第七章 能量守恆(習題詳解)

第七章 能量守恆(習題詳解)

5. 某質量為 m 的物體，分別沿著兩條路線從點 1 移動到點 2 如 圖 7.14 所示，試分別計算摩擦力對此物體所做的功，已知摩擦 係數𝜇在平面上為固定值。(註：本圖位於水平面上)

解：

𝑓 𝜇𝑚𝑔

𝑊 𝑓⃗ ∙ 𝐿⃗ 𝜇𝑚𝑔𝐿 

(a)   𝑊 𝜇𝑚𝑔𝐿 𝜇𝑚𝑔𝐿 2𝜇𝑚𝑔𝐿 (b)  

𝑠 √𝐿 𝐿 √2𝐿 

𝑊 𝜇𝑚𝑔𝑠 √2𝜇𝑚𝑔𝐿

10. 質量為 120 g 的弓箭從彈性常數為 430 N/m 的弓弦垂直向上發 射，如果弓弦拉了 71 cm 才將弓箭發射出去，求弓箭可以上升 的高度。

解：

設弓箭的彈力位能等於重力位能

1

𝛥𝑦 𝑘𝑥 2𝑚𝑔

430𝑁/𝑚 0.71𝑚

2 0.12𝑘𝑔 9.8𝑚/𝑠 92𝑚

15. 例題 7.3：一條用來攀岩的繩索由 F = –kx – cx

之方程式施予給 定的力，求出 c 的值，使繩索伸長距離 d 時，其位能是繩索符 合 F = –kx 之理想彈簧其位能的兩倍。

解：

攀岩繩索的位能為

𝑈 𝑥 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑘𝑥 𝑐𝑥 𝑑𝑥

1

2 𝑘𝑥 1 3 𝑐𝑥 彈簧的彈力位能為

𝑈 𝑥 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 𝑘𝑥 𝑑𝑥

1 2 𝑘𝑥

繩索伸長距離為 d 時, 要求攀岩繩索的位能為彈簧的彈力位能的兩倍 因此

1

2 𝑘𝑑 1

3 𝑐𝑑 2 1 2 𝑘𝑑 𝑐 3𝑘

2𝑑

19. 例題 7.5：在圖 7.7 中，令彈簧的 k = 107 N/m。現欲以彈簧發射 75.0 g 的質量，並希望它上升到 96.8 cm 的垂直高度，則應該將 彈簧壓縮多少？

解：

1

2 𝑘𝑥 𝑚𝑔ℎ 𝑥 2𝑚𝑔ℎ

𝑘

2 0.075𝑘𝑔 9.8𝑚/𝑠 0.968𝑚

107𝑁/𝑚 0.115𝑚

21. 例題 7.5：在鐵路交會站中，質量為 41,700 kg 的火車從靜止狀 態起動，並駛下一 2.65 m 高的斜坡，直到一平坦的軌道上，然 後撞到一彈簧保險槓，使該彈簧壓縮了 89.4cm，求其彈性常 數。

解：

火車駛下斜坡的重力位能與彈簧的彈力位能相等 𝑚𝑔ℎ 1

2 𝑘𝑥 𝑘 2𝑚𝑔ℎ

𝑥

2 41700𝑘𝑔 9.8𝑚/𝑠 2.65𝑚

0.894𝑚 2.71 10 𝑁/𝑚

27. 在光滑的水平面上，質量為 200 g 的木塊於兩彈簧之間來回滑 動，如圖 7.16 所示，左邊彈簧的彈性常數為 k ＝ 130 N/m， 最 大壓縮量為 16 cm， 右邊彈簧則為 k ＝ 280 N/m，求 (a) 右邊 彈簧之最大壓縮量，(b) 木塊在兩彈簧之間的速率。

解：

(a)

左邊彈簧的彈性位能全部傳到右邊彈簧 1

2 𝑘 𝑥 1

2 𝑘 𝑥

𝑥 𝑘

𝑘 𝑥 130

280 0.16m 0.11m 11cm (b)

彈簧的位能全部轉換成木塊動能 1

2 𝑘 𝑥 1 2 𝑚𝑣

∴ 𝑣 𝑘

𝑚 𝑥 130

0.2 0.16 m s ⁄ 4.1 m s ⁄

28. 一個木塊沿著斜坡滑下，再接到翻筋斗迴圈滑行，如圖 7.17 所 示，求木塊從靜止開始滑行而可以繞行一圈之最低高度 h。

解：

由牛頓第二運動定律

∑𝐹⃑ 𝑚𝑎⃑

𝑚𝑔 𝑛 𝑚 𝑣 𝑅 𝑣 𝑅

𝑚 𝑚𝑔 𝑛 𝑔𝑅 𝑣 當 n 0 時，速度有最小值𝑣 gR

由機械能守恆

𝑚𝑔h 𝑚𝑔 2𝑅 𝑚𝑣 h 1

g 2gR 1

2 v 1

g 2gR 1

2 gR 5 2 R

35. 一個小孩從高度為 7.2 m 的光滑斜坡滑溜下來，底部為水平之 粗糙表面，其動摩擦係數為 0.51，求她在水平面滑行的距離。

解:

∆𝑈 ∆𝐾 𝑊 𝑚𝑔ℎ 0 𝜇 𝑚𝑔𝑥

ℎ 7.2