BC mmm ++− 1|442|

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：94.11.16 班級 普三 班

範

圍 Book3 CH4 圓與球

座號

姓 名 一、單選題(每題 10 分)

1. 有一圓C：x² + y² − 4x + 4y − 2 = 0 及一點P(4，2)，則

(A) P點在圓上 (B)過P之切線有一為x + 3y + 2 = 0 (C)過P之切線有一為 3x − y − 14 = 0 (D)兩切線之銳夾角為 45° (E)兩切線互相垂直

【解答】(E)

【詳解】

C：(x − 2)

² + (y + 2)² = 10，圓心A(2，− 2)，半徑r = 10 ，而AP> r，故P點在圓外 設過P(4，2)與圓C相切之直線L：y − 2 = m(x − 4)

則d(A，L) =

1

| 4 4 2

|

2 + +

−

m

m

m

= 10 ⇒ m = − 3 或 3 1

得過P之切線為 3x + y − 14 = 0 及x − 3y + 2 = 0 且兩切線互相垂直（∵ ( − 3) ×

3

1= − 1），故選(E)

2. 光源放在點A(1，2，3)，向球面S：(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 1 照射，則在xy平面上的 射影區域面積為(A) 3

π

(B) 4

π

(C) 5

π

(D) 6

π

(E) 9

π

【解答】(A)

【詳解】

如下圖，其射影為一個圓區域，中心為D(1，2，0)， BC 為直徑

∵ AD=3 ， AQ=2 ， QE=1 ， AE = 3，而△AEQ ～△ADB ∴ AE

AD QE

BD ： = ：

⇒ BD：1 = 3： 3 ⇒ BD= 3 ∴ 所求面積 =

π ( 3 )

² = 3

π

3. 空間中，滿足(x² + y² + z² − 1)(x² + y² + z² − 2)(x² + y² + z² − 3) ≤ 0 的圖形之體積為 (A) π

3

80 (B) π 3

40 (C) π 3

20 (D) (3 3 2 2 1)π 3

1 − + (E) (3 3 2 2 1)π 3

4 − +

【解答】(E)

【詳解】

∵ (k − 1)(k − 2)(k − 3) ≤ 0 ⇔ k ≤ 1 或 2 ≤ k ≤ 3

∴ (x² + y² + z² − 1)(x² + y² + z² − 2)(x² + y² + z² − 3) ≤ 3

⇒ 0 ≤ x² + y² + z² ≤ 1 或 2 ≤ x² + y² + z² ≤ 3

所求體積 = ^{3 3} ( 1)³

3 ) 4 2 3 ( ) 4 3 3 (

4π − π + π = (3 3 2 2 1)

3

4π − +

4. 設直線L：

1 2 2

1 1

1= + = −

− y z

x 與球面S：x² + y² + z² = k相切，則常數k之值為

(A) 6 (B) 7 (C) 35 (D) 6 35 (E)

36 35

【解答】(D)

【詳解】

設切點為 A(t + 1，2t − 1，t + 2) ∈ L ∵ 相切 ∴

L

⇒ (t + 1，2t − 1，t + 2)．(1，2，1) = 0 ⇒ t = −

\⊥

____

OA

6

1 ⇒ A )

6 11 3 4 6

(5，− ，

半徑 6

= ² =35

⇒

=OA k OA

k

5. 下列哪一個平面與球面S：x² + y² + z² − 2x + 4y + 2z − 19 = 0 相交所成的圓面積最大？

(A) x + y + z = 0 (B) x − 2y = 0 (C) z + 1 = 0 (D) 2x − y – 2z = 5 (E) 3x + 4y − 1 = 0

【解答】(C)

【詳解】

S：(x − 1)

² + (y + 2)² + (z + 1)² = 25，球心為Q(1，− 2，− 1)，半徑r = 5 (A) Q到x + y + z = 0 之距離 =

3 2 3

| 1 2 1

| − − =

< r (B) Q到x − 2y = 0 之距離 = 5

5

| 4 1

| + = < r (C) Q到z + 1 = 0 之距離 = 0

(D) Q到 2x − y − 2z − 5 = 0 之距離 = 3 1< r (E) Q到 3x + 4y − 1 = 0 之距離 =

5 6< r

∴ z + 1 = 0 與球面S截出「大圓」，其面積 25

π 為最大

6. (複選)已知包含三點 A(− 1，0)，B(1，2)，C(7，0)的圓區域中，以圓 C 的面積最小，設 圓 C 的圓心為(a，b)，半徑為 r，則(A) a = 3 (B) b = − 2 (C) r = 2 5

(D) a + b = 3 (E) r ≤ 4

【解答】(A)(D)(E)

【詳解】

AB= 8 ， BC = 40 ，CA = 64 ⇒ CA²>

AB

²+BC² ∴ △ABC 為鈍角△

∴ 包含三點 A，B，C 之圓區域，以 CA 為直徑者面積最小

∴ 圓 C 的圓心為(a，b) =CA 中點(3，0)，半徑 r = 2

1

CA

= 4 7. (複選)xy 平面上，下列各組條件中，何者恰可決定一圓？

(A)圓心為 A(− 1，− 2)，且與 x 軸及 y 軸都相切

(B)過點 A(− 1，− 2)，B(1，2)，C(5，10) (C)與 x 軸，y 軸及直線 x + y = 1 都相切

(D)圓心在直線 x − y + 3 = 0 上，又過點 A(− 1，− 2)，B(1，2) (E)過四點 O(0，0)，D(1，0)，E(0，1)，F(

2 1，

2

1(1 − 2 ))

【解答】(D)(E)

【詳解】

(A)與 x 軸及 y 軸都相切的圓，其圓心必在直線 x − y = 0 或 x + y = 0 上 今以 A(− 1，− 2)為圓心，不合。即沒有圓滿足此條件

(B)∵ A，B，C 共線 ∴ 沒有圓過此三點

(C)與 x 軸，y 軸及 x + y = 1 都相切的圓，在第一象限有 2 個，第二、四象限各有 1 個 (D)設圓心為 Q(t，t + 3)，由QA=QB= 半徑，得唯一的圓

(E)∵ ∠DOE = 90° ∴ △DOE 的外接圓之圓心為 Q(

2 1，

2 1)

∵ QO=QF= 半徑 ∴ O，D，E，F 四點共圓

8. (複選)xy平面上，過點A(1，2)作圓C：x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 的兩切線，切點為B，C，

則(A)AB= 1 (B) BC 的方程式為x − 3y + 4 = 0 (C)

5 10

= 3

BC

(D)△ABC的面積為 10

3 (E)△ABC的外接圓方程式為x² + y² − 3x − y + 1 = 0

【解答】(A)(B)(C)(D)

【詳解】

(A)AB= 1² +2² −4×1+2×2−4= 1

(B)(E)△ABC的外接圓 = 以AQ為直徑的圓

∴ 其方程式為(x − 2)(x − 1) + (y + 1)(y − 2) = 0，即x² + y² − 3x − y = 0

∴

BC ：(x

² + y² − 3x − y) − (x² + y² − 4x + 2y − 4) = 0 ⇒ BC ：x − 3y + 4 = 0 (C)∵ d(Q； BC ) =

10 9 ⇒

5 10 3 10 ) 6

10 ( 9 3

2 ² − ² = =

= BC

(D)△ABC面積 =

10 3 10 1 5

10 3 2 )] 1 (

2 [

1

BC d A

；

BC

= × × =

9. (複選)兩圓C₁：x² + y² − 6x − 2y + 1 = 0，C₂：x² + y² + 4x + 3 = 0 外公切線夾銳角

θ

，則下 列敘述何者正確？(A)外公切線段長為 22 (B)內公切線段長為 10

(C)兩外公切線的交點為 )

2 1 2

(− ，9 − (D)兩內公切線的交點為 ) 4 1 4

(−3， (E)

5 3 sinθ2 =

【解答】(A)(B)(C)(D)

【詳解】

(1) C₁：(x − 3)² + (y − 1)² = 9，C₂：(x + 2)² + y² = 1 ∴ 圓心O₁(3，1)，O₂( − 2，0)，半徑R = 3，r = 1 (2)外公切線段長 = O₁O₂² −(R−r)² = 26−4 = 22 (3)內公切線段長 = O₁O₂² −(R+r)² = 26−16 = 10 (4)在△O1

AD中，

3 1

_{1 2 1}

2 = = =

R DO r BO

AO

AO ： ： ⇒ A )

2 1 2 (− ，9 − (5)仿(4)，兩內公切線的交點為 )

4 1 4 (−3， (6)在△O₂

AB中，

26 2 4 26 1 sin2

2

2 = =

=

A O

B θ O

二、填充題(每題 0 分)

1. 兩圓C1：x² + y² + 6y − 28 = 0，C2：x² + y² + 6x − 4 = 0 相交於A，B兩點，則 AB 方程式為 。

【解答】x − y + 4 = 0

【詳解】

AB ：(x

² + y² + 6x − 4) − (x² + y² + 6y − 28) = 0 ⇒ AB ：x − y + 4 = 0 2. xy平面上，已知直線L：y =

2

5

x + k穿過兩個圓C

1：x² + y² = 4 與C2：x² + (y − 8)² = 4 之間 的空隙，則實數k的範圍為 。

【解答】3 < k < 5

【詳解】

(1)當L與C₁相切時，圓心O(0，0)到L距離 = 半徑 2 ⇒ k = ± 3 (2)當L與C₂相切時，同理k = 5 或k = 11

(3)∴ L欲穿過C₁，C₂之間的空隙 ∴ 3 < k < 5

3. 設一三角形的三頂點為(− 1，0)，(0，− 1)，(− 2，− 1)，此三角形外接圓為圓C，

(1)試求圓C之圓心 。

(2)通過圓外一點P(− 1，3)且與圓C相切的直線斜率為 ，P到切點的距離 為 。

(3)承上，若R為圓C上任一點，試求PR的最大值為 。

【解答】(1) (− 1，− 1) (2)± 15， 15 (3) 5

【詳解】

(1)AB中垂線L₁：x − y = 0，BD中垂線L₂：x + 1 = 0，L₁，L₂交於(− 1，− 1)

∴ 外接圓圓心O(− 1，− 1)， OA = 1

(2)設切線斜率m，切點T，y − 3 = m(x + 1)，即mx − y + m + 3 = 0 圓心到切線距離

1

| 3 1

|

2 + + + +

− m

m

m = 1 ⇒ m² + 1 = 16 ⇒ m =± 15

OP

=4，PT = 4² −1² = 15

(3)

PR

=

PO

+ 1 = 5

4. 設A(4，1)與B(2，− 3)為坐標平面上兩點，若AB為圓C的一弦且此弦與圓心的距離為 5 ， 求圓C的方程式 。

【解答】(x − 5)² + (y + 2)² = 10 或(x − 1)² + y² = 10

【詳解】

設圓心O(a，b)，AB中點P(3，− 1)，^____

AB

^\ = ( − 2，− 4) // (1，2)，

AB

=2 5

⊥ ∴ = t(2，− 1) ∵ | | =

____\

PO

____\

AB

____\

PO

____\

PO 5 ∴ 4t² + t² = 5 ∴ t = ± 1 c當t = 1 時， = (2，− 1) ⇒ (a − 3，b + 1) = (2，− 1) ⇒ (a，b) = (5，− 2) d當t = − 1 時， = (− 2，1) ⇒ (a − 3，b + 1) = ( − 2，1) ⇒ (a，b) = (1，0) 又圓半徑

____\

PO

____\

PO

10 5 5+ =

=

OA

∴ 圓方程式為(x − 5)² + (y + 2)² = 10 或(x − 1)² + y² = 10

5. 設A(1，0)，B(3，− 4)，直線L：3x − 4y = 6，

(1)以A為圓心，且與直線L相切的圓方程式為 。 (2)過A，B兩點，且圓心在直線L上的圓的面積為 。

【解答】(1) (x − 1)² + y² = 25

9 (2) (x + 6)² + (y + 6)² = 85

【詳解】

A(1，0)，B(3，− 4)，L：3x − 4y = 6

(1)以A為圓心且與直線L相切

∴ 半徑 = d (A，L) =

5 3 4 3

| 6 3

|

2 2

+ =

− ∴ 圓方程式為(x − 1)² + y² = 25

9

(2)AB的中垂線與直線L的交點即為圓心，取A，B中點(2，− 2)，

2

−4

AB =

m = − 2

∴ AB中垂線為y + 2 = 2

1(x − 2) ⇒ x − 2y = 6

⇒ (x，y) = (− 6，− 6) 圓半徑 =

⎩⎨

⎧

=

−

=

− 6 2

6 4 3

y x

y x

85 )

6 ( ) 1 6

(− − ² + − ² = ∴ 圓方程式為(x + 6)² + (y + 6)² = 85 6. 自點P(6，2)作圓x² + y² − 8x + 6y + 21 = 0 的切線，切點A，B，求

(1)二切線方程式為 。 (2)直線AB的方程式為 。

(3)△PAB的外接圓的方程式為 。

【解答】(1) 21x − 20y − 86 = 0，x − 6 = 0 (2) 2x + 5y + 3 = 0 (3) x² + y² − 10x + y + 18 = 0

【詳解】

圓(x − 4)² + (y + 3)² = 4，圓心Q(4，− 3)，半徑r = 2

(1)設過點P(6，2)的切線方程式為y − 2 = m(x − 6) ⇒ mx − y + 2 − 6m = 0 圓心Q到切線距離 =

1

| 6 2 3 4

|

2+

− + +

m

m

m

= 2 ⇒ (5 − 2m)² = 4(m² + 1) ⇒ m = 20 21

∴ 一切線方程式為y − 2 = 20

21(x − 6)，但切線有二條，所以另一切線沒有斜率 其方程式為x − 6 = 0，故所求二切線為 21x − 20y − 86 = 0 及x − 6 = 0

(2) 6x + 2y − 2

8(x + 6) + 2

6(y + 2) + 21 = 0 ⇒ 2x + 5y + 3 = 0 (3)△PAB的外接圓即以QP為直徑的圓

其方程式為(x − 4)(x − 6) + (y + 3)(y − 2) = 0 ⇒ x² + y² − 10x + y + 18 = 0 7. 過點(1，3)且與圓(x + 1)² + (y − 2)² = 5 相切的直線方程式為 。

【解答】2x + y − 5 = 0

【詳解】

點 P(1，3)∈圓 C

故所求切線 L：(1 + 1)(x + 1) + (3 − 2)(y − 2) = 5，得 L：2x + y − 5 = 0

8. 坐標平面上，圓C：x² + y² + 6x − 4y − 23 = 0，點P(4，− 4)，求過P點且與圓C相切之切線 方程式 。

【解答】y = − 4，y + 4 = 13

−84(x − 4)

【詳解】

C：(x + 3)

² + (y − 2)² = 36，圓心Q( − 3，2)，半徑r = 6

設過P(4，− 4)之切線為L：y + 4 = m(x − 4) ⇒ L：mx − y − 4m − 4 = 0

∵ 相切 ∴ d(Q，L) = r ⇒

1

| 6 7

|

2 + +

m

m

= 6 ⇒ | 7m + 6 | = 6

m

² +1

兩邊平方 ⇒ 49m² + 84m + 36 = 36(m² + 1) ⇒ 13m² + 84m = 0 ∴ m = 0 或 13

−84 即切線L分別為y = − 4 及y + 4 =

13

−84(x − 4) 9. A(1，2)，B(− 3，0)，

(1)求以AB為直徑的圓K方程式，得 。（以x² + y² + dx + ey + f = 0 形式表之）

(2)若點P(x，y)為圓K上之動點，則x + 2y + 7 之最大值為M，最小值為m，得數對 (M，m) = 。

【解答】(1) x² + y² + 2x − 2y − 3 = 0 (2) (13，3)

【詳解】

(1)利用直徑式：(x − 1)(x + 3) + (y − 2)(y − 0) = 0，得x² + y² + 2x − 2y − 3 = 0 (2) P(x，y) ∈圓K：(x + 1)² + (y − 1)² = 5

利用柯西不等式：[(x + 1)² + (y − 1)²](1² + 2²) ≥ [(x + 1) + 2(y − 1)]²

⇒ 5 × 5 ≥ (x + 2y − 1)² ⇒ − 5 ≤ x + 2y − 1 ≤ 5 ⇒ 3 ≤ x + 2y + 7 ≤ 13 得數對(M，m) = (13，3)

10.圓C通過P(2，0)，Q(0，1)，已知圓C在點P的切線斜率為 − 1，求圓心： 。

【解答】(

2 5 2 1 −

− ， )

【詳解】

設圓C：(x − a)² + (y − b)² = r²，圓C在點P的切線為(2 − a)(x − a) + (0 − b)(y − b) = r² 圓C過P(2，0)，Q(0，1)，且圓C在點P的切線斜率為 − 1

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧(2 − a)² + (0 − b)² = r²……c (0 − a)² + (1 − b)² = r² ……d (2 − a)：(− b) = 1：1……e

，由e得b = a − 2……f，c − d得 4a − 2b = 3……g

f代入g得a = − 2

1，b = − 2 5

11.圓心在第一象限，通過A(1，1)和B(2，2)兩點且與x軸相切的圓方程式為 。

【解答】(x − 2)² + (y − 1)² = 1

【詳解】

圓心在第一象限，且與x軸相切，設圓心(a，b)，a > 0，b > 0，半徑 = b

∴ 圓方程式：(x − a)² + (y − b)² = b²，過(1，1)，(2，2)

⇒ ⇒

c × 2 − d得a

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− +

−

=

− +

−

2 2 2

2 2 2

) 2 ( ) 2 (

) 1 ( ) 1 (

b b a

b b a

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− + +

−

=

− + +

−

0 4 4 4

4

0 2 1 2

1

2 2

b a

a

b a

a ……c

……d

2 − 4 = 0 ∴ a = 2 代入c得b = 1 ∴ 圓方程式為(x − 2)² + (y − 1)² = 1 12.若圓C與直線L：4x + 3y + 15 = 0 相切於(− 3，− 1)，且圓半徑為 4，圓心的x坐標為正，

則圓C的圓心為 。

【解答】(

5 1，

5 7)

【詳解】

設 C(a，b)，a > 0 ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+ = + +

= + +

4 3

4

| 15 3 4

|

3 4 ) 1 ( ) 3 (

2 2

b a

b

a

： ：

⇒ a = 5 1，b =

5 7

13.設A點在圓x² + y² = 4 上移動，B點在圓x² + y² = 16 上移動，則所有AB中點所成圖形的面 積 = 。

【解答】8

π

【詳解】

設A(2cos

α

，2sin

α

)，B(4cos

β

，4sin

β

)，AB中點P(x，y) 則x =2

1(2cos

α + 4cos β

) = cos

α + 2cos β

，y = 2

1(2sin

α

+ 4sin

β

) = sin

α + 2sin β

⇒ x² + y² = (cos

α + 2cos β

)² + (sin

α + 2sin β

)² = 5 + 4cos(

α

−

β

)

∵ − 1 ≤ cos(

α

−

β

) ≤ 1 ∴ 1 ≤ x² + y² ≤ 9，圖形面積 = 9

π

−

π

= 8

π

14.兩圓C₁：x² + y² − 2x − 2y + 1 = 0，C2：x² + y² + 4x + 4y − 17 = 0 交A，B兩點，AB=

。

【解答】 2

【詳解】

AB ：C

1 − C2 = 0 ⇒ AB ：x + y − 3 = 0，PQ= d(P， AB ) = 2

1 且AP= 1

則AB= 2AQ= 2 AP² −PQ² = 2

15.假設一地球儀的半徑為R，在北緯 30°的緯圈上，由東經 30°的位置沿逆時針方向東移到 東經 60°的位置，其所經的弧長為 。

【解答】 πR 12

3

【詳解】

設球心 O，北緯 30°的小圓圓心 O′，半徑 r

在北緯 30°的緯圈上，東經 30°的位置為 A，東經 60°的位置為 B

∴ ∠AO′B = 30°，r = Rcos30° = 2

3

R ∴

︵

AB

= r．

6 π =

2 3

R ×

6

π = πR 12

3

16.設球面方程式為x² + y² + z² = 27，若有一直線L： 交球面於P，Q兩點，則線段

⎩⎨

⎧

=

= +

3 3 2

z

y x

PQ之中點坐標為 。

【解答】(

5 3，

5 6，3)

【詳解】

L：

代入球面S：x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

−

=

3 2 3

z

t y

t x

2 + y² + z² = 27

得 5t²

− 12t − 9 = 0，(5t + 3)(t − 3) = 0，t =

5

−3

，3 代入L 得P( 5

21， 5

−3，3)，Q(− 3，3，3) ∴ 中點為(

5 3，

5 6，3)

17.球面S與S₀：(x + 2)² + y² + (z − 1)² = 2 同心，若S的體積為S₀體積的 2 2 倍，則S的方程式 為 。

【解答】(x + 2)² + y² + (z − 1)² = 4

【詳解】

設S的半徑r，則S的體積為 3

4

π r

³，S₀的體積 = π π 3

2 ) 8

2 3 (

4 ₃

= π π

3 2 2 8 3 2

4 r³ = ⋅ ⇒ r³ = 2³ ⇒ r = 2 ∴ S：(x + 2)² + y² + (z − 1)² = 4 18.球面S切xy平面於點(1，2，0)且過點(3，1，2)，則S的方程式為 。

【解答】(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 4 9)² =

16 81

【詳解】

球面S切xy平面於A(1，2，0)，設球心Q，則QA垂直xy平面且QA為球之半徑

設Q(1，2，k)，又B(3，1，2)，則QA=QB= | k | ⇒ (3 − 1)² + ( − 1)² + (k − 2)² = k²

⇒ k = 4

9，故球面S的方程式為(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 4 9)² =

16 81

19.點P(1，2，3)到球面S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的切線段長為 ，所有切點形成一 個圓，此圓所在平面方程式為 ，圓的圓心坐標為 。

17) 30 17 20 17

( 3， ，

【解答】(1) 7 (2) 2x + 2y + 3z = 8 (3)

【詳解】

S：(x + 1)

² + y² + z² = 10 的球心Q( − 1，0，0)，過P(1，2，3)作球的切線，一切點T (1)切線段長PT = PQ² −r² = (4+4+9)−10 = 7

(2)所有切點所成的圓即以P為中心，PT 為半徑的球面S ′與球面S的交圓

此圓所在平面E即為兩球的根平面，S ′的方程式為(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 7 平面E的方程式為[(x + 1)² + y² + z² − 10] − [(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² − 7] = 0 即 2x + 2y + 3z = 8

(3)兩球面交圓的圓心為球心連線PQ與平面E的交點，直線PQ的方程式：

3 2 2

1 y z

x+ = = 設圓心R( − 1 + 2t，2t，3t)代入E：2x + 2y + 3z = 8 得 2( − 1 + 2t) + 2(2t) + 3(3t) = 8

⇒ t = 17

10 ，故R )

17 30 17 20 17

( 3， ，

20.設(x，y)滿足x = 1−y² ，則 5 5

− + x

y 的最小值 = ，最大值= 。

【解答】−

3 4，−

5 4

【詳解】

x =

1−y² ≥ 0 ⇒ x² + y² = 1 且x ≥ 0 表一右半圓 令A(5，− 5)，P(x，y) ⇒

5 5

− + x

y 表AP斜率 當P(0，− 1)時有最大值

5 5 1

− +

− = −

5 4

當P = D（切點）時有最小值，令 5 5

− + x

y = m

mx − y − 5m − 5= 0 與圓相切 ⇒

1

| 5 5

|

2 +

−

− m

m = 1

⇒ 25m² + 50m + 25 = m² + 1 ⇒ 24m² + 50m + 24 = 0 ⇒ m = − 4 3或 −

3 4

m = −

4

3時，表切於圓下方的切線斜率，不合。故m = − 3

4為所求最小值 21.點P(x，y，z)為球面S：(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 16 上任一點，

(1)求 6x − 2y − 3z之最大值為 。

(2)求 (x−4)² +(y+4)² +(z−5)² 之最小值為 。

【解答】(1) 21 (2) 3

【詳解】

(1)由柯西不等式

[(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)²][6² + (− 2)² + (− 3)²] ≥ [6(x − 1) − 2(y − 2) − 3(z − 3)]²

⇒ 16 × 49 ≥ (6x − 2y − 3z + 7)² ⇒ − 28 ≤ 6x − 2y − 3z + 7 ≤ 28

⇒ − 35 ≤ 6x − 2y − 3z ≤ 21，故最大值為 21 (2)設P(x，y，z) ∈ S，Q(4，− 4，5)

則所求 = |AQ − R |（其中A(1，2，3)及R = 4 分別為S之球心及半徑）= 7 − 4 = 3

22.二球面S1：x²

+ y

²

+ z

²

= 25，S

2：x²

+ y

²

+ z

²

− 2y − 4z = 11，S

1與S2之交點形成一個圓C，

其圓心(a，b，c)，圓面積為A，則序組(a，b，c，A) = 。

【解答】(0，

5 7，

5 14，

5 76π

)

【詳解】

圓C所在平面E：S₁

− S

2 = 0 ⇒ E：(x²

+ y

²

+ z

²

− 25) − (x

²

+ y

²

+ z

²

− 2y − 4z − 11) = 0

⇒ E：y + 2z − 7 = 0 ∵ PQ ⊥ E，故 //n

____\

PQ

^K= (0，1，2)，可設圓心Q(0，t，2t) 將Q(0，t，2t)代入E：y + 2z − 7 = 0 ⇒ t + 4t − 7 = 0 ⇒ t =

5 7

故圓心Q(a，b，c) = (0，

5 7 ，

5 14) 圓半徑r =QM = PM² −PQ² =

25 25−245 =

380 =25 5 76 故圓面積A =

π r

² =

5

76

π

⇒ (a，b，c，A) = (0，

5 7，

5 14，

5 76π

) 23.設點P(a，b，c)為球面S：(x + 1)² + (y − 1)² + z² = 1 上距離直線L：

2

−3 x =

2

−2 y =

1 +1 z 最 近的一點，求(1) (a，b，c) = 。 (2)此點P與L的距離為 。

【解答】(1) ( 3

−1

，3 2，

3

−2

) (2) 2

【詳解】

設球心 A(−1，1，0)到直線 L 之垂足為 B，則 B(3 + 2t，2 + 2t，−1 + t) 而^____

AB

^\= (4 + 2t，1 + 2t，−1 + t) ⊥ L 之方向向量dK

= (2，2，1)

． = 0 ⇒ 9t + 9 = 0 ⇒ t = − 1，則 B(1，0，− 2) 故 P 與直線 L 的距離 =

____\

AB

dK

BP=AB−AP= 3 − 1 = 2 由分點公式 P(a，b，c) = (

2 1

1 1 2 ) 1 (

+

× +

×

− ，

2 1

1 0 2 1

+

× +

× ，

2 1

1 ) 2 ( 2 0

+

×

− +

× ) = (

3

−1

，3 2，

3

−2 ) 24.求過點A(3，5，3)且與球面S：x² + y² + z² − 2x − 4y + 6z = 35 相切的平面方程式 。

【解答】2x + 3y + 6z − 39 = 0

【詳解】

球面S：x² + y² + z² − 2x − 4y + 6z = 35 ⇒ (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 49

球心O(1，2，− 3)，半徑 = 7，將A(3，5，3)代入S得 9 + 25 + 9 − 6 − 20 + 18 = 35 故A在球面S上，即A為切點， = (2，3，6)

故平面方程式可設為 2x + 3y + 6z + k = 0，又過(3，5，3)

⇒ 2 × 3 + 3 × 5 + 6 × 3 + k = 0 ∴ k = − 39 ∴ 平面方程式為 2x + 3y + 6z − 39 = 0

____\

OA

25.設A(1，− 1，− 2)，B(1，2，1)，通過A與B的平面E與球面S：x² + y² + z² = 2 截出的所有 圓中，面積最小值 = ，此時平面E的方程式為 。

【解答】2

1

π

，2x + y − z − 3 = 0

【詳解】

____\

AB= (0，3，3) = 3(0，1，1)，直線AB的方程式 代入x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

= +

−

=

=

t z

t y

x

2 1 1

2 + y² + z² = 2

1 + ( − 1 + t)² + ( − 2 + t)² = 2 ⇒ t² − 3t + 2 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 2) = 0 ⇒ t = 1，2

∴ 直線AB與球面S的交點為P(1，0，− 1)，Q(1，1，0)，PQ中點M(1，

2 1，−

2 1) 則包含A，B的平面E與OM垂直時，截圓面積最小，此圓即以PQ為直徑的圓

(1)設最小圓的半徑r，則r² =

2 ) 1 2 2 (1 2 )

(1PQ ² = ² = ∴ 圓面積為 2 1

π

(2)平面E以 )

2 1 2 1 1 (

_____\

−

= ， ，

OM

為法向量且過A(1，− 1，− 2)

∴ E的方程式為(x − 1) + 2

1(y + 1) − 2

1(z + 2) = 0，即 2x + y − z − 3 = 0

【說明】

c直線AB與球面不相交時，沒有最小圓。

d通過A，B之平面E與球面所交最大圓為球的大圓，即平面E通過球心時所截出的圓。

26.一平面 3x + 6y + 2z − 18 = 0 與三坐標軸相交於A，B，C三點，O為原點，則四面體O-ABC 之內切球之球心為 。

【解答】(1，1，1)

【詳解】

設球心為(r，r，r)，半徑為 r，r > 0， r r

r r r

r = ⇒ − =

+ +

− + +

7

| 18 11

| 2

6 3

| 18 2 6 3

|

2 2 2

∵ 球心與原點在平面之同側 ⇒ 18 − 11r = 7r ⇒ r = 1，故球心為(1，1，1) 27.空間中，球面S：(x − 3)² + y² + (z + 4)² = 25 被平面x = 2 切割的截面圓方程式為

。

【解答】⎩⎨⎧

=

= + +

2

24 ) 4

( ²

2

x z y

【詳解】

，d代入c ⇒ y

⎩⎨

⎧S：(x − 3)² + y² + (z + 4)² = 25……c

E：x = 2……d

² + (z + 4)² = 24

∴ 截圓方程式為

⎩⎨

⎧

=+ + = 2

24 ) 4

( ²

2

x z y

28.一厚度超過 5 的水平放置木板上，穿有一邊長為 10 的正三角形的洞，今將半徑 5 的硬 球放入正三角形，則木板上球的高度為 。

【解答】5 + 3

6 5

【詳解】

如上圖，設球心為 O，球面被木板表面截出之圓的圓心 P，半徑PQ= r

OQ= 5，利用內切圓半徑 r = s

△，則 r = s

△=

) 10 10 10 2( 1

4 10

3 2

+ +

× =

3 3 5

∴ OP= OQ² −r² =

9 5² −75 =

3 6

5 ，故木板上球的高度為 5 + 3

6 5

29.從A( − 2，2)發出之光線，照在鏡面（x軸）上最大區間[p，q]，反射光線皆與圓x² + y² − 4x

− 4y + 7 = 0 相交，求序對(p，q) = 。

【解答】(

15 31 2 2−

， 15 31 2 2+

)

【詳解】

圓x² + y² − 4x − 4y + 7 = 0 之圓心B(2，2)，半徑r = 1 由A( − 2，2)射向x軸之反射光線必過A′( − 2，− 2)

設過A′( − 2，− 2)且與圓相切之切線L：y + 2 = m(x + 2)……c 則d(B，L) =

1

| 4 4

|

2 +

−

m

m

= 1 ⇒ 15m² − 32m + 15 = 0 ⇒ m = 15

31 16±

代入c 得y + 2 =

15 31

16± (x + 2)……d，由d，令y = 0，得x = 15

31 2 2± 即p = 15

31 2

2− ，q = 15

31 2

2+ ，故序對(p，q) = ( 15

31 2 2−

， 15 31 2 2+

)