一、單選題 (每題 8 分)

高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.09.26 班級 普三 班

範 圍

Book1、Book2

多項式、指數 座號

姓 名

一、單選題 (每題 8 分)

1. ( ) 設a，b，c ∈ R且a ≠ 0，f (x) = ax² + bx + c，

δ

則

(A) a > 0，

δ

δ

δ

δ

答案： (B)

【詳解】

f (x) = ax² + bx + c < 0，∀x ∈ R恆成立⇔ a < 0 且b² − 4ac < 0

二、填充題 (每題 10 分)

a

1在x = − 2 時有最大值 3，則實數數對(a，b) = 。 答案：(a，b) = (− 1，− 4)

【詳解】

二次函數y = f (x) = ax² + bx + a

1在x = − 2 時有最大值 3

∴ y = a(x + 2)² + 3 且a < 0（有最大值 ⇒ 開口向下 ⇒ a < 0）

∴ y = ax² + 4ax + 4a + 3

比較係數，得 4a = b……c；4a + 3 = a

1……d 由d得 4a² + 3a − 1 = 0 ⇒ (a + 1)(4a −1) = 0

⇒ a = − 1 或a = 4

1（不合 ∵ a < 0）

代入c得a = −1 ⇒ b = − 4 所求a，b之值為(a，b) = (− 1，− 4)

2. 設x − 5 與x − 7 都是(x − 6)⁵⁰ + ax + b的因式，其中a，b為常數，則a + b之值為 。 答案： −1

【詳解】

令f (x) = (x − 6)⁵⁰ + ax + b，由因式定理

x − 5 | f (x) ⇒ f (5) = 0 ⇒ (5 − 6)⁵⁰ + 5a + b = 0⇒ 5a + b = −1……c x − 7 | f (x) ⇒ f (7) = 0 ⇒ (7 − 6)⁵⁰ + 7a + b = 0⇒ 7a + b = −1……d d − c 2a = 0 ∴ a = 0 代入c，b = −1，故a + b = − 1

3. 設f (x) = x²− 2x − 3，g(x) = x³ − 4x² + 4x − 3，h(x) = 2x⁴ − 5x³ − 3x² + x − 3 的最高公因式 d(x)，最低公倍式m(x)，則d(x) = ，

m(x) = 。 答案： x − 3；(x − 3)(x + 1)(x² − x + 1)(2x² − x + 1)

【詳解】

f (x) = (x + 1)(x − 3) g(x) = (x − 3)(x² − x + 1)

h(x) = (x + 1)(x − 3)(2x² − x + 1)

∴ HCF = d(x) = x − 3

LCM = m(x) = (x − 3)(x + 1)(x² − x + 1)(2x² − x + 1)

4. 設a為整數，若f (x) = x³ + x² − 4x + (a − 7)與g(x) = 2x³ − 7x² + 7x + (2a − 8)的最高公因式為 一次式，則a的值為 。

答案： 3

【詳解】

已知f (x) = x³ + x² − 4x + (a − 7)與g(x) = 2x³ − 7x² + 7x + (2a − 8)之HCF為一次式，

設為d(x)，則d(x) | 2f (x) − g(x) ⇒ d(x) | 3 (3x² − 5x − 2)⇒ d(x) | 3(x − 2)(3x + 1)

∴ d(x) = x − 2，或d(x) = 3x + 1

(1)若d(x) = x − 2，則x − 2 | f (x) ⇒ f (2) = 0 ⇒ 8 + 4 − 8 + (a − 7) = 0 ⇒ a = 3 (2)若d(x) = 3x + 1，則 3x + 1 | f (x) ⇒ f (

3

−1) = 0

⇒ 7 0

3 4 9 1 27

1+ + + − =

− a ⇒

27

=151

a 非整數(不合) 故所求a之值為 3

5. 多項式f (x)滿足 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0，則f (x)的常數項為 。 答案： − 3

【詳解】

(1) f (x)的常數項為f (0)

(2)由 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0，令x = 0

∴ 8 f (0) − 0 − 2 f (0) + 18 = 0 ∴ f (0) = − 3

5. 不等式 1

2 2

4 2

2 2

− ≥

−

− +

x x

x

x 之解為 。

答案： 1

4 17 1− < ≤

x 或 2

4 17 1+ < ≤

x

【詳解】

2 1 2

4 2

2

2 ≥

−

−

− +

x x

x

x ⇒ 1 0

2 2

4 2

2 2

≥

− −

−

− +

x x

x x

⇒ 0

2 2

2 3 2

2

2 2

4 2

2 2 2

2

2 ≥

−

−

− +

=−

−

−

+ +

−

− +

x x

x x x

x

x x x

x

⇒ (x² − 3x + 2)(2x² − x − 2) ≤ 0 但 2x² − x − 2 ≠ 0

⇒ (x −1)(x − 2)(x − 4

1+ 17 )(x − 4

1− 17 ) ≤ 0

但x ≠ 4 1± 17

⇒ 1

4 17 1− < ≤

x 或 2

4 17 1+ < ≤

x

6. 已知方程式x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60 = 0 有一根 1 + 3i，則其餘各根為 。 答案： 1 − 3i，− 2，3

【詳解】

方程式x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60 = 0 為實係數方程式 已知一根為 1 + 3i，必有一根 1 − 3i

∴ x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60 必可被

[x − (1 + 3i)][x − (1 − 3i)] = x² − 2x +10 整除 1 − 3 + 6 + 2 − 60

2 − 2 − 12

− 10 + 10 + 60 2

− 10 1 − 1 − 6,+ 0 + 0

∴ x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60

= (x² − 2x + 10)(x² − x − 6) = (x² − 2x + 10)(x + 2)(x − 3) 故方程式有二實根 − 2，3

7. 不等式(x + 1)(x −1)(4 − x)³ ≥ 0 的解為 。 答案： x ≤ −1 或 1 ≤ x ≤ 4

【詳解】

(x + 1)(x −1)(4 − x)³ ≥ 0

⇔ (x + 1)(x −1)[− (x − 4)]³ ≥ 0

⇔ − (x + 1)(x −1)(x − 4)³ ≥ 0

⇔ (x + 1)(x −1)(x − 4)³ ≤ 0

∵ (x − 4)² ≥ 0

∴ (x + 1)(x −1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ x ≤ − 1 或 1 ≤ x ≤ 4

8. 設f (x)為二次函數且不等式f (x) > 0 的解為 − 2 < x < 4，則f (2x) < 0 的解為 。 答案： x > 2 或 x < −1

【詳解】

− 2 < x < 4 ⇔ (x + 2)(x − 4) < 0 令 f (x) = (x + 2)(x − 4) 且 a a< 0

∴ f (2x) = (2x + 2) (2x − 4) < 0 = 4 (x + 1) (x − 2) < 0

⇔ (x + 1) (x − 2) > 0 ⇔ x > 2 或 x < −1 a

a

9. 設集合A = {x | x³ − 2x² −11x + 12 > 0}，A ∪ B = {x | x > − 3}，

A ∩ B = {x | 0 < x < 1}，則B = 。

答案： {x | 0 < x ≤ 4}

【詳解】

∵ x³ − 2x² −11x + 12 = (x −1)(x + 3)(x − 4) ∴ A = {x | x > 4 或 − 3 < x < 1}

利用聯集與交集的定義，知B = {x | 0 < x ≤ 4}

10. 下列拋物線

Γ

1x + 1，

Γ

4x − 2，

Γ

Γ

Γ

Γ

【詳解】

y = ax² + bx + c，| a | 愈大，開口愈小 由於¹

4<

2

1< | − 3 | < | − 5 |，

故

Γ

Γ

11. 設^x 32 =^y 2^3y−6 且3^15y+3x =81^xy，求 ， 的值為x y 。 答案： x=5，y=3

【詳解】

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

+

− xy x y

y y

x

81 3

2 32

3 15

6 3

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

+

−

xy x y

y y x

4 3 15

6 5 3

3 3

2

2 ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= −

xy x y

y y x

4 3 15

6 3

5 　

d × 2 − c得

⇒ ⎩⎨⎧

=

−

−

=

−

−

0 15 3 4

0 5 6 3

y x xy

y x

xy ……c

……d 0 25

5xy− y= ⇒ x=5代入c得y=3

∴ x=5，y=3

12. 方程式 2^x + 8．2^−x = 6 之解為 。 答案： x = 1 或 x = 2

【詳解】

令t 2^x t 8 ¹ 6 t² 6t 8 0 (t 2)(t 4)

= ⇒ + ⋅ = ⇒ − + = ⇒ −t − = 0

t=2, 4⇒2^x =2, 4 ∴ =x 1, 2

13. 假設某項實驗中，細菌數 1 日後增加 1 倍，若 10 日後細菌數為N，則k日後細菌數為 8 N， 則k = 。

答案： 7 10

9 2

8 4

7 8

N N

N

N

14. 若a > 0 且a^2x = 2，則 _x^x _x^x a a

a a

−

−

+ + ³

3

之值 = 。 答案： 2

3

【詳解】

原式 = ^x _{x x}^x a a

a a

−

−

+

+ ³

3 ( )

) (

= ^{x x x} _x ^x_x ^{x x}

a a

a a a a a a

−

−

−

−

+

+

−

+ )[( ) ( ) ]

( ² ． ²

= (a^x)² − a^x．a^−x + (a^−x)²

= 2 − 1 + 2 1=

2 3

15. 解不等式

(1)不等式(0.3)^{x2− x2 −1} > 0.09 之解為 。 (2)不等式 27^x − 4．3^{2x −1} + 3^x−1 < 0 之解為 。 答案： (1) −1 < x < 3 (2) −1 < x < 0

(1)

(2) ，令

2 2 1 2 2

(0.3)^{x − −x} >(0.3) ⇒x −2x− <1 2 (∵0.3 1 )<

2 2 3 0 ( 3)( 1) 0 1

x − x− < ⇒ x− x+ < ⇒ − < < 3x

2 1 1

27^x− ⋅4 3 ^x− +3^x− <0 t=3^x

3 2 1 1 2

(3 ) 4 (3 ) 3 0 (3 4 1) 0 (3 1)( 1)

3 3

x x x

t t t t t t

− ⋅ ⋅ + ⋅ < ⇒ − + < ⇒ − − < 0

0 ¹ 1 ¹ 3 1 1

3 3

t> ⇒ < < ⇒ <t x< ⇒ − < < 0x

16. 若方程式 4^x − 3．2^x+2 + 8 = 0 之兩根為

α

β

α

β

【詳解】

(2²)^x − 3．2²．2^x + 8 = 0⇒ (2^x)² − 12．2^x + 8 = 0 令t = 2^x，則t² − 12t + 8 = 0 兩根為 2^α，2^β

由根與係數關係得 2^α+β= 2^α．2^β= 8 = 2³

∴

α

β

17. 若 −1 ≤ x ≤ 0，f (x) = 2^{x + 2} − 3．4^x −1，當x = x0時，f (x)有最小值y₀，則(x₀，y₀) =

。 答案： (0，0)

【詳解】

令t = 2^x

∵ −1≤x≤0 ⇒ 2⁻¹≤2^x≤2⁰ ⇒ 1 2 1 ≤ t≤

f (x) = 4t − 3t² − 1 = − 3(t − 3 2)² +

3

4−1= −3(t − 3 2)² +

3 1

∴ 當t = 1，即x = 0 時，f (x)有最小值= f (0) = 0