一、單選題 (每題 8 分)

高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.09.18 班級 普三 班

範 圍

Book1-Chap4

多項式 座號

姓 名

一、單選題 (每題 8 分)

1. ( ) 估計 2⁵

3

最接近下列何數？(A) 2

1 (B) 1 (C) 2

3 (D) 2 (E) 2 5 答案：(C)

【詳解】

(1) 2⁵

3

5 3 5

= 2 = 8 ∴

(2) 1.5= ⁵(1.5)⁵ = ⁵ 7.59375<⁵8<⁵ 32=2 (3)1.5 < 2⁵

3

< 2 且較接近 2

3= 1.5 故選(C)

2. ( ) 設a，b，c ∈ R且a ≠ 0，f (x) = ax² + bx + c，

δ

則

(A) a > 0，

δ

δ

δ

δ

答案： (C)

【詳解】

f (x) = ax² + bx + c > 0，∀x ∈ R恆成立⇔ a > 0 且b² − 4ac < 0

二、填充題 (每題 10 分)

a

1在x = − 2 時有最大值 3，則實數數對(a，b) = 。 答案：(a，b) = (− 1，− 4)

【詳解】

二次函數y = f (x) = ax² + bx + a

1在x = − 2 時有最大值 3

∴ y = a(x + 2)² + 3 且a < 0（有最大值 ⇒ 開口向下 ⇒ a < 0）

∴ y = ax² + 4ax + 4a + 3

比較係數，得 4a = b……c；4a + 3 = a

1……d 由d得 4a² + 3a − 1 = 0 ⇒ (a + 1)(4a −1) = 0

⇒ a = − 1 或a = 4

1（不合 ∵ a < 0）

代入c得a = −1 ⇒ b = − 4 所求a，b之值為(a，b) = (− 1，− 4)

2. 設

) 3 )(

2 )(

1 (

1 2 ²

−

−

−

+

− x x x

x

x =

−1 x

A +

−2 x

B +

−3 x

C ，則實數序對(A，B，C) = 。 答案： (1，− 7，8)

【詳解】

利用a b=

a

c ⇒ b = c

∴ ( 1)( 2)( 3) 1 2 ²

−

−

−

+

− x x x

x x

= ( 1)( 2)( 3)

) 2 )(

1 ( ) 3 )(

1 ( ) 3 )(

2 (

−

−

−

−

− +

−

− +

−

−

x x x

x x C x

x B x

x A

⇒ A(x − 2)(x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C(x − 1)(x − 2) = 2x² − x + 1 令x = 1，2A = 2 ∴ A = 1

令x = 2，− B = 7 ∴ B = − 7 令x = 3，2C = 16 ∴ C = 8

3. 設f (x) = x + 2，g (x) = x³ − 2x² − 7x + 8，若f (h (x)) = g (x)，則h (x) = 。 答案： x³ − 2x² − 7x + 6

【詳解】

∵ f (x) = x + 2 ∴ f (h (x)) = h (x) + 2 但f (h (x)) = g (x) = x³ − 2x² − 7x + 8= h (x) + 2

∴ h (x) = g (x) − 2 = x³ − 2x² − 7x + 6

4. 設x − 5 與x − 7 都是(x − 6)⁵⁰ + ax + b的因式，其中a，b為常數，則a + b之值為 。 答案： −1

【詳解】

令f (x) = (x − 6)⁵⁰ + ax + b，由因式定理

x − 5 | f (x) ⇒ f (5) = 0 ⇒ (5 − 6)⁵⁰ + 5a + b = 0

⇒ 5a + b = −1……c

x − 7 | f (x) ⇒ f (7) = 0 ⇒ (7 − 6)⁵⁰ + 7a + b = 0

⇒ 7a + b = −1……d

d − c 2a = 0 ∴ a = 0 代入c，b = −1，故a + b = − 1

5. 設f (x) = x²− 2x − 3，g(x) = x³ − 4x² + 4x − 3，h(x) = 2x⁴ − 5x³ − 3x² + x − 3 的最高公因式 d(x)，最低公倍式m(x)，則d(x) = ，

m(x) = 。 答案： x − 3；(x − 3)(x + 1)(x² − x + 1)(2x² − x + 1)

【詳解】

f (x) = (x + 1)(x − 3) g(x) = (x − 3)(x² − x + 1)

h(x) = (x + 1)(x − 3)(2x² − x + 1)

∴ HCF = d(x) = x − 3

LCM = m(x) = (x − 3)(x + 1)(x² − x + 1)(2x² − x + 1)

6. 若f (x) = x³ + bx² + cx + 1 與g(x) = x³ + cx² + bx + 1 有一次最高公因式，則b + c = 。

答案： − 2

【詳解】

設f (x)，g(x)之一次最高公因式為d(x) 則 d(x) | f (x) − g(x)

⇒ d(x) | (b − c) x² + (c − b)x

⇒ d(x) | (b − c) x (x −1)

若b = c，則f (x) = g(x) = x³ + bx² + cx + 1 不合 又f (0) = 1 ≠ 0 ∴ x f (x)，故d(x) = x −1

∴ f (1) = g(1) = 0 ⇒ b + c = − 2

7. 設a為整數，若f (x) = x³ + x² − 4x + (a − 7)與g(x) = 2x³ − 7x² + 7x + (2a − 8)的最高公因式為 一次式，則a的值為 。

答案： 3

【詳解】

已知f (x) = x³ + x² − 4x + (a − 7)與g(x) = 2x³ − 7x² + 7x + (2a − 8)之HCF為一次式，

設為d(x)，則

d(x) | 2f (x) − g(x) ⇒ d(x) | 3 (3x² − 5x − 2)⇒ d(x) | 3(x − 2)(3x + 1)

∴ d(x) = x − 2，或d(x) = 3x + 1

(1)若d(x) = x − 2，則x − 2 | f (x) ⇒ f (2) = 0 ⇒ 8 + 4 − 8 + (a − 7) = 0 ⇒ a = 3 (2)若d(x) = 3x + 1，則 3x + 1 | f (x) ⇒ f (

3

−1) = 0

⇒ 7 0

3 4 9 1 27

1+ + + − =

− a ⇒

27

=151

a 非整數(不合) 故所求a之值為 3

8. p(x) = x⁵⁴ − 2x² −1，g(x) = x⁵² − 3x² − 4，則p(x)與g(x)之最高公因式為 。 答案： x² + 1

【詳解】

令x² = t，則p(x) = t²⁷ − 2t −1 = h(t) g(x) = t²⁶ − 3t − 4 = k(t)

h(t) − tk(t) = 3t² + 2t −1 = (3t −1) (t + 1)

∵ t + 1 | h(t)，t + 1 | k(t)，3t −1 h(t)

∴ x² + 1 | p(x)，x² + 1 | g(x) 故p(x)與g(x)之最高公因式為x² + 1

9. 多項式f (x)滿足 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0，則f (x)的常數項為 。 答案： − 3

【詳解】

(1) f (x)的常數項為f (0)

(2)由 8 f (x) − 5x⁶ f (x³) − 2 f (x²) + 18 = 0，令x = 0

∴ 8 f (0) − 0 − 2 f (0) + 18 = 0 ∴ f (0) = − 3 10. 若二次函數y = ax² + bx在x = 1 時有最小值 −

a

1，則 3a + b之值為 。 答案： 1

【詳解】

y = ax² + bx在x = 1 時有最小值 − a 1

⇒ y = a (x − 1)² − a

1且a > 0 ⇒ y = ax² − 2ax + a − a 1 比較係數，得b = − 2a且a −

a 1= 0

∴ a² = 1 ⇒ a = 1，b = − 2 故 3a + b = 3 − 2 = 1

11. 不等式 1

2 2

4 2

2

2 ≥

−

−

− +

x x

x

x 之解為 。

答案： 1

4 17 1− < ≤

x 或 2

4 17 1+ < ≤

x

【詳解】

2 1 2

4 2

2

2 ≥

−

−

− +

x x

x

x ⇒ 1 0

2 2

4 2

2

2 − ≥

−

−

− +

x x

x x

⇒ 0

2 2

2 3 2

2

2 2

4 2

2 2 2

2 2

− ≥

−

− +

=−

−

−

+ +

−

− +

x x

x x x

x

x x x

x

⇒ (x² − 3x + 2)(2x² − x − 2) ≤ 0 但 2x² − x − 2 ≠ 0

⇒ (x −1)(x − 2)(x − 4

1+ 17 )(x − 4

1− 17 ) ≤ 0 但x ≠

4 1± 17

⇒ 1

4 17 1− < ≤

x 或 2

4 17 1+ < ≤

x

12. 已知二次函數y = f (x) = ax² + bx + a

1，在x = 3 時，有最大值 8，則數對(a，b) = 。 答案： (−1，6)

【詳解】

∵ y = f (x)在x = 3 時，有最大值 8

∴ y = f (x) = a (x − 3)² + 8 = ax² − 6ax + (9a + 8) 又已知y = f (x) = ax² + bx +

a 1

∴ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=

−

=

8 1 9

6 a a

a

b ……c

……d 由d知 9a² + 8a − 1 = 0

⇒ (9a − 1)(a + 1) = 0 ⇒ a = 9

1或 − 1

∵ y = f (x)有最大值 ∴ a = − 1，b = 6 即(a，b) = (−1，6) 13. 函數f (x) = | x − 1 | + | x + 2 | − x + 5 之最小值為 。 答案： 7

【詳解】

f (x) = | x − 1 | + | x + 2 | − x + 5 x = 1，− 2 分割數線為 3 部分

c x < − 2 時，f (x) = − (x − 1) − (x + 2) − x + 5 = − 3x + 4 d − 2 ≤ x ≤ 1 時，f (x) = − (x − 1) + (x + 2) − x + 5 = − x + 8 e x > 1 時，f (x) = (x − 1) + (x + 2) − x + 5 = x + 6

圖形為一折線，折點為(− 2，10)，(1，7)

∴ f (x)的最小值為 7

14. 已知方程式x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60 = 0 有一根 1 + 3i，則其餘各根為 。 答案： 1 − 3i，− 2，3

【詳解】

方程式x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60 = 0 為實係數方程式 已知一根為 1 + 3i，必有一根 1 − 3i

∴ x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60 必可被

[x − (1 + 3i)][x − (1 − 3i)] = x² − 2x +10 整除 1 − 3 + 6 + 2 − 60

2 − 2 − 12

− 10 + 10 + 60 2

− 10 1 − 1 − 6,+ 0 + 0

∴ x⁴ − 3x³ + 6x² + 2x − 60

= (x² − 2x + 10)(x² − x − 6) = (x² − 2x + 10)(x + 2)(x − 3) 故方程式有二實根 − 2，3

15. 設a，b ∈ Z，若x² + 2ax + 3b = 0 有一根為 1，另一根介在 5，10 之間，則數對(a，b) =

。

答案： (− 5，3)

【詳解】

∵ f (x) = x² + 2ax + 3b = 0 有一根為 1 ∴ 1 + 2a + 3b = 0 而另一根介於 5，10 之間 ∴ f (5) f (10) < 0

∴ (10a + 3b + 25)(20a + 3b + 100) < 0

而 2a = − 3b − 1 ∴ (− 12b + 20)(− 27b + 90) < 0

∴ (b − 3 5)(b −

3

10) < 0，即 3 5< b <

3 10

∵ b ∈ Z ∴ b = 2 或b = 3 ⇒ (a，b) = (− 5，3)或(−

2 7，2)

∵ a ∈ Z，故取(a，b) = (− 5，3)

16. 不等式(x + 1)(x −1)(4 − x)³ ≥ 0 的解為 。 答案： x ≤ −1 或 1 ≤ x ≤ 4

【詳解】

(x + 1)(x −1)(4 − x)³ ≥ 0

⇔ (x + 1)(x −1)[− (x − 4)]³ ≥ 0

⇔ − (x + 1)(x −1)(x − 4)³ ≥ 0

⇔ (x + 1)(x −1)(x − 4)³ ≤ 0

∵ (x − 4)² ≥ 0

∴ (x + 1)(x −1)(x − 4) ≤ 0 ⇒ x ≤ − 1 或 1 ≤ x ≤ 4

17. 設f (x)為二次函數且不等式f (x) > 0 的解為 − 2 < x < 4，則f (2x) < 0 的解為 。 答案： x > 2 或 x < −1

【詳解】

− 2 < x < 4 ⇔ (x + 2)(x − 4) < 0 令 f (x) = (x + 2)(x − 4) 且 a a< 0

∴ f (2x) = (2x + 2) (2x − 4) < 0 = 4 (x + 1) (x − 2) < 0

⇔ (x + 1) (x − 2) > 0 ⇔ x > 2 或 x < −1 a

a

18. 設集合A = {x | x³ − 2x² −11x + 12 > 0}，A ∪ B = {x | x > − 3}，

A ∩ B = {x | 0 < x < 1}，則B = 。 答案： {x | 0 < x ≤ 4}

【詳解】

∵ x³ − 2x² −11x + 12 = (x −1)(x + 3)(x − 4)

∴ A = {x | x > 4 或 − 3 < x < 1}

利用聯集與交集的定義，知B = {x | 0 < x ≤ 4}

19. 下列拋物線

Γ

1x + 1，

Γ

1x − 2，

Γ

Γ

Γ

Γ

【詳解】

y = ax² + bx + c，| a | 愈大，開口愈小 由於3

1<

2

1< | − 2 | < | − 3 |，

故

Γ

Γ