中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

排版\050410-封面

高級中等學校組 數學科

050410-封面 光纖通路

學校名稱：裕德學校財團法人新北市裕德高級中等學 校

作者： 指導老師：

高二 蔡秉翰 高二 謝易衡 高二 楊佩蓁

陳明仁 蔡孟璇

關鍵詞： K 標差圖、基爾霍夫定理、橫排推移

摘要

n 個城市建立光纖網路，以最經濟的連接方式，需(n-1)段連線，探討共有幾種建 立方法ℒ(𝑘𝑘, n) (但限定城市標號差不得大於 k，k∈Ν)，我們依照條件逐步排出，驗證 資料[2]中的發現，當 k＝2 時，得到規則ℒ(2, n) = 3 ℒ(2, n − 1) − ℒ(2, n − 2)

，𝑛𝑛 ≥ 3，而前後兩項的比值正是黃金比例的平方�^1+√5₂ �² = ^3+√5₂ ≈ 2.618。接著，我們

繼續探討ℒ(3, n)各項的值，並尋找關係式，發現前後兩項的比值似乎也趨近於某個定數

。另外，我們觀察到，若k = n −1，則ℒ(n − 1, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2，這就是凱萊公式[7]。因此 我們繼續以『橫排推移』的方式探討並發現ℒ(n − 2, n)的公式。在ℒ(n − 3, n)在經過多 方面的嘗試，我們也發現它跟 n 有規律性的關連，進一步地研究終於提出它是 n 進位的 式子的猜想。另外，我們也以生成樹來探討我們的問題，並引用基爾霍夫定理矩陣[6]

來計算我們的推理，證明吻合。

壹、 研究動機

我們由歷屆科展的作品[2]中，發現一個建立網路的有趣問題，卻還沒解決，在原作者努力下

僅推導到ℒ(3,7) = 1485，我們嘗試各種方式來探討，發現原作數據有誤，正確的連接方法應

該是 1488 種。這個看似單純的題目卻充滿挑戰，因此，我們進一步的研究探討：

1.「標號差」為 3 時有幾種建立方法：ℒ(3,8) = ？，ℒ(3,9) = ？，ℒ(3,10) = ？ ⋯…。

2.「標號差」為 4 時有幾種建立方法：ℒ(4,5) = ？，ℒ(4,6) = ？，ℒ(4,7) = ？ ⋯…。

3.「標號差」為 5、6、7、8、9⋯ ⋯的建立方法，並尋找它們前後項之間的關連性。

4. 除了以上『縱』的推導計算，我們也研究『橫』的關係，除了凱萊公式[7]以外，

我們也希望獲得其他關係式。

貳、 研究目的及問題

一、 名詞與符號定義 (一)生成樹

1.生成子圖(sub-graph)：指滿足 V(G’ )=V(G)的 G 的子圖 G’

2.樹狀結構(樹狀圖)⟹某結構由有限節點組成有層次關係的集合

(1)每個節點都只有有限個子節點或無節點。

(2)無父節點的節點叫做根(root)，其餘非根節點必存在一個父節點。

(3)沒有迴路。

結合 1、2 就是生成樹的定義。

(二)圖標號(Labeling):在 G=(V,E)中，頂點標記 V 的集合(整數) 例如：

圖(一) 圖(二)

標號差：在已標記的 G 中，對於任意邊 e, e 的標號差是其兩個頂點之間的標號的 絕對差值。換句話說，如果標號為 i 和 j 的 e 的端點，e 的標號差為|i - j|。

(三) ℒ(k, n)：符合標號差≤ k，n個節點所形成的生成樹(經標號)的集合的個數。

(四)關聯矩陣(incident matrix)

𝑉𝑉(𝐺𝐺)= 𝑛𝑛 , 𝐸𝐸(𝐺𝐺)= 𝑚𝑚, incident matrix 為 n×m 的矩陣，

將Ｇ中頂點標為𝑉𝑉1~𝑉𝑉_𝑛𝑛 ，邊標為𝑒𝑒1~𝑒𝑒_𝑚𝑚

在𝑀𝑀(𝐺𝐺)中，𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖�

1, 𝑉𝑉_𝑖𝑖是𝑒𝑒_𝑖𝑖的起點

−1, 𝑉𝑉_𝑖𝑖是𝑒𝑒_𝑖𝑖的終點 0, 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

𝑀𝑀_(𝐺𝐺) = � 1 0 −1

−1 1 0

0 −1 1 �

圖(三) 矩陣

(五)拉氏矩陣(Laplacian matrix) A. 是一種 n×m 的矩陣

B. 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖�−1 , 𝑒𝑒 ≠ 𝑗𝑗 , 𝑉𝑉^𝑖𝑖 , 𝑉𝑉_𝑖𝑖相鄰 deg(𝑉𝑉𝑖𝑖) , 𝑒𝑒 = 𝑗𝑗

𝐿𝐿_(𝐺𝐺)=

⎣⎢

⎢⎢

⎡ 2 −1 −1 0 0

−1 2 −1 0 0

−1 −1 4 −1 −1

0 0 −1 1 0

0 0 −1 0 1 ⎦⎥⎥⎥⎤

圖(四) 矩陣

二、 研究問題：我們探討：

1.「標號差」為 3 時有幾種建立方法：ℒ(3,8) = ？，ℒ(3,9) = ？，ℒ(3,10) = ？ ⋯…。

2.「標號差」為 4 時有幾種建立方法：ℒ(4,5) = ？，ℒ(4,6) = ？，ℒ(4,7) = ？ ⋯…。

3.「標號差」為 5、6、7、8、9⋯ ⋯的建立方法，並尋找它們前後項之間的關連性。

4. 除了以上『縱』的推導計算，我們也研究『橫』的關係，除了凱萊公式[7]以外，

我們也希望獲得其他關係式。

參、 研究設備及器材

筆、紙、電腦、網路、Python 程式語言。

肆、 研究過程或方法

一、文獻探討：

(一)引理 Prüfer 序列：

定義：在生成樹圖 T 中，V(T)＝n 且 E(T)＝n-1，而每個節點上都有 1～n 標號。此時，

我們能對不同的生成樹產生 Prüfer 序列(長度＝n-2)，若且為若，不同的序列會對應 到不同的生成樹。

(二)引理Kirchhoff Theorem(基爾霍夫定理)

定義: 又稱矩陣樹定理，是指圖的生成樹數量等於調和矩陣(去除最後一行和一列)的行

列式。

例如： ℒ(2,4)為det �

2 −1 −1 0

−1 3 −1 −1

−1 −1 3 −1 0 −1 −1 2

�刪掉最後一行一列後計算行列式值，得到 8。

我們發現繼續在有限制的條件下，也驗證了ℒ(3,5)、ℒ(4,6)、ℒ(5,7) … 等。

ℒ(3,5) = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜

⎣⎢

⎢⎢

⎡ 3 −1 −1 −1 0

−1 4 −1 −1 −1

−1 −1 4 −1 −1

−1 −1 −1 4 −1 0 −1 −1 −1 3 ⎦⎥⎥⎥⎤

= 75

ℒ(4,5) = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜

⎣⎢

⎢⎢

⎢⎡ 4 −1 −1 −1 −1 0

−1 5 −1 −1 −1 −1

−1 −1 5 −1 −1 −1

−1 −1 −1 5 −1 −1

−1 −1 −1 −1 5 −1 0 −1 −1 −1 −1 4 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

= 864

(八)引理 Caley 公式

計算在完全圖中的生成樹(經標號後的)的總數，若有 n 個頂點，生成樹的數量是

𝑛𝑛^𝑛𝑛−2。

二、研究流程架構

ℒ(n − 3, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 6𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 10𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 4𝑛𝑛^𝑛𝑛−5，n ≥ 5

繼續研究ℒ(n − 5, n) ⋯ ⋯ 光纖通路 ℒ(1, 𝑛𝑛)

ℒ(2, 𝑛𝑛)

原作 一般項

手算和圖形求其數值

找出關係式 證明

ℒ(3, 𝑛𝑛)

原作 ℒ(3,7)錯誤

手算和圖形求其數值

嘗試找出前後項的關係式

發現各項之間比例有些關連性

自創連接方法

ℒ(4, n), ℒ(5, n), ℒ(6, n) … 尋找『縱』的關係

ℒ(𝑛𝑛 − 1, n) ℒ(n − 1, n)

= 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2，n ≥ 2

『橫』的關係 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2= ℒ(n − 1, n) = ℒ(n, n) = ℒ(n + 1, n) = ⋯ ⋯

ℒ(n − 2, n) = (𝑛𝑛 − 2)𝑛𝑛^𝑛𝑛−3

= 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 2 ∙ 𝑛𝑛^𝑛𝑛−3，n ≥ 3 以 n 進位探討

ℒ(n − 4, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 12𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 52𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 100𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 83𝑛𝑛^𝑛𝑛−6− 24𝑛𝑛^𝑛𝑛−7，𝑛𝑛 ≥ 7 利用基爾霍夫矩陣定理驗證

三、研究過程

(一)研究方向一: ℒ(1, n)、ℒ(2, n)、ℒ(3, n)、ℒ(4, n) ⋯ ⋯ ⋯ 1.ℒ(1, n)的建立方法：

ℒ(1,2) = 1 1-2 ℒ(1,3) = 1 1-2-3 ℒ(1,4) = 1 1-2-3-4 ⋮ ⋮

ℒ(1, n) = 1 1-2-3-4…….n

2.ℒ(2, n) 的建立方法[表一]：

ℒ(2,2) = 1 1-2

ℒ(2,3) = 3 1-2-○³ ○³ -1-2 1-○³-2

ℒ(2,4) = 8 1-2-3

｜

○⁴

1-2-○⁴ -3 1-2-3-○⁴

○⁴ -3-1-2 3-1-2-○⁴ 1-3-2

｜

○⁴

1-3-○⁴ -2 1-3-2-○⁴

我們發現，若 2、3 相連，則連上 4 有三種方法；若 2、3 被 1 分開，則連上 4 剩下兩種 方法；當ℒ(2,2)要加入 3 時，若 2、3 分開，則少一種。

所以得到ℒ(2,4) = 3ℒ(2,3) − ℒ(2,2) = 8。

[表二]

ℒ(2,5) = 21 1-2-3-○⁵ ｜

4-○⁵

1-2-4-○⁵ -3-○⁵ ｜

○⁵

1-2-3-○⁵ -4-○⁵ ｜

○⁵

○⁵ -4-○⁵ -3-2-1 ｜ ○⁵

○⁵-3-1-2-4-○⁵

○⁵ -4-○⁵

｜ 1-3-2 ∟○⁵

1-3-○⁵ -4-2

｜ ｜

○⁵ ○⁵

1-3-2-4-○⁵ ｜ ○⁵

我們發現若 3、4 相連，則連上 5 有三種方法；若 3、4 被 1、2 分開，則連上 5 只剩兩 種方法；當ℒ(2,3)要加入 4 時，ℒ(2,3)的每一種都恰有一個使 3、4 分開，所以各少一 種。所以得到ℒ(2,5) = 3ℒ(2,4) − ℒ(2,3) = 3 × 8 − 3 = 21。

推論：(1) ℒ�2，n� = 3ℒ�2，n − 1� − ℒ�2，n − 2�

(2)我們發現 1,3,8,21……是費氏數列的偶數項，我們導出一般式：

∵ ℒ�2，n� = 3ℒ�2，n − 1� − ℒ�2，n − 2�

令 ℒ�2，n� − 𝛼𝛼ℒ�2，n − 1� = 𝛽𝛽 �ℒ�2，n − 1� − 𝛼𝛼ℒ�2，n − 2��

則 ℒ�2，n� = (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)ℒ�2，n − 1� − 𝛼𝛼𝛽𝛽ℒ�2，n − 1�

∴�𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 3𝛼𝛼𝛽𝛽 = 1 ⇒ 𝛼𝛼, 𝛽𝛽即為𝑥𝑥²− 3𝑥𝑥 + 1 = 0 之兩根

∴令𝛼𝛼 =^3+√5₂ , 𝛽𝛽 =^3−√5₂ 令 ℒ�2，n� = 𝑘𝑘𝛼𝛼^𝑛𝑛+ 𝑙𝑙𝛽𝛽^𝑛𝑛 則� ℒ�2，2� = 𝑘𝑘𝛼𝛼²+ 𝑙𝑙𝛽𝛽² = 1 ℒ�2，1� = 𝑘𝑘𝛼𝛼¹+ 𝑙𝑙𝛽𝛽¹= 0

⇒ �

7+3√5

2 𝑘𝑘 +^7−3√5₂ 𝑙𝑙 = 1 ⋯ ⋯ ○1

3+√5

2 𝑘𝑘 +^3−√5₂ 𝑙𝑙 = 0 ⋯ ⋯ ○2 ○1−^A○2 × 3 得−𝑘𝑘 − 𝑙𝑙 = 1 ⇒ 𝑙𝑙 = −𝑘𝑘 − 1 代入 ○2 ^3+√5

2 𝑘𝑘 +^3−√5₂ (−𝑘𝑘 − 1) = 0 ⇒ 𝑘𝑘 =^3−√5_2√5 𝑙𝑙 =^−3+√5_2√5 − 1 =^{−�3+√5�}_2√5 ∴ ℒ�2，n� =_√5¹ �^3−√5₂ �^3+√5₂ �^𝑛𝑛−^3+√5₂ �^3−√5₂ �^𝑛𝑛� =_√5¹ ��^1+√5₂ �^2𝑛𝑛− �^1−√5₂ �^2𝑛𝑛�

3.ℒ(3, n)的建立方法：[表三]

ℒ(3,2) = 1 1-2

ℒ(3,3) = 3 1-2-○³ ○³ -1-2 1-○³ -2

ℒ(3,4) = 16 1-2-3-○⁴ 1-2-○⁴ -3 1-2-3 ∟○⁴ 1-○⁴ -2-3 ○⁴ -1-2-3

1-3-2-○⁴ 1-3-○⁴ -2 1-3-2 ∟○⁴ 1-○⁴ -3-2 ○⁴ -1-3-2

3-1-2-○⁴ 3-1-○⁴ -2 3-1-2 ∟○⁴

3-○⁴ -1-2 ○⁴ -3-1-2 1-○⁴ -3

∟2 ℒ(3,5) = 75

^1-2-○

⁵

^-3-○

⁵

^-4-○

⁵

｜ ｜

○⁵ ○⁵

1-2-○

⁵

-4-○

⁵

-3-○

⁵

｜ ｜

○⁵ ○⁵

┌○

⁵

1-2-○

⁵

-3-○

⁵

｜

○⁵ -4-○⁵

1-4-○

⁵

-2-○

⁵

-3-○

⁵

｜ ｜ ○

⁵

○

⁵

○

⁵

-4-1-2-○

⁵

-3-○

⁵

｜

○

⁵

1-3-○

⁵

-2-○

⁵

-4-○

⁵

｜ ｜

○

⁵

○

⁵

1-3-○

⁵

-4-○

⁵

-2-○

⁵

｜ ｜

○

⁵

○

⁵

○

⁵

｜

1-3-○

⁵

-2-○

⁵

｜

○

⁵

-4-○

⁵

1-4-○

⁵

-3-○

⁵

-2-○

⁵

｜ ｜

○

⁵

○

⁵

○

⁵

-4-1-3-○

⁵

-2-○

⁵

｜

○

⁵

○ 5 -3-1-2-○ 5 -4-○ 5

|

○ 5

○ 5 -3-1-4-○ 5 -2-○ 5

|

○ 5

○ 5 -3-1-2-○ 5

| 4-○ 5

○ 5 -3-○ 5 -4-1-2-○ 5

|

○ 5

○ 5 -4-○ 5 -3-1-2-○ 5 | ○ 5

○ 5 -2-○ 5

|

1-4-○ 5 -3-○ 5 ∟○ 5

○ 1 -3-5-2-○ 1

| 4-○ 1

我們發現若 2、3、4 連在一起，則加入 5 會有五種連法；若 2、3、4 分成兩部分，則加 入 5 剩四種連法；若 2、3、4 完全分開成三部分，則加入 5 剩三種連法；新增種連法：

以最高數 5 為中心，環繞 2、3、4 共三個分支，共三種連法；由以上分析，我們繼續探 討得到：ℒ(3,6) = 101 + 106 + 79 + 24 + 15 + 11 = 336

ℒ(3,7) = 101 + 106 + 79 + 79 + 60 + 79 + 106 + 101 + 101 + 60 + 64 + 64 + 45 + 82 + 82 + 106 + 72 + 55 + 45 + 1 = 1488

4.ℒ(4, n)的建立方法[表四]，[表五]

ℒ(4,2) = 1 1-2

ℒ(4,3) = 3 1-2-○³ ○³ -1-2 1-○³-2

ℒ(4,4) = 16 1-2-3-○⁴ 1-2-○⁴ -3 1-2-3 ∟○⁴ 1-○⁴ -2-3 ○⁴ -1-2-3

1-3-2-○⁴ 1-3-○⁴ -2 1-3-2 ∟○⁴ 1-○⁴ -3-2 ○⁴ -1-3-2

3-1-2-○⁴ 3-1-○⁴ -2 3-1-2 ∟○⁴ 3-○⁴ -1-2 ○⁴ -3-1-2

1-○⁴ -3 ∟2

ℒ(4,5) = 7ℒ(4,4) + 6 + 4 + 2 + 1 = 125

ℒ(4,6)之 ○¹ ＝233

^{1-2-3-4-5 1-2-3-5-4 1-2-3-4} ∟5 1-2-5-3-4 1-2-3-4

└5

1-5-2-3-4

5-1-2-3-4

共 7×6+6＝48 種

1-2-4-3

也是 7×6+6＝48 種 1-2-3

∟4

也是 7×6+6＝48 種

1-4-2-3-5

也是 7×6+6＝48 種

4-

1-2-3-5 4-1-2-5-3 4-1-2-3

∟ 5

4-1-5-2-3

4-1-2-3

∟5

4-5-1-2-3

5-4-1-2-3 共 6×6+5＝41 種

ℒ(4,6)之 ○² ＝233 1-3-2-4-5 ℒ(4,6)之 ○³ ＝198

^3-1-2-5

∟4

3-1-2 ∟4-5

5-3-1-2

∟4 ┌5

3-1-2 ∟4

ℒ(4,6)之 ○⁴ ＝88 ┌○⁴ 1-5-3

∟2

有 7 種

┌○4

1-○4 -5-○4 -3-○4 |

○4 -2-○4

有 7×6 種

○

⁴

-1-5-3 | 2 有 6 種

合計有 7×6 +6 = 48種

1-○ 3 -5-4 | ○ 3 -2-○ 3

4

|

○3 -1-5-2

合計有 7×3 +6 = 27種

1-○2 -5-4

∟3

┌4 ○2 -1-5-3

合計有 7 +6 = 13種

ℒ(4,6)之 ○⁵ ＝48

^1-4-3-5

∟2

5-1-4-3 ∟2

ℒ(4,6) = 864 , ℒ(4,7) = 5636 , ℒ(4,8) = 35840 ⋯ ⋯

(二)研究方向二： ℒ(n − 1, n)、ℒ(n − 2, n)、ℒ(n − 3, n) ⋯ ⋯

1.根據以上「研究方向一」討論出來的數據，製作出以下表格[表六]

n k

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 8 21 55 144

3 1 3 16 75 336 1488 6580

4 1 3 16 125 336 5635 35840

5 1 3 16 125 336 12005 104448

6 1 3 16 125 336 16807 196608

發現𝓛𝓛(𝐧𝐧 − 𝟏𝟏, 𝐧𝐧) = 𝒏𝒏^{𝒏𝒏−𝟐𝟐}的關係。

2. ℒ(n − 1, n)：我們繼續探討最大標號節點 n 的度數對其生成樹個數的影響：[表七]

n 標號 n 的度數

2 3 4 5 6 7

1 1 2 9 64 625 7776

2 1 6 48 500 6480

3 1 12 150 2160

4 1 20 360

5 1 30

6 1

對應為[表八]

n 標號 n 的度數

2 3 4 5 6 7

1 1 1 × 2¹ 1 × 3² 1 × 4³ 1 × 5⁴ 1 × 6⁵ 2 1 × 2⁰ 2 × 3¹ 3 × 4² 4 × 5³ 5 × 6⁴

3 1 × 3⁰ 3 × 4¹ 6 × 5² 10 × 6³

4 1 × 4⁰ 4 × 5¹ 10 × 6²

5 1 × 5⁰ 5 × 6¹

6 1 × 6⁰

我們有以下的發現：

ℒ(3,4) = 𝐶𝐶₁³ℒ(2,3) + 𝐶𝐶₂³𝐶𝐶₁² ℒ(1,2) + 𝐶𝐶₃³ = 9 + 6 + 1 = 𝐶𝐶₀²× 3²+ 𝐶𝐶₁²× 3¹+ 𝐶𝐶₂²× 3⁰

= 𝐶𝐶₀²× 3²+ 𝐶𝐶₁² × 3¹+ 𝐶𝐶₂² × 3⁰ =(3 + 1)² = 4 = 16 ℒ(4,5) = 𝐶𝐶₁⁴ℒ(3,4) + 𝐶𝐶₂⁴�𝐶𝐶₂²2! ℒ(2,3) +𝐶𝐶₁²𝐶𝐶₁¹

2! 2! 𝑍𝑍²²� + 𝐶𝐶₃⁴�𝐶𝐶₁¹3!

2!� + 𝐶𝐶₄⁴

= 64 + 48 + 12 + 1 = 𝐶𝐶₀³× 4³ + 𝐶𝐶₁³× 4²+ 𝐶𝐶₂³× 4¹+ 𝐶𝐶₃³× 4⁰ = (4 + 1)³ = 5³ = 125 ℒ(5,6) = 𝐶𝐶₁⁵ℒ(4,5) + 𝐶𝐶₂⁵�𝐶𝐶₃³2! ℒ(3,4) + 𝐶𝐶₂³𝐶𝐶₁¹2! ℒ(2,3)ℒ(1,2)�

+𝐶𝐶₃⁵�𝐶𝐶₂²3!

2! ℒ(2,3) +𝐶𝐶₁²𝐶𝐶₁¹

2! 3! ℒ(1,2)²� + 𝐶𝐶₄⁵�𝐶𝐶₁¹4!

3! ℒ(1,2)� + 𝐶𝐶55

= 625 + 500 + 150 + 20 + 1

= 𝐶𝐶₀⁴× 5⁴+ 𝐶𝐶₁⁴× 5³+ 𝐶𝐶₂⁴ × 5² + 𝐶𝐶₃⁴× 5¹+ 𝐶𝐶₄⁴× 5⁰ =(5 + 1)⁴ = 6⁴ = 1296 ℒ(6,7) = 𝐶𝐶₁⁶ℒ(5,6) + 𝐶𝐶₂⁶�𝐶𝐶₄⁴× 2! × ℒ(4,5) + 𝐶𝐶₃⁴× 2! × ℒ(3,4)ℒ(1,2) +^𝐶𝐶24_2!^𝐶𝐶22× 2! ℒ(2,3)²� + 𝐶𝐶₃⁶�𝐶𝐶₃^{3 3!}_2!ℒ(3,4) + 𝐶𝐶₂³𝐶𝐶₁¹ × 3! ℒ(2,3)ℒ(1,2) +^{𝐶𝐶13𝐶𝐶}_3!^12𝐶𝐶11× 3! ℒ(1,2)³� +

𝐶𝐶₄⁶�𝐶𝐶₂^{2 4!}_3!ℒ(2,3) +^𝐶𝐶12_2!^𝐶𝐶114!_2!ℒ(1,2)²� + 𝐶𝐶₅⁶×^5!_4!ℒ(1,2) + 𝐶𝐶₆⁶ = 𝐶𝐶₀⁵6⁵+ 𝐶𝐶₁⁵6⁴+ 𝐶𝐶₂⁵6³+ 𝐶𝐶₃⁵6²+ 𝐶𝐶₄⁵6 + 𝐶𝐶₅⁵ = (𝟔𝟔 + 𝟏𝟏)^𝟓𝟓= 𝟕𝟕^𝟓𝟓

3.ℒ(n − 2, n) = (𝑛𝑛 − 2)𝑛𝑛^𝑛𝑛−3

4. ℒ(n − 3, n)：

ℒ(n − 3, n)與 n 的關係式並不是那麼明顯，但是在經過多方面的試驗後終於有了進展，

我們嘗試以 n 進位來探討，赫然發現它有規律性的關連：

ℒ(3, 𝑛𝑛)

100 4 300 5 1320 6 4224 7 14664 8 43806 9 128544 10 358906 11 1010164 12 23○¹¹6725 13 67201224 14

ℒ(4, n)

1000 5 4000 6 22300 7 106000 8 671440 9 1424736 10 5080252 11 16○¹¹22○¹¹30 12 589121○¹¹91 13 173○¹¹60168 14

ℒ(5, n)

10000 6 50000 7 314000 8 1578300 9 7272720 10 30855054 11 18883400 12

○¹²563○¹¹047 13 71849132 14 ℒ(6, n)

100000 7 600000 8 4050000 9 22806000 10 111035900 11 5722○¹⁰○¹⁰800 12 24014○¹²0○¹²49 13

○¹²07○¹³968968 14 ℒ(7, n)

1000000 8 7000000 9 49600000 10 2○¹⁰6390000 11 164○¹¹000000 12 92140○¹²8○¹²00 13 413095○¹⁰4120 14

我們在ℒ(3, 𝑛𝑛)這些 n 進位沒發現前後項有何關連性，在ℒ(4, 𝑛𝑛)也沒發現，這些『縱』的 觀察，沒有找到明確的關連性，但是，我們卻在『橫』的方面發現非常有趣的關係。

41(+51) (5 進位) 1320(+61) (6 進位) 22300(+71) (7 進位) 314000(+81) (8 進位) 4050000(+91) (9 進位) 49600000(+101) (10 進位) 597000000(+101) (11 進位) 6980000000(+101) (12 進位) 79900000000(+101) (13 進位) 89○¹⁰000000000(+101) (14 進位) 99○¹¹0000000000(+101) (15 進位)

ℒ(2,5) = 21 ≡ 41₍₅₎ ℒ(3,6) = 336 ≡ 1320₍₆₎ ℒ(4,7) = 5635 ≡ 22300₍₇₎ ℒ(5,8) = 104448 ≡ 314000₍₈₎ ℒ(6,9) = 2158569 ≡ 4050000₍₉₎ ℒ(7,10) = 49600000(10)

ℒ(8,11) = 1259579871 ≡ 597000000₍₁₁₎ ℒ(9,12) = 35115171840 ≡ 6980000000(12) ℒ(10,13) = 1067791513789 ≡ 79900000000₍₁₃₎ ℒ(11,14) = 35206423719936 ≡ 89○¹⁰000000000₍₁₄₎ ℒ(12,15) = 1251907998046875 ≡ 99○¹¹0000000000₍₁₅₎

ℒ�3，6� = 336 ≡ 1320₍₆₎ = (6 + 3) ∙ 6²+ 2 ∙ 6¹ = (1 + 3 + 5) ∙ 6²+ 2 ∙ 6¹

ℒ�4，7� = 5635 = 22300₍₇₎ = (2 ∙ 7 + 2) ∙ 7³+ 3 ∙ 7² = (1 + 3 + 5 + 7) ∙ 7³+ 3 ∙ 7² ℒ�5，8� = 104448 ≡ 314000₍₈₎= (3 ∙ 8 + 1) ∙ 8⁴+ 4 ∙ 8³

= (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ∙ 8⁴ + 4 ∙ 8³

我們由關聯性得到：

ℒ(n − 3, n) = �(2k − 1)𝑛𝑛^𝑛𝑛−4+(𝑛𝑛 − 4)𝑛𝑛^𝑛𝑛−5 = (

𝑛𝑛−3 𝑘𝑘=1

𝑛𝑛 − 3)²𝑛𝑛^𝑛𝑛−4+ (𝑛𝑛 − 4)𝑛𝑛^𝑛𝑛−5

= 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 6𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 10𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 4𝑛𝑛^𝑛𝑛−5，n ≥ 5 我們發現第三個『橫』的關係ℒ(n − 3, n)也是 n 進位的式子。

5. ℒ(n − 4, n)

經過以上發現，我們猜想ℒ(n − 4, n)、ℒ(n − 5, n)可能也是n 進位的式子。 令ℒ(n − 4, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2+ 𝑎𝑎𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 𝑏𝑏𝑛𝑛^𝑛𝑛−4+ 𝑐𝑐𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 𝑑𝑑𝑛𝑛^𝑛𝑛−6+ 𝑒𝑒𝑛𝑛^𝑛𝑛−7+ 𝑓𝑓𝑛𝑛^𝑛𝑛−8 ℒ(4,8) = 35840 = 8⁶ + 8⁵𝑎𝑎 + 8⁴𝑏𝑏 + 8³𝑐𝑐 + 8²𝑑𝑑 + 8𝑒𝑒 + 𝑓𝑓

ℒ(5,9) = 878688 = 9⁷ + 9⁶𝑎𝑎 + 9⁵𝑏𝑏 + 9⁴𝑐𝑐 + 9³𝑑𝑑 + 9²𝑒𝑒 + 9𝑓𝑓

ℒ(6,10) = 22806000 = 10⁸+ 10⁷𝑎𝑎 + 10⁶𝑏𝑏 + 10⁵𝑐𝑐 + 10⁴𝑑𝑑 + 10³𝑒𝑒 + 10²𝑓𝑓 ℒ(7,11) = 634833760 = 11⁹+ 11⁸𝑎𝑎 + 11⁷𝑏𝑏 + 11⁶𝑐𝑐 + 11⁵𝑑𝑑 + 11⁴𝑒𝑒 + 11³𝑓𝑓 ℒ(8,12) = 19017732096 = 12¹⁰+ 12⁹𝑎𝑎 + 12⁸𝑏𝑏 + 12⁷𝑐𝑐 + 12⁶𝑑𝑑 + 12⁵𝑒𝑒 + 12⁴𝑓𝑓 ℒ(9,13) = 612811670640 = 13¹¹+ 13¹⁰𝑎𝑎 + 13⁹𝑏𝑏 + 13⁸𝑐𝑐 + 13⁷𝑑𝑑 + 13⁶𝑒𝑒 + 13⁵𝑓𝑓

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧ 35840 = 8⁶ + 8⁵𝑎𝑎 + 8⁴𝑏𝑏 + 8³𝑐𝑐 + 8²𝑑𝑑 + 8𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 97632 = 9⁶ + 9⁵𝑎𝑎 + 9⁴𝑏𝑏 + 9³𝑐𝑐 + 9²𝑑𝑑 + 9𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 228080 = 10⁶ + 10⁵𝑎𝑎 + 10⁴𝑏𝑏 + 10³𝑐𝑐 + 10²𝑑𝑑 + 10𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 476960 = 11⁶ + 11⁵𝑎𝑎 + 11⁴𝑏𝑏 + 11³𝑐𝑐 + 11²𝑑𝑑 + 11𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 917136 = 12⁶ + 12⁵𝑎𝑎 + 12⁴𝑏𝑏 + 12³𝑐𝑐 + 12²𝑑𝑑 + 12𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 1650480 = 13⁶+ 13⁵𝑎𝑎 + 13⁴𝑏𝑏 + 13³𝑐𝑐 + 13²𝑑𝑑 + 13𝑒𝑒 + 𝑓𝑓

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 26281𝑎𝑎 + 2465𝑏𝑏 + 217𝑐𝑐 + 17𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = −20750540951𝑎𝑎 + 3439𝑏𝑏 + 271𝑐𝑐 + 19𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = −338131 61051𝑎𝑎 + 4641𝑏𝑏 + 331𝑐𝑐 + 21𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = −522661 87781𝑎𝑎 + 6095𝑏𝑏 + 397𝑐𝑐 + 23𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = −774247 122461𝑎𝑎 + 7825𝑏𝑏 + 469𝑐𝑐 + 25𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = −1107481

�

34680𝑎𝑎 + 1730𝑏𝑏 + 72𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑 = −333234 26730𝑎𝑎 + 1454𝑏𝑏 + 66𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑 = −251586 20100𝑎𝑎 + 1202𝑏𝑏 + 60𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑 = −184530 14670𝑎𝑎 + 974𝑏𝑏 + 54𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑 = −130626

�7950𝑎𝑎 + 276𝑏𝑏 + 6𝑐𝑐 = −81648 6630𝑎𝑎 + 252𝑏𝑏 + 6𝑐𝑐 = −67056 5430𝑎𝑎 + 228𝑏𝑏 + 6𝑐𝑐 = −53904

�1320𝑎𝑎 + 24𝑏𝑏 = −145921200𝑎𝑎 + 24𝑏𝑏 = −13152

∴a = −12 , b = 52 , c = −100 , d = 83 , e = −24 , f = 0

∴ℒ(n − 4, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 12𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 52𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 100𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 83𝑛𝑛^𝑛𝑛−6− 24𝑛𝑛^𝑛𝑛−7，𝑛𝑛 ≥ 7 以上的推論，我們將ℒ(10,14)、ℒ(11,15)、ℒ(12,16)等等代入，發現都是吻合的。

6. ℒ(n − 5, n)

令ℒ(n − 5, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2+ 𝑎𝑎𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 𝑏𝑏𝑛𝑛^𝑛𝑛−4+ 𝑐𝑐𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 𝑑𝑑𝑛𝑛^𝑛𝑛−6+ 𝑒𝑒𝑛𝑛^𝑛𝑛−7+ 𝑓𝑓𝑛𝑛^𝑛𝑛−8+ 𝑔𝑔𝑛𝑛^𝑛𝑛−9 ℒ(4,9) = 9⁷+ 9⁶𝑎𝑎 + 9⁵𝑏𝑏 + 9⁴c + 9³𝑑𝑑 + 9²𝑒𝑒 + 9𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 226080

ℒ(5,10) = 10⁸+ 10⁷𝑎𝑎 + 10⁶𝑏𝑏 + 10⁵𝑐𝑐 + 10⁴𝑑𝑑 + 10³𝑒𝑒 + 10²𝑓𝑓 + 10𝑔𝑔 = 7272720 ℒ(6,11) = 11⁹+ 11⁸𝑎𝑎 + 11⁷𝑏𝑏 + 11⁶𝑐𝑐 + 11⁵𝑑𝑑 + 11⁴𝑒𝑒 + 11³𝑓𝑓 + 11²𝑔𝑔 = 235669280 ℒ(7,12) = 12¹⁰+ 12⁹𝑎𝑎 + 12⁸𝑏𝑏 + 12⁷𝑐𝑐 + 12⁶𝑑𝑑 + 12⁵𝑒𝑒 + 12⁴𝑓𝑓 + 12³𝑔𝑔 = 7915843584 ℒ(8,13) = 13¹¹+ 13¹⁰𝑎𝑎 + 13⁹𝑏𝑏 + 13⁸𝑐𝑐 + 13⁷𝑑𝑑 + 13⁶𝑒𝑒 + 13⁵𝑓𝑓 + 13⁴𝑔𝑔 = 279031830480 ℒ(9,14) = 14¹²+ 14¹¹𝑎𝑎 + 14¹⁰𝑏𝑏 + 14⁹𝑐𝑐 + 14⁸𝑑𝑑 + 14⁷𝑒𝑒 + 14⁶𝑓𝑓 + 14⁵𝑔𝑔

= 10376539613440

ℒ(10,15) = 15¹³+ 15¹²𝑎𝑎 + 15¹¹𝑏𝑏 + 15¹⁰𝑐𝑐 + 15⁹𝑑𝑑 + 15⁸𝑒𝑒 + 15⁷𝑓𝑓 + 15⁶𝑔𝑔

= 407820278250000

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧ 9⁷ + 9⁶𝑎𝑎 + 9⁵𝑏𝑏 + 9⁴c + 9³𝑑𝑑 + 9²𝑒𝑒 + 9𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 226080 10⁷+ 10⁶𝑎𝑎 + 10⁵𝑏𝑏 + 10⁴𝑐𝑐 + 10³𝑑𝑑 + 10²𝑒𝑒 + 10𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 727272 11⁷+ 11⁶𝑎𝑎 + 11⁵𝑏𝑏 + 11⁴𝑐𝑐 + 11³𝑑𝑑 + 11²𝑒𝑒 + 11𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 1947680 12⁷+ 12⁶𝑎𝑎 + 12⁵𝑏𝑏 + 12⁴𝑐𝑐 + 12³𝑑𝑑 + 12²𝑒𝑒 + 12𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 4580928 13⁷+ 13⁶𝑎𝑎 + 13⁵𝑏𝑏 + 13⁴𝑐𝑐 + 13³𝑑𝑑 + 13²𝑒𝑒 + 13𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 9769680 14⁷+ 14⁶𝑎𝑎 + 14⁵𝑏𝑏 + 14⁴𝑐𝑐 + 14³𝑑𝑑 + 14²𝑒𝑒 + 14𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 19293560 15⁷+ 15⁶𝑎𝑎 + 15⁵𝑏𝑏 + 15⁴𝑐𝑐 + 15³𝑑𝑑 + 15²𝑒𝑒 + 15𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 = 35803152

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 468559𝑎𝑎 + 40451𝑏𝑏 + 3439𝑐𝑐 + 271𝑑𝑑 + 19𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 = −4715839 771561𝑎𝑎 + 61051𝑏𝑏 + 4641𝑐𝑐 + 331𝑑𝑑 + 21𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 = −8266763 1214423𝑎𝑎 + 87781𝑏𝑏 + 6095𝑐𝑐 + 397𝑑𝑑 + 23𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 = −13711389 1840825𝑎𝑎 + 122461𝑏𝑏 + 7825𝑐𝑐 + 469𝑑𝑑 + 25𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 = −21727957 2702727𝑎𝑎 + 166531𝑏𝑏 + 9855𝑐𝑐 + 547𝑑𝑑 + 27𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 = −33141107 3861089𝑎𝑎 + 221551𝑏𝑏 + 1220𝑐𝑐 + 631𝑑𝑑 + 29𝑒𝑒 + 𝑓𝑓 = −48936279

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 303002𝑎𝑎 + 20100𝑏𝑏 + 1202𝑐𝑐 + 60𝑑𝑑 + 2𝑒𝑒 = −3550924442862𝑎𝑎 + 26730𝑏𝑏 + 1454𝑐𝑐 + 66𝑑𝑑 + 2𝑒𝑒 = −5444626 626402𝑎𝑎 + 34680𝑏𝑏 + 1730𝑐𝑐 + 72𝑑𝑑 + 2𝑒𝑒 = −8016568 861902𝑎𝑎 + 44070𝑏𝑏 + 2030𝑐𝑐 + 78𝑑𝑑 + 2𝑒𝑒 = −11413150 1158362𝑎𝑎 + 55020𝑏𝑏 + 2354𝑐𝑐 + 94𝑑𝑑 + 2𝑒𝑒 = −15795172

�

139860𝑎𝑎 + 6630𝑏𝑏 + 252𝑐𝑐 + 6𝑑𝑑 = −1893702 183540𝑎𝑎 + 7950𝑏𝑏 + 276𝑐𝑐 + 6𝑑𝑑 = −2571942 235500𝑎𝑎 + 9390𝑏𝑏 + 300𝑐𝑐 + 6𝑑𝑑 = −3396582 296460𝑎𝑎 + 10950𝑏𝑏 + 324𝑐𝑐 + 6𝑑𝑑 = −438022

�

23310𝑎𝑎 + 1105𝑏𝑏 + 42𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = −315617 30590𝑎𝑎 + 1325𝑏𝑏 + 46𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = −428657 39250𝑎𝑎 + 1565𝑏𝑏 + 50𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = −566097 49410𝑎𝑎 + 1825𝑏𝑏 + 54𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = −730337

�7280𝑎𝑎 + 220𝑏𝑏 + 4𝑐𝑐 = −113040 8660𝑎𝑎 + 240𝑏𝑏 + 4𝑐𝑐 = −137440 10160𝑎𝑎 + 260𝑏𝑏 + 4𝑐𝑐 = −164240

�138𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = −2440150𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = −2680

∴a = −20, b = 160, c = −660, d = 1503, e = −1872, f − 1176 , g = −288 ∴ℒ(n − 5, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 20𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 160𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 660𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 1503𝑛𝑛^𝑛𝑛−6

−1872𝑛𝑛^𝑛𝑛−7+ 1176𝑛𝑛^𝑛𝑛−8− 288𝑛𝑛^𝑛𝑛−9，𝑛𝑛 ≥ 9

以上的推論，我們將ℒ(11,16)、ℒ(12,17)等等代入，發現也都是吻合的。

伍、 討論

一、引理 1.ℒ(2, n)的遞迴關係和一般式:

(一)遞迴關係：ℒ(2, n) = 3 ℒ(2, n − 1) − ℒ(2, n − 2):

證明:先看到ℒ(2, n)母圖

在圖中，我們分開討論:

a.當 deg(n)=1，因為可將分支連到 V(n-1)抑或 V(n-2)，繼續向下連完所有點，如 圖:

圖(十)

共有2 ∗ ℒ(2, n − 1)種

b.當 deg(n)=2，因為可將分支同時連到 V(n-1)和 V(n-2)，考慮 E(n-1,n-2)不相 連，考慮以 V(n-2)當作新點向下連完，共有ℒ(2, n − 2)種，如圖:

在考慮以 V(n-3)當作新點向下連完，共有ℒ(2, n − 3)種，如圖:

⋯ ⋯以此類推⟹所以當 deg(n)=2 時，共有∑^𝑛𝑛−2_𝑖𝑖=1 ℒ(2, i)種。

由上述可得

ℒ(2, n) = 2ℒ(2, n − 1) + ℒ(2, n − 2) … … ℒ(2,1)⋯⋯(1)

−)ℒ(2, n − 1) = 2ℒ(2, n − 2) + ℒ(2, n − 3) … … ℒ(2,1) ⋯ ⋯ (2) (1)-(2) ℒ(2, n) − ℒ(2, n − 1) = 2ℒ(2, n − 1) − ℒ(2, n − 2)

⇒ ℒ(2,6) = 3 ℒ(2,5) − ℒ(2,4)

故ℒ(2, n) = 3 ℒ(2, n − 1) − ℒ(2, n − 2)，𝑛𝑛 ≥ 3得證。

圖(十二)

圖(十三)

圖(十四)

(二)一般式: ℒ(2, n) =_√5¹ �^3−√5₂ �^3+√5₂ �^𝑛𝑛−^3+√5₂ �^3−√5₂ �^𝑛𝑛� =_√5¹ ��^1+√5₂ �^2𝑛𝑛− �^1−√5₂ �^2𝑛𝑛�

∵

ℒ(2, n) = 3ℒ(2, n − 1) − ℒ(2, n − 2)

令 ℒ(2, n) − 𝛼𝛼ℒ(2, n − 1) = 𝛽𝛽�ℒ(2, n − 1) − 𝛼𝛼ℒ(2, n − 2)�

則 ℒ(2, n) = (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)ℒ(2, n − 1) − 𝛼𝛼𝛽𝛽ℒ(2, n − 1) ∴�𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 3𝛼𝛼𝛽𝛽 = 1 ⇒ 𝛼𝛼, 𝛽𝛽即為𝑥𝑥²− 3𝑥𝑥 + 1 = 0 之兩根

∴令𝛼𝛼 =^3+√5₂ , 𝛽𝛽 =^3−√5₂ 令 ℒ(2, n) = 𝑘𝑘𝛼𝛼^𝑛𝑛 + 𝑙𝑙𝛽𝛽^𝑛𝑛 則� ℒ(2,2) = 𝑘𝑘𝛼𝛼² + 𝑙𝑙𝛽𝛽² = 1 ℒ(2,1) = 𝑘𝑘𝛼𝛼¹ + 𝑙𝑙𝛽𝛽¹ = 0

⇒ �

7+3√5

2 𝑘𝑘 +^7−3√5₂ 𝑙𝑙 = 1 ⋯ ⋯ ○1

3+√5

2 𝑘𝑘 +^3−√5₂ 𝑙𝑙 = 0 ⋯ ⋯ ○2 ○1−^A○2 × 3 得−𝑘𝑘 − 𝑙𝑙 = 1 ⇒ 𝑙𝑙 = −𝑘𝑘 − 1 代入 ○2 ^3+√5

2 𝑘𝑘 +^3−√5₂ (−𝑘𝑘 − 1) = 0 ⇒ 𝑘𝑘 =^3−√5_2√5 𝑙𝑙 =^−3+√5_2√5 − 1 =^{−�3+√5�}_2√5 ∴ ℒ(2, n) =_√5¹ �^3−√5₂ �^3+√5₂ �^𝑛𝑛−^3+√5₂ �^3−√5₂ �^𝑛𝑛� =_√5¹ ��^1+√5₂ �^2𝑛𝑛− �^1−√5₂ �^2𝑛𝑛�

二、ℒ(3, n)討論

ℒ(3,4)：如圖，4 個城市共有 6 種連通路線，我們只能取 3 條通路，所以，有𝐶𝐶₃⁶ =20 種建立 方法，但是，4 個城市任取 3 個城市連成的三角形連通路線，就會漏掉第四個城市，不合通 路規定，因此要扣掉。

ℒ(3,5)如圖，我們將 5 個城市排成上下兩個正四面體，上方的正四面體有ℒ(3,4)種連通路 線，與第 5 個城市有 3 條通路，所以，有3ℒ(3,4)種連通路線；反過來，下方的正四面體也 有ℒ(3,4)種連通路線，與第 1 個城市也有 3 條通路，所以也有3ℒ(3,4)種連通路線。因此，上 下共有6ℒ(3,4)種連通路線。

但是，2~4 號城市與上下方 1、5 兩個城市各 3 條通路，都任取一條時連成的連通 路 線，重複在兩個3ℒ(3,4)種連通路線了，因此需扣掉，而中間三角形 2~4 號城市有ℒ(3,3)種連 通路線，因此要扣掉𝐶𝐶₁³𝐶𝐶₁³ℒ(3,3)。但是 2~4 號城市與上下方 1、5 兩個城市都各取 2 條時連 成的連通路線尚需列入計算，即𝐶𝐶₂³𝐶𝐶₂³；同時，如果上下方各 2 條是在同一個『側平面』例 如 1-2-5-4，就漏掉城市 3，不合，須扣除，共 3 種。

ℒ(3,2) = 1

ℒ(3,4) = 𝐶𝐶₃⁶− 4 = 16

ℒ(3,5) = 6ℒ(3,4) − 𝐶𝐶13𝐶𝐶13ℒ(3,3) + (𝐶𝐶23𝐶𝐶23− 3) = 96 − 27 + 6 = 75

ℒ(3,6) = 6ℒ(3,5) − 𝐶𝐶₁³𝐶𝐶₁³ℒ(3,4) + (2²+ 6 + 𝐶𝐶₁⁵ × 4) = 450 − 144 + 30 = 336 ℒ(3,7) = 6ℒ(3,6) − 𝐶𝐶₁³𝐶𝐶₁³ℒ(3,5) + (1 + 2 × 5 × 2 + 46 + 46 + 34) = 1488 ℒ(3,8) = 6ℒ(3,7) − 9ℒ(3,6) + 676 = 6580

三、ℒ(4, n)討論：

ℒ(4,2) = 3

ℒ(4,4) = 𝐶𝐶₃⁶− 4 = 16

ℒ(4,5) = 𝐶𝐶410− 5𝐶𝐶46− 𝐶𝐶35 = 210 − 75 − 10 = 125 ℒ(4,6) = 2 × 4ℒ(4,5) − 4 × 4ℒ(4,4) + 120 = 864 ℒ(4,7) = 2 × 4ℒ(4,6) − 4 × 4ℒ(4,5) + 723 = 5635

四、【引理二】.ℒ(n − 1, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2

證明：因為在ℒ(n − 1, n)中的最大標號差正是 n-1，所以生成樹圖的不會因標號差而受 限制，因此他的生成母圖即是完美圖，而根據定義，恰可套用於凱萊公式上，

故.ℒ(n − 1, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2得證。

五、【定理一】. ℒ�n − 1, n，a� = 𝐶𝐶_𝑎𝑎−1^𝑛𝑛−2(𝑛𝑛 − 1)^{𝑛𝑛−𝑎𝑎−1}其中 deg(n)=a，而 b=(n-1)-a。

證明：我們先包含序列最後固定出現(不會顯示在序列中)的 n(第𝑒𝑒_𝑛𝑛−1序列)

{𝑒𝑒

1,

𝑒𝑒

₂,

…

,

𝑒𝑒

_𝑛𝑛−2

}

_{𝑖𝑖𝑛𝑛−1}

在𝑒𝑒1~𝑒𝑒𝑛𝑛−2中，我們只能再選 a-1 個序列連接 n(∴係數是𝐶𝐶_𝑎𝑎−1^𝑛𝑛−2)，而剩餘的其他序列不能 再出現 n，所以只剩(𝑛𝑛 − 1)^𝑏𝑏種選擇。

綜合上述，可得ℒ�n − 1, n，a� = 𝐶𝐶_𝑎𝑎−1^𝑛𝑛−2(𝑛𝑛 − 1)^{𝑛𝑛−𝑎𝑎−1}。

六、【定理二】. ℒ(n − 2, n) = (𝑛𝑛 − 2)𝑛𝑛^𝑛𝑛−3 = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 2 ∙ 𝑛𝑛^𝑛𝑛−3

證明:

ℒ(n − 2, n) = �

𝑛𝑛 − 2 −1 ⋯ −1

−1 𝑛𝑛 − 1 ⋯ −1

⋮ ⋮ ⋱ −1

−1 −1 ⋯ 𝑛𝑛 − 1

� = �

𝑛𝑛 − 1 0 ⋯ −1

0 𝑛𝑛 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋱ 0

−1 −1 ⋯ 𝑛𝑛 − 1

� = �

𝑛𝑛 − 1 0 ⋯ −1

0 ⋱ ⋯ 0

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 0

−1 −1 ⋯ 1

�

= �

𝑛𝑛 0 ⋯ 0

0 ⋱ ⋯ 0

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 0

−1 −1 ⋯ 1

� + �

−1 0 ⋯ 0

0 ⋱ ⋯ 0

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 0

−1 −1 ⋯ 1

� + �

0 0 ⋯ −1

0 ⋱ ⋯ 0

⋮ ⋮ 𝑛𝑛 0

−1 −1 ⋯ 1

�

= 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 1 × 𝑛𝑛^𝑛𝑛−3× 1 − 1 × 𝑛𝑛^𝑛𝑛−3× (−1)² = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 2 × 𝑛𝑛^𝑛𝑛−3

陸、 研究結果

一、標號差k 為 1 的建立方法：

ℒ(1,2) = 1 , ℒ(1,3) = 1 , ℒ(1,4) = 1 ,…… , ℒ(1, n) = 1 二、標號差k 為 2 的建立方法：

ℒ(2,2) = 1 , ℒ(2,3) = 3 , ℒ(2,4) = 8 , ℒ(2,5) = 21 , ……

(1) ℒ(2, n) = 3 ℒ(2, n − 1) − ℒ(2, n − 2) (2) ℒ(2, n) =_√5¹ ��^1+√5₂ �^2𝑛𝑛− �^1−√5₂ �^2𝑛𝑛� 三、標號差 k 為 3 的建立方法：

ℒ(3,2) = 1, ℒ(3,3) = 3, ℒ(3,4) = 𝐶𝐶₃⁶− 4 = 16, ℒ(3,5) = 6 ℒ(3,4) − 9 ℒ(3,3) + (𝐶𝐶₂³𝐶𝐶₂³− 3) = 75, ℒ(3,6) = 6 ℒ(3,5) − 9 ℒ(3,4) + 30 = 336

ℒ(3,7) = 6 ℒ(3,6) − 9 ℒ(3,5) + 147 = 1488 ℒ(3,8) = 6 ℒ(3,7) − 9 ℒ(3,6) + 676 = 6580 ⋯ ⋯ 四、標號差 k 為 4 的建立方法：

ℒ(4,2) = 1，ℒ(4,3) = 3，ℒ(4,4) = 16，

ℒ(4,5) = 𝐶𝐶₄¹⁰− 5𝐶𝐶₄⁶− 𝐶𝐶₃⁵ = 125

ℒ(4,6) = 8 ℒ(4,5) − 16 ℒ(4,4) + 120 = 864 ℒ(4,7) = 8 ℒ(4,6) − 16 ℒ(4,5) + 723 = 5635

五、我們以固定的標號差 k，觀察相鄰兩項的比值，發現有趣的關聯性：

ℒ(3,5)

ℒ(3,4)=⁷⁵₁₆= 4.6875 , ^ℒ(3,6)_ℒ(3,5)=³³⁶₇₅ = 4.48 , ^ℒ(3,7)_ℒ(3,6)= ¹⁴⁸⁸₃₃₆ = 4.428571 ⋯ ,

ℒ(3,8)

ℒ(3,7)=⁶⁵⁸⁰₁₄₈₈= 4.422043 ⋯ ,^ℒ(3,9)_ℒ(3,8)=¹⁹⁰⁸⁵₆₅₈₀ = 4.420212 ⋯ , ^ℒ(3,10)_ℒ(3,9) = 4.419597 ⋯ , ⋯ 似乎趨近於3 + √2 = 4.41421 ⋯ ⋯，尚待驗證。

ℒ(4,6)

ℒ(4,5)=⁸⁶⁴₁₂₅= 6.912 , ^ℒ(4,7)_ℒ(4,6)= ⁵⁶³⁵₈₆₄ = 6.52199 ⋯ ,^ℒ(4,8)_ℒ(4,7)=³⁵⁸⁴⁰₅₆₃₅ = 6.360248 ⋯ ,

ℒ(4,9)

ℒ(4,8)=²²⁶⁰⁸⁰₃₅₈₄₀ = 6.30803 ⋯ ,^ℒ(4,10)_ℒ(4,9) =^1424736₂₂₆₀₈₀ = 6.30191 ⋯ , ^ℒ(4,11)_ℒ(4,10) = 6.29957 ⋯，⋯

ℒ(5,8)

ℒ(5,7)=¹⁰⁴⁴⁴⁸₁₂₀₀₅ = 8.700374 ⋯ ,^ℒ(5,9)_ℒ(5,8)=⁸⁷⁸⁶⁸⁸₁₀₄₄₄₈ = 8.412683 ⋯ ,^ℒ(5,10)_ℒ(5,9) = 8.276794 ⋯ ,

ℒ(5,11)

ℒ(5,10)= ^59829840_7272720 = 8.226611 ⋯ ,^ℒ(5,12)_ℒ(5,11)= ^491863680_59829840 = 8.2210428 ⋯， ⋯ ⋯

六、【定理一】ℒ(n − 1, n, a) = 𝐶𝐶_𝑎𝑎−1^𝑛𝑛−2(𝑛𝑛 − 1)^{𝑛𝑛−𝑎𝑎−1}

七、【性質一】ℒ(1, 𝑛𝑛 − 2) > ℒ(2, 𝑛𝑛 − 3) > ℒ(3, 𝑛𝑛 − 4) > ⋯ ⋯ > ℒ(n − 1,0) 證明:

1.標號差限制越大，圖形越像 n 節點的完美圖(能使用的邊也越多)，方法數越 趨近 n 節點的完美圖。

2.節點數越多，方法數越多。

綜合以上兩點，得證。

八、【引理二】ℒ(n − 1, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2[表九]

ℒ(2,2) = 1 ℒ(3,2) = 1 ℒ(4,2)

= 1

ℒ(5,2)

= 1

ℒ(6,2)

= 1

ℒ(2,3) = 3 ℒ(3,3) = 3 ℒ(4,3)

= 3

ℒ(5,3)

= 3

ℒ(6,3)

= 3

ℒ(2,4)

= 8

= 2 × 4

ℒ(3,4) = 4² ℒ(4,4)

= 4

² ℒ(5,4)

= 4

² ℒ(6,4)

= 4

² ℒ(2,5) = 21 ℒ(3,5)

= 3 × 5² ℒ(4,5)

= 5

³ ℒ(5,5)

= 5

³ ℒ(6,5)

= 5

³ ℒ(2,6) = 55 ℒ(3,6)

= 336

ℒ(4,6)= 4 × 6³ ℒ(5,6)

= 6

⁴ ℒ(6,6)

= 6

⁴ ℒ(2,7) = 144 ℒ(3,7) = 1488 ℒ(4,7)

= 5635

ℒ(5,7)= 5 × 7⁴ ℒ(6,7)

= 7

⁵

ℒ(4,8)

= 35840

ℒ(5,8)

= 104448

ℒ(6

,

8) = 6 × 8⁵

九、【定理二】ℒ(n − 2, n) = (𝑛𝑛 − 2)𝑛𝑛^𝑛𝑛−3 = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 2 ∙ 𝑛𝑛^𝑛𝑛−3

十、【猜想三】ℒ(n − 3, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 6𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 10𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 4𝑛𝑛^𝑛𝑛−5，n ≥ 5

十一、【猜想四】

ℒ(n − 4, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 12𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 52𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 100𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 83𝑛𝑛^𝑛𝑛−6− 24𝑛𝑛^𝑛𝑛−7，𝑛𝑛 ≥ 7 十二、【猜想五】

ℒ(n − 5, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 20𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 160𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 660𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 1503𝑛𝑛^𝑛𝑛−6− 1872𝑛𝑛^𝑛𝑛−7 + 1176𝑛𝑛^𝑛𝑛−8 − 288𝑛𝑛^𝑛𝑛−9，𝑛𝑛 ≥ 9

十三、【猜想六】ℒ(n − 6, n) = 𝑛𝑛^𝑛𝑛−2− 30𝑛𝑛^𝑛𝑛−3+ 380𝑛𝑛^𝑛𝑛−4− 2660𝑛𝑛^𝑛𝑛−5+ 11293𝑛𝑛^𝑛𝑛−6

−30002𝑛𝑛^𝑛𝑛−7+ 49614𝑛𝑛^𝑛𝑛−8− 49028𝑛𝑛^𝑛𝑛−9+ 26192𝑛𝑛^{𝑛𝑛−10}− 5760𝑛𝑛^{𝑛𝑛−11}， 𝑛𝑛 ≥ 11

柒、 結論與展望

我們以生成樹、尤拉-柯西-漢米爾頓漫遊大量畫圖、逐步推展建立光纖網路的建立 方法，並輔以 Python 程式、基爾霍夫定理來計算，成功地確認建立光纖通路方法數的 正確。另外，我們也以『橫向』來探討，發現除了凱萊公式以外，我們也得到ℒ(n − 2, n)，

ℒ(n − 3, n), ⋯ ⋯一些關係式，並且有部分的證明。未來我們希望繼續研究，不論是『縱 向』的關係，或者是『橫向』的關係，我們希望獲得更強的關係式。

捌、 參考資料(References)

[1] 龍騰版高級中學數學A 第三冊第九單元行列式，許志農主編。

[2] 李明叡：中華民國第51 屆中小學科學展覽 030401 光纖網路連連看。

[3] The Magic of Euler’s Equation: V-E+F=2. An Eye Opener. ⋯⋯Peter Sels Jul 13, 2020。

[4] Discrete Mathematcs：Graph Theory-2 proof of V-E+R＝2.

⋯⋯

Prof.S.R.S.Ivengar ,Department of Computer Science IITRopar。

[5] 楊凱帆。Labeled rooted trees in Fibonacci’s fashion 標記有根樹的計數問題探討，交通 大學應用數學系碩士論文，104 年 6 月。

[6] THE MATRIX-TREE THEOREM - MIT OpenCourseWare

玖、附錄

以下是我們透過矩陣樹定理算出的數據：

ℒ(4,7) = 5635 ℒ(4,8) = 35840 ℒ(4,9) = 226080 ℒ(4,10) = 1424736 ℒ(4,11) = 8975232 ℒ(4,12) = 56531412 ℒ(4,13) = 356045600 ℒ(4,14) = 2242419040 ℒ(4,15) = 14122994787 ℒ(4,16) = 88948032416 ℒ(4,17) = 560203336285 ℒ(4,18) = 3528214538112 ℒ(4,19) = 22221043368624 ℒ(4,20) = 139950209558628

ℒ(5,8) = 104448 ℒ(5,9) = 878688 ℒ(5,10) = 7272720 ℒ(5,11) = 59829840 ℒ(5,12) = 491863680 ℒ(5,13) = 4042376800 ℒ(5,14) = 33217265664 ℒ(5,15) = 272934155637 ℒ(5,16) = 2242522832400

ℒ(5,17) = 18425237837125 ℒ(5,18) = 151386977585232 ℒ(5,19) = 1243837315587760 ℒ(5,20) = 10219707278640384

ℒ(6,9) = 2158569 ℒ(6,10) = 22806000 ℒ(6,11) = 235669280 ℒ(6,12) = 2407426560 ℒ(6,13) = 24478578432 ℒ(6,14) = 248773434624 ℒ(6,15) = 2527609743360 ℒ(6,16) = 25677708264000 ℒ(6,17) = 260836913033840 ℒ(6,18) = 2649495039624576 ℒ(6,19) = 26912151112299600 ℒ(6,20) = 273358076605088256

ℒ(7,9) = 3720087 ℒ(7,10) = 49600000 ℒ(7,11) = 634833760 ℒ(7,12) = 7915843584 ℒ(7,13) = 97154373888 ℒ(7,14) = 1182177884160 ℒ(7,15) = 14332337510400 ℒ(7,16) = 173694961440000

ℒ(7,18) = 25496907372921600 ℒ(7,19) = 308871946067232240 ℒ(7,20) = 3741533984223360000

ℒ(8,10) = 4782969 ℒ(8,10) = 80000000 ℒ(8,11) = 1259579871 ℒ(8,12) = 19017732096 ℒ(8,13) = 279031830480 ℒ(8,14) = 4017003943680 ℒ(8,15) = 57145077990000 ℒ(8,16) = 807495149260800 ℒ(8,17) = 11376864717926400 ℒ(8,18) = 160242017886720000 ℒ(8,19) = 2256586253475840000 ℒ(8,20) = 31774539610806220800

ℒ(9,10) = 100000000 ℒ(9,11) = 1929229929 ℒ(9,12) = 35115171840 ℒ(9,13) = 612811670640 ℒ(9,14) = 10376539613440 ℒ(9,15) = 172009287450000 ℒ(9,16) = 2810387968819200 ℒ(9,17) = 45492167508480000 ℒ(9,18) = 732434818452480000 ℒ(9,19) = 11763862633036800000

ℒ(9,20) = 188897881419594547200

ℒ(10,10) = 100000000 ℒ(10,11) = 2357947691 ℒ(10,12) = 51597803520 ℒ(10,13) = 1067791513789 ℒ(10,14) = 21194228287232 ℒ(10,15) = 407820278250000 ℒ(10,16) = 7670307603087360 ℒ(10,17) = 141914132044439040 ℒ(10,18) = 2595848298718371840 ℒ(10,19) = 47127928555290046464 ℒ(10,20) = 851841505770961305600

ℒ(11,11) = 2357947691 ℒ(11,12) = 61917364224 ℒ(11,13) = 1516443410339 ℒ(11,14) = 35206423719936 ℒ(11,15) = 784490568750000 ℒ(11,16) = 16939651663134720 ℒ(11,17) = 357153652228538880 ℒ(11,18) = 7396769103887794176 ℒ(11,19) = 151197024523801890816 ℒ(11,20) = 3062143325006438400000

ℒ(12,12) = 61917364224

ℒ(12,14) = 48594782035968 ℒ(12,15) = 1251907998046875 ℒ(12,16) = 30981488891658240 ℒ(12,17) = 742942498908454208 ℒ(12,18) = 17383926802138251264 ℒ(12,19) = 399127617175714605360 ℒ(12,20) = 9032759011261440000000

ℒ(13,19) = 884602713762910633680 ℒ(13,20) = 22331979694080000000000 ℒ(13,21) = 555148800833660799897600 ℒ(13,22) = 13637641624267435071897600

ℒ(14,20) = 47040050626560000000000 ℒ(14,21) = 1296583620929901876902400 ℒ(14,22) = 35163997636932147658752000 ℒ(14,23) = 941533351419052184550912000

ℒ(15,21) = 2611991987888785399457280 ℒ(15,22) = 78126706877997177702973440 ℒ(15,23) = 2297931081983489834476277760 ℒ(15,24) = 66678958608808764379880226816

ℒ(16,22) = 151300700676027966502010880 ℒ(16,23) = 4884649536418878138460854768 ℒ(16,24) = 155005606801819237195966316544 ℒ(16,25) = 4849740229774429687500000000000

ℒ(17,23) = 4675403389086985840536148128 ℒ(17,24) = 123188508986275764258528559104 ℒ(17,25) = 2865471085366699218750000000000 ℒ(17,26) = 51300903547988060193765457920000

ℒ(18,24) = 573836525892209354599468892160 ℒ(18,25) = 21289443444442749023437500000000 ℒ(18,26) = 775955259919231416080868704256000 ℒ(18,27) = 27861892404326085220864522405632000

【評語】 050410

題目頗為有趣，目標是計算 L(k,n)，本文用自己的方法重現 了四個邊界值 k=1, 2, (n-1), (n-2)，並能透過已知的理論加以檢驗.

對於其他 k 值有一些觀察與猜想，但可惜沒能有嚴格證明，如果 原本問題太難，應該要試圖挖掘已得到部份的新性質，看是否能 有機會突破。整體來說是一個有意思的作品，但實質的數學進展 不大，是可惜的地方。

050410-評語

作品簡報

光纖通路

組別：高中數學

編號：050410

名詞解釋

ℒ(𝑘, 𝑛)：符合標號差≤ 𝑘，n個節點所形成的生成樹 (經標號)的集合個數。

ℒ 2,2 = 1 1-2

ℒ 2,3 = 3 1-2-3 3-1-2 1-3-2

ℒ 2,4 = 8

1-2-3

｜ 4

1-2-4-3 1-2-3-4 4-3-1-2 3-1-2-4

1-3-2

｜ 1-3-4-2 1-3-2-4

研究動機

我們由歷屆科展的作品中，發現一個建立 網路的有趣問題，在原作者努力下僅推導 ℒ 3,7 = 1485 ，我們嘗試各種方式來探討

，發現原作數據有誤，應該是1488種。這

個看似單純的題目卻充滿挑戰 ， 因 此 我 們

開始進行研究。

研究目的與問題

1.「標號差」為3時有幾種建立方法：

ℒ( 3 ,8)=？， ℒ( 3 ,9)=？， ℒ( 3,10)=？ …。

2.「標號差」為4時有幾種建立方法：

ℒ( 4 ,5)=？， ℒ( 4 ,6)=？， ℒ( 4,7)=？ …。

3.「標號差」為5、6、7、8、9…的建立方法，

並尋找它們前後項之間的關連性。

4. 除了以上『縱』的推導計算，我們也研究

『橫』的關係 ，除了凱萊公式以外，我們也希

望獲得其他關係式。

流程圖

ℒ(1,n)， ℒ(2,n)⋯

橫的關係

縱的關係 以基爾沃夫矩陣驗證數量

ℒ(n-1,n)， ℒ(n-2,n)… 以n進位探討

研究方向

ℒ(n-5,n)， ℒ(n-6,n)…

找出縱的相鄰兩項關聯性

研究結果

ℒ 2，n = 3ℒ 2，n − 1 − ℒ 2，n − 2

ℒ 2, n = 2ℒ 2, n − 1 + ℒ 2, n − 2 + ⋯ + ℒ 2,1 ⋯⋯(1)

−)ℒ 2, n − 1 = 2ℒ 2, n − 2 + ℒ 2, n − 3 + ⋯ + ℒ 2,1 ⋯ ⋯ (2 ) (1)-(2) ℒ 2, n − ℒ 2, n − 1 = 2ℒ 2, n − 1 − ℒ 2, n − 2

⇒ ℒ 2,6 = 3 ℒ 2,5 − ℒ 2,4

故ℒ 2, n = 3 ℒ 2, n − 1 − ℒ 2, n − 2 ，𝑛 ≥ 3得證。

(縱的關係)

研究結果

ℒ (k,n)

n ℒ(2,n) ℒ(3,n) ℒ(4,n) ℒ(5,n) ℒ(6,n)

2 1 1 1 1 1

3 3 =3 ¹ 3 3 3 3

4 8=2 × 4 ¹ 16=4 ² 16 16 16

5 21 75

=3 × 5 ² 125 =5 ³ 125 125

6 55 336 864

=4 × 6 ³

1296

=6 ⁴ 1296

14455

【引理二】ℒ n − 1, n = 𝑛 ^𝑛−2

(表一)

【定理二】ℒ n − 2, n = (𝑛 − 2)𝑛 ^𝑛−3 = 𝑛 ^𝑛−2 − 2 ∙ 𝑛 ^𝑛−3

7

(橫的關係)

N進位表示

ℒ(n-3,n)

N ℒ(2,5) ℒ(3,6) ℒ(4,7) ℒ(5,8)

5 41 2321 421020 1320243

6 33 1320 42031 123320

7 30 680 22300 613341

8 25 520 13001 314000

研究結果

(表二)

(橫的關係)

研究結果

41(+51) (5進位) 1320(+61) (6進位) 22300(+71) (7進位) 314000(+81) (8進位) 4050000(+91) (9進位) 49600000(+101) (10進位) 597000000(+101) (11進位)

(橫的關係)

ℒ 3，6 = 336 ≡ 1320 ₆ = 6 + 3 ∙ 6 ² + 2 ∙ 6 ¹

= 1 + 3 + 5 ∙ 6 ² + 2 ∙ 6 ¹

研究結果

ℒ 4，7 = 5635 = 22300 ₇ = (2 ∙ 7 + 2) ∙ 7 ³ + 3 ∙ 7 ²

= (1 + 3 + 5 + 7) ∙ 7 ³ + 3 ∙ 7 ²

ℒ 5，8 = 104448 ≡ 314000 ₈ = (3 ∙ 8 + 1) ∙ 8 ⁴ + 4 ∙ 8 ³

= (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ∙ 8 ⁴ + 4 ∙ 8 ³ 我們由關聯性得到：

ℒ n − 3, n

= ෍

𝑘=1 𝑛−3

(

2k − 1 𝑛 ^𝑛−4 + 𝑛 − 4 𝑛 ^𝑛−5

= 𝑛 − 3 ) ² 𝑛 ^𝑛−4 + (𝑛 − 4)𝑛 ^𝑛−5

(橫的關係)

研究結論

1.我們以生成樹、尤拉-柯西-漢米爾頓漫遊 畫圖、逐步推出光纖網路的建立方法，並 以Python程式、基爾霍夫定理來確認方法

數的正確， 我們都能夠計算出ℒ k，n 之值 。 2.我們發現「標號差」為3、4、5、6……

它們前後項之間都有一些關連性。

3.我們發現『橫向』的關係不只是凱萊定理，

還有ℒ n − 2, n ，ℒ n − 3, n , ⋯ ⋯都是 n進位

的關係。

未來展望

我們探討『橫向』 發現：ℒ n − 2, n = (𝑛 − 2)𝑛 ^{𝑛−3 ，} ℒ n– 3, n = 𝑛 ^𝑛–2 – 6𝑛 ^𝑛–3 + 10𝑛 ^𝑛–4 – 4𝑛 ^𝑛–5 , n ≥ 5 ,

ℒ n– 4, n = 𝑛 ^𝑛–2 – 12𝑛 ^𝑛–3 + 52𝑛 ^𝑛–4 – 100𝑛 ^𝑛−5 + 83𝑛 ^𝑛−6 – 24𝑛 ^𝑛–7 ，𝑛 ≥ 7

未來希望繼續研究，獲得更強的關係式，並加以證明。

參考資料

1.李明叡：中華民國第51屆中小學科學展覽030401光纖網路 連連看。

2.楊凱帆。Labeled rooted trees in Fibonacci’s fashion 標記有根 樹的計數問題探討，交通大學應數系碩士論文， 104年6月。

3.柳柏濂。樹的計數-從數到超樹，中國華南師範大學。