臺灣警察專科學校專科警員班第 27 期正期學生組新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。
（二）未作答者不給分，答錯者倒扣該題分數四分之一。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
1. 甲、乙兩人各擲一個骰子，兩人擲出點數相同的機率為：
(A)2 1 (B)
4 1 (C)
5
1 (D) 6 1 。
2. 某校橋藝社由甲、乙、丙三班同學組成，各佔 40%，30%，30%。社員中甲班人數的 4
1，乙班人數的 5 1，
丙班人數的 3
1也是籃球校隊的隊員。某次橋藝社推選新社長，每人當選的機會均等，則籃球隊員當選的機
率為：
(A)50 11 (B)
50 12 (C)
50 13 (D)
50
14 。
3. 如下圖所示之四邊形，其四邊之直線方程式各為 x + y = 6，x – y = 3，3x + y = 3，x – 2y = –8，則四邊形 區域 （含邊界 ） 可用下列哪一組不等式表示？
(A) x + y ≤ 6，x – y ≤ 3，3x + y ≥ 3，x – 2y ≥ –8 (B) x + y ≤ 6，x – y ≥ 3，3x + y ≥ 3，x – 2y ≥ –8 (C) x + y ≤ 6，x – y ≤ 3，3x + y ≤ 3，x – 2y ≥ –8 (D) x + y ≤ 6，x – y ≤ 3，3x + y ≥ 3，x – 2y ≤ –8 。
4. 如下圖，平面上直線 L1、L2、L3、L4、L5其對應的斜率分別為m1、m2、m3、m4、m5則：
(A) m4＜m5＜m3＜m1＜m2 (B) m5＜m4＜m3＜m2＜m1 (C) m2＜m1＜m3＜m4＜m5 (D) m4＜m5＜m3＜m2＜m1 。
5. 設多項式x f x2 ( )除以(x – 3)的餘式為 6，則 f (x)除以(x – 3)的餘式為：
(A)3 2 (B)
3
− (C) 2 (D) 18 。 2
6. 設 a ＝(3 , 2)， b ＝(－1 , 5)， c ＝(1 , 4)，則( a ＋3 b )．( b － c )之值為：
(A) 17 (B)－17 (C) 6 (D)－6 。
7. a ＝(6 , －2 , －2)， b ＝(2 , 4 , 2)，求 a 與 b 之夾角為：
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 。
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8. 若方程式 x2＋y2＋z2＋(k＋1)x＋(k＋3)y＝k－5 表一半徑是 5 的球面，則 k 之值可能為：
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 。
9. 通過球 x2＋y2＋z2＝16 上一點(3 , 2 , 5 )的切平面方程式設為 ax＋by＋cz＝16，則 b＝？
(A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) －2 。
10. 直角△ABC 中，∠BAC＝90°，O 為△ABC 的外心，∠BAO＝θ，若 AB ＝5， AC ＝12，則 sinθ 等於：
(A)6 5 (B)
12 5 (C)
13 6 (D)
13 12 。
11. △ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：1：2，則 BC ： AC ： AB ＝？
(A) 1：2：3 (B) 3：4：5 (C) 2：1： 3 (D) 2 ：1： 3 。
12. 在坐標平面上滿足 log(x2＋y2－xy＋1)＋log 6＝log(5x2＋2y2－6xy＋10)的所有點(x , y)形成什麼圖形？
(A)二相交直線 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 。
13. 袋中有 12 個球，其中 3 個為白球，每球被取到之機會相等，今從袋中任取 3 球，則取中白球個數之期望 值為：
(A)4 1 (B)
3 1 (C)
2 1 (D)
4 3 。
14. 某藥物對一般病人有過敏反應之機率為 0.1。今有三位病人接受此藥物之治療，若此三病人是否有過敏反 應，相互不影響，則至少有一位病人有過敏反應之機率為：
(A) 0.317 (B) 0.32 (C) 0.235 (D) 0.271 。 15. 滿足不等式 log
2
1(2x2 – 5x + 2)< –1 的 x 之範圍為：
(A) x>0 或 x< – 2
5 (B) 0<x<
2
5 (C) x<0 或 x>
2
5 (D) – 2
5<x<0 。
16. 設 k 為實數，若二次方程式 x2＋4x＋ ＝0 有相異兩實根，則 k 之範圍為：
(A) 0＜k＜2 (B) | k |＜2 (C) | k |＞2 (D)－2＜k＜4 。 k2
17. 設 1－i 為 x2＋ax＋3－i＝0 之一根，則 a＝？
(A)－3 (B)－2 (C)－1－i (D) 2 。 18. 下列無窮級數何者收斂？
(A) ∑
n＝1
∞ (－1.001)n (B) ∑
n＝1
∞ ( x＋2
x＋1 )n，x＞0 (C) ∑
n＝1
∞ ( π
4 )n (D) ∑
n＝1
∞ ( n＋2
n＋1 )n 。 19. 84－9× 83＋10 × 82－15 × 8－5=？
(A)－3 (B)－1 (C) 1 (D) 3 。
20. △ABC的三邊 BC 、CA 、 AB 上分別取點D、E、F使 DC ＝ BD3 ，EC ＝ AE ， FB ＝ AF2 ，又點G為△DEF 的重心，設AG＝x AB ＋yAC，則9x－y＝？
(A) 3 (B) 2
3 (C) 0 (D)－
1
3 。
21. 若A(4 , 9)，B(3 , 1)，C(7 , 3)，則△ABC之重心為：
(A) ( 7
2 , 5) (B) ( 14
3 , 13
3 ) (C) ( 11
2 , － 1
2 ) (D) ( 1
3 , 0) 。
22. 坐標平面上的圓 C：(x－3)2＋(y－6)2＝9 上有多少個點與原點的距離正好是整數值？
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 。
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23. 化簡(log2 9＋log4 1
3 ) (log3 2＋log9 1
8 )＝？
(A)－ 3
4 (B)－
5
2 (C)－
2
3 (D)－
5
4 。
24. 設∠A為銳角，若 2 tan2A＋tan A－6＝0，則 2 sin A＋3 cos A
3 sin A＋2 cos A ＝？
(A) 7
8 (B) 8
7 (C) 12
13 (D) 13
12 。
25. 某人測量山峰的仰角 30°，他向著山前進 100 公尺後，再測得山峰的仰角 45°，則山高為多少公尺？
(A) 錯誤! 尚未定義書籤。50 3 (B) 100 3 (C) 50 3 ＋50 (D) 100 3 ＋100 。 26. 橢圓 x2
25 ＋ y2
9 ＝1 與 x2
9 ＋ y2
25 ＝1 有多少個交點？
(A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個 。
27. 若一數列滿足 a1＝1，an＋1＝2an＋1，n ≥ 1，試求 an＝？
(A) 2n＋1 (B) 2n－1 (C) 2n＋1 (D) 2n－1 。
28. 某次考試共有 10 題“4 選 1”的選擇題，小華完全沒準備，答案全用猜的，請問他全猜對的機率是多少？
(A) 1
10! (B) 1
210 (C) 1
410 (D) 1
P104 。
29. 投擲一公正骰子三次，則三次點數和為 12 之機率為何？
(A) 5
24 (B) 91
216 (C) 1
8 (D) 25
216 。
30. 矩陣 A= 可逆，則實數 值不可能為下列何者？
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 。
1 2
4 3 k
k
⎡ − ⎤
⎢ −
⎣ ⎦⎥ k
貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。
（二）每題五個選項各自獨立，至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣。五個選項全部答 對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。
（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。
31. 一等差數列第 5 項為－4，第 16 項為 40，則下列哪些是正確的？
(A)首項為－20 (B)公差為 4 (C)第 20 項為 60 (D)前 10 項和為－20 (E)第 6 項開始為正數 。 32. 有一直線L：3x＋4y＝12，則下列敘述何者為真？
(A) L之斜率－ 3
4 (B) L之法向量(3 , 4) (C) L之方向向量(－4 , 3) (D) L之方向向量( 4
5 , － 3
5 ) (E) L之參數式：⎩⎨
⎧ x＝4t
y＝3－3t，t為實數 。 33. 在空間坐標系中，下列哪些選項是正確的？
(A) 3x－2z＝0 的圖形為一直線 (B)
⎩⎨
⎧x＝2
z＝3的圖形為一直線 (C) x
2 ＝ y 5 ＝
z 3 與⎩⎨
⎧3x－2z＝0
5x－2y＝0的圖形完全相同 (D) x
2 ＝ y 5 ＝
z
3 的圖形與x－y＋z＋3＝0 的圖形平行 (E) x
2 ＝ y
5 ＝ z
3 的圖形與 x－1
1 ＝ y －1 ＝
z＋1
5 的圖形垂直 。
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34. 下列哪些可以為－93°的同界角？
(A) 93° (B) 267° (C) 357° (D)－453° (E) 467° 。
35. 如下圖，有向角 θ 終邊上一點 P (－8 , 15)，則下列何者正確？
(A) sinθ＝ 15
17 (B) tanθ＝－
15
8 (C) cos(－θ)＝－
8
17 (D) sin(
π
2 ＋θ)＝－
8 17 (E) sec(－630°＋θ)＝－ 17
15 。 36. 下列敘述何者為真？
(A) y軸斜率＝0 (B) x軸斜率<–0 (C) 若A(3 , 1)，B(2 ,－1) m⇒ AB＝ 3－2
1－(－1 ) ＝ 1 2 (D)若L：y－2＝m(x－2)，則斜率為m (E) 若a，b，c為正實數，直線ax＋by＝c斜率為－ a
b 。
37. 實力相當的甲、乙二人作競賽，約定先勝 3 局者可得獎金 4800 元，已知第一局甲獲勝，則下列敘述哪些 是正確的？
(A) 甲再連勝 2 局的機率為 1 4 (B) 乙先勝 3 局的機率為 1
8
(C) 甲先勝 3 局的機率比乙先勝 3 局的機率大
(D) 若甲勝第一局後，比賽因故中止，則甲應分得獎金 3300 元才公平 (E) 若甲勝第一局後，比賽因故中止，則乙應分得獎金 600 元才公平 。 38. 設二平面E1：x＋ky＋z－2＝0 和E2：x＋ 2 y－z＋1＝0 之夾角為 π
3 ，求k＝？
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D)－1 (E)－ 2 。 39. 下列何者正確？
(A) log 2 1＝0 (B) log0.01100＝－2 (C) log93 3 ＝ 3
4 (D) log832＝4 (E)32log34＝4 。 40. 若一橢圓的兩焦點在(1 , 3)、(1 , －5)，且正焦弦長20
3 ，下列何者為真？
(A)中心(1 , －1) (B)長軸長為 12 (C)短軸長為 20 (D)對稱軸y＝－1 (E)方程式：(x－1)2
36 ＋
(y＋1)2
20 ＝1 。
