3.11 Hyperbolic Functions

3.11 Hyperbolic Functions

Chih-Kuang Lee August 22, 2013

11. Prove the identity. sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

這一題直接使用 hyperbolic functions 定義來做即可，從右邊開始做會比較簡單。

R.H.S. = e^x− e^−x 2

  e^y+ e^−y 2



+ e^x+ e^−x 2

  e^y− e^−y 2



= e^x+y+ e^x−y− e^−(x−y)− e^−(x+y) 4



+ e^x+y− e^x−y+ e^−(x−y)− e^−(x+y) 4



=2e^x+y− 2e^−(x+y) 4

=e^x+y− e^−(x+y) 2

= sinh(x + y) 這樣就證明完畢了。 

12. Prove the identity. cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 方法同上，從複雜的那一邊開始做通常不會錯。

R.H.S. = e^x+ e^−x 2

  e^y+ e^−y 2



+ e^x− e^−x 2

  e^y− e^−y 2



= e^x+y+ e^x−y+ e^−(x−y)+ e^−(x+y) 4



+ e^x+y− e^x−y− e^−(x−y)+ e^−(x+y) 4



=2e^x+y+ 2e^−(x+y) 4

=e^x+y+ e^−(x+y) 2

= cosh(x + y) 證明完畢。 

18. Prove the identity. 1 + tanh x 1 − tanh x = e^2x

這題依然使用 hyperbolic functions 的定義，證明過程便呼之欲出。

L.H.S. = 1 + ^{sinh x}_{cosh x}

1 − ^{sinh x}_{cosh x} =cosh x + sinh x cosh x − sinh x

=

e^x+e^−x

2 +^ex−e₂^−x

e^x+e^−x

2 −^ex−e₂^−x =(e^x+ e^−x) + (e^x− e^−x) (e^x+ e^−x) − (e^x− e^−x)

= 2e^x 2e^−x = e^2x 證明完畢。 

19. Prove the identity.

(cosh x + sinh x)ⁿ = cosh nx + sinh nx (n any real number) 方法跟上題差不多，把定義帶入就好了！

L.H.S. = e^x+ e^−x

2 +e^x− e^−x 2

ⁿ

= (e^x)ⁿ

= e^nx

R.H.S. = e^nx+ e^−nx 2



+ e^nx− e^−nx 2



= e^nx

因此 (cosh x + sinh x)ⁿ= cosh nx + sinh nx，證明完畢。 

20. If tanh x = ¹²₁₃, find the values of the other hyperbolic functions at x.

你會想把 x 解出來嗎？不是不行，不過如果能善用 hyperbolic functions 間的關係，

這一題可以很輕鬆地做出來。

題目給了 tanh x =¹²₁₃ ，因此

coth x = 1

tanh x = 13 12 接著利用 1 − tanh²x = sech²x，得到

sech x =p

1 − tanh²x = s

1 − 12 13

²

= 5 13

注意到 sech x 是一個恆正函數，因此開平方根的時候沒有疑義，我們就取正的。既然 sech x算出來了，就能算出 cosh x 。

cosh x = 1

sech x =13 5

最後，利用 tanh x 的定義，我們得到

sinh x = tanh x cosh x = 12 13 ×13

5 = 12 5 和

csch x = 1 sinh x = 5

12

如果你想用 sinh x 和 cosh x 的平方關係來算 sinh x 的話，反而不知道要如何決定正 負號了呢。 

39. Find the derivative. G(x) =1 − cosh x 1 + cosh x 直接用連鎖律微分就好囉！

d

dxG(x) = − sinh x(1 + cosh x) − (1 − cosh x) sinh x (1 + cosh x)²

= (− sinh x − sinh x cosh x) − (sinh x − cosh x sinh x) (1 + cosh x)²

= −2 sinh x (1 + cosh x)² 

46. Show that d dx

4

r1 + tanh x 1 − tanh x =1

2e^x/2

這一題有兩種方法。第一種方法當然就是先微分再說，只是步驟稍嫌繁雜。

L.H.S. = d dx

 1 + tanh x 1 − tanh x

¹₄

= 1 4

 1 + tanh x 1 − tanh x

−³₄

 sech²x(1 − tanh x) − (1 + tanh x)(−sech²x) (1 − tanh x)²



= 1 4

 1 + tanh x 1 − tanh x

−³₄ 2 sech²x (1 − tanh x)²



= 1 2

 1 + tanh x 1 − tanh x

−³₄ 1 − tanh²x (1 − tanh x)²



= 1 2

 1 + tanh x 1 − tanh x

−³₄

 1 + tanh x 1 − tanh x



= 1 2

 1 + tanh x 1 − tanh x

¹₄

= 1 2 e^2x
1₄

= 1 2e^x2

其中最後一行用到了第18小題的結果。你可能會說，為何不一開始就直接用呢？當然 可以，這就是第二種方法：先帶入第18小題的結果再微分。

L.H.S. = d dx

√4

e^2x= d

dxe^x2 = 1 2e^x2

速度比第一種方法快上好多倍！不過直接使用第二種方法的話，就沒有練習到 hyper- bolic functions 的微分了。 

47. Show that d

dxarctan(tanh x) = sech 2x 這題依然使用連鎖率來微分就做得出來了！

L.H.S. =

 1

1 + tanh²x

 sech²x

=

 1

1 + tanh²x

 1 cosh²x

= 1

cosh²x + sinh²x

= 1

cosh 2x = sech 2x

最後面用到了一個恆等式 cosh 2x = cosh²x + sinh²x，這個恆等式不是很難做，同 學可以自行練習看看。（或者有同學有自己練習第16題的話，應該就會知道這個恆等 式） 

52. Verify that the function

y = f (x) = T

ρgcoshρgx T



is a solution of this differential equation.

d²y dx² =ρg

T s

1 + dy dx

2

要檢查 f(x) 是不是該方程式的解，只要把 f(x) 代進去看看合不合就知道了。因此 df

dx = T

ρgsinhρgx T

×ρg

T = sinhρgx T

 d²f

dx² = ρg

T coshρgx T

 把它們代入方程式，得到

ρg T

s

1 + df dx

2

= ρg T

r

1 + sinh²ρgx T



= ρg T

r

cosh²ρgx T



= ρg

T coshρgx T



= d²f dx²

因為 cosh x 這個函數是恆正的，因此開根號的正負沒有疑義。到這裡我們便成功驗 證了 f 的確是該方程式的解。 

56. If x = ln(sec θ + tan θ), show that sec θ = cosh x 直接做就可以做出來了，看起來從 cosh x 開始動手會容易許多。

cosh x = e^x+ e^−x 2

=1 2 h

eln(sec θ+tan θ)+ e− ln(sec θ+tan θ)i

=1

2(sec θ + tan θ) + (sec θ + tan θ)⁻¹

=1 2

 1 + sin θ

cos θ + cos θ 1 + sin θ



=(1 + sin θ)²+ cos²θ 2 cos θ(1 + sin θ)

= 2 + 2 sin θ 2 cos θ(1 + sin θ)

= 1

cos θ = sec θ

這樣我們就做完了！中間簡單地用到了三角函數的性質，同學若不熟要記得複習一下 喔！