臺灣警察專科學校專科警員班第 27 期正期學生組新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者倒扣該題分數四分之一。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 已知 a≠ －3，平面上二直線 L1：2x＋(a＋3)y＝7，L2：(a＋3)x＋4(a＋1)y＝5，若當 L1與L2垂直時，a＝？
(A)－1 (B)－ 1
2 (C)－2 (D)－ 2 。3 2. 數列＜an＞滿足a1＝2，an＋1＝－ 1
2 an （n為自然數），求
1 k k
a
∞
∑
= ＝？(A)4
3 (B) 4
−3 (C) 4 (D)−4 。 3. 設 n 為自然數，且 1＋2＋4＋8＋…＋2n＝2047，則 n＝？
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 。
4. 利用公式 1＋23＋…＋n3＝（n(n＋1)
2 ）2，可計算出113＋123＋…＋203之值為：
(A) 41075 (B) 41095 (C) 41115 (D) 41135 。 5. 設 A(－4 , －3)，B(6 , 7)，點 P 在線段 AB 上且 AP ： PB ＝3：2，則點 P 的坐標為：
(A) (2 , 3) (B) (11 5 ,
14
5 ) (C) (12 5 ,
13
5 ) (D) ( 7 3 ,
10
3 ) 。 6. 空間中，A(3 , －1 , 2)、B(－3 , 2 , 5)， AB 在 yz 平面的投影長為：
(A) 3 2 (B) 3 5 (C) 3 (D) 3 3 。
7. 假設坐標空間中三相異平面 E1、E2、E3皆通過(－1 , 2 , 0)與(3 , 0 , 2)兩點，試問以下哪一點也同時在此三 平面上？
(A) (2 , 2 , 2) (B) (1 , 1 , 1) (C) (4 , －2 , 2) (D) (－2 , 4 , 0) 。 8. 下列哪一點在直線 x－1
2 ＝
y－2 3 ＝
z－3 4 上？
(A) (2 , 3 , 4) (B) (－1 , －2 , －3) (C) (3 , 2 , 1) (D) (3 , 5 , 7) 。 9. 自點(2 , 5)到圓 x2＋y2＋5x＋8y＋2＝0 之一切線段長為：
(A) 81 (B) 9 (C) 81
2 (D) 9 2 。 10. 如下圖，△ABC中， AD⊥ BC ，已知 AB ＝20，sin B＝ 3
5 ，cot C＝34，則AC ＝？
A
B D C
(A) 15 (B) 17 (C) 26 (D) 28 。
11. 設 a＜0，b＜0，b2－4ac＞0，則拋物線 y＝ax2＋bx＋c 之頂點恆在第幾象限？
(A)一 (B)二 (C)三 (D)四 。 12. 甲、乙、丙、…等十人圍一圓桌而坐，則甲、乙、丙三人相鄰而坐之機率為：
(A) 1
9 (B) 1
10 (C) 1
11 (D) 1
12 。
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13. 設 f (x)為二次函數，且不等式 f (x) > 0 之解為–3 < x < 6，則 f (3x) < 0 之解為：
(A) –1 < x < 2 (B) x < –1 或 x > 2 (C) x < –1 或 x > 4 (D) – 4 < x < 8 。 14. 能使得 logx(2x2 + 3x – 2)有意義的實數 x 之範圍為：
(A) x >
2
1，但x 1 ≠ (B) 0 < x < 1 (C) –2 < x <
2
1 (D) x > 0，但 x≠1 。
15. 使矩陣 2
cos sin
12 12
sin cos
12 12
n
I
π π
π π
⎡ − ⎤
⎢ ⎥
⎢ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎥ 的最小自然數 為何？ n
(A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 30 。
16. 座標平面上直線 L：y＝3mx＋(m＋2)，則直線 L 恆過哪一定點？
(A) (0 ,－2 ) (B) (0 , 2) (C) ( 1
3 , 2) (D) (－ 1
3 , 2) 。 17. 若 ∑
k＝0
4 (ak＋b)＝30， ∑
k＝2
5 (ak＋b)＝54，試求a＋b＝？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 。
18. 下列敘述何者正確？
(A) 2 3 ＋
22
32 ＋…＋
2n
3n ＋…＞2 (B)
2 3 ＋
2
32 ＋…＋
2
3n ＋…＜1 (C) 3
4 ＋ 3
42 ＋…＋
3
4n ＋…＝1 (D)
7 10 ＋
7
102 ＋…＋
7
10n ＋…＞
8
10 。 19. 設 k 為整數，f(x)＝2x2－3x＋1，g(x)＝x4－2x2－3x＋k，若 f(x)與 g(x)有一次公因式，則 k 為：
(A) 2 (B) －2 (C) 3 (D) 4 。
20. 空間中四點 O(0 , 0 , 0)、A(2 , 0 , －1)、B(3 , 4 , 0)、C(4 , k , 1)皆在同一平面上，則 k＝？
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 。
21. 坐標平面上的圓 C：(x＋7)2＋( y－8)2＝9 上有多少個點與原點的距離正好是整數值？
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 。
22. 設log64 1
2 ＝M，log9 N＝－1
2 ，則 6M＋9N＝？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 。
23. 在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每兩個小時可以成長為兩 倍，細菌B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾小時 後細菌B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10？
(A) 24 小時 (B) 48 小時 (C) 69 小時 (D) 113 小時 。 24. 下圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且OD ＝8，問：直角三角形 OAB 的高 AB 為何？
(A) 1 (B) 6 － 2 (C) 7 －1 (D) 3 。
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25. 求 log2 sin 30°＋log2 cos 30°＋log2 tan 30°＋log2 cot 30°＋log2 sec 30°＋log2 csc 30°＝？
(A)－2 (B)－1 (C) 0 (D) 1 。
26. 在△ABC 中， AB ＝6， AC ＝8， BC ＝6，則 BC 上的中線 AM 之長為：
(A) 41 (B) 2 41 (C) 41
2 (D) 42 。 27. 橢圓Γ： (x－1)2＋( y－2)2 ＋ (x＋2)2＋( y－6)2 ＝13，短軸長為：
(A) 12 (B) 11 (C) 14 (D) 13 。
28. 設與 x2 9 ＋
y2
4 ＝1 共焦點，且過點P(3 , 2)的橢圓方程式為 x2 p ＋
y2
q ＝1，求( p , q)＝？
(A) (9 , 4) (B) (4 , 9) (C) (10 , 15) (D) (15 , 10) 。
29. 某次考試共有 10 題“5 選 1＂的單一選擇題，小華完全不知道要考試，所以沒準備，答案準備全用猜的，
請問他全猜對的機率是多少？
(A) 1
10! (B) 1
210 (C)
1
P105 (D) 1 510 。
30. 袋中有 8 個白球，x個紅球，已知從袋中取 2 個白球之機率為 14
39 ，試問x為何？
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 。
貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分共計四十分。
（二）每題五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣。五個選項全 部答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 設P(x , y)為坐標平面上一點，且滿足 (x－2)2＋( y－4)2 ＋ (x＋3)2＋( y＋8)2 ＝13，則P點的位置可能在 哪裡？
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)原點 。
32. 在 xy 平面上，設 S：x2＋y2＋2x－4y＋k＝0，判斷下列敘述何者正確？
(A)若 k＝0，則 S 為一個圓 (B)若 k＝5，則 S 為一點 (C)若 k＝– 5，則 S 為虛圓 (D)若圓 S 切於 x 軸，則 k＝1 (E)若 S 為一圓，則圓心為(– 1 , 2) 。
33. 下列敘述何者正確？
(A) sin(180°＋θ)＝sinθ (B) cos(180°－θ)＝－cosθ (C) tan(90°＋θ)＝－cotθ (D) sec(270°＋θ)＝cscθ (E) csc(90°＋θ)＝secθ 。
34. 下列敘述何者正確？
(A) 911 為質數 (B) 1 為質數 (C) －5 為質數 (D) 333333 之質因數有 5 個 (E)若 n!＝n‧(n－1)‧…‧3‧2‧1 則 10！之質因數有 4 個 。
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35. 設 ω＝cos2 sin2 3π i 3π
+ ，則下列何者正確？
(A) ω100＝ω (B) 1＋ω＋ω2＝0
(C) (1＋ω) (1＋ω2)＝1 (D) (2－ω) (2－ω2) (3－ω) (3－ω2)＝91 (E) ω333＋ω334＋…＋ω566＝0 。
36. 下列何者正確？
(A)0.9＜1 (B)循環小數均為有理數
(C)0.16＝ 1
6 (D)0.16＞0.16 (E)2.315＝2291
990 。
37. 下列五個立方體中，何者可以得出 AB․CD＝0？
圖一 圖二 圖三 圖四 圖五
(A)圖一 (B)圖二 (C)圖三 (D)圖四 (E)圖五 。 38. P(－3 , 1 , 0)，Q(4 , 15 , －7)為直線 L：
1 +3 x =
2
−1 y =
−1
z 上兩相異點，且L 與平面 E：3x – y + 2z – 4＝0 之 交點的坐標為R(a , b , c)，則：
(A)d P E( , ) 14= (B)d Q E( , ) 21= (C)PR：QR＝2：3 (D)d P E( , )= 14 (E)d P E( , )= 21 。
39. 在 xy 平面上，下列參數式何者的圖形為一個圓？
(A) (
⎩⎨
⎧
−
−
= +
=
θ θ sin 2 2
cos 2 1 y
x θ ∈R) (B) (
⎩⎨
⎧
= +
=
θ θ cos 2
cos 1 y
x θ∈R)
(C) (0≤
⎩⎨
⎧
=
= θ θ sin cos y
x θ <π ) (D) (
⎩⎨
⎧
+
=
−
=
θ θ
θ θ
sin 2 cos
sin cos
2 y
x θ ≥0)
(E) (0
⎩⎨
⎧
+
=
−
=
θ θ 2 sin 1
2 cos 2 y
x ≤θ ≤π) 。
40. 設θ為銳角，則下列敘述何者正確？
(A) tanθ ＝ θ θ cos
sin (B) sinθ cosθ ＝1 (C) tan2θ －sec2θ＝1 (D) tanθ ．cscθ＝secθ (E) cotθ ＝cosθ ．cscθ 。
