科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9907
「外積」從何而來？
單維彰‧99 年 6 月 23 日
外積是個相當特別的計算規則；數學中很少像它這樣具有「針對性」的計算。在 高中數學和大多數的工程數學、向量分析課程中，外積特指空間向量
1 2 3
( , , ) u u u u
和v ( ,v v v1 2, 3) (Gibbs,
的一種計算，現在慣用的外積符號 是美國物理 1839—1903)提倡的，因為「
u v
學家、數學家吉布斯 」符號稱為 cross，
然僅限於空間向量（三個維度的向量），但是我們現在的確 所以外積又稱為 cross product。而因為兩向量的外積結果還是一個向量，所以外 積也稱為向量積。
雖然外積並不盡
只關心三度空間中的外積，因此也就只介紹它在空間中的定義。在吉布斯那本影 響深遠的向量分析《Vector Analysis》教科書裡（1881—84 年間寫成，在大學課 堂與物理學者之間私下流傳，直到 1901 年由他的學生 Wilson 集結整理成書，正 式出版），u v
被定義為向量a
，其方向是u
、v
、a
依序符合「右手法則」的 uv 平面法向 其長度是由u
量， 、v展成的平行四邊形面積；u
、v
之間所需的夾 角指的是不超過180的那個角。這是根據外積的幾何性質和物理意義所做的定 義；現在許多教科書也從它的算法著手，寫出操作型的定義：
u v
= 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u
i j
v v v v v v k
、 依序是平行於 x 軸、y 軸、z 軸的單位向量：k
(1, 0, 0) i
其中 、i
j
、 、
。所以，以上的操作型定義就是說
(0,1, 0) j
(0, 0,1) k
1 a a2, 3) ( , u v a
，其中
2 3
1
2 3
u u
a v v 、 2 1 3
1 3
u u
a v v 、 3 1 2
1 2
u u a v v 。
以上那個以正方形格式將四個數寫在一對直線之間的物件，稱為二階行列式，定 義為a c
ad bc
從操作型定義 不難想像外積的發現和行列式有關。外積的 b d ，那是本欄上個月的歷史探討主題。
， 「形式」首次出
現在 1773 年拉格朗日 (Lagrange, 1736—1813) 發表的論文裡，而它的內容的確 與行列式有關。那篇論文探討的對象是三個不共面空間向量所圍成四面體（這是 今天的術語，當時並沒有向量觀念），而他也知道那就是六分之一個上述三個向 量展成的平行六面體。他首先用一個引理 (lemma) 探討空間中的平行四邊形面 積。令 是空間中由u
、v
展成的平行四邊形，令 、x 、y 依序是 到三z
個坐標平面：yz 平面、xz 平面、xy 平面的投影。不難想像， 、x 、 各是
2 2 2 2
y z 一個平行四邊形。為了簡便，我們也用上述符號表示那些平行四邊形的面積，則
x y z
。也就是說，空間中的平行四邊形面積平方 於它在三個坐
標平面上投影的面積平方和。讀者可以將此事實類比於畢氏定理，它就像是空
，等
間中的畢氏定理，闡述於下。
令 L是平面上一個線段，L 、x 依序表示 L 在 x 軸和 y 也用 L、
y
同樣的符號表示那些線段的長度。則其實把
L 軸上的投影。
L 、x L 銜接在一起，就是一個y
直角三角形，所以L2 L2xL2y：平面上的直線段長度平方，等於它在兩個坐標 軸上投影的長度平方和
1770
。
年代巴黎的數學圈正開始熟悉行列式，但是他們的研究都從線性聯立 方程組出發，如上個月的專欄所述。當時拉格朗日在柏林，直到
著作《The Theory of Determ l
。 1786
i
年才轉往 storica inants in the H
巴黎，撰寫行列式歷史權威
Order of Development》的謬爾認為當時的拉格朗日並不知道巴黎方面關於行列式 的新發展，而獨立發現了二階行列式（之絕對值）就是兩平面向量展成的平行四 邊形面積，而三階行列式（之絕對值）就是三空間向量展成的平行六面體體積 因為 就是 yz 平面上x (u u 和2, 3) ( ,v v 展成的平行四邊形，所以2 3) x 2 3
2 3
u u v v 的
和y z
絕對值，同理可得 也是二階行列式，因此拉格朗日得到
2
2 2 2
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
v v v v v v u u u u u u
得到計算 的一個純「坐標」算法：不必經過夾角的正弦（也
。用今天的符號來寫，就是 2
而他進一步計算，
就是高中所說的面積公式）
2
2 2 2
| (u
| | |u v v)
，其 的內積。學過三角和向量的高中生都知道，上式可以推論
中u v 是u
和v
| || || sin |u v
，其中 是u v
和的夾角。而 Gibbs 定義 就是u v
的長度。
若有第三個向量 至於u v
的方向，雖然拉格朗日並沒有所謂的向量觀念 可是他依然知道，，
1 2 3
( , , ) w w w w
，則w
在u v
方向的投影長就是以 u
、 、w展成之平行六面體的高。所以，他得到前述的體積是
為底時，由 v
2 3 1 3 1 2
1 2
2 3 1 3 1 2
u
w w w3
v v v v v v 的絕對值。
u u u u u
而 述 計 黎提出的行列 式之餘因子降階算法。所以，拉格朗日事實上得到了以下結論：
u
、v
上 的 算式，恰恰就是稍早 (1771 年) 范德蒙和拉普拉斯在巴
1 2 3
、w
圍成之四面體體積 1 2 3
1 2 3
6 v v v
1 w w
u u u 的絕對值
拉格朗日的時代並不需要規定右手法則，那是吉布斯的時代因為電磁學理論 才發生的需求，可是拉格朗日顯然知道
w
a
垂直於u 和v
所展成的平面。至此，除 了右手法則以外，向量外積的幾何性質和計算方法，也就是前述的幾何型定義和 操作型定義，其實都已經具備了，只欠一個代數的形式而已。
內積和外積的線索，流傳半個世紀之後，讓漢彌爾頓和格拉斯曼不約而同地 藉以發展他們的新代數系統，期望能在三度空間或者空間坐標系統上，造出一種 能像實數或複數那樣做四則計算的數系，而演變成今天的向量分析與線性代數。
那就是另一個故事了。
