E80201
再前一節有提過，一元二次方程式為 ax ＋2 bx＋ c ＝0 有以下幾種簡化的情況。
若 c ＝0，則 x ( ax ＋b)＝0，
若b＝0，則 x ＝ ± a
- ，其中－ c a
c ＞0，
若 c ≠0，b≠0，則 ax ＋2 bx＋ c ＝0，
在範例 6 x －11 x ＋4＝0 中，可以分解成(2 x －1)(3 x －4)＝0，此一元二次方 2 程式是可以分解為兩個一元一次式相乘。不過有些一元二次方程式無法分解為
兩個一元一次式相乘。
如果考慮 x －4 x －1＝0，此一元二次方程式無法直接分解為兩個一元一次式相乘。 2 因此，我們在這裡必須利用配方法來解此一元二次方程式。
配方法：
※配方法的步驟：
1.將 x 2 的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊。
2.等號的兩邊各加上 x 項係數一半的平方。
3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡。
4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解。
【範例】：利用配方法解 ax ＋2 bx＋ c ＝0，其中 a b c 均為常數，且 a ＞0。
解 ：1.將 x 2 的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：
ax 2 ＋bx＋c＝0 Þ x 2 ＋ b a x＋ c
a ＝0 Þ x 2 ＋ b
a x＝－ c a 2.等號的兩邊各加上 x 項係數一半的平方：
Þ x 2 ＋ b a x＋
2
2 b
a æ ö ç ÷ è ø
＝－ c a ＋
2
2 b
a æ ö ç ÷ è ø
3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：
Þ
2
2 x b
a
æ ö
ç + ÷
è ø
＝－ c a ＋
2
4 2
b a
Þ
b 2
æx ö
+ ＝
4 ac b 2
- +
E80201
4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：
Þ 2 x b
+ a ＝
2 2
4 4 b ac
a
± -
Þ 2 x b
+ a ＝
2 4
2 b ac
a
± -
Þ x ＝ 2
b - a
2 4
2 b ac
a
± -
Þ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± - 所以一元二次方程式 ax ＋2 bx＋ c ＝0 的解為：
x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
，其中 a b c 均為常數，且 a ＞0。
【範例】：利用配方法解 x 2 ＋8x＋7＝0。
解 ： 1.將 x 2 的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：
x 2 ＋8 x ＋7＝0 Þ x 2 ＋8 x ＝－7 2.等號的兩邊各加上 x 項係數一半的平方：
x 2 ＋8 x ＝－7 Þ x 2 ＋8 x ＋(
2
8 ) 2 ＝－7＋(
2 8 ) 2 3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：
x 2 ＋8 x ＋(4) 2 ＝－7＋(4) 2 Þ ( x ＋4) 2 ＝9 4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：
( x ＋4) 2 ＝9 Þ x ＋4＝ ± 3
Þ x ＝－7 或－1 答： x ＝－7 或 x ＝－1
【範例】：利用配方法解 3 x ＋12 x －6＝0。 2
解 ： 1.將 x 2 的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：
3 x ＋12 x －6＝0 Þ x 2 2 ＋4 x －2＝0 Þ x 2 ＋4 x ＝2 2.等號的兩邊各加上 x 項係數一半的平方：
x 2 ＋4 x ＝2 Þ x 2 ＋4 x ＋(
2
4 ) 2 ＝2＋(
2 4 ) 2 3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：
x 2 ＋4 x ＋(2) 2 ＝2＋(2) 2 Þ ( x ＋2) 2 ＝6 4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：
( x ＋2) 2 ＝6 Þ x ＋2＝ ± 6
Þ x ＝－2 ± 6 答： x ＝－2＋ 6 或－2－ 6 。
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※注意：找k使得 x ＋2 bx＋k為完全平方，是在配方法中最重要的一個動作。
【範例】：有一多項式為 x 2 ＋4 x ＋ c ，求 c ，使得此多項式為完全平方式。
解 ：∵ x ＋4 x ＝( 2 x ＋4 x ＋4)－4 2
＝( x ＋2) 2 －4
∴ x ＋4 x ＋4＝( x ＋2) 2 2 ，則 c ＝4。
【範例】：有一多項式為 2 x ＋4 x ＋2 d ，求d ，使得此多項式為完全平方式。
解 ：∵ 2 x ＋4 x ＝2( 2 x ＋2 x ) 2
＝2( x ＋2 x ＋1)－2×1 2
＝2( x ＋1) 2 －2
∴ 2 x ＋4 x ＋2＝2( x ＋1) 2 2 ，因此 d ＝2。
【範例】：有一多項式為 3 x －2 x ＋ c ，求 c ，使得此多項式為完全平方式。 2 解 ：∵ 3 x －2 x ＝3( 2 x － 2
3 2 x )
＝3[ x － 2 3 2 x ＋(
3
1 )] 2 －3×
9 1
＝3( x － 3 1 ) 2 －
3 1
∴3 x －2 x ＋ 2 3
1 ＝3( x － 3
1 ) 2 ，因此 c ＝ 3 1 。
【範例】：有一多項式為 8 x － x ＋ a ，求 a ，使得此多項式為完全平方式。 2 解 ：∵ 8 x － x ＝8( 2 x － 2
8 1 x )
＝8[ x － 2 8 1 x ＋(
16
1 ) 2 ]－8×
256 1
＝8( x － 16
1 ) 2 － 32
1
∴ 8 x － x ＋ 2 32
1 ＝8( x － 16
1 ) 2 ，因此 a ＝ 32
1 。
【範例】：有一多項式為 2 3 2
x －4 x ＋b，求b，使得此多項式為完全平方式。
解 ：∵
2 3 2
x －4 x ＝ 2
3 ( x － 2 3 8 x )
＝ 2
3 [ x － 2 3 8 x ＋(
3
4 ) 2 ]－
2 3 ×
9 16
＝ 2 3 ( x －
3 4 ) 2 －
3 8
∴ 2 3 2
x －4 x ＋ 3 8 ＝
2 3 ( x －
3
4 ) 2 ，因此b＝ 3 8 。
E80201
【範例】：有一多項式為 4 1 2
x － 2
1 x ＋ a ，求 a ，使得此多項式為完全平方式。
解 ：∵
4 1 2
x － 2 1 x ＝
4
1 ( x －2 x ) 2
＝ 4
1 ( x －2 x ＋1)－ 2 4 1 ×1
＝ 4
1 ( x －1) 2 － 4 1
∴ 4 1 2
x － 2 1 x ＋
4 1 ＝
4
1 ( x －1) 2 ，因此 a ＝ 4 1 。
【範例】：有一多項式為 7 8 2
x ＋ 5
1 x ＋ a ，求 a ，使得此多項式為完全平方式。
解 ：∵
7 8 2
x ＋ 5 1 x ＝
7
8 ( x ＋ 2 40
7 x )
＝ 7
8 [ x ＋ 2 40
7 x ＋(
80
7 ) 2 ]－
7 8 ×
6400 49
＝ 7 8 ( x ＋
80 7 ) 2 －
800 7
∴ 7 8 2
x ＋ 5 1 x ＋
800 7 ＝
7 8 ( x ＋
80
7 ) 2 ，因此 a ＝ 800
7 。
【範例】：利用配方法解 x 2 －4 x －1＝0。
解 ： x 2 －4 x －1＝0 Þ x 2 －4 x ＝1
Þ x 2 －4 x ＋(－2) 2 ＝1＋(－2) 2 Þ ( x －2) 2 ＝1＋4＝5
Þ x －2＝ ± 5 Þ x ＝2 ± 5 答： x ＝2＋ 5 或 x ＝2－ 5
【範例】：利用配方法解 2 x －12 x ＋18＝0。 2 解 ： 2 x －12 x ＋18＝0 Þ 2 x －6 x ＋9＝0 2
Þ x －6 x ＝－9 2
Þ x －6 x ＋(－3) 2 2 ＝－9＋(－3) 2 Þ ( x －3) 2 ＝－9＋9＝0
Þ x －3＝0 Þ x ＝3 (重根) 答： x ＝3 (重根)
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【例題一】 【練習一】
完成下列的表格。
(1) x 2 －6x＋_____＝(x－_____) 2 (2) x 2 ＋5x＋_____＝(x＋_____) 2 (3) x 2 － 2
3 x＋_____＝(x－_____) 2
完成下列的表格。
(1) x 2 ＋3x＋_____＝(x＋_____) 2 (2) x 2 －2x＋_____＝(x＋_____) 2 (3) x 2 ＋ 4
5 x＋_____＝(x＋_____) 2
【例題二】 【練習二】
利用配方法解下列各方程式的解。
(1) x 2 ＋10x－30＝0。
(2) 2x 2 －6x－3＝0。
(3) 2x 2 ＋4x－2＝0。
解：
利用配方法解下列各方程式的解。
(1) －x 2 ＋6x－3＝0。
(2) x 2 －2x－1＝0。
(3) x 2 －34x＋288＝0。
解：
E80201
【例題三】 【練習三】
利用配方法解下列各方程式的解。
(1) x 2 －6x＋4＝0。
(2) 2x 2 －3x－1＝0。
解：
利用配方法解下列各方程式的解。
(1) x 2 ＋4x－12＝0。
(2) 4x 2 ＋27x＋18＝0。
解：
【例題四】 【練習四】
4x 2 －(2n－1)x＋9 為完全平方式，求 n 之值。
解：
設 2x 2 －5x＋1 加上一常數 k 後成為完全平方 式，求 k 之值。
解：
E80201
【例題五】 【練習五】
設(x－m)( x－1)＋1 為完全平方式，求 m 之 值。
解：
設 x 2 －2mx＋(2m＋3)為完全平方式，求 m 之 值。
解：
【例題六】 【練習六】
利用配方法將 4x 2 －8x＋15 化為 4(x＋p) 2 ＋q 的形式，求 p、q 之值。
解：
設 4x 2 －4x－17＝4(x＋p) 2 ＋q，求 p、q 之值。
解：
【例題七】 【練習七】
利用配方法將 3x 2 －2x－21＝0 化成 (x＋p) 2 ＝a，求 p＋a 之值。
解：
將(x－1) 2 ＝(2x－1) 2 －3 化成 (x＋p) 2 ＝a，求 p＋a 之值。
解：
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一元二次方程式： ax ＋2 bx＋ c ＝0 ( a 、b、 c 為實數， a ≠0) 的解法有三種。
1.因式分解法：適用於能因式分解的一元二次方程式，即根為有理數的情況。
2.配方法：適用於不能因式分解的一元二次方程式。
3.公式法：適用於不能因式分解的一元二次方程式。
之前已經學過因式分解法和配方法，把配方法寫的更完整即是公式法，現在就來 介紹公式法解一元二次方程式。
(1)公式解：
利用配方法導出一元二次方程式 ax 2 ＋b x＋c＝0，且 a＞0 的解為：
x＝ a
ac b
b 2
2 4 -
±
- 。
ax 2 ＋bx＋c＝0 Þ x 2 ＋ b a x＋ c
a ＝0 Þ x 2 ＋ b
a x＝－ c a
Þ x 2 ＋ b a x＋
2
2 b
a æ ö ç ÷ è ø
＝－ c a ＋
2
2 b
a æ ö ç ÷ è ø
Þ
2
2 x b
a
æ ö
ç + ÷
è ø ＝－ c
a ＋
2
4 2
b a
Þ
2
2 x b
a
æ ö
ç + ÷
è ø ＝
2 2
4 4 ac b
a - +
Þ 2 x b
+ a ＝
2 2
4 4 b ac
a
± -
Þ 2 x b
+ a ＝
2 4
2 b ac
a
± -
Þ x ＝ 2
b - a
2 4
2 b ac
a
± -
Þ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
E80201
1.若 b 2 －4ac＞0，則此方程式的兩根為
2 4
2
b b ac a - ± -
。
【範例】：用公式法解方程式： x －6 x －3＝0。 2
解 ：∵ b 2 －4ac＝(－6) 2 －4×1×(－3)＝36＋12＝48＞0
∴ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 1
) 3 ( 1 4 ) 6 ( 6 2
×
-
×
× - -
±
＝ 2 12 36 6 ± +
＝ 2 48 6 ±
＝ 2 3 4 6 ±
＝3 ± 2 3 答：此方程式的兩根為 3 ± 2 3 。
【範例】：用公式法解方程式：2 x ＋3 x －6＝0。 2 解 ：∵ b 2 －4ac＝3 2 －4×2×(－6)＝9＋48＝57＞0
∴ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 2
) 6 ( 2 4 3 3 2
×
-
×
× -
± -
＝ 4 48 9 3 ± + -
＝ 4 57 3 ±
- 答：此方程式的兩根為
4 57 3 ±
- 。
【範例】：用公式法解方程式： x 2 －2 x －15＝0。
解 ：∵ b 2 －4ac＝2 2 －4×1×(－15)＝4＋60＝64＞0
∴ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 1
) 15 ( 1 4 ) 2 ( ) 2
( 2
´
-
×
× - -
± - -
＝ 2 1 64 ) 2 (
´
± - -
＝ 2 8
2 ± ＝5 或－3 答：此方程式的兩根為 5 或－3。
E80201
【範例】：用公式法解方程式：－3 x －2 x ＋1＝0。 2
解 ：∵ b 2 －4ac＝(－2) 2 －4×(－3)×1＝4＋12＝16＞0
∴ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 ( 3 )
1 ) 3 ( 4 ) 2 ( ) 2
( 2
-
´
× -
× - -
± - -
＝ 6 16 2
-
±
＝ 6 4 2
-
± ＝ 3
2 或－1 答：此方程式的兩根為 3
2 或－1。
【範例】：用公式法解方程式： －2 x ＋3 x ＋5＝0。 2 解 ：∵ b 2 －4ac＝3 2 －4×(－2)×5＝9＋40＝49＞0
∴ x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 ( 2 ) 5 ) 2 ( 4 3
3 2
-
´
× -
× -
± -
＝ 4 49 3
-
± -
＝ 4 7 3 -
±
- ＝
2
5 或－1 答：此方程式的兩根為 2
5 或－1。
2.若 b 2 －4ac＝0，則 x＝
a b
2 0 +
- ＝
a b 2
- ，則此方程式的兩根為重根。
【範例】：解方程式：4 x －4 x ＋1＝0 2
解 ：b 2 －4ac＝(－8) 2 －4×1×16＝64－64＝0，則此方程式的兩根為重根。
x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 4 16 16 ) 4 (
´ -
± - -
＝ 8 0 4 ± ＝
2 1 。
∴ 此方程式的兩根為 2
1 (重根)。
E80201
【範例】：解方程式：x 2 －14 x ＋49＝0。
解 ：b 2 －4ac＝(－14) 2 －4×1×49＝196－196＝0，則此方程式的兩根為重根。
x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 1 0 ) 14 (
´
± - -
＝ 2 0 14 ±
＝7。
∴此方程式的兩根為 2
1 (重根)。
3.若 b 2 －4ac＜0，則此方程式無實數解。
【範例】： x 2 － x ＋3＝0
解 ： b 2 －4ac＝(－1) 2 －4×1×3＝1－12＝－11＜0，則此方程式無實數解。
讓我們用配方法檢驗看看：
x 2 － x ＋3＝0 Þ x 2 － x ＝－3 Þ x 2 － x ＋(
2
1 ) 2 ＝－3＋(
2 1 ) 2
Þ ( x － 2
1 ) 2 ＝－3＋
4
1 ＝－2 4 3
∵ ( x － 2
1 ) 2 的值一定為正數，
∴ 此方程式無實數解。
※注意：1. x ＋1＝0 Þ x ＝－1，
若限定 x ³ 0，則 x ＋1＝0 無實數解。
2. x ＋1＝0 Þ 2 x ＝－1， 2
若限定 x 為實數，則 x ＋1＝0 無實數解。 2
(2)判別式與根的性質：
一元二次方程式 ax 2 ＋bx＋c＝0，其公式解為 x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
。 若 b －4 ac ＞0，則此方程式有實數解，且此方程式有兩個相異實根。 2
若 b －4 ac ＝0，則此方程式有實數解，且此方程式有兩個相等實根(重根)。 2 若 b －4 ac ＜0，則此方程式無實數解(無實根)。 2
因此，設 a≠0，則方程式 ax 2 ＋bx＋c＝0 的判別式為 D＝b 2 －4ac。
E80201
1.若 D＝b 2 －4ac＞0，則此方程式有兩相異實根，也就是方程式的兩根不相等。
【範例】：解方程式：x 2 ＋10x－30＝0。
解 ：∵ 判別式D＝ b －4 ac ＝10 2 2 －4×1×(－30)＝100＋120＝220＞0
∴ 此方程式解為兩相異實根。
x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 1
120 100 )
10 (
´ +
± -
＝ 2 55 4 10 ± -
＝－5 ± 55
∴此方程式有兩相異實根， x ＝－5＋ 55 或－5－ 55 。
2.若 D＝b 2 －4ac＝0，則此方程式有兩相等實根，也就是方程式的兩根相等。
【範例】：解方程式：x 2 －4x＋4＝0。
解 ：∵ 判別式D＝ b －4 ac ＝(－4) 2 2 －4×1×4＝16－16＝0
∴ 此方程式解為兩相等實根(重根)。
x ＝
2 4
2
b b ac a - ± -
＝ 2 1 16 16 ) 4 (
´ -
± - -
＝ 2 0 4 ±
＝2
∴此方程式有兩相等實根， x ＝2(重根)。
3.若 D＝b 2 －4ac＜0，則原方程式無實數解(或無實根)。
【範例】：解方程式：x 2 ＋2 x ＋6＝0。
解 ：∵ 判別式D＝ b －4 ac ＝2 2 2 －4×1×6＝4－24＝－20＜0
∴ 此方程式無實數解。
x 2 ＋2 x ＋6＝0 Þ x 2 ＋2 x ＝－6
Þ x 2 ＋2 x ＋1＝－6＋1 Þ ( x ＋1) 2 ＝－5 (負不合)
∴此方程式無實根(無解)。
※注意：一個一元二次方程式中，通常有兩個解，但不一定有實數解，但是如果對解 有條件限制的時候，則方程式亦可能無解。
E80201
【範例】 ：方程式 x 2 ＋2＝0 是否有解？
解 ： x 2 ＋2＝0 Þ x 2 ＝－2 為無實數解，
∵ x 2 的值一定為正數，不能為負的。
∴ x 2 ＋2＝0 無實數解。
【範例】 ：方程式( x ＋2)( x ＋5)＝0 是否有解，其中 x ＞0？
解 ：∵ x ＞0，∴( x ＋2)( x ＋5)＞0，因此，此方程式無解。
E80201
【例題一】 【練習一】
利用公式解求下列各式：
(1) x 2 －2x－15＝0。
(2) 2x 2 －3x＋2＝0。
(3) －x 2 ＋x－3＝0。
(4) 3x 2 －5x＋1＝0。
解：
利用公式解求下列各式：
(1) 6x 2 －9x＋1＝0。
(2) 4x 2 －3x－8＝0。
(3) x 2 －x－5＝0。
(4) 4x 2 －x－1＝0。
解：
E80201
【例題二】 【練習二】
試判別下列各方程式的兩根何者為相異根、
相等根或無解：
(1) 5x 2 ＋3＝7x。
(2) (x＋3 )(x－5)＋18＝0。
(3) 3x 2 －12x＋12＝0。
(4) x－2－3( x－1) 2 ＝0。
解：
試判別下列各方程式的兩根何者為相異根、
相等根或無解：
(1) 2x 2 ＋1＝5x。
(2) (x＋1 )(x－6)－10＝0。
(3) －x 2 －x＋7＝0。
(4) 4x－1－2( x＋3) 2 ＝0。
解：
E80201
【例題三】 【練習三】
試判別下列各方程式的兩根何者為相異根、
相等根或無解：
(1) 21x 2 －3－2x＝0。
(2) x 2 ＋x－1＝0。
(3) x 2 －7x＋9＝0 (4) 2x 2 －3x＋5＝0。
解：
試判別下列各方程式的兩根何者為相異根、
相等根或無解：
(1) 5x 2 －6－3x＝0。
(2) x 2 ＋7x－2＝0。
(3) x 2 －4x＋4＝0 (4) －2x 2 ＋x＋5＝0。
解：
【例題四】 【練習四】
由 3 x 2 －8x＋m＝0 可推得 x－
3 4 ＝ ±
3 28 ， 求 m 之值。
解：
設 a 為整數，且 5
31 4 +
- 為 ax 2 ＋8x－3＝0 之一根，求 a 之值。
解：
E80201
【例題五】 【練習五】
設 x＞0，若 x 2 －x－1＝0，
求(1) x 之值 (2) 2x 2 －4x－1 之值。
解：
設 b 是 x 2 －4x－1＝0 之一根，b＜0，
求(1) b 之值 (2) b 2 －3b－3 之值。
解：
【例題六】 【練習六】
若 x 2 －2 x－1＝0 的兩根為 a、b，
則| a |＋| b |＝？
解：
若 x 2 －4 x＝－2 的兩根為 a、b，
則| a |＋| b |＝？
解：
【例題七】 【練習七】
設 x 2 ＋（k＋2）x＋（2 k＋1）＝0 兩根相等，
求 k 之值。
解：
設 ax 2 ＋ax＋2＝0 兩根相等，求 a 之值。
解：
E80201
【例題八】 【練習八】
二次方程式(3－m) x 2 ＋x＋2＝0 中，
(1) 若無實數解且 m 為正整數，求 m 之值。
(2) 若有實數解，求 m 之範圍。
解：
二次方程式(k＋2) x 2 －2x＋1＝0 中，
(1) 若無實數解，求 k 之範圍。
(2) 若有實數解，求 k 的最大整數值。
解：
【例題九】 【練習九】
(1) 設 ab≠0，若二次方程式
x 2 ＋(a－2b)x＋b 2 ＝0 有等根，求 a：b。
(2) 設 a、b、c 表△ABC 之三邊長，
若(a＋b) x 2 ＋2cx＋(a－b)＝0 有等根，
則求出 a、b、c 的關係式及△ABC 為何 種三角形？
解：
設 l、m、n 表△ABC 之三邊長，
試判別 nx 2 ＋(l＋m)x－1＝0 兩根的性質。
解：
E80201
【例題十】 【練習十】
設 a、b、c≠0，且 x 的二次方程式 ax 2 ＋2bx＋c＝0 兩根相等，
試證： a：b＝b：c。
證明：
設二次方程式(b－c)x 2 ＋(c－a)x＋(a－b)＝0 兩根相等，
試證： (1) a＋c＝2b。
(2) 求此相等的兩根。
證明：
