22 mmm ++− 1|442|

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.12.22 班級 普二 班

範 圍

4-

圓與直線 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1.有一圓C：x² + y² − 4x + 4y − 2 = 0 及一點P(4，2)，則

(A) P點在圓上 (B)過P之切線有一為x + 3y + 2 = 0

(C)過P之切線有一為 3x − y − 14 = 0 (D)兩切線之銳夾角為 45° (E)兩切線互相垂直

【解答】(E)

【詳解】

C：(x − 2)

² + (y + 2)² = 10，圓心A(2，− 2)，半徑r = 10 ，而AP> r，故P點在圓外 設過P(4，2)與圓C相切之直線L：y − 2 = m(x − 4)

則d(A，L) =

1

| 4 4 2

|

2 + +

−

m

m

m

= 10 ⇒ m = − 3 或 3 1

得過P之切線為 3x + y − 14 = 0 及x − 3y + 2 = 0 且兩切線互相垂直（∵ ( − 3) ×

3

1= − 1），故選(E)

2.(複選)兩圓C₁：x² + y² − 6x − 2y + 1 = 0，C₂：x² + y² + 4x + 3 = 0 外公切線夾角為

θ

（0 <

θ

<

2

π ），則下列敘述何者正確？(A)外公切線段長為 22 (B)內公切線段長為 10

(C)兩外公切線的交點為 )

2 1 2

(− ，9 − (D)兩內公切線的交點為 ) 4 1 4

(−3， (E)

5 3 sinθ2 =

【解答】(A)(B)(C)(D)

【詳解】

(1) C1：(x − 3)² + (y − 1)² = 9，C2：(x + 2)² + y² = 1

∴ 圓心O₁(3，1)，O2( − 2，0)，半徑R = 3，r = 1 (2)外公切線段長 = O₁O₂² −(R−r)² = 26−4 = 22 (3)內公切線段長 = O₁O₂² −(R+r)² = 26−16 = 10 (4)在△O₁

AD中，

3 1

_{1 2 1}

2 = = =

R DO r BO

AO

AO ： ： ⇒ A )

2 1 2 (− ，9 −

(5)同(4)，兩內公切線的交點為 )

4 1 4 (−3，

(6)在△O2

AB中，

26 2 4 26 1 sin2

2

2 = =

=

O A B θ O

3. (複選)若點P(a，2a)在圓C：x² + y² − 2x = 0 的內部，則a值在下列哪些範圍內？

(A) 0 < a < 0.5 (B) 0.2 < a < 0.6 (C) 0 < a < 0.4 (D) 0.4 < a < 1 (E)以上皆真

【解答】(A)(C)

【詳解】點P(a，2a)在圓x² + y² − 2x = 0 的內部 ⇒ a² + 4a² − 2a < 0 ⇒ a(5a − 2) < 0

⇒ 0 < a <

5

2 ⇒ 0 < a < 0.4，又 0 < a < 0.5 也成立，應選(A)(C)

4. (複選)設曲線 y = 1 x− ² 與直線 y = x + k 相交 n 個點，則

(A)當 − 2 < k < 2 時，n = 2 (B)當 k > 2 或 k < − 1 時，n = 0

(C)當 1 < k < 2 時，n = 2 (D)當 − 1 ≤ k < 1 時，n = 1 (E)當 k = − 2 時，n = 1

【解答】(B)(C)(D)

【詳解】

(1) y = 1 x− ² ⇔ x² + y² = 1，y ≥ 0，其圖形如上 (2) y = x + k過(1，0) ⇒ L1：y = x − 1；y = x + k 過( − 1，0) ⇒ L2：y = x + 1

y = x + k與y = 1 x− ² 相切 ⇒ L3：y = x + 2 （利用圓心到y = x + k距離 = 半徑）

(3)當− 1 ≤ k < 1 或k = 2 時，n = 1，當 1 ≤ k < 2 時，n = 2，當k > 2 或k < − 1，n = 0

二、填充題(每題 10 分)

1. 直線 3x − 4y = k與圓x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 交於A，B兩點，若AB= 6，則k之值為 。

【解答】k = 2 或− 38

【詳解】

圓x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 ⇒ (x + 2)² + (y − 3)² = 5²，圓心P( − 2，3)，半徑r = 5 過P作直線 3x − 4y = k的垂直線垂足M，則M為AB中點 ∴ AM = 3，又PA= r = 5

∴ PM= 4 ∴ d(P，AB) =

16 9

| 12 6

|

+

−

−

−

k = 4 ⇒ k + 18 = ± 20 ∴ k = 2 或− 38

2. 自點P(1，5)向圓x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 作二切線，切點分別為A，B，則 (1)切線段PA長為 。 (2)△PAB之外接圓方程式為 。

【解答】(1) 2 11 (2) x² + y² − 4x − 3y − 7 = 0

【詳解】

(1)PA= 1+25−6+20+4= 2 11

(2)AQ⊥AP，BQ⊥BP，故△PAB之外接圓，

即為以P(1，5)及Q(3，− 2)為直徑之圓

⇒ (x − 1)(x − 3) + (y − 5)(y + 2) = 0 ⇒x² + y² − 4x − 3y − 7 = 0

3. 圓外一點P( − 3，6)對圓 2x² + 2y² + 6x − 2y − 5 = 0 所作的切線段長為 。

【解答】 2

110

【詳解】圓C：x² + y² + 3x − y − 2

5= 0，切線段長 =

2 6 5 ) 3 ( 3 6 ) 3

(− ²+ ²+ × − − − = 55 =2

2 110

4. 有一圓的圓心( − 3，4)，與直線 3x − 4y + 5 = 0 相切，其圓方程式為 。

【解答】(x + 3)² + (y − 4)² = 16

【詳解】圓C的圓心A( − 3，4)與直線L：3x − 4y + 5 = 0 相切

故半徑r = d (A，L) =

2

2 ( 4)

3

| 5 4 4 ) 3 ( 3

|

− +

+

×

−

−

× = 4，得圓方程式為(x + 3)² + (y − 4)² = 4²

5. 若二元二次方程式x² + y² − 8x − 5y + k = 0 之圖形為一圓，則實數k的範圍為 ，又 此圓與x軸相切，則k之值為 。

【解答】(1) k <

4

89 (2) 16

【詳解】

(1) d² + e² − 4f = ( − 8)² + ( − 5)² − 4k > 0 ⇒ k <

4 89

(2)⎩⎨⎧C：x² + y² − 8x − 5y + k = 0……c

x 軸：y = 0……d

d代入c ⇒ x² − 8x + k = 0 ∵ 相切 ∴ D：( − 8)² − 4k = 0 得k = 16 6. 過點(1，3)且與圓(x + 1)² + (y − 2)² = 5 相切的直線方程式為 。

【解答】2x + y − 5 = 0

【詳解】點 P(1，3)∈圓 C

故所求切線 L：(1 + 1)(x + 1) + (3 − 2)(y − 2) = 5，得 L：2x + y − 5 = 0 7. 直線x − y = 3 被圓x² + y² − x + y − 2 = 0 所截得的弦長 = 。

【解答】 2

【詳解】

圓C：(x − 2

1)² + (y + 2 1)² =

2

5，圓心P(

2 1，−

2

1)，半徑r = 2 5

弦長 =AB= 2AQ= 2 PA² −PQ² = 2 2 25 − = 2

（其中PQ= d(P，L) =

2

| 2 3 1 2

|1 + −

= 2

2 = 2 ）

8. 若自點P(6，− 7)作圓x² + y² = 5 的切線，則切點坐標為 。

（兩解）

【解答】(2，1)，(

17

−22

， 17

−31 )

【詳解】⎩⎨⎧

= +

=

− 5

5 7 6

2

2 y

x C

y x AB

：

：

切點弦 ⇒ 或

⎩⎨

⎧ == 1 2 y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

x =

17

−22

y =

17

−31 9. 圓x² + y² − 6x + 8y = 0 上任一點P到直線 4x + 3y = 30 的距離

最大值 = ，此時P點的坐標為 。

【解答】11，( − 1，− 7)

【詳解】

(1)圓x² + y² − 6x + 8y = 0 ⇒ (x − 3)² + (y + 4)² = 5²， 圓心A(3，− 4)，半徑 5

P點到直線L：4x + 3y = 30 的最大距離 = d(A，L) + r =

5 11 5

5 30 3

4

| 30 12 12

|

2

2 + = + =

+

−

−

(2)過A(3，− 4)，作L：4x + 3y = 30 的垂直線L′：3x − 4y = 25，L與L′交點Q ) 5 2 5 (39，− 因AP=5 ， AQ=6，設P(a，b)，則由分點公式得(3，− 4) = )

6 5

2 6 6 5

39 (6

+

− +

+ b

a ，

⇒ (a，b) = ( − 1，− 7)

⎩⎨

⎧

−

=

−

= +

44 2

6

33 39 6

b a

10.若圓C與直線L：4x + 3y + 15 = 0 相切於(− 3，− 1)，且圓半徑為 4，圓心的x坐標為正，

則圓C的圓心為 。

【解答】(

5 1，

5 7)

【詳解】設 C(a，b)，a > 0 ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ = + +

= + +

4 3

4

| 15 3 4

|

3 4 ) 1 ( ) 3 (

2 2

b a

b

a

： ：

⇒ a = 5 1，b =

5 7

11.一圓過圓x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 的交點且半徑為 3，此圓有兩個，

其中圓心在第一象限的圓之方程式為 。

【解答】(x − 1)² + (y − 1)² = 9

【詳解】

過圓x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 交點的圓系方程式為

(x² + y² + 2x − 4y + 1) + k(2x − y + 4) = 0⇒x² + y² + 2(k + 1)x − (k + 4)y + 4k + 1 = 0……c 配方 ⇒ (x + k + 1)² + (y −

2 +4

k )² = (k + 1)² + 4

1(k + 4)² − (4k + 1) = 4

1(5k² + 16) 半徑 3 ⇒

4

1(5k² + 16) = 9 ⇒ k = ± 2 代入c 得x² + y² + 6x − 6y + 9 = 0 及x² + y² − 2x − 2y − 7 = 0

圓心在第一象限者為x² + y² − 2x − 2y − 7 = 0，即(x − 1)² + (y − 1)² = 9

12.若直線y = 2x + k與圓C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0 交於兩點，則k值之範圍為 。

【解答】3 − 5 5 < k < 3 + 5 5

【詳解】

⎩⎨

⎧C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0……c

L：y = 2x + k……d

d代入c ⇒ 5x² + 4(k + 2)x + (k² + 2k − 20) = 0

D：16(k + 2)

² − 4 × 5 × (k² + 2k − 20) > 0（∵ 交於兩點）

⇒ k² − 6k − 116 < 0 ⇒ 3 − 5 5 < k < 3 + 5 5

13.過A(3，− 1)，B(− 1，5)二點，且AB之弦心距為 13 之圓有二個，其中之一為x² + y² + ax + by + 6 = 0，則數對(a，b) = 。

【解答】(− 8，− 8)

【詳解】

AB之中點M(1，2)， ^\

____

AB= (− 4，6) = 2(− 2，3) 圓心O1 = (1，2) + 13 (

13 3 ，

13

2 ) = (4，4)，

O2 = (1，2) − 13 ( 13 3 ，

13

2 ) = (− 2，0) 半徑r² = 1 + 25 = 26

⇒ C1：(x − 4)² + (y − 4)² = 26 ⇒ x² + y² − 8x − 8y + 6 = 0

C₂：(x + 2)² + y² = 26 ⇒ x² + y² + 4x − 22 = 0，∴ (a，b) = (− 8，− 8) 14.過點A(1，− 1)，作直線L與圓C：x² + y² − 2x + 6y + 1 = 0 交於P，Q兩點，則內積

之值為

____\ ____\

AQ AP．

。

【解答】− 5

【詳解】

圓 C 的圓心(1，− 3)，半徑 r = 3，點 A 在圓 C 的內部

\ =

\ ____

____

AQ

AP．

AP ． AQcos180°=−AP ． AQ=−AD ． AE = − (AB+ r)(r −AB) = − (2 + 3)(3 − 2) = − 5

15.一圓的中心(− 2，1)且和直線 3x − 4y − 5 = 0 相切，設此圓的方程式為x² + y² + Ax + my + n

= 0，則 (A，m，n) = 。

【解答】(4，− 2，− 4)

【詳解】

圓心(− 2，1)和直線 3x − 4y − 5 = 0 相切，則半徑r =圓心到直線的距離 =

16 9

| 5 4 6

| +

−

−

− = 3

∴ 圓的方程式為(x + 2)² + (y − 1)² = 3²，即x² + y² + 4x − 2y − 4 = 0，

∴ (A，m，n) = (4，− 2，− 4)

16.求與直線x + 2y − 3 = 0 垂直且與圓x² + y² − 2x + 2y + 1 = 0 相切的直線方程式 。

【解答】2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0

【詳解】

(方法一)：

設切線方程式為 2x − y + k = 0

圓：x² + y² − 2x + 2y + 1 = 0 ⇒ (x − 1)² + (y + 1)² = 1，圓心(1，− 1)，半徑 = 1

⇒

2

2 1

2

| ) 1 ( 2

|

+ +

−

−

k = 1 ⇒ | 3 + k | = 5 ⇒ k = − 3

± 5

∴ 切線方程式為 2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0

(方法二)：公式法

直線x + 2y − 3 = 0 斜率 ¹

m= − ⇒2 所求切線斜率

m

= − 2 1 2( 1) 1 22 1

y

+ =

x

− ± ⋅ + ⇒ 切線方程式為 2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0 17.設k ∈ R，已知點P(− 1，7)在圓C：x² + y² + kx + (k − 2)y − 12 = 0 上，則圓C過P點的切線

方程式為 。

【解答】3x − 4y + 31 = 0

【詳解】

點P(− 1，7)在圓C：x² + y² + kx + (k − 2)y − 12 = 0 上

⇒ 1² + 7² − k + 7k − 14 − 12 = 0 ⇒ k = − 4 ∴ 圓C：x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0 代入切線方程式公式：− x + 7y −

2

4(x − 1) − 2

6(y + 7) − 12 = 0

⇒ − x + 7y − 2x + 2 − 3y − 21 − 12 = 0 ⇒ 3x − 4y + 31 = 0

18.設A(1，4)與B(3，− 2)為坐標平面上兩點，若AB為圓C的一弦，且距離圓心為 10 ，求 圓C的方程式： 。（兩解）

【解答】(x + 1)² + y² = 20 或(x − 5)² + (y − 2)² = 20

【詳解】

10 2 ) 4 2 ( ) 1 3

( − ² + − − ² =

=

AB ∴ 圓C半徑 = 10+10 = 20

設圓心C'(a，b)，AB中點M(2，1)， ^\

____

AB= ( 2，−6) = 2( 1，−3) ， =( 2

____\

C M

' a− , 1− )b

⎩⎨

⎧

C M ．

^_____\'

_\ ____

AB

= 0

' 10

C M

= ⇒

⎩⎨

⎧a − 3b = − 1……c

(a − 2)² + (b − 1)² = 10……d

c代入d得b = 0 或 2，代回c得a = − 1 或 5，故(a，b) = (− 1，0)或(5，2)

∴ 圓C：(x + 1)² + y² = 20 或(x − 5)² + (y − 2)² = 20

19.求過P(1，1)且與圓x² + (y − 3)² = 1 相切的直線方程式： 。（兩解）

【解答】x = 1 或 y − 1 = − 4

3(x − 1)

【詳解】

P(1，1)代入圓方程式得 1

² + (1 − 3)² = 5 > 1 ∴ P在圓外 設切線為y − 1 = m(x − 1)，即mx − y − m + 1 = 0

2

2 ( 1)

| 1 3

0

|

− +

+

−

−

⋅

m

m

m

= 1 ⇒ m = −

4

3 ⇒ 切線y − 1 = − 4

3(x − 1)，另一無斜率，即x = 1

20.坐標平面上，圓C過點A(5，1)，B( − 2，8)，且與x軸相切，則圓C方程式為 。

【解答】(x − 2)² + (y − 5)² = 25 或(x − 10)² + (y − 13)² = 169

【詳解】∵ 圓C與x軸相切，設圓心P(

α

，

β

)，則半徑為 |

β |

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

2 2 2 2

β β PB

PA

⇒

⎩⎨

⎧(

α

− 5)² + (

β

− 1)² =

β

²……c

(

α

+ 2)² + (

β

− 8)² =

β

²……d，d − c得

α

=

β

− 3……e

e代入c得

β

² − 18

β

+ 65 = 0 ⇒ (

β

− 5)(

β

− 13) = 0，

β

= 5 或 13，則

α

= 2，10

∴ 圓C為(x − 2)² + (y − 5)² = 5²或(x − 10)² + (y − 13)² = 13²

21.從A( − 2，2)發出之光線，照在鏡面（x軸）上最大區間[p，q]，反射光線皆與圓x² + y² − 4x

− 4y + 7 = 0 相交，求序對(p，q) = 。

【解答】(

15 31 2 2−

， 15 31 2 2+

)

【詳解】

圓x² + y² − 4x − 4y + 7 = 0 之圓心B(2，2)，半徑r = 1 由A( − 2，2)射向x軸之反射光線必過A′( − 2，− 2)

設過A′( − 2，− 2)且與圓相切之切線L：y + 2 = m(x + 2)……c 則d(B，L) =

1

| 4 4

|

2 +

−

m

m

= 1 ⇒ 15m² − 32m + 15 = 0 ⇒ m = 15

31 16±

代入c 得y + 2 =

15 31

16± (x + 2)……d，由d，令y = 0，得x = 15

31 2 2± 即p = 15

31 2

2− ，q = 15

31 2

2+ ，故序對(p，q) = ( 15

31 2 2−

， 15 31 2 2+

)

22.自點P(8，1)作圓C：x² + y² − 2x − 4y − 7 = 0 的切線，切點為A與B，則 AB 方程式為

。

【解答】7x − y = 17

【詳解】令P(x₀，y₀) = P(8，1) ∴ x² → x0

x，x →

2

0

x

x

+

，y² → y0

y，y →

2

0

y

y

+

代入 得 8x + y − 2(

2

8+x ) − 4(

2

1+y) − 7 = 0 ⇒ 7x − y = 17

23.坐標平面上，圓C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0，圓外一點P(2，− 6)，過P對圓C做切線，切 點為A，B，則過P，A，B三點圓方程式為 。

【解答】x² + y² + 7y + 2 = 0

【詳解】

圓C：(x + 2)² + (y + 1)² = 5²，圓心Q( − 2，− 1) 四邊形PAQB之對角互補（∠PAQ = ∠PBQ = 90°）

∴ 過P，A，B三點之圓亦過Q點，即以PQ為直徑之圓 (x + 2)(x − 2) + (y + 1)(y + 6) = 0 ⇒ x² + y² + 7y + 2 = 0

24.兩圓C₁：x² + y² − 2x − 2y + 1 = 0，C2：x² + y² + 4x + 4y − 17 = 0 交A，B兩點，AB=

。

【解答】 2

【詳解】

AB ：C

1 − C2 = 0⇒ AB ：x + y − 3 = 0，PQ= d(P， AB ) = 2

1 且AP= 1

則AB= 2AQ= 2 AP² −PQ² = 2

25.已知P(x，y)∈

Γ

：x = 1 − 4−y²，求(1) 3x − y的max = 。(2) +3 x

y 的min = 。

【解答】(1) 5 (2) 3

− 3

【詳解】

Γ

：x = 1 − 4− y² ⇒ x − 1 = − 4− y² ⇒ (x − 1)² + y² = 4（x ≤ 1）

(1)圖形如右，當(x，y) = (1，− 2)時，3x − y = 5 為最大值 (2)若P(x，y)∈

Γ

，A( − 3，0)，則

+3 x

y 表 PA 之斜率m

由圖可知

PA 與 Γ

相切時，

+3 x

y 有最小值 設 PA ：y − 0 = m(x + 3) ∵ 相切 ⇒ d(B， PA ) =

1

| 3

|

2 + +

m

m

m

= 2

⇒| 4m | = 2

m

² +1 ⇒ 3

− 3≤ m ≤ 3

3 ，故 +3 x

y 之min = 3

− 3

26.設y = − 3 + 4− x( −2)² ，則x² + y²的最大值為 ，最小值為 。

【解答】25，17 − 4 13

【詳解】

y = − 3 +

4− x( −2)² ……c，移項平方，(y + 3)² = 4 − (x − 2)²

⇒ (x − 2)² + (y + 3)² = 4 為圓心Q(2，− 3)，半徑 2 的圓 c式的圖形為此圓的一部分（上方半圓，因y ≥ − 3）。

如右圖，圓的直徑AB，c的圖形為上方半圓（實線部分），

x

² + y²表示圖形上的點(x，y)與原點O的距離平方 (1) x² + y²的最大值為OA²= 4² + (− 3)² = 25

(2) x² + y²的最小值為(OQ− 2)² = ( 13 − 2)² = 17 − 4 13

27.設圓x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0 與圓x² + y² + 4x − 6y + 3 = 0 交於A，B兩點，求以AB為一弦 且在y軸截弦長最小之圓方程式為 。

【解答】x² + y² + 4x − 6y + 3 = 0

【詳解】 AB ：C₁ − C₂ = 0 ⇒ AB ：3x − y + 3 = 0，設所求圓C：C₁ + k AB = 0

⇒ C：(x² + y² − 2x − 4y − 3) + k(3x − y + 3) = 0……c

令x = 0 代入c ⇒ y² − (k + 4)y + 3(k − 1) = 0 之二根為

α

，

β

其中

α

，

β

表圓C與y軸相交之y坐標，且

α

+

β

= k + 4，

αβ

= 3k − 3

截弦長之平方 = (

α

−

β

)² = (

α

+

β

)² − 4

αβ

= (k + 4)² − 4(3k − 3) = (k − 2)² + 24 當k = 2 時，截弦長有最小值 24

此時圓C：(x² + y² − 2x − 4y − 3) + 2(3x − y + 3) = 0，即x² + y² + 4x − 6y + 3 = 0 28.兩圓C1：x² + y² + 6x − 4y + 12 = 0 與C2：x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0

(1)求兩內公切線之交點坐標為 。

(2)求兩內公切線方程式為 。（有兩條）

【解答】(1) ( − 1，1) (2) y = 1 或 4x + 3y + 1 = 0

【詳解】

(1) C1：(x + 3)² + (y − 2)² = 1，圓心A( − 3，2)，半徑r1 = 1 C2：(x − 3)² + (y + 1)² = 4，圓心B(3，− 1)，半徑r2 = 2

設兩內公切線相交於P點，則△AMP～△BNP⇒AP：BP=AM ： BN= r1：r2 = 1：2 由內分點公式P(x，y) = (

2 1

1 3 2 ) 3 (

+

× +

×

− ，

2 1

1 ) 1 ( 2 2

+

×

− +

× ) = ( − 1，1) (2)∵ 內公切線L過P( − 1，1) ∴ 設L：y − 1 = m(x + 1)

d(A，L) =

1

| 1 2

3

|

2 + + +

−

−

m

m

m

= 1

⇒ 3m² + 4m = 0 ⇒ m = 0 或m = 3

−4 故內公切線L分別為y − 1 = 0 或y − 1 =

3

−4(x + 1)，即y = 1 或 4x + 3y + 1 = 0

29.圓心在x − 2y + 3 = 0 上且與兩坐標軸相切的圓方程式為 。

【解答】(x − 3)² + (y − 3)² = 9 或(x + 1)² + (y − 1)² = 1

【詳解】

與兩坐標軸均相切之圓的圓心可設為(a，a)或(a，− a)，半徑為 | a |

(1)圓心(a，a)代入x − 2y + 3 = 0⇒a = 3， r = | a | = 3，圓方程式(x − 3)² + (y − 3)² = 9 (2)圓心(a，− a)代入x − 2y + 3 = 0⇒a = − 1， r = | a | = 1，圓方程式(x + 1)² + (y − 1)² = 1

30.試求通過圓x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 的交點，且切於x軸的圓方程式：

。（兩解）

【解答】x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 或x² + y² + 6x − 6y + 9 = 0

【詳解】

設過圓與直線的圓為x² + y² + 2x − 4y + 1 +

α

(2x − y + 4) = 0 即(x + 1 +

α

)² + (y − 2 −

2 α)² =

4

5

α

² + 4，圓心O( − 1 −

α

，2 + 2 α )

d(O，x軸) = | 2 +

2

α| ⇒ (2 + 2 α)² =

4

5

α

² + 4 ⇒

α

= 0 或 2

∴ 因為x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 或x² + y² + 6x − 6y + 9 = 0

31.一光線通過(− 4，5)，經x軸反射後與圓：(x − 2)² + (y − 2)² = 5 相切，求原光線之方程式 為 。

【解答】2x + y + 3 = 0

【詳解】

設原光線通過A( − 4，5)，經x軸反射，反射點B(t，0) 則AB：

t x t y t

t t

x y

+ + +

= −

− ⇒

−

= −

−

−

4 5 4

5 4

0 5 0

反射後，入射角 = 反射角 ∴ 切線斜率 = −

t t = + +

−

4 ) 5 4 ( 5

又過B(t，0) ∴ BC ：y = +t 4

5 (x − t) ⇒y =

t x t t − +

+ 4

5 4

5 ⇒ 5x − (4 + t)y − 5t = 0

與圓相切 ∴ 5

) 4 ( 5

| 5 2 ) 4 ( 2 5

|

2 2

+ = +

−

⋅ +

−

⋅

t t

t

⇒ |2 − 7t|² = 5[25 + (4 + t)²]

⇒ 44t² − 68t − 201 = 0 ⇒ (2t + 3)(22t − 67) = 0 ⇒ t = −

22 67 2

3或 （不合）

∴ 原光線之方程式為y =

2 5 2) ( 3 5 2 5

5 −

− +

x

⇒ 2x + y + 3 = 0