第三部分 代数结构

第三部分 代数结构

主要内容

 代数系统 ---- 二元运算及其性质、代数系统和子代数

 半群与群 ---- 半群、独异点、群

 环与域 --- 环、整环、域

 格与布尔代数 ---- 格、布尔代数

第九章 代数系统

主要内容

二元运算及其性质

 一元和二元运算定义及其实例

 二元运算的性质 代数系统

 代数系统定义及其实例

 子代数

 积代数

代数系统的同态与同构

9.1 二元运算及其性质

定义 9.1

设 S 为集合，函数 f ： SSS 称为 S 上的二元运算，简 称为二元运算．

 S

中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．

 S

中任何两个元素的运算结果都属于 S ，即 S 对该运算封闭．

例 1

自然数集合 N 上的加法和乘法是 N 上的二元运算，但

减法和除法不是．

(2)

整数集合 Z 上的加法、减法和乘法都是 Z 上的二元运算，

而除法不是．

(3)

非零实数集 R* 上的乘法和除法都是 R* 上的二元运算，而

加法和减法不是．

实例

(4)

设 M

表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集合，即

 

则矩阵加法和乘法都是 M

上的二元运算 .

(5) S

为任意集合，则∪、∩、－、 为 P(S) 上二元运算 .

(6) S^S

为 S 上的所有函数的集合，则合成运算为 S

上二元运算 .

 



 





 



 









 

 





 

 





 a R i j n

a a

a

a a

a

a a

a R

M

nn n

n

n n

n

( ) , , 1 , 2 ,...,

2 1

2 22

21

1 12

11









一元运算的定义与实例

定义 9.2 设 S 为集合，函数 f:S→S 称为 S 上的一元运算，简 称一元运算 .

例 2

求相反数是整数集合 Z, 有理数集合 Q 和实数集合 R 上

的一元运算

(2)

求倒数是非零有理数集合 Q*, 非零实数集合 R* 上一元运算

求共轭复数是复数集合 C 上的一元运算

(4)

在幂集 P(S) 上规定全集为 S ，则求绝对补运算 ~ 是 P(S) 上 的一元运算 .

(5)

设 S 为集合，令 A 为 S 上所有双射函数的集合， AS

，求 一个双射函数的反函数为 A 上的一元运算 .

(6)

在 n(n≥2) 阶实矩阵的集合 M

上，求转置矩阵是 M

上的一元运算 .

二元与一元运算的表示

1

．算符

可以用◦ , , · , ∗ , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符 . 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z ，记做 x◦y = z

对一元运算 , x 的运算结果记作 x.

2 ．表示二元或一元运算的方法 : 解析公式和运算表 公式表示

例 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运算 ： ∗ x, y R, ∈ x ∗ y = x.

那么 3 4 = 3 ∗ ， 0.5 ( ∗ 3) = 0.5

运算表：表示有穷集上的一元和二元 运算

运算表

二元运算的运算表 一元运算的运

算表

例 3

设 S=P({a,b}) ， S 上的和 ∼运算的运算表如下

运算表的实例

二元运算的性质

定义 9.3 设◦为 S 上的二元运算 ,

(1) 若对任意 x,y∈S 有 x◦y=y◦x, 则称运算在 S 上满足交换律 . (2) 若对任意 x,y,z∈S 有 (x◦y)◦z=x◦(y◦z), 则称运算在 S 上满足结 合律 .

(3) 若对任意 x∈S 有 x◦x=x, 则称运算在 S 上满足幂等律 .

定义 9.4 设◦和 为 ∗

上两个不同的二元运算 ,

若对任意 x,y,z∈S 有 (x∗y)◦z=(x◦z) ( ∗ y◦z) ，

z◦(x∗y)=(z◦x) (

∗ z◦y), 则称◦运算对 运算满足 ∗ 分配律

(2)

若和 都可交换 ∗

且对任意 x,y∈S 有 x◦(x∗y)=x ， x ( ∗ x◦y)=x,

则称◦和 运算满足 ∗ 吸收律

实例

Z, Q, R

分别为整数、有理数、实数集； M

为 n 阶实

矩阵集合 , n2 ； P(B) 为幂集； A

为从 A 到 A 的函数集， |A|2

集合 运算 交换律 结合律 幂等律

Z,Q,R 普通加法 +

普通乘法 有

有 有

有 无

无 M

(R) 矩阵加法 +

矩阵乘法 有

无 有

有 无

无

P(B) 并

相对补 交

对称差

有 有 无 有

有 有 无 有

有 有 无 无

A

函数复合 无 有 无

集合 运算 分配律 吸收律

Z,Q,R 普通加法 + 与乘法  对 + 可分配

+ 对不分配

无

M

(R) 矩阵加法 + 与乘法  对 + 可分配 + 对不分配

无

P(B) 并与交  对可分配

 对可分配 有 交与对称差  对可分配 无

实例

Z, Q, R

分别为整数、有理数、实数集； M

为 n 阶实

矩阵集合 , n2 ； P(B) 为幂集； A

为从 A 到 A 的函数集， |A|2

特异元素：单位元、零元

定义 9.5 设 为 ◦

上的二元运算 ,

(1) 如果存在 e

( 或 e

) S ，使得对任意 x∈S 都有

◦x = x ( 或 x◦e

，

则称 e

( 或 e

) 是 S 中关于 运算的 ◦ 左 ( 或右 ) 单位元 .

若 e∈S 关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称 ◦

为 S 上 关于 运算的 ◦ 单位元 . 单位元也叫做幺元 .

(2) 如果存在 

( 或 

) ∈S ，使得对任意 x∈S 都有



◦x = 

( 或 x◦ 



，

则称 

( 或 

) 是 S 中关于 运算的 ◦ 左 ( 或右 ) 零元 .

若  ∈ S 关于 运算既是左零元又是右零元，则称 ◦  _{为 S 上关}

于运算 的 ◦ 零元 .

可逆元素和逆元

(3) 设 为 ◦ S 上的二元运算 , 令 e 为 S 中关于运算的单位元 . 对于 x∈S ，如果存在 y

( 或 y

) ∈S 使得

y

◦x=e （或 x◦y

=e ）

则称 y

( 或 y

) 是 x 的左逆元（或右逆元） .

关于 运算，若 ◦ y ∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则 称

y 为 x 的逆元 . 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的 .

实例

集合 运算 单位元 零元 逆元

Z,Q,R 普通加法 +

普通乘法

0

1 无

0

x 逆元 x x 逆元 x

(x

 给定集合 ) M

(R) 矩阵加法 +

矩阵乘法 n 阶全 0 矩阵

n 阶单位矩阵 无

n 阶全 0

矩阵

X 逆元 X X 的逆元 X

（ X 可逆）

P(B) 并

对称差 交

 B



B

 无

 的逆元为

B 的逆元为 B

X 的逆元为 X

惟一性定理

定理 9.1 设◦为 S 上的二元运算， e

和 e

分别为 S 中关于运算的 左和右单位元，则 e

为 S 上关于◦运算的惟一的单位元 . 证： e

 e

为右单位元 )

 e

 e

为左单位元 ) 所以 e

将这个单位元记作 e.

假设 e 也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证 . 类似地可以证明关于零元的惟一性定理 .

注意：



当 |S|  2 ，单位元与零元是不同的；



当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元 .

定理 9.2

设◦为 S 上可结合的二元运算 , e 为该运算的单位元 , 对于 x∈S 如果存在左逆元 y

和右逆元 y

则有 y

且

y

是 x 的惟一的逆元 .

证：由 y

和 x◦y

得

yl = yl◦e = yl◦(x◦yr) = (yl◦x)◦yr = e◦yr = yr

令 y

则 y 是 x 的逆元 . 假若 yS 也是 x 的逆元 , 则

y= y◦e = y◦(x◦y) = (y◦x)◦y = e◦y = y

所以 y 是 x 惟一的逆元 .



说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆

惟一性定理

9.2 代数系统

定义 9.6

非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f

组成 的系统称为代数系统

简称代数，记做 <S, f

实例：

(1) <N,

＋ >,<Z, ＋ ,·>,<R, ＋ ,·> 是代数系统， + 和 · 分别表示 普通加法和乘法 .

(2) <M_n(R),

＋ ,·> 是代数系统，＋和 · 分别表示 n 阶 (n≥2) 实 矩阵的加法和乘法 .

(3) <Z_n,

,> 是代数系统， Z

＝ {0,1,…,n-1} ，和分别表示 模 n 的加法和乘法，对于 x,y Z ∈

， xy=(x ＋ y)modn ， x

y=(xy)modn

(4) <P(S),

,,~> 是代数系统，和为并和交， ~ 为绝对补

代数系统的成分与表示

构成代数系统的成分：

 集合（也叫载体，规定了参与运算的元素）

 运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）

 代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）

研究代数系统时，如果把运算具有它的特异元素也作为系统 的性质之一，那么这些特异元素可以作为系统的成分，叫做 代数常数 .

例如：代数系统 <Z,+,0> ：集合 Z, 运算 +, 代数常数 0

代数系统 <P(S), ,∩> ∪ ：集合 P(S), 运算∪和∩，无代数常数

代数系统的表示

(1) 列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在）

如 <Z,+,0>, <P(S), ,∩> ∪

(2) 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元 的性质（无代数常数）

如 <Z,+>, <P(S), ,∩> ∪

(3) 用集合名称简单标记代数系统

在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用

如代数系统 Z, P(B)

同类型与同种代数系统

定义 9.7

(1)

如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同

，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统 .

如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为

同种的代数系统 .

例如 V

, E>,  为 n 阶全 0 矩阵， E 为 n 阶单位矩阵 , V

∪ , B>

 V1, V2, V3

是同类型的代数系统，它们都含有 2 个二元运算 , 2 个代数常数 .

 V1, V2

是同种的代数系统， V

与 V

不是同种的代数系统

V

V

V

+ 可交换、可结

合 · 可交换、可结合 + 满足消去律

· 满足消去律

· 对 + 可分配 + 对 · 不可分配 + 与 · 没有吸收 律

+ 可交换、可结合

· 可交换、可结合 + 满足消去律

· 不满足消去律

· 对 + 可分配 + 对 · 不可分配 + 与 · 没有吸收律

∪ 可交换、可结合

∩ 可交换、可结合

∪ 不满足消去律

∩ 不满足消去律

∩ 对∪可分配

∪ 对∩可分配

∪ 与∩满足吸收律

运算性质比较

子代数系统

定义 9.8  设 V=<S, f

是代数系统， B 是 S 的非空子 集，如果 B 对 f

都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代 数常数，则称 <B, f

是 V 的子代数系统，简称子代 数 . 有时将子代数系统简记为 B.

实例

N

是 <Z, ＋ > 的子代数， N 也是 <Z, ＋ ,0> 的子代数

N

{0} 是 <Z, ＋ > 的子代数，但不是 <Z, ＋ ,0> 的子代数 说明：



子代数和原代数是同种的代数系统



对于任何代数系统 V=<S, f

，其子代数一定存在 .

关于子代数的术语

(1)

最大的子代数：就是 V 本身

(2)

最小的子代数：如果令 V 中所有代数常数构成的集合是

B

，且 B 对 V 中所有的运算都是封闭的，则 B 就构成了 V 的

最小的子代数

(3)

最大和最小的子代数称为 V 的平凡的子代数

(4)

若 B 是 S 的真子集，则 B 构成的子代数称为 V 的真子代数

例 设 V=<Z,+,0>, 令 nZ={nz | zZ},n 为自然数，则 nZ 是 V 的子 代数

当 n=1 和 0 时， nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非

平凡的真子代数 .

积代数

定义 9.9

设 V

和 V

> 是同类型的代数系统，◦和

为二元运算，在集合 AB 上如下定义二元运算 ， ▪  <a

AB ，有

<a1,b1>▪<a2,b2>=<a1◦a2, b1

b

称 V=<AB,▪ > 为 V

与 V

的积代数，记作 V

V

这时也称 V

和

为 V 的因子代数

积代数的性质

定理 9.3 设 V

=<A,◦> 和 V

=<B, > 是同类型的代数系统，

V

V

=<A B,▪> 是它们的积代数 .

(1) 如果 ◦ 和 运算是可交换（可结合、幂等）的，那么 运 ▪ 算也是可交换（可结合、幂等）的

(2) 如果 e

和 e

（ 

和 

）分别为 ◦ 和 运算的单位元

（零元），那么 <e

,e

> （ < 

, 

> ）也是 运算的单位元 ▪

（零元）

(3) 如果 x 和 y 分别为◦和 运算的可逆元素，那么 <x,y>

也是 运算的可逆元素，其逆元就是 ▪ <x

,y

>

9.3 代数系统的同态与同构

定义 9.10 设 V

和 V

> 是同类型的代数系统，

f:A

B ，且 x, yA 有 f(x∘y) = f(x)f(y), 则称 f 是 V

到 V

的 同态映射，简称同态 . 　

同态分类：

(1) f 如果是单射，则称为单同态

(2) 如果是满射，则称为满同态，这时称 V

是 V

的同态像，

记作 V

V

(3) 如果是双射，则称为同构，也称代数系统 V

同构于 V

， 记作 V

V

(4) 如果 V

=V

，则称作自同态

实例

(1) 设 V

=<Z,+>, V

=<Z

, > ．其中 Z 为整数集， + 为普通 加法； Z

={0,1,…,n 1} ，为模 n 加 . 令

f : Z→Z

， f (x)=(x)mod n 那么 f 是 V

到 V

的满同态．

(3)

设 V=<Z,+> ，其中 Z 为整数集， + 为普通加法 . aZ ，令

Z ， f

，

那么 f 是 V 的自同态 . 当 a=0 时称 f 为零同态；当 a=1 时

(2) 设 V

=<R,+>, V

=<R*,·> ，其中 R 和 R* 分别为实数集 与非零实数集， + 和 · 分别表示普通加法与乘法．令



， f (x)= e

则 f 是 V

到 V

的单同态 .

第九章 习题课

主要内容

 代数系统的构成：非空集合、封闭的二元和一元运算、代 数常数

 二元运算性质和特异元素：交换律、结合律、幂等律、分 配律、吸收律、单位元、零元、可逆元和逆元

 同类型的与同种的代数系统

 子代数的定义与实例

 积代数的定义与性质

 代数系统的同态与同构

基本要求

 判断给定集合和运算能否构成代数系统

 判断给定二元运算的性质

 求而二元运算的特异元素

 了解同类型和同种代数系统的概念

 了解子代数的基本概念

 计算积代数

 判断函数是否为同态映射和同构映射

练习 1

1 ．设 运算为 ∘ Q 上的二元运算，

x, yQ, x∘y = x+y+2xy,

(1) 判断 运算是否满足交换律和结合律，并说明理由 ∘ . (2) 求出 运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元 ∘ .

(1) ∘ 运算可交换，可结合 .

任取 x, yQ,

x∘y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x, 任取 x, y, zQ,

(x∘y)∘z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz

x∘(y∘z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz

(2) 设 运算的单位元和零元分别为 ∘ e 和  ，则对于任 意 x 有 x∘e = x 成立，即

x+e+2xe = x  e = 0 由于∘运算可交换，所以 0 是幺元 . 对于任意 x 有 x∘  =  _成立，即

x+  +2x  =   x+2x  = 0   = 1/2

给定 x ，设 x 的逆元为 y, 则有 x∘y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0  (x

1/2 ) 因此当 x  1/2 时， 是 x 的逆元 .

x y x

2 1







x x

2 1



解答

2 ．下面是三个运算表

(1) 说明那些运算是可交换的、可结合的、幂等的 .

(2) 求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆

元

练习 2

解

解答

(1) * 满足交换律，满足结合律，不满足幂等律 .

∘ 不满足交换律，满足结合律，满足幂等律 .

· 满足交换律，满足结合律，不满足幂等律 .

(2) * 的单位元为 b ，没有零元， a

=c, b

=b,c

=a ∘ 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素 .

· 的单位元为 a ，零元为 c ， a

=a ， b, c 不是可逆元素 . 说明：关于结合律的判断

需要针对运算元素的每种选择进行验证，若 |A|=n ，一般需要 验证 n

个等式 .

单位元和零元不必参与验证 .

练习 3

3. 设 G 为非 0 实数集 R* 关于普通乘法构成的代数系统，

判断下述函数是否为 G 的自同态？如果不是，说明理由 . 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构 .

(1) f(x) = |x| +1 (2) f(x) = |x|

(3) f(x) = 0

(4) f(x) = 2

解答

解 (1) 不是同态 , 因为 f(22)=f(4)=5, f(2)f(2)=33=9

(2)

是同态，不是单同态，也不是满同态，因为 f(1)= f(1), 且

中没有负数 .

(3)

不是 G 的自同态，因为 f 不是 G 到 G 的函数

不是 G 的自同态，因为 f(22)=2, f(2)f(2)=22=4 说明：判别或证明同态映射的方法

(1)

先判断（或证明） f 是 G

到 G

的映射 f: G

G

如果已 知 f: G

G

，则这步判断可以省去 .

(2) x, y G₁,

验证 f(xy) = f(x) f(y)

(3)

判断同态性质只需判断函数的单射、满射、双射性即可 .