ 4

u

＋ v

＝ 2

＋ 1

＝ 4 ＋ 1 ＝ 5

即直角三角形三邊長為 3 、 4 、 5 。

同學們可以想想看，課本例題中的

直角三角形三邊長，是將 u 、 v 分別用哪些

正整數代入 u

－ v

、 2uv 與 u

＋ v

而得的

畢氏數呢？