一、 單選題 1.

高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.10.18 班級 普三 班

範 圍

Book5-2-2

指數對數不等式 座號

姓 名

一、 單選題

1. 下列那一個數的值最小？（單選）

(A) (0.9) ^{− 3.5} (B) (0.9) ^{− 2.5} (C) (0.9) ^{− 1.5} (D) (0.9) ^{− 3} (E) (0.9) ^{− 5} Ans： (C)

解析：0 < 0.9 < 1⇒f (x) = (0.9)^x為遞減函數，即指數x之值愈大時，f (x)之值愈小，

又 − 1.5 > − 3 > − 5 > − 2.5 > − 3.5，故(0.9)^−1.5之值最小 2. 若log_a2 < logb2 < 0，則（單選）

(A) 0 < a < b < 1 (B) 0 < b < a < 1 (C) a > b > 1 (D) b > a > 1 (E) a，b大小不能比較

Ans： (B)

解析：log_a2 < logb2 < 0，故(1) 0 < a < 1 且 0 < b < 1，(2)由遞減性質知，a > b 由(1)，(2)得 0 < b < a < 1

3. 若 0 < a < b < 1，則下列不等式那一個正確？（單選）

(A) (1 − a)^b

1

> (1 − a)^b (B) (1 + a)^a> (1 + b)^b (C) (1 − a)^b> (1 − a)²

b

(D) (1 − a)^a > (1 − b)^b (E) (1 − a)^b > (1 − b)^a

Ans： (D)

解析：0 < a < b < 1 ⇒ 1 > 1 − a > 1 − b > 0 (A)因 0 < 1 − a < 1 且

b1 > 1 > b > 0，由指數遞減性質知(1 − a)^b1 < (1 − a)^b (B) 1 + b > 1 + a > 1，b > a > 0 ⇒ (1 + b)^b > (1 + a)^a

(C) b >

2b > 0，0 < 1 − a < 1 ⇒ (1 − a)^b(1 − a)^2b

(D)1 > 1 − a > 1 − b > 0，b > a > 0⇒ (1 − a)^a>(1 − b)^a > (1 − b)^b此式為真 (E)無法比較

4. 0.5^0.3，log0.50.3，0.3^0.5的大小關係為（單選）

(A) 0.5^0.3 < 0.3^0.5 < log0.50.3 (B) 0.5^0.3 < log0.50.3 < 0.3^0.5 (C) log0.50.3 <0.3^0.5 < 0.5^0.3 (D) log0.50.3 < 0.5^0.3 < 0.3^0.5 (E) 0.3^0.5 < 0.5^0.3 < log0.50.3

Ans： (E) 解析：

log0.5^0.3 = 0.3log0.5 = 0.3log

21 = 0.3 × (− log2) (0.3)( − 0.3010) = − 0.0903 log0.3^0.5 = 0.5log0.3 = 0.5log

103 = 0.5 × (log3 − 1) (0.5)(0.4771 − 1) = − 0.261…

∴ log0.5^0.3 > log0.3^0.5 ⇒ 1 > 0.5^0.3 > 0.3^0.5 又log_0.50.3 = log

10 3

2

1 > 1( ∵ 1 >

103 >

2

1)，故 0.3^0.5 < 0.5^0.3 < log0.50.3

5. 設函數 y = 2

2

2^x+ ^−x (x ≤ 0)的反函數為 y = g(x)，則當 a > b ≥ 1 時，有（單選）

(A) g(a) < g(

2 b

a+ ) < g(b) (B) g(a) < g(b) < g ( 2

b a+

) (C) g(b) < g(a) < g(

2 b

a+ ) (D) g(b) < g(

2 b

a+ ) < g(a)

(E) g(

2 b

a+ ) < g(a) < g(b) Ans： (A)

解析：

f (x) = 2

2

2^x + ^−x (x ≤ 0)之反函數為 g(x) = log2(x − x² −1)，其圖形如右：

y = g(x)(x ≥ 1)為單調遞減，

故a >

2 b

a+ >b ≥ 1 時g(a) < g(

2 b

a+ ) <g(b)

二、多重選擇題

θ

2

34，則（複選）

(A)

θ

θ

θ

θ

θ

解析：

θ

2

34，因 4 >

2

3> 1 ⇒

θ

又(2

3)³ < 4 < ( 2

3)⁴ ⇒ 3 < log

2

34 < 4，故選(C)(D)

2. 已知 f (x) = |logx|，當 0 < a < b < c 時，f (b) < f (c) < f (a)，則（複選）

(A) (a − 1)(b − 1) < 0 (B) ac > 1 (C) ac = 1 (D) 0 < ac < 1 (E) (a − 1)(b − 1)>1

Ans： (A)(D) 解析：f (x) = |logx|

(1)已知 0 < a < b < c ⇒ f (b) < f (c) < f (a)⇒ |logb| < |logc| < |loga|

但是 loga < logb < logc，知 loga < 0 < logb < logc ⇒ 0 < a < 1，c > b > 1，故(a − 1)(b − 1) < 0 (2) |loga| > |logc| ⇒ −loga > logc ⇒ log

a

1> logc

⇒ a

1> c > 0 ⇒ 0 < ac < 1

3. 設f (x) = a^x(a > 0，a ≠ 1)，x為實數，下列敘述何者為真？

(A)若x < 0，則f (x) < 0 (B)若x > 1，則f (x) > 1 (C)若 0 < a < 1 且x < 0，則f (x) > 1 (D)

若 0 < a < 1 且x1 > x2則f (x₁) < f (x2) (E)若a > b > 1，x∈R，則a^x > b^x Ans： (C)(D)

解析：f (x) = a^x(a > 0，a ≠ 1)

(A) a > 0，∀x ∈ R，a^x > 0 恆成立

(B) 0 < a < 1 時，x > 0 ⇒ a^x < 1 ⇒ f (x) < 1，(如：(

2 1)² =

4 1 < 1) (C) 0 < a < 1，x < 0 ⇒ a^x > 1 ⇒ f (x) > 1，(如：(

2

1) ^{− 2} =2²=4 > 1) (D) 0 < a < 1 時，f (x)遞減，即乘方大者其值較小故x1 > x2

⇒ a < a ⇒ f (x^{x1 x2} 1) < f (x2)

(E) a > b > 1，x < 0 時，a^x < b^x (如：3 > 2 ⇒ 3 ^{− 2} < 2 ^{− 2}) 應選(C)(D)

4. 下列不等式，何者為真？

(A) log 2 1

2 < 0 (B) log_0.20.3 > 1 (C) log_0.23 > log_0.2 3 1 (D) 0 < log

3 1

2

1 < 1 (E)0 < log43 < 1 Ans： (A)(E)

解析：

(A) log 2 1

2 = − log ₂2 = − log ₂( 2 )² = − 2 < 0 (B) log_0.20.3 = log

10 3

10

2 =

1 2 log

1 3 log

−

− =

2 log 1

3 log 1

−

− < 1

(C) log_0.23 < 0，log0.2

3

1= log0.23 ^{− 1} = − log0.23 > 0⇒ log0.23 < log0.2

3 1

(D) log 3 1

2

1 =

2 log 1

3 log 1

2

2 =

1 3 log ₂

−

− = log ₂ 3> 1

(E) log₄3 = 4 log

log < 1 ⇒ 0 < log3 ₄3 < 1 應選(A)(E)

三、填充題

1. 0 < a < 1，n ∈ N且n ≥ 2，令x = a ⁿ

n 1+

，y = a ¹

1

− + n n

，z = a ¹

1 +

− n n

，則x，y，z的大小關係為 。 Ans： y < x < z

解析：

0 < a < 1 時，a 的指數愈大，其值愈小，因為 1 1

− + n n >

n

n+1> 1 >

1 1 +

− n n

所以 a ¹

1

− + n n

< a ⁿ

n 1+

< a ¹

1 +

− n n

，即 y < x < z

2. 有一種細胞每 20 分鐘分裂一次由一個變成兩個，若有此種細胞 200 個，則經過

分鐘，這些細胞分裂後其總數超過一億個。

（已知log2 = 0.3010）

Ans： 380

解析：每 20 分鐘分裂後，總數為原來的 2 倍，

欲使 200．2ⁿ > 100000000 = 10⁸，則 2ⁿ > 5．10⁵ 即nlog2 > 5 + log5，可得n >

301 . 0

699 .

5 18.93，n最小取 19

亦即 20 × 19 = 380 分鐘後，細胞超過一億個 3. 不等式log3(log

3

1x) > 2的解為 。 Ans： 0 <x< (

3 1)⁹ 解析：log₃(log

3

1x) > 2，此時log

3

1x> 9 = log

3 1(

3

1)⁹，所以0 <x< ( 3 1)⁹ 4. 不等式(log₂x)³> log₂(x⁴)的解為 。

Ans： 1

4

1 < x< 或 x> 4

解析：(log2x)³> log2(x⁴)時， x > 0……c

(log²x)3 > 4log2x……d

由d得(log₂x)(log₂x− 2)(log₂x+ 2) > 0，所以log₂x> 2或 − 2 < log₂x< 0 即x> 4或

1 <4 x< 1，由c與d可知x> 4或

41 <x< 1 5. 不等式log₄(x²− 3x+ 2) − 2log₄(2x− 1) >

2

1的解為 。

Ans： 7

5 2

1 < x<

解析：log₄(x²− 3x+ 2) − 2log₄(2x− 1) >

2 1時

x²− 3x + 2> 0……c 2x − 1 > 0……d

log4(x²− 3x + 2) − log⁴(2x − 1)2 > log⁴²……e (1)由c得x> 2或x< 1；(2)由d得x>

2 1；

(3)由e得 ² ₂

) 1 2 (

2 3

− +

− x

x x > 2，即x²− 3x+ 2 > 2(4x²− 4x+ 1)，可得7x²− 5x< 0

亦即x(7x− 5) < 0，所以0 <x<

7 5

由(1)，(2)，(3)可得 2

1 < x <

7 5

6. 不等式 5

−2< log0.125x + log32x <

3

2的解為 。

Ans： 8

32 1 < x<

解析： 5

−2< log0.125x + log32x <

3 2時，

5

−2<log2−3x +log25x <

3 2

即 5

−2<

3 1

− log2x + 5

1log2x <

3

2，亦即

5

−2<

15

−2

log2x <

3 2

所以 − 5 < log2x < 3，因此 2 ^{− 5} < x < 2³，即 32

1 < x < 8 7. 不等式 3^2x + 1 < 3^{x + 2} + 3^{x − 2}的解為 。

Ans： − 2 < x < 2 解析：

3^2x + 1 < 3^{x + 2} + 3^{x − 2}時，(3^x)² + 1 < 9．3^x + 9 1．3^x 即(3^x)² −

9

82．3^x + 1 < 0，可知 9(3^x)² − 82．3^x + 9 < 0 此時(9．3^x − 1)(3^x − 9) < 0，所以

9

1< 3^x < 9，因此 − 2 < x < 2

8. 已知x滿足不等式 2(log

2

1x)² +7log

2

1x + 3 ≤ 0，則函數f (x) = (log2

2

x) · (log₂ 4

x)的最小值為

。 Ans： −

4 1

解析：不等式 2(log

2

1x)² +7log

2

1x + 3 ≤ 0 ⇒ (log

2

1x + 3)(2log

2

1x + 1) ≤ 0 ⇒ − 3 ≤ log

2 1x ≤

2

−1

⇒ ( 2

1) ^{− 3} ≥ x ≥ ( 2 1) ²

−1

⇒ 2≤ x ≤ 8 f (x) = (log2

2

x) · (log2

4

x) = (log2x − 1)(log2x − 2)

= (log2x)² − 3log2x + 2 = (log2x − 2 3)² −

4

1 ( 2≤ x ≤ 8)

2 ≤ x ≤ 8 ⇒ log2 2 ≤ log2x ≤ log28 ⇒ 2

1≤ log2x ≤ 3

∴ 當log2x = 2

3時，f (x)有最小值 − 4 1 9. 不等式 5 < 25^x < 125 的解為 。 Ans：

2 3 2

1 < x<

解析：5 < 25^x < 125 時，5¹ < 5^2x < 5³，因此，1 < 2x < 3，即

2 3 2

1< x<

10. 不等式log₂x + 2logx2 > 3 的解為 。 Ans： 1 < x < 2 或 x > 4

解析：

logx2=

2x log

1 ，令t = log2x，則原式化為t + t 2> 3 c若x > 1，則t > 0，則t² − 3t + 2 > 0

⇒ (t − 1)(t − 2) > 0 ⇒ t < 1 或t > 2， ∴ 0 < t < 1 或t > 2 d若 0 < x < 1，則t < 0，於是t² − 3t + 2 < 0

⇒ (t − 1)(t − 2) < 0 ⇒ 1 < t < 2 不合 由cd得 0 < t < 1 或t > 2

即 0 < log2x < 1 或log2x > 2，故得 1 < x < 2 或x > 4

11. 甲、乙兩人同時在不同的銀行存入了十萬元，但他們存款的利率分別是年利率 20％與 8％，如果以複利計算， 年後甲的本利和就超過乙的本利和的三倍。

(log1.2 = 0.0792，log1.08 = 0.0334，log3 = 0.4771) Ans： 11

解析：設甲、乙兩人銀行存款n年後，本利和分別為 10⁵(1.2)ⁿ，10⁵(1.08)ⁿ 欲使 10⁵(1.2)ⁿ > 3[10⁵(1.08)ⁿ]，則 1.2ⁿ > 3(1.08)ⁿ

因此nlog1.2 > log3 + nlog1.08，即n(0.0792 − 0.0334) > 0.4771 可得n > 10.4，所以最少要 11 年後

12. 設 1 ≤ x ≤ 100，則y = (logx)² − 6logx + 3 的最大值為 ，最小值為 。 Ans： 3， − 5

解析：y = (logx)² −6logx + 3 = (logx − 3)² − 6， 1 ≤ x ≤ 100 ⇒ 0 ≤ logx ≤ 2 故logx = 0(x = 1)時，y有最大值 9 − 6 = 3

logx = 2(x = 100)時，y有最小值 1 − 6 = − 5

13. 不等式 2^{x − 1} − 3 × 2^{2x − 1} + 1 < 0 的解為 。 Ans： x > 0

解析：2^{x − 1} − 3 × 2^{2x − 1} + 1 < 0 ⇒ 2 ^{− 1} · 2^x − 3 · 2 ^{− 1} · 2^2x+ 1 < 0 令t = 2^x > 0，則原式化為

2 1t −

2

3t² + 1 < 0

即 3t² − t − 2 > 0 ⇒ (t − 1)(3t + 2) > 0 ⇒ t > 1 或t < − 3

2但t > 0

∴ t > 1，即 2^x > 1 = 2⁰ ⇒ x > 0

14. 設f (x) = 4^x − 2^{x − 1} + 1，則當x = 時，f (x)有最小值 = 。 Ans： x = − 2，M =

16 15

解析：f (x) = 4^x − 2^{x − 1} + 1 = 2^2x − 2^{− 1} · 2^x + 1 令t = 2^x，則t > 0，f (x) = t² −

2

1t + 1 = (t − 4 1)² +

16 15

當t =4

1 時，f (x)有最小值 16

15，此時 2^x = 4

1= 2 ^{− 2} ⇒ x = − 2 15. x > 0，x ≠ 1，不等式logx(4x − 3) < 2 的解為 。

Ans： x > 3 解析：

log_x(4x − 3) < 2 = logxx²，x > 0，x ≠ 1 (1)真數大於 0，4x − 3 > 0 ⇒ x >

4 3

(2)若x > 1，則 4x − 3 < x² ⇒ x² − 4x + 3 > 0

⇒ (x − 1)(x − 3) > 0 ⇒ x < 1 或x > 3 ∴ x > 3 若 0 < x < 1，則 4x − 3 > x² ⇒ (x − 1)(x − 3) < 0 ⇒ 1 < x < 3 不合

由(1)，(2)得x >

4

3且x > 3，即x > 3 為所求 16. 不等式log

2

1(log₃x) ≥ − 2 的解為 。 Ans： 1 < x ≤ 81

解析：

真數x > 0 且log3x > 0 ⇒ x > 1……c log

2

1(log3x) ≥ − 2 = log

2 1(

2

1) ^{− 2}，比較真數，log3x ≤ ( 2

1) ^{− 2} = 4 = log33⁴ 去對數，x ≤ 3⁴ = 81……d

由c、d得 1 < x ≤ 81 17. f (x) = 2(log2x)² + alog2 ₂

1

x + b，當x = 2

1時，f (x)有最小值 1，則數對(a，b)之值為

。

Ans： (a，b) = (− 2，3) 解析：

f (x) = 2(log2x)² + alog2 ₂

1

x + b = 2(log2x)² − 2alog2x + b

= 2[(log₂x − 2 a)² −

4

a2 ]+ b = 2(log₂x − 2

a)² + b − 2 a2

當log2x = 2

a時，最小值b −

2 a2

由已知x = 2

1 時，有最小值 1，即

2 a= log2

2

1= − 1 ⇒ a = − 2 且b − 2

a = 1 ⇒ b = 1 +2

2 a = 1 +2

2 4= 3

18. 設f (x) = 2log(x − 2) − log(x − 3)，當x = a時，f (x)有最小值m，則a = ，m = 。

Ans：a = 4，m = log4 解析：

f (x) = 2log(x − 2) − log(x − 3) = log 3

) 2

( ²

−

− x

x 且x > 3

令k = 3 ) 2

( ²

−

− x

x ，則x² − (4 + k)x + 4 + 3k = 0 設x之二根為

α

β

α

β

α

β

(1)判別式(4 + k)² − 4(4 + 3k) ≥ 0 ⇒ k² − 4k ≥ 0⇒ k ≤ 0 或k ≥ 4 (2)

α

β

(3)(

α

β

∴ f (x)最小值log4，此時x² − 8x + 16 = 0 ⇒ x = 4 19. 設 0 < x < 1，不等式x^x2−4> x^3x的解為 。 Ans： 0 < x < 1

解析：

0 < x < 1……c

x^x2−4> x^3x ⇒ x² − 4 < 3x ⇒ x² − 3x − 4 < 0

⇒ (x + 1)(x − 4) < 0 ⇒ − 1 < x < 4……d cd交集得 0 < x < 1

20. 不等式 4^x − 2^{x + 1} − 8 < 0 的解為 。 Ans： x < 2

解析：

4^x − 2^{x + 1} − 8 < 0 ⇒ 2^2x − 2 · 2^x − 8 < 0⇒ (2^x + 2)( 2^x − 4) < 0 但 2^x > 0

∴ 2^x + 2 > 0 ⇒ 2^x − 4 < 0 ⇒ 2^x < 2² ⇒ x < 2

四、 計算題

1. 求解下列對數不等式：

(1) log₃x + log3(x − 2) ≤ 1。

(2) log(x + 2) − log(x − 2) > 1。

Ans： (1) 2 < x ≤ 3 (2) 2 < x <

9 22

2. 設x的二次方程式(x + log2a)² = 16x有兩相異實根，求實數a範圍？

Ans： 0 < a < 16 解析：

由(x + log2a)² = 16x，知x² + (2log2a − 16)x + (log2a)² = 0 此方程式有兩相異實根的充要條件為

(2log2a − 16)² − 4．(log2a)² > 0，即(log2a − 8)² − (log2a)² > 0

亦即(log₂a − 8 + log2a) (log2a − 8 − log2a) > 0，可得(2log2a − 8)( − 8) > 0 所以log₂a − 4 < 0，即log2a < 4，得 0 < a < 16

3. 設 1 ≤ x ≤ 1000，求x^{1 − logx}的最大值與最小值。

Ans： 最大值⁴10 ，最小值 10 ^{− 6} 解析：

設 1 ≤ x ≤ 1000，令y = x^{1 − logx}，

則logy = (1 − logx)logx = − (logx)² + logx = − (logx − 2 1)² +

4 1 1 ≤ x ≤ 1000 時，0 ≤ logx ≤ 3

因此，當logx = 2

1時，logy = 4

1最大，此時y值 =⁴10 也最大 當logx = 3 時，logy = − 6 最小，此時y值 = 10 ^{− 6}最小

4. 解不等式：x^x2−4 > 1。

Ans： x > 2 或 0 < x < 1 解析：

(1)當x > 1 時，x² − 4 > 0，得x < − 2 或x > 2，所以x > 2 (2)當 0 < x < 1 時，x² − 4 < 0，得 − 2 < x < 2，所以 0 < x < 1 綜合(1)，(2)得x > 2 或 0 < x < 1

5. 解不等式：9^x + 2．3^{x + 1} − 16 > 0。

Ans： x > log32

解析：9^x + 2．3^{x + 1} − 16 > 0 ⇒ (3^x)² + 6．(3^x) − 16 > 0

⇒ (3^x + 8)(3^x − 2) > 0 ⇒ 3^x < − 8（不合）或 3^x > 2，即x > log32 6. 解下列對數不等式：

(1) 2log

2

1x > log

2

1(6 − x)。 (2)log(x + 1) + log(x − 2) < 0。

Ans： (1) 0 < x < 2 (2) 2 < x < (1 13) 2

1 +

解析：

(1) 2log

2

1x > log

2

1(6 − x) ⇒ log

2

1x² > log

2

1(6 − x)

即

2

0

6 0

6 x

x

x x

⎧ >

⎪ − >

⎨⎪ < −

⎩

即 0 < x < 6 且 − 3 < x < 2，所以 0 < x < 2

(2) log(x + 1) + log(x − 2) < 0 ⇒ log(x + 1)(x − 2) < 0

即

即x > 2 且 1 0

2 0 ( 1)( 2) x

x

x x

+ >

⎧⎪ − >

⎨⎪ + − <

⎩ 1

) 13 1 2(

1 − < x < (1 13) 2

1 +

所以 2 < x < (1 13) 2

1 +

7. 設x > 1，求f(x) = log3

27

x2 − logx

9

x 的最小值。

Ans： 最小值為 2

1（當 x = 3）

8. 設x∈R，求y = (logx)² − 2log(10x) + 8 的最小值。

Ans： 5

解析：

y = (logx)² − 2log(10x) + 8 = (logx)² − 2(log10 + logx) + 8

= (logx)² − 2(1 + logx) + 8 = (logx)² − 2(logx) + 6

= (logx − 1)² + 5

當logx = 1 時（即x = 10），y有最小值為 5 9. 設x ∈ R，試求y = 9^{x + 1} − 3^{x + 2} + 5 的最小值。

Ans：

4 11

10. 解不等式：logx(4x − 3) > 2。

Ans： 1 < x < 3 或 4

3< x < 1 解析：討論底數x

(1)當x > 1 時，logx(4x − 3) > logxx²

即 4x − 3 > x² ⇒ x² − 4x + 3 < 0，與x > 1 取交集，得 1 < x < 3 (2)當 0 < x < 1 時，logx(4x − 3) > logxx²

即 0 < 4x − 3 < x²，得 4

3< x < 1 或x > 3，與 0 < x < 1 取交集，得 4

3< x < 1 綜合(1)，(2)得 1 < x < 3 或

4

3< x < 1