二維光子晶體於負折射現象之研究

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

■ 成 果 報 告

□期中進度報告

二維光子晶體於負折射現象之研究

計畫類別：■個別型計畫

□整合型計畫

計畫編號：NSC

96-2221-E-006-212-MY3

執行期間： 96 年 8 月 1 日至 99 年 10 月 31 日

執行機構及系所：

國立成功大學機械工程研究所

計畫主持人：陳聯文

計畫參與人員：教授-主持人(含共同主持人)：陳聯文

博士-兼任助理人員：王俊智

博士-兼任助理人員：王鴻文

碩士-兼任助理人員：

蔡佳年

碩士-兼任助理人員：

蕭伯翰

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■完整報告

中

華

民

國

99 年 10 月 15 日

中文摘要

光子晶體事由週期性排列所組成的結構，假若經由適度的設計則具備控制光 波傳遞的效果，也因為二十年前Yablonovitch 與John 對光子晶體性質的發現， 光子晶體吸引了學著做廣泛研究。由於可藉由變數來設計光子晶體能隙的範圍， 不計期數的文限制立於光子晶體的缺陷應用。近幾年，將研究延伸至傳導區獨特 的現象，例如：超稜鏡、自我對準效應、負折射以及透鏡聚焦。 本計劃將針對所提出的新式晶格排列，由其基本性質到應用作探討，利用平 面波展開法、時域有限差分法來檢視Archimedean-4 的性質；與正方晶格、三角 晶格相較可縮小物件的尺寸，減少材料、降低成本；與Archimedean-1 相比，符 合負折射應用的頻域也較廣。此新式晶格排列除了能應用於自我準直、完美透鏡 之聚焦以及共振腔生醫感測，或許也能為積體光學迴路帶來新的應用。 此外，我們也提出一新式的光子晶體來達到次波長聚焦之目的。此新式結構 為在單位晶胞內包含不同半徑之介電圓柱，並作週期性排列所組成。值得注意 地，相較於一般三角晶格之介電柱光子晶體，我們提出的複合型光子晶體能尋找 到等效折射率為-1的聚焦特性。接著，在光子晶體平板介面設計一抗反射層，來 增加光波的穿透率。而數值模擬也證明，在邊界適當的加入一排抗反射層，能使 聚焦解析度有大幅的提升。此種光子晶體平面透鏡可應用於光學成像系統的設 計，例如:光微影製程技術或近場光學顯微鏡。 關鍵詞：光子晶體、負折射、開放式共振腔、次波長聚焦

Abstract

Photonic crystals (PhCs) are synthetic periodic structures that, when suitably designed, have the ability to control the propagation of light. It has attracted extensive research over the last two decades following Yablonvitch and John. Because the photonic band gap can be purposely designed, the vast majority of research in this field has been devoted to applications of the bandgap and defects in PhCs. Recently, this research has been extended to new transmission phenomena, such as the superprism, self-collimation, negative refraction, and slab lens.

In the present studies, we investigated the energy band properties of Archimedean-4 lattices with the plane wave expansion method and the finite-difference time-domain method. Compared with square, triangular lattices, Archimedean-4 can shrink into smaller scale and reduce the cost. The Archimedean-4 has wider frequency domain to fit the condition of negative refraction than Archimedean-1 lattice. The novel lattices not only provide for several applications such as self-collimation, perfect lens, and biosensor but also have novel applications in the photonic integrated circuit.

Additionally, we also propose an innovated PC slab and investigate its optical properties and the focusing numerically. The PC is composed of an array of two-dimensional hexagonal with dielectric cylinders inside each unit cell. Interestingly, the complex PC, whose radius of each cylinder is different, can generate focusing with an effective refractive index of -1. The design as the antireflection structures to enhance the transmission efficiency of light at the interfaces between the air and the PC slab was proposed in this research. Numerical simulations show that the focusing resolution can be improved greatly by appropriately adding the surface of the slab. Such a mechanism of negative refraction PCs could open up a new application in optical imaging systems, such as optical lithography or near-field optical microscopy.

Keywords: photonic crystal, negative refraction, open cavity, subwavelength

目錄

中文摘要

Ⅰ

Abstract

Ⅱ

目錄

Ⅲ

一、前言

1

二、研究目的

2

三、文獻探討

2

四、研究方法

4

五、結果與討論

7

六、參考文獻

13

一、前言

在大約半個世紀前，物理學家就提 出，晶體中的電子由於受到晶體內週期 性位勢的散射，使得其色散關係呈現帶 狀分佈，此為電子能帶結構。而到了 1987 年，E. Yablonovitch [1]和 S. John [2]幾乎同時提出，這種能帶結構之現 象也存在於光子結構中。將材料的介電 係 數 或 折 射 率 作 週 期 性 排 列 之 結 構 中，電磁波也有類似的能帶結構，此結 構 則 稱 之 為 光 子 晶 體 (photonic crystal)。在光子晶體中，因週期性排 列所造成的散射，導致某些波段的電磁 波會受到干擾，無法在光子晶體內傳 遞，所以會產生頻譜上之禁止區域，稱 之為光子能隙(photonic bandgap)。光 子晶體依堆疊方式的不同，可以分為一 維、二維及三維之週期排列，如圖 1 [3] 所示。由於光子晶體的色散特性及其能 隙現象，可限制光的自發性發射與控制 光的傳導，再加上一些調變機制的出 現，因而發展出許多新型之積體光路元 件。 圖 1 一維、二維、三維光子晶體示意 圖 [3] 近年來，光子晶體的傳導能帶也開 始被廣泛討論，尤其是負折射概念的提 出，更引起許多學者的興趣並深入研究 其物理特性。Veselago [4]於1968年提出 一種材料，其同時擁有負的介電常數和 負的導磁係數，再由馬克斯威爾方程式 導出，電場、磁場及波向量可構成一左 手系座標系統(圖2)。即當光波在此種 介質傳遞時，會擁有群速度與波向量反 向及折射率(導數)為負的特性，稱之為 左 手 系 材 料 (Left-handed materials ， LHM)或負折射率材料(Negative index materials，NIMs)。早期，由於材料科 學不甚發達，且這種物質也不存在自然 界中，所以無法得到同時擁有負介電常 數和負導磁係數的物質。然而隨著科學 的演進，將特定頻率範圍下之複合材料 作適當的週期性排列，亦可得到介電常 數、導磁係數和折射率為負的左手材 料，此材料可稱之為meta-materials。 圖 2 (a)右手系座標與(b)左手系座標 除複合材料外，光子晶體結構在其 傳導區具有獨特的色散性質，因此也有 負折射現象。光子晶體的負折射為繞射 現象；可分為由布拉格散射或非等向性 所 引 起 之 導 數 為 正 的 負 折 射 和 Veselago 所 提 出 之 導 數 為 負 的 負 折 射。相較於 meta-materials 內含金屬材 料，光子晶體若使用絕緣的介電材料， 可避免自由電子的震盪而有較高的穿 透率。所以，光子晶體的應用不只在其 能隙區，對於其傳導區也發展出許多新 的應用，如利用其色散特性作超稜鏡 (superprism) 與 負 折 射 分 波 器 (beam

splitter)的應用；再加上 Pendry 提出利 用 負 折 射 現 象 來 設 計 出 一 完 美 透 鏡 (perfect lens)的概念，使得光子晶體聚 焦成像系統受到熱烈的討論。 另外Pendry [5]和Notomi [6]也幾 乎 在 同 一 時 間 提 出 開 放 式 共 振 腔 (Open cavity)的概念。此概念之基本架 構來自於:因為負折射材料之特性，光 線能夠產生獨特的折射，假使將負折 射之材料和正折射材料作特別的組合 排列，使否能使光路 徑產生 ”閉迴 路”？此共振腔的優勢在於其無限延 伸之排列，假若其等效折射率經由適 當的設計，在共振模態下光程差將為 零，有別於傳統之光子晶體共振腔， 不需要特別設計反射牆來阻絕光的透 射，而可提供很大的空間來作氣體或 液體的量測。

二、研究目的

本研究的目的在利用二維光子晶 體可改變的排列參數 下尋求新式排 列，利用平面波展開法探討其能帶結 構特性，並且以時域有限差分法模擬 電磁波在時域上於光 子晶體中的情 形，以討論光子晶體負折射的現象， 同時分析出其近似正方晶格的特性。 以六角晶格、Archimedean、結構函數 ) (G  運算特點並搭配超晶包運算法為 背景，在此提出另一種以八邊形和四 邊形作排列的二為光子晶體構想，初 始的目的是為了尋求新式的開放式共 振腔，使其光路徑閉 迴路更接近圓 形。且所提出的 Archimedean-4 排列與基本的正方晶 格、三角晶格相較之下可縮小物件的 尺 寸 、 減 少 材 料 、 降 低 成 本 ， 與 Archimedean-1 相比，符合負折射應用 的頻域也較廣，第一和第二能帶能夠 分離。 此外，Notomi [6]提出二維三角晶 格排列的空氣洞光子晶體(背景材料之 介電常數為ε= 12.96，空氣洞半徑 r = 0.4a，a 為ㄧ晶格常數)，經由等頻圖與 司乃耳定律計算之後，可得到等效折射 率 0 至-1.2 的相對頻率，其中等效折射 率為-1 之負折射現象，可設計出類似 Pendry 所 提 出 的 完 美 透 鏡 。 同 時 ， Notomi 也提出二維三角晶格排列的介 電柱光子晶體(介電柱之介電常數為 ε = 12.96，圓柱半徑 r = 0.35a)，然而， 得到的有效折射率卻為 0 至-0.7 之間， 並不能找到折射率為-1 的相對頻率。 本計畫也探討ㄧ改良後的二維三 角晶格排列的介電柱光子晶體，使之能 達到等效折射率為-1 之負折射聚焦。 且為了尋求更佳之聚焦品質，分析光子 晶體薄板的邊界問題，以設計出高解析 度之次波長(小於一個光波長)聚焦系 統。

三、文獻探討

光 子 晶 體 結 構 最 早 由 E.Yablonovitch [1]和 S.John [2]於 1987 年所提出；到了 1989 年，E.Yablonovitch [7]等人首先以實驗證明ㄧ個三維面心 立方體週期性排列的介電結構中存在 光子能帶。Ho [8]等人則利用平面波展 開法(plane wave expansion，PWE)計算 鑽石排列的光子晶體所展現之完全光 子能隙(full photonic bandgap)。在 1991 年，Yablonovitch [9]等人提出新的面心 立方體排列的三維光子晶體結構，使得 其擁有完全光子能隙。Plihal [10,11]等 人利用平面波展開法計算二維正方晶 格和三角晶格排列之光子晶體的能帶

結構。之後，Hass [12]等人則提出 2½ 維度的計算方式可代替三維光子晶體 的計算，並求出當光波從每個方向入 射，皆會存在光子晶體能隙的結構。在 可調變之光子晶體方面，Liu 和 Chen [13-15] 將 向 列 型 液 晶 加 入 光 子 晶 體 中，藉著外加電場來轉動液晶導軸，並 分析能隙之變化，以達到調變波導的功 效。 傳統光學系統成像一直無法突破 繞射極限，直到 1968 年，Veslago[4] 透過理論說明利用負折射的方式，達 到完美成像的概念。由於當時還無法 提出實際材料製作，所以相關研究與 討論並不熱烈。數十年後，Pendry[5] 於 2000 年再次提出負折射材料達到完 美透鏡，當1、1時，將使得 材料折射率

n





1

，進一步使得衰減 波在稜鏡中放大後再度聚焦。最後探 討金屬銀薄板，選擇適當的操作頻率 使得金屬銀0，並且探討近場成 像，進一步忽略磁場0的影響。至 此，學術界對於突破繞射極限的相關 研究又發現了新的大陸。 一般常見介質(0，0)，電 磁波成右手系的方式於介質內進行傳 播。而負折射介質(0，0)由於 折射率n0的關係，使得電磁波在此 介質內形成左手系座標，而此種材料 又稱為左手系材料或超常材料。雖然 自然界中尚未發現左手系材料，但是 利用週期性排列的介電柱與分裂共振 環分別可達到等效0，0的特 性。Soukoulis [16]於 2007 年便提出並 比較各種分裂共振環設計與操縱頻率 的關係， 希望將頻率 達到可見光波 段。就另一方面，Notomi [6]於 2000 年以繞射觀點提出光子晶體具有異常 折射現象，例如：自我準直效應、負 折射與超稜鏡現象。也就是說，我們 可以將光子晶體視為利用一般正折射 材料所組成非均質的超常材料；若光 子晶體使用絕緣的介電材料，由於少 了自由電子震盪而具 有良好 的穿透 率。也因為光子晶體負折射現象，Gajie [17]指出，左手材料僅為造成負折射現 象其中一種材料，且負折射現象與材 料的左右手系無關。 光子晶體材料週期性變化可為三 個維度，由於三維光子晶體製程較為 困難，並且仍以一維與二維光子晶體 相關研究居多。對於二維光子晶體調 變參數大致上可分為四大類： (一)改變背景或柱體的材料 (二)改變柱體截面形狀與面積 (三)改變光子晶體週期性之排列 (四)含有第三種或更多不同材料的光 子晶體 探討背景或柱體材料的部份，Liu 與 Chen[13-15]將向列型液晶加入光子 晶體中 ，藉著外加電 場轉動液晶導 軸，並分析能隙的變化，以達到波導 調變的功能 。而調變 正負折射角方 面，Wang 與 Chen [18,19]一樣利用向 列型液晶調變，控制正折射與負折射 的折射角。另外，Scrymgeour [20]、 Xiong [21]及 Li [22]等人，使用鐵電材 料並外加電場調變折射角。Ren [23]等 人也探討鐵電材料利用外加電場調變 聚焦成像的位置。Zengerle [24,25]等人 則改變局部光子晶體背景的折射率， 進而改善聚焦效果。 探討柱體截面形狀與面積部份， Park [26]利用外力改變光子晶體圓柱 半 徑 ， 進 而 調 變 折 射角 角 度 。 Feng [27,28]則分析了二維方柱及橢圓柱光

子晶體的聚焦性質。Xaio [29]與 X. Wang [30]等人則將光子晶體平板的邊 界做切割處裡，以增加穿透率及解析 度。X. Sun [31]等人則分析不同材料性 質和填充比與超透鏡 頻率之間的關 係。 探討週期排列的部份，X. Wang [32]等人分析正方晶格與三角晶格的 光子晶體， 探討等頻 圖等向性的問 題，並且產生不同的聚焦效應。Tang [33]和 G. Sun [34]等人分析了正方晶格 光子晶體之非等向性，對折射角和成 像特性的影響。並從中找出具有等向 特性的成像行為。Zhang [35]等人則利 用多層光子晶體透鏡組合，克服光子 晶體近場成像的問題。 另外，Ruan [36]和 Martínez [37] 等人則分析三角晶格光子晶體內的傳 遞波和入射平面波之間的模態對稱關 係，並證實何種排列方向擁有最大的 穿透率。而光子晶體負折射實驗部 份，Parimi [38]等人則以實驗證實了光 子晶體成像不像傳統光學只有單一光 軸的特性且成像品質不被孔徑大小所 束縛。Lu [39]和 Berrier [40]等人以紅 外光實驗證明了光子晶體的超透鏡聚 焦現象。Cubukcu [41]等人則以模擬和 實驗證實光子晶體在微波下的聚焦情 形。最近，Wu[42]等人則提出橫向之 半徑呈梯度變化的光子晶體透鏡，能 使平行光產生聚焦。

四、研究方法

4-1 平面波展開法 考慮一無源、線性且為非損耗性介 質，其馬克斯威爾方程式(Maxwell’s equation)可表示如下: 0 H E t       (4-1-1) 0 r E H t       (4-1-2) ( ) 0 r r E



  (4-1-3) 0 H   (4-1-4) 其中E為電場強度，H為磁場強度，₀ 為真空中的介電係數，



_r為相對介電 係數，



₀為真空中的導磁係數。 假 設 電 場 和 磁 場 皆 為 時 間 諧 和 (harmonic)場，如下所示:

  

j t

e

r

E

t

r

E





,







 (4-1-5)

  

j t e r H t r H,   (4-1-6) 將(4-1-5)及(4-1-6)式代入(4-1-1)和 (4-1-2)式中，可得到磁場的赫姆霍茲方 程式(Helmholtz’sequation):

2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) r H r H r r c      (4-1-7) 其中



_r( )r為介電係數函數，ω和 c 分 別為光波在真空中的角頻率和速度。 根 據 布 拉 克 定 理 (Bloch’s theorem)，可將週期性結構中的電磁場 以平面波展開如下: ( ) , ˆ ( ) _{G m m} j k G r m G H r 



h e e      _(4-1-8) 其中G為倒晶格向量，k為布拉克波向 量(Bloch’s wave vector)，

e

ˆ

_m為兩個與 (

k



+

G



)互相垂直的單位向量，

h

_{G m,} 為 磁場沿著

e

ˆ

_m方向的係數，m=1,2。 由於 ( )r r  為一週期函數，所以其

倒數 1 ( ) r r 也為週期函數，可以用傅立 葉級數展開如下: 1 ( ) ( ) ( ) jG r G r r G e r      



     (4-1-9)



    







r e d V G jGr    ) ( 1 _  (4-1-10) 其中



( )

r



為介電係數倒數的函數，



為單位晶格，V 為單位晶格的體積。 將(4-1-8)和(4-1-9)式代入(4-1-7)式 中，整理後可得到一特徵方程式:                              G G G G h h c h h e e e e e e e e G k G k G G , 2 , 1 2 2 ' , 2 ' , 1 1 1 2 1 1 2 2 2 ' ˆ ˆ ' ˆ ˆ ' ˆ ˆ ' ˆ ˆ ' ) ' (      (4-1-11) 由上式可看出，其為一特徵值問 題，根據不同的 k值，可解出相對應的 特徵值

 



_n 和特徵向量

 

G m h 。在計算 二 維 光 子 晶 體 的 能 帶 結 構 時 ， 可 將 (4-1-11)式分解成兩組特徵方程式分別 加以計算，且這兩組特徵方程式分別對 應於橫向磁波模態(transverse magnetic mode，TM)和橫向電波模態(transverse electric mode，TE)。 假設電磁波的傳導方向在 x-y 平面 上，在橫向磁波(TM)模態下，僅考慮 z

E

、H 和_x H_y三個場量，則(4-1-11) 式可簡化成: 2 2 ' ' ( ) ( ') ( ') _{G G} G k G k G G G h h c      



         (4-1-12) 在橫向電波模態(TE)下，僅考慮 z H 、E_x和E_y三個場量，則(4-1-11)式 可簡化成: 2 2 ' ' ( ) ( ') ( ') _{G G} G k G k G G G h h c       



         (4-1-13) 4-2 時域有限差分法 時域有限差分的概念是將馬克斯 威 爾 方 程 式 在 空 間 及 時 間 上 作 離 散 化，進而得到差分方程式。原本連續分 佈的電磁場經過離散化後，在空間中會 形成網格式的分佈，而時間上則可以連 續的進行疊代，求取下一時刻之電磁場 分佈，因此光波在光子晶體內的傳遞情 況就可以清楚地呈現與分析。1966年， Yee 提 出 了 一 種 電 磁 交 錯 排 列 的 網 格，如圖3，此網格可以用來模擬電磁 波的散射問題。然而，此種方法在當時 並未獲得太多的注意，主要是因為當時 的電腦資源和運算速度尚未發達，所以 運用此法來計算電磁波的傳導相當耗 時。到了1980年以後，電腦技術大幅的 進步，時域有限差分法才開始被廣泛討 論及應用。 圖 3 Yee 網格的電磁場排列 考慮卡氏直角座標下的馬克斯威 爾方程式: 0 1 y x z r H E H t  y z     _  _    _  _ (4-2-1) 0 1 y x z r E H H t  z x  _  _        (4-2-2)

0 1 y z x r H E H t  x y     _{ }    _  _ (4-2-3) 0 1 y x z E H E t  y z     _  _    _  _ (4-2-4) 0 1 y x z H E E t  z x  _  _        (4-2-5) 0 1 y z E x H E t  x y     _{ }    _  _ (4-2-6) 根據Yee的運算方法，可將電磁場 於空間及時間作離散化，得到一組電磁 場的疊代方程式如下: , , , , , , , , 1 , , , 1, 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n n n n n x x y y z z r r t t E E H H H H z y          _{ }   _ _   _      _{ } _{ }       (4-2-7) , , , , , , 1, , , , , , 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n n n n n y y z z z z r r t t E E H H H H x z          _{ }   _ _   _      _{ } _{ }       (4-2-8) , , , , , , , 1, , , 1, , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n n n n n z z x x y y r r t t E E H H H H y x          _{ }   _ _   _      _{ } _{ }       (4-2-9) , , , , , , 1 , , , 1, , , 1 1 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n _{n n n n} x x y y z z t t H H E E E E z y               _  _ _  _         (4-2-10) , , , , 1, , , , , , 1 , , 1 1 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n _{n n n n} y y z z x x t t H H E E E E x z               _  _ _  _         (4-2-11) , , , , , 1, , , 1, , , , 1 1 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n _{n n n n} z z x x y y t t H H E E E E y x               _  _ _  _         (4-2-12) 最後可以整合成下式: , , ( , , , ) n i j k U     U i x j y k z n t (4-2-13) 其中U E H_, _，而



x y z

, ,

，



x

、

y



、



z

分別為 x、y、z 方向上的空間 間距，而



t

則為時間間距。 若 已 知 初 始 的 電 磁 場 值 ， 經 由 (4-2-7)~(4-2-12)式 即可 求得下一 個時 間點之電磁場分佈，所求取的電磁場則 可當作下一時間點之初始電磁場值，如 此重複疊代下去就可獲得電磁場在整 個分析區域中的傳播行為。在使用時域 有限差分法時，有兩個參數是需要自行 設定的，一個是空間間距，另一個則是 時間間距；這兩個間距的設定，和計算 結果有很大的關係，如準確性、數值射 散 (numerical dispersion) 和 穩 定 性 (stability)。為了使得計算結果較為準 確，且產生較小的數值射散，空間大小 通常設定為入射波長的十分之一，或更 小。建議的網格大小可由下列方程式計 算得到: min max min ( , , ) 10 imum x y z n      (4-2-14) 而 最 大 的 時 間 間 距 值 可 由 Courant-Friedrich-Levy 條件得到: 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) t c x y z        (4-2-15) 其中 c 為光速。 若 只 考 慮 二 維 的 電 磁 波 傳 導 問 題，(4-2-7)~( 4-2-12)式可以分離成兩組 方 程 式 ， 分 別 對 應 於 橫 向 磁 波 (TM mode)和橫向電波(TE mode)。當考慮橫 向磁波模態時，(4-2-7)~( 4-2-12)式簡化 成: , , , , , 1, , , 1 1 2 2 0 i j k i j k i j k i j k n n _{n n} x x z z t H H E E y          _  _      (4-2-16) , , , , 1, , , , 1 1 2 2 0 i j k i j k i j k i j k n n _{n n} y y z z t H H E E x          _  _      (4-2-17) , , , , , , , 1, , , 1, , 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n n n n n z z x x y y r r t t E E H H H H y x          _{ }   _ _   _      _{ } _{ }       (4-2-18) 當 考 慮 橫 向 電 波 模 態 時 ，

(4-2-7)~( 4-2-12)可以簡化成: , , , , , , , 1, 1 1 1 2 2 0 [ ] i j k i j k i j k i j k n n n n x x z z r t E E H H y      _{ }  _      (4-2-19) , , , , , , 1, , 1 1 1 _{2 2} 0 [ ] i j k i j k i j k i j k n n n n y y z z r t E E H H x      _{ }  _      (4-2-20) , , , , , 1, , , 1, , , , 1 1 2 2 0 0 i j k i j k i j k i j k i j k i j k n n _{n n n n} z z x x y y t t H H E E E E y x               _  _ _  _         (4-2-21) 當考慮橫向磁波模態時，電場為主要 觀察的場量；而當考慮橫向電波模態 時，磁場為主要觀察的場量。時域有 限差分的概念是將馬克斯威爾方程式 在空間及時間上作離散化，進而得到 差分方程式。原本連續分佈的電磁場 經過離散化後，在空間中會形成網格 式的分佈，而時間上則可以連續的進 行疊代 ， 求取下一時 刻之電磁場分 佈，因此光波在光子晶體內的傳遞情 況就可以清楚地呈現與分析。而我們 所採用的軟體為OptiFDTDR 。 另外，我們也使用有限元素法來 模擬光子晶體的波傳現象。有限元素 法 是 使 用 加 權 餘 數 法 中 的 Galerkin Method 來作計算，所使用之元素為二 階三角元素 。而我們 所採用的軟體 MultiphysicsCOMSOL®。

五、結果與討論

5-1 Archimedean-4 首先為了簡化我們的參數起見， 考慮在 x-y 平面上成 Archimedean-4 晶格且週期性排列的介電質圓柱填充 材料 a 為矽(Sia 12)，其餘材料 b 以空氣(b 1)為基底，圓柱在 z 方向 為無窮延伸，a 代表晶格間距，r 、₁ r 、₂ 3 r 與r 分別為單位晶格內位置4 u 、1 u 、2 3 u 與u 的圓柱半徑，搭配圖 4 之座標4 軸令 Archimedean-4 晶格向量為:  1,1 2 1 1 1 a a        

₍₁₎

 1,1 2 1 1 2        a a

(2)

在單位晶格內的四個圓柱位置向 量分別設為:                 2 1 2 1 , 2 1 1 a u

(3)

                 2 1 2 1 , 2 1 2 a u

(4)

                  2 1 2 1 , 2 1 3 a u

(5)

                 2 1 2 1 , 2 1 4 a u

(6)

圖 4 Archimedean-4 坐標軸示意圖 在這假設下使得兩圓柱最接近的 距離為 a，也可藉由調整圓柱半徑的參 數來討論對能帶結構圖的影響進而找 出負折射現象。進而可求得倒晶格向 量為:



1.8403,1.8403



1 b (7)



1.8403,1.8403



2 b (8) 其倒晶格空間如圖 5，第一布里淵 區、最簡布里淵區與正方晶格相近亦 呈現正方形。 同樣的，Archimedean-4 對倒晶格 向量做傅立葉展開的 介電常數密度



r  ， 在G0 時 填 充 率 定 義 變 為 cell i S r f 2 4  ，在G0時形式為







iGui i i G b Ge G       _{ }



_    ₀ (9) 但其中i1,2,3,4分別為單位晶格 的四個圓柱，假若G0則_G₀ 1，假 若G0則_G_0 0_。i



_G_表示即為 結構函數: 



_

_

 

 

i cell i i b a i r G S r G J r G     1 2 2      (10) 其中J₁



x 代表一階貝索函數。假 若 Archimedean-4 晶格排列的單位晶 格 內 所 包 含 的 四 個 圓 柱 半 徑 一 致 r r r r r12 34  ，(9)式變為















3 



4 2 1 4 3 2 1 u G i u G i u G i u G i e G e G e G e G G                                (11) 其中 



















_{ }

 

r G S r G J r G G G G cell b a           1 2 4 3 2 1 2            (12) 圖 5 Archimedean-4 最簡布里淵區示意 圖 自此我們可求得四個圓柱半徑一 致，Archimedean-4 晶格排列之 Si 圓 柱，藉由平面波展開法可求得能帶結 構圖(r0.48a此參數的依據在於使 第一TE 能帶不與第二_z TE 能帶在同_z 一頻率上疊合，同時也考量到頻率要 低 於0.52c /as 才 不 會 造 成 表 面 繞 射。a 表 示 介面 間的 晶格 距 離 )( 圖s 6)。同時選用可以產生左手負折射現 象的第二個TE 能帶，運用平面波展開_z 法再求出等頻圖，如圖 7，但是就我們 所求得的第二TE 等頻圖來看，雖然亦_z 可以找到可產生左手負折射角度的頻 率，但是其等頻曲線的幾何形狀無法 找到近似如三角晶格系列的圓形等頻 曲線，對於自我準直效應的應用可能 較大。 圖 6 Archimedean-4 能 帶 結 構 圖 r=0.48a 圖 7 Archimedean-4 等頻圖 r=0.48a

為了運用光子晶體形成具有負折 射的開放式共振腔，有許多參數必須 加以考量，比方:晶格的種類、晶格週 期、柱體或空氣洞的直徑、材料以及 開放式共振腔的幾何外貌，在在都要 逐一細查。而此概念之基本架構來自 於:因為負折射材料之特性，光線能夠 產生獨特之折射，假若將負折射之材 料與正折射材料做一些特別的排列， 可能使光路徑產生”閉迴路”，假若 其等效折射率經由適當的設計，在共 振模態下其光程差將為零。對開放式 共振腔而言 ，目的是 為了形成閉迴 路，故僅需某一特定之負折射角，但 這也對於數值模擬上造成一定程度的 困難。從 Notomi 所提出的開放式共振 腔以及 Sailing He [43,44] 利用光子晶 體於部分能帶的負折射現象，設計一 由三角晶格排列的三塊等角 60 度光子 晶體所構成之開放式共振腔，我們可 大致歸納出由於所應用的等效折射率 範圍接近於-1，正折射與負折射率的 介質會成對稱性排列，負折射光子晶 體稜鏡(prism)的頂點角度總和為 180 度。在此提出利用四塊等腰直角三角 形的稜鏡與空氣間做適當排列形成光 徑閉迴路且此四塊稜鏡均以其 45 度角 指向開放式共振腔之中心點(圖 8)，其 中有四個介面切面的 折射不需負折 射，因為光線的入射角度與介面切面 呈正交。 圖 8 COMSOL MultiphysicsR 模 擬 Archimedean-4 晶格之開放式共振腔 我們著手進行 Archimedean-4 的 開方式共振腔模擬，採用矽為柱體、 空氣為背景，柱體半徑為r0.48a， 用頻面波展開預測到 無因次化頻率 113 . 0 / . a  fau 帶 入 COMSOL MultiphysicsR軟體去 找尋接近的特 徵頻率約為3.3971013Hz，誤差則是 源自於 Sailing He 提出的看法:簡單 光束追跡法所求的折射角僅用於找尋 概略的共振頻率，當左手材料之負折 射率無法準確地達成-1 狀態而有所偏 離時，會使光子晶體與空氣之間的阻 抗無法完全匹配，精確的值須透過波 場理論(Wave-field theory)，故會造 成共振頻率有所偏移。但是我們可以 透過 COMSOL MultiphysicsR軟體來簡 化 找 尋 共 振 頻 率 時 間 ， 接 著 藉 由 OptiFDTDR來實際模擬此共振腔的共 振狀態(圖 9)，另一方面在具正折射率 的空氣中，加入不同折射率的材料可 由圖 10 看出折射率介於 1 至1.12之間 共振波長會由 8.83um 至 9.56um 隨著 做線性偏移。此共振腔之優勢在於有 別於傳統之光子晶體共振腔，不需要 特別設計一反射牆來阻絕光的穿透， 而可提供很大空間來做氣體或液體之 量測。

圖 9 OptiFDTDR模擬 Archimedean-4 晶 格之開放式共振腔 圖10 不同折射率與共振偏移關係 5-2 複合型光子晶體 以三角晶格和結構函數為(G)基 礎，並搭配超晶胞運算法來計算這種較 為複雜之光子晶體結構。考慮 x-y 平面 上之二維光子晶體結構，如圖 11 所 示，介電圓柱材料設定為 ε = 12.96 (GaAs)，背景材料為空氣，且圓柱在 z 方向為無限延伸，a 代表晶格間距常 數，r1、r2分別為大圓柱與小圓柱的半 徑，而單位晶胞內包含兩個大圓柱和一 個小圓柱，並作週期性排列。 圖 11 複合型光子晶體座標軸示意圖 給定座標原點後，可令單位晶胞之 晶格向量分別為:

 

3,0 1 a a (1)          2 3 , 2 3 2 a a (2) 其相對倒晶格向量分別為:           3 1 , 3 3 2 1 a b  (3)        3 2 , 0 2 2 a b  (4) 圖 12 左為倒晶格空間示意圖，而右為 其第一布里淵區(first Brillouin zone)， 灰色部分為最簡布里淵區(irreducible Brillouin zone)。由單位晶格向量與布 里淵區可看出，此光子晶體結構的計算 方式與一般三角晶格類似，所以我們暫 時稱之為複合型介電柱之三角晶格光 子晶體。 圖 12 (a)倒晶格空間； (b)第一布 里淵區，其中灰色部分為其最簡布里淵 區 接著，將複合型介電柱之三角晶格對倒 晶格向量作傅立葉級數展開，可得傅立 葉係數為:

(5) 其中 εa和 εb分別為圓柱和背景的介電 係數，J₁為貝索函數，G為倒晶格向 量空間。f1和 f2分別為大圓柱和小圓柱 之填充比，Scell為單位晶格面積。u1、 u2和 u3分別為兩大圓柱和一小圓柱在 單位晶胞內的位置向量，表示如下:

 

0,0 1 a u (6)

 

3,1 2 a u (7)          2 1 , 2 3 3 a u (8) 藉由平面波展開法，將(5)式與最 簡布里淵區所決定之k值代回特徵方 程式，可求得在 TM 和 TE 模態下的能 帶結構圖，而相同頻率所對應的波向量 則可畫成等頻圖。 考慮ㄧ複合型介電柱之三角晶格 光子晶體，介電柱之介電常數為 ε= 12.96，圓柱半徑 r1= 0.4a 且 r2= 0.1a， a 為ㄧ晶格常數。此種結構之色散曲線 (圖 13)與一般三角晶格的介電柱光子 晶體之色散曲線作比較可發現，在 TM mode 之第二能帶曲線，會被壓下來且 與第三能帶完全分離，因而不會受到第 三能帶的干擾而產生不必要的繞射現 象，而且這和空氣洞三角晶格成像系統 所呈現的光子晶體色散曲線圖相似，所 以有極大的機會能在第二能帶找到我 們所希望之等效折射率為-1 的頻率。 圖 13 TM mode 的色散曲線圖 複合型介電柱之三角晶格於TM mode下的色散曲線如圖13所示，其中 ΓΜ和ΓΚ方向之黑色斜線為光波在空 氣中的色散曲線。為了尋找等效折射 率為-1的相對頻率，此時我們注意第二 傳導能帶(即紅色曲線)可發現，其與空 氣色散曲線所交之無因次化頻率相當 一致，在此無因次化頻率ω = a/λ= 0.178。當ω= 0.178時，空氣等頻線和 光子晶體等頻線會幾乎為同一圓；即 無論光波從何處入射，皆會往同一點 折射，也就是所謂的等效折射率為-1。 接下來，我們驗證光子晶體的完美成 像，將一點光源放入距平板左端一個晶 格常數(1a)的距離，且無因次化頻率設 定為a/λ= 0.178，電場模擬結果如圖 14 所示，可發現平板右端有明顯的聚焦成 像產生。                                     _             _             _  cell cell b a a b a b a b a S r f S r f G f f f f G u G i r G r G J f u G i r G r G J f u G i r G r G J f G 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 , 2 1 2 0 ), exp( ) ( ) ( 2 1 1 ) exp( ) ( ) ( 2 1 1 ) exp( ) ( ) ( 2 1 1 ) (                      

圖 14 模擬複合型光子晶體的電場分 布圖 在光子晶體之聚焦特性中，解析度 是一項非常重要的參數，可用來評斷聚 焦品質的優劣；其中，最高聚焦強度之 橫向分布的半高全寬(FWHM)是最常 被用來評估解析度的，所以本章節也計 算半高全寬來探討光子晶體聚焦系統。 對介電材料為背景之空氣洞光子 晶體而言，通常增加穿透率或解析度的 方法就是將前後兩邊界做切除部分厚 度之處理，以激發表面模態，其效果經 模擬計算之後，也證實可產生較佳的聚 焦品質。然而，本設計的光子晶體超透 鏡所採用的是介電柱之週期性排列，為 了保持介電圓柱的完整性，我們不使用 切除部分圓柱的動作，而是在平板前後 兩邊界處各增加一排相同材料性質的 圓柱來當作抗反射層，並討論其半徑大 小與相對位置對聚焦解析度之影響。 圖 15 為複合型光子晶體超透鏡之 結構示意圖，其中主要結構參數與前述 相同，並固定波源距離與排列層數，r3 為最外面兩排圓柱之半徑，δ為主要結 構與最外面兩排圓柱之距離，此兩排圓 柱的介電常數設定為ε= 12.96。針對不 同的 r3半徑，分析不同 δ值與成像解 析度的關係，如圖 16 所示，可發現當 r3 = 0.2a 時，有最小的 FWHM 值。因 此，我們利用最佳的結果δ= 1a，且把 前後兩邊界處都沒增加圓柱(即 r3= 0) 也列入考慮，將不同 r3 半徑的橫向電 場強度之分布對最大值做無因次化，如 圖 17 所示，可直觀的看出 r3= 0.2a 有 最小的半高全寬，也表示其有最好的聚 焦解析度表現。 圖 15 複合型光子晶體超透鏡示意圖 最後，採用最佳化的複合型光子晶 體超透鏡之設計，設定介電圓柱 r1 =

0.4a、r2= 0.1a 和 r3= 0.2a，介電常數 ε

= 12.96，且 δ= 1a，空氣-光子晶體介 面之法線沿著ΓM 方向，光波源為橫向 磁波模態(TM mode)或 E-polarization， 且設定等效折射率為-1 之相對頻率 ω = a/λ= 0.178，置於平板左端 1a 的距 離。以 COMSOLR 模擬之電場分布如圖 18 所示。拿這些 r3 = 0.2a 之電場分布 來跟前面未加邊界(r3 = 0)的電場分布 作比較，由圖中可以明顯看出，其產生 的聚焦現象更為清晰，表示聚焦品質已 大大的提升。 image r3 source ΓΜ direction δ δ Electric field x (a) y (a )

圖 16 針對不同 r3，δ值與聚焦解析度 的關係圖 圖17 δ=1a時，各種不同r3之橫向電場 強度分布 圖 18 模擬加入抗反射層的電場分布 圖

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[45] 行政院國家科學委員會，專題研究 計畫成果報告編寫須知，民國八十 二年十一月。