與三角形高有關的幾何性質

與三角形高有關的幾何性質

丁 遵標

摘要: 本文獲得了與三角形高有關的三個有趣的幾何性質, 並進行推廣。

關鍵詞: 三角形、 邊長、 高線、 半周長、 外接圓半徑、 內切圓半徑。

本文約定: △ABC 的三邊長、 半周長、 面積、 外接圓半徑、 內切圓半徑、 三邊上的高分別 為 a、 b、 c、 P 、 S、 R、 r、 ha、 hb、 hc

經過探討, 筆者現已得到:

定理1: _ha^ha

−2r +_hb^hb

−2r + _hc^hc

−2r = ^4R_r + 1 證明:

^∵

S = ¹₂aha= ¹₂bhb = ¹₂chc = rP

∴

ha= ^2rP_a , hb = ^2rP_b , hc = ^2rP_c

由海倫公式 S =

^q

P(P − a)(P − b)(P − c) 便可得到 (P − a)(P − b)(P − c) = r²P

又

^∵

abc = 4RrP

∴

abc+ (P − a)(P − b)(P − c) = 4RrP + r²P

∵

abc+ (P − a)(P − b)(P − c)

= abc + [P³− (a + b + c)P²+ (ab + bc + ca)P − abc]

= P³− 2P³+ (ab + bc + ca)P

= (ab + bc + ca)P − P³

∴

(ab + bc + ca)P − P³ = 4RrP + r²P

∴

ab+ bc + ca = P²+ 4Rr + r²

∴

1

P − a + 1

P − b + 1 P − c

55

= ab+ bc + ca − P² (P − a)(P − b)(P − c)

= P²+ 4Rr + r²− P² r²P

= 4R + r rP

∴

ha

ha− 2r + hb

hb− 2r + hc

hc − 2r

=

2rP a 2rP

a − 2r +

2rP b 2rP

b − 2r+

2rP c 2rP

c − 2r

= P

P − a + P

P − b + P P − c

= P



1

P − a + 1

P − b + 1 P − c



= P · 4R + r rP

= 4R r + 1 故: _ha^ha

−2r + _h^hb

b−2r +_hc^hc

−2r = ^4R_r + 1 由 Euler 不等式 R ≥ 2r, 便可得到:

推論1: _ha^ha

−2r +_h^hb

b−2r + _hc^hc

−2r ≥ 9 這便是著名的 Bokov 不等式。

由 Wlombier-Doncet 不等式 3P²≤ (4R + r)² 便可推出: P ≤ ^4R+r√3

於是又可得到:

推論2: _ha^ha

−2r +_h^hb

b−2r + _hc^hc

−2r ≥ ^√3Pr

由於 ha

ha− 2r = 1 + 2r · 1 ha− 2r hb

hb− 2r = 1 + 2r · 1 hb − 2r hc

hc− 2r = 1 + 2r · 1 hc − 2r

∴

ha

ha− 2r + hb

hb− 2r + hc

hc− 2r

= 3 + 2r



1

ha− 2r + 1

hb − 2r+ 1 hc− 2r



再由定理 1 知:

3 + 2r



1

ha− 2r + 1

hb− 2r + 1 hc− 2r



= 4R r + 1 於是, 我們便可得到:

推論3: _h ¹

a−2r +_hb¹

−2r + _hc¹

−2r = ^2R_r^−2r 再由 Euler 不等式 R ≥ 2r, 便可得到:

推論4: _ha¹

−2r +_hb¹

−2r + _hc¹

−2r ≥ ³r

定理2: _h^b+c

b+hc + _h^c+a_c+ha +_ha^a+b_+h

b ≥ 2√ 3 證明:

^∵

S = ¹₂aha= ¹₂bhb = ¹₂chc = ^abc_4R

∴

ha = bc

2R, hb = ca

2R, hc = ab 2R

∴

b+ c hb+ hc

+ c+ a hc + ha

+ a+ b ha+ hb

= b+ c

a

2R(c + b) + c+ a

b

2R(a + c) + a+ b

c

2R(b + a)

= 2R



1 a +1

b +1 c



· · · (1)

∵

1 a +1

b +1 c

≥ 3³

s

1 abc

= 3 2R

3

s

1

sin A sin B sin C

又

^∵

sin A · sin B · sin C ≤ 3√ 3 8

∴

1 a +1

b +1 c ≥

√3

R · · · (2) 由 (1) 、 (2) 得:

b+ c hb+ hc

+ c+ a hc + ha

+ a+ b

ha+ hb ≥ 2√ 3 又由於: b+ c

hb+ hc

+ c+ a hc + ha

+ a+ b ha+ hb

= 2P − a hb+ hc

+ 2P − b hc+ ha

+ 2P − c ha+ hb

= 2P



1

hb+ hc

+ 1

hc+ ha

+ 1

ha+ hb



− a

hb+ hc

+ b

hc+ ha

+ c

ha+ hb

!

∴

a hb+ hc

+ b

hc + ha

+ c

ha+ hb

≤ 2P



1

hb+ h^c + 1

hc+ h^a + 1 ha+ h^b



− 2√ 3

= 2P 1

2rP

b +^2rP_c + 1

2rP

c + ^2rP_a + 1

2rP a +^2rP_b

!

− 2√ 3

= 1 r

bc

b+ c + ca

c+ a + ab a+ b

!

− 2√ 3

≤ 1 r

b+ c

4 +c+ a

4 + a+ b 4

!

− 2√ 3

= 1 r · 1

2(a + b + c) − 2√ 3

= P r − 2√

3 又

∵

P = 1

2(a + b + c)

= R(sin A + sin B + sin C) 且 sin A + sin B + sin C ≤ 3√

3 2

∴

P ≤ 3√ 3 2 R 於是, 我們便可得到:

推論: _h ^a

b+hc + _hc+h^b _a +_ha+h^c

b ≤ ^3√2r^3R − 2√ 3 定理3: _4R^9R2_+2r^{2 2} ≤ h^2a2

b+h²_c +_h^2b2

c+h²a + _h2^c2

a+h²_b ≤ ^Rr

證明:

^∵

S = ¹₂aha= ¹₂bhb = ¹₂chc

∴

ha = ^2S_a , hb = ^2S_b , hc = ^2S_c

∴

a² h²_b + h²c

+ b² h²_c + h²a

+ c² h²_a+ h²b

= a²

4S²(_b¹² + _c¹²) + b²

4S²(_c¹² +_a¹²) + c² 4S²(_a¹² + _b¹²)

= a²b²c²

4S²(b²+ c²)+ a²b²c²

4S²(c²+ a²) + a²b²c² 4S²(a²+ b²)

= a²b²c² 4S²



1

b²+ c² + 1

c²+ a² + 1 a²+ b²



= (4RS)² 4S²



1

b²+ c² + 1

c² + a² + 1 a²+ b²



= 4R²·



1

b²+ c² + 1

c²+ a² + 1 a²+ b²



· · · (3) 又

∵

b²+ c² ≥ 2bc, c²+ a² ≥ 2ca, a²+ b² ≥ 2ab

∴

1

b²+ c² + 1

c²+ a² + 1 a²+ b²

≤ 1 2bc+ 1

2ca+ 1 2ab

= 1 2



1 ab+ 1

bc+ 1 ca



= a+ b + c 2abc

= 2P

2 · 4RrP

= 1

4Rr · · · (4) 由 (3) 、 (4) 得

a² h²_b + h²c

+ b² h²_c + h²a

+ c² h²_a+ h²b

≤ R r

∵

[(a²+ b²) + (b²+ c²) + (c²+ a²)]



1

a²+ b² + 1

b²+ c² + 1 c²+ a²



≥ 9

∴

1

a²+ b² + 1

b²+ c² + 1

c²+ a² ≥ 9

2(a²+ b² + c²) 又由於 a²+ b² + c² = 2(P²− 4Rr − r²)

且由 Gerretsen 不等式知:

P² ≤ 4R²+ 4Rr + 3r²

∴

a² + b²+ c² ≤ 2[(4R²+ 4Rr + 3r²) − 4Rr − r²]

= 2(4R²+ 2r²)

∴

1

a²+ b² + 1

b²+ c² + 1

c²+ a² ≥ 9

4(4R²+ 2r²) · · · (5) 由 (3) 、 (5) 得

a² h²_b + h²c

+ b² h²_c + h²a

+ c² h²_a+ h²b

≥ 9R² 4R²+ 2r² 故 9R²

4R²+ 2r² ≤ a² h²_b + h²c

+ b² h²_c + h²a

+ c² h²_a+ h²b

≤ R r 又

∵

9R²

4R²+ 2r² = 8R²+ R² 4R² + 2r²

≥ 8R²+ (2r)² 4R²+ 2r²

= 2 於是, 我們又可得到:

Cordon 不等式:

a² h²_b + h²c

+ b² h²_c + h²a

+ c² h²_a+ h²b

≥ 2

參考文獻

1. O. Bottema

等著

_,

單墫譯。 幾何不等式。 北京大學出版社。

₁₉₉₁

。

2.

郭要紅、 戴普慶。 中學數學研究。 安徽大學出版社。

₁₉₉₈

。

3. D. S. Mitrinovic, Recent Advances in Geometric Inequality, 1989.

—

本文作者任教於中國安徽省舒城縣杭埠中學

_—