§2 初等函数及其数值计算

(1)

§2 初等函数及其数值计算一、函数的概念与分类

[函数与反函数] 设 D 是给定的一个数集.若有两个变量 x 和 y，当变量 x 在 D 中取某个特 定值时，变量 y 依确定的关系 f 也有一个确定的值，则称 y 是 x 的函数，f 称为 D 上的一个函 数关系，记为 y=f(x)，x 称为自变量，y 称为因变量.当 x 取遍 D 中各数，对应的 y 构成一数集 R，D 称为定义域或自变数域，R 称为值域或因变数域.反过来，若把 y 视为自变量，x 视为因 变量，用 y 写出 x 的表达式：x=(y)，则称 y=f(x)与 x=(y)互为反函数.

[实变函数与复变函数] 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变数域为复数域时，函数称为复变函数.

[一元函数与多元函数] 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数.

[显函数与隐函数] 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称为显函数.若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中，自变量与因变量无明显区分，则称为隐函数.

[简单函数与复合函数] 若 y 是 u 的函数 y=f(u)，而 u 又是 x 的函数，u=(x)，则 y 称为 x 的复合函数，u 称为中间变量，记作 y=f[(x)]，无中间变量的函数称为简单函数.

[有界函数与无界函数] 若存在两个数 m, M(mM)，使 mf(x)M，对定义域上的任意 x 都 成立，则称 f(x)为定义域上的有界函数，m 为其下界，M 为其上界.若这样的数 m 和 M 至少有 一个不存在，则称 f(x)为定义域上的无界函数.

[单调函数与非单调函数] 若对于区间[a, b]中的任意 x₁>x₂有 f(x1)f(x₂)[或 f(x₁)f(x₂)]，则 称 f(x)为[a, b]中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称为单调函数.不是递增(或 递减)的函数称为非单调函数.

[奇函数与偶函数] 若对于定义域中的任意 x 恒有 f

 

x f

 

x ，则称 f(x)为奇函数；若对 于定义域中的任意 x 恒有 f

 

x  f

 

x ，则称 f(x)为偶函数.

[周期函数与非周期函数] 若有一实数 T0，使对定义域中的任意 x 恒有 f(x+T)=f(x)，则 f(x)称为以 T 为周期的周期函数；否则称 f(x)为非周期函数.

[单值函数与多值函数] 若对于自变量 x 的一个值，因变量 y 有一个而且只有一个值与其 对应，则称 y 为 x 的单值函数.若对于自变量 x 的一个值，与其对应的 y 值不止一个，则称 y 为 x 的多值函数.

[初等函数] 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数通称为“ 基本初等函数” ，凡是由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的复合步骤而构成，并能用一个数学式子表示的函数都属于初等函数.

(2)































反双曲函数双曲函数反三角函数三角函数对数函数指数函数

超越函数

有理函数的根式无理函数

多项式的商有理分式函数

多项式有理整函数

有理函数代数函数

初等函数

) (

二、幂函数与有理函数

[定义] 形如y x^的函数称为幂函数，式中为任意实常数.

x 的多项式

y a x₀ ⁿ a x₁ ⁿ^¹  a_n_₁xa_n

(a0, a1, , an为常数，n 为自然数) 称为有理整函数.

两个多项式的商

y a x a x a x a b x b x b x b

n n

m m

    

   



 

0 1

1

0 1

1



 称为有理分式函数.

有理整函数和有理分式函数通称为有理函数，有时用符号 R(x)表示.

[幂函数的图形与特征]

方程与图形特征

曲线通过点(0,0)和(1,1)；当 x>1 时，越大曲线上升越快.

当为偶数，函数为偶函数，在区间(0,)中为递增函数，在区间(-,0)中为递减函数.

当为奇数，函数为奇函数和递增函数.

曲线通过点(1,1).

当为负偶数，函数为偶函数，在区间(-,0)中为递增函数，在区间(0, )中为递减函数.

当为负奇数，函数为奇函数和递减函数.

(3)

三、指数函数与对数函数

[定义] 形如ya^x(a 0,a      1, x )的函数称为指数函数.

当 a=e 时，为书写方便，有时把e^x记作 expx，把e^{f x}^{( )}记作 exp{f(x)}，等等.

在函数关系式xa^y中(a0,a1,0x)，若把 x 视为自变量，y 视为因变量，则称 y 是以 a 为底的 x 的对数函数，x 称为真数，记作 ylog_ax.指数函数和对数函数互为反函数.

[函数图形与特征]

方程与图形特征

指数函数

曲线与 y 轴相交于点 A(0,1).

渐近线为 y=0.

曲线与 x 轴相交于点 A(1,0).

渐近线为 x=0.

[指数运算法则]

 

a a a a

a a

a a ab a b

a b

a

b a a a

a a a a

m n m n

m n

m n

m n mn m m m

m m

m

n n m n m

m m

  

 



 

 

 

  

  

 



( ) ( )

( )

1 ⁰ 1 0

[对数的性质与运算法则] 在下面的公式中，假设 a>0，同时所遇到的函数都假设是在定 义域里讨论的.

零与负数没有对数 log_aa1

log_a10 log_axylog_axlog_a y log_a x log_a log_a

y  x y log_a x^ log_a x

(4)

对数恒等式 a^log^a^y  y 换底公式 log log

a log

b b

y y

 a log_ablog_ba1

[常用对数与自然对数]

1^o 常用对数：以 10 为底的对数称为常用对数，记作 lgxlog₁₀x

2^o 自然对数：以 e=2.718281828459为底的对数称为自然对数，记作 lnxlog_ex

3^o 常用对数与自然对数的关系：

lgy Mln , lny y lg M y

  1

式中 M 称为模数，

M e

M

 

lg . ln .

0 434294481903 1 10 2 30258509299



 4^o 常用对数首数求法：

若真数大于 1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少 1.

若真数小于 1，则对数的首数为负数，其绝对值等于真数首位有效数字前面“ 0” 的个数(包括小数点前的那个“ 0” ).

对数的尾数由对数表查出.

四、平面三角函数与反三角函数

1. 角的度量与换算 [角度制与弧度制]

1^o 整个圆周的 1

360的弧称为含有 1 度的弧，而 1 度的弧所对的圆心角称为 1 度的角.1 度等于 60 分(记作1^ 60)，1 分等于 60 秒(记作1 60).这种用度来度量角的方法称为角度制.

2^o 把等于半径长的弧称为含有 1 弧度的弧，而 1 弧度的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角，

这种用弧度来度量角的方法称为弧度制.

[度与弧度的换算] 弧度与度的关系是









180 式中与分别表示同一角的度数与弧度数.

度与弧度换算表Ⅰ

弧度 ( r ) 度 (°) 分 (  ) 秒 (  )

1 57.29577951 3437.746771 206264.8063

0.017453293 1 60 3600

0.0002908882 0.016666667 1 60

(5)

0.0000048481 0.000277778 0.016666667 1 6

44.80 7 1 57 r

1    .表中黑体数字为精确值.

度与弧度换算表Ⅱ

度 360° 180° 90° 60° 45° 30°

弧度 2

 

2



3



4



6



[祖率(圆周率)] 圆的周长与直径的比值称为圆周率，用表示.由于我国古代南朝的数学家祖冲之在计算圆周率方面取得辉煌成就，因而圆周率也常称为祖率.

 3141592653589793.  祖冲之算出的值为 3.1415926<<3.1415927.

2. 三角函数的定义

[三角函数的定义和符号变化]

名称正弦余弦正切余切正割余割

定

义 r

 y

 斜边对边



sin

r

 x

 斜边邻边



cos

x

 y

 邻边对边

 tan

y

 x

 对边邻边



cot

x

 r

 邻边斜边



sec

y

 r

 对边斜边



csc

符号与

增减变化

Ⅰ +↑ +↓ +↑ +↓ +↑ +↓

Ⅱ +↓ -↓ -↑ -↓ -↑ +↑

Ⅲ -↓ -↑ +↑ +↓ -↓ -↑

Ⅳ -↑ +↑ -↑ -↓ +↓ -↓

[三角函数的图形与特征]

标准正弦曲线

(6)

周期：T2



与 x 轴交点（同拐点）：

 , 2 , 1 , 0 ), 0 ,

(k k   B_k 

极值点（极大点或极小点）：

 , 2 , 1 , 0 , ) 1 ( , 2)

( 1    



 



 k   k

A_k



^k

余弦曲线

周期：T2



与 x 轴交点（同拐点）： ) ,0 , 0, 1, 2, 2

( 1    



 

 k k

B_k



极值点：A_k(k



,(1)^k), k0,1,2, 一般正弦曲线

) sin( ₀

A x

y 周期：





 2 T

式中 A>0 为振幅，为角频率，₀为初相与 x 轴交点（同拐点）：

⁰ ,0, 0,1,2,



 



  k k B_k







极值点：

,( 1) , 2)

( 1 ₀













 



A k

A_k ^k







k0,1,2,

同时，y Acos(



x



₁)也属于一般正弦曲它是将标准正弦曲线在 y 轴方向上伸 线(设 ⁰ ¹ 2

 



  ，可化为) )

sin(



x



₁ 



2

A 长 A 倍，在 x 轴方向上压缩倍，并向左平移



₀

一段距离而得到.

正切曲线

周期：T 



 , 2 , 1 , 0 ), 0 ,

(k k  

A_k  ，

该点切线斜率为 1.

y=tan x

(7)

渐近线： )



2 ( 1

 k x

余切曲线

周期：T 



) ,0 , 0, 1, 2, 2

( 1    



 

 k k

A_k



，

该点切线斜率为－1.

渐近线：xk



正割曲线

周期：T2



极大点：A_k((2k 1),1)

极小点：B_k(2k,1), k0,1,2, 渐近线： )



2 (  1

 k x

余割曲线

周期：T2



极大点： _



 



  ) ,1 2 2 3

( k 

A_k

极小点：





 



  ) , 1 2 2 1

(

k



B_k

k0,1,2, 渐近线：xk



3. 特殊角的三角函数值

 ^sin



cos tan cot sec csc

度弧度

(8)

0 ⁰^⁰ 0 1 0  1  15 12



4 2 6

4 2 6

3

2 2 3 6  2 6  2

18 10



4 1 5

4 5 2 10

5 5 2 5

5 2

5 5

5 2 10

1 5

 sin



cos tan cot sec csc

度弧度 22.5

8



2 2 2

2 2 2

1

2 21 42 2 42 2 30 6



2 1

2 3

3

3 3

2 2

36 5



4 5 2 10

4 1 5 

5 2 5

5 5 2 5

1

5 5

5 2 10

45 4



2 2

2

2 1 1 2 2

54 10 3



4 1 5

4 5 2 10

5 5 2 5

5 2

5 5

5 2 10

1 5

60 3



2 3

2

1 3

3

3 2

3 3 2

67.5 8 3



2 2 2

2 2 2

1

2 21 42 2 42 2

72 5 2



4 5 2 10

4 1 5 

5 2 5

5 5 2 5

1

5 5

5 2 10

75 12 5



4 2 6

4 2 6

3

2 2 3 6  2 6  2

90 20

 1 0  0  1

120 3 2



2 3

2

1  3

3

 3

 2

3 3 2

135 4 3



2 2

2

 2

 1  1

 2 2

150 6 5



2 1

2

 3

3

 3  3

3 3

2 2

180 ^⁰ 0

 1

0 

 1



表中 20

 表示 0

2 







，（即左、右极限）.一个锐角的余角的三角函数值等于这个角的

(9)

余三角函数值，例如cos75sin15，tan72cot18，csc67.5sec22.5. 4. 三角函数的基本关系和公式

[诱导公式]

三角函数的诱导公式表函数

角 sin cos tan cot sec csc



 sin



cos



tan cot sec csc 函数

角 sin cos tan cot sec csc

 

2  cos



^^sin



cot tan csc sec



  sin



cos tan cot sec csc



_



2

3 cos sin



cot tan csc sec







2 sin



cos



tan cot sec csc



 

n (1)ⁿsin (1)ⁿcos tan cot (1)ⁿsec (1)ⁿcsc 表中 n 为整数.

[基本关系]

sin²



cos²



1



 

cos tan  sin



  sin cot cos 1

cot

tan







 sin



csc



1 cossec 1 1

tan

sec²  ²  csc²



cot²



1

三角函数的相互关系表

x



sin cos



x tan x cot x sec x csc



x





sin x  1x² ₂

1 x x

 

1 2

1

x



x x² 1

 x

1

 

cos  1x² x ₂

1 1

 x

 2

1 x x

 

x 1

x x² 1



 

tan 2

1 x x

 

x x² 1

 x

x

1  x² 1

1 1

2 

 x

 

cot x

x² 1

 ₂

1 x x

 

x

1 x

1 1

2 



x  x² 1

 

sec 2

1 1

x



x

1 ₂

1x

 x

x² 1

 x

2 1

 x

x

 

csc x

1

1 2

1

x



x x² 1

  1x²

2 1

 x

x

x 例如，若 sin



x ，则 cos



  1x ²

[加法公式]

(10)





 









 













     



cot cot

1 cot ) cot

cot(

tan tan 1

tan ) tan

tan(

sin sin cos

cos ) cos(

sin cos cos

sin ) sin(

 



 





  



 



) tan tan tan tan

tan (tan

cos cos cos

) cot cot cot

cot

cot (cot sin sin sin

sin sin sin sin

cos cos

cos sin cos cos

cos sin ) sin(

















   

    

     

      











  

  

  



) c o t c o t c o t c o t

c o t ( c o t s i n s i n s i n

) t a n t a n t a n

t a n t a n

t a n 1 ( c o s c o s c o s

c o s s i n s i n s i n

c o s s i n

s i n s i n c o s c o s

c o s c o s )

c o s (

















        

     

      













   

 

 



1 cot cot cot

cot cot

cot

cot cot

cot ) cot

cot(

tan tan tan

tan tan

tan 1

tan tan tan tan

tan ) tan

tan(







 







 





















 























 





[和差与积互化公式]







 









 









 









 









 









 









 



sin cos

) cot cos(

tan

sin sin

) cot sin(

cot

cos cos

) tan sin(

tan

sin 2 sin 2

2 cos

cos

cos 2 cos 2

2 cos cos

sin 2 cos 2

2 sin sin

cos 2 sin 2

2 sin sin

 





 





 





 





 





 



 



sin sin [cos( ) cos( )]

cos cos [cos( ) cos( )]

sin cos [sin( ) sin( )]

     

    

   

1 2 1 2 1 2 [倍角公式]

(11)



 



 



 



 



 



tan cot

tan 1 2 sec sec

cot 2

1 2 cot

cot

tan 1

tan 2 2

tan

tan 1

tan sin 1

2 1

1 cos 2 sin

cos 2

cos 1 tan

tan cos 2

sin 2 2 sin

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2



 

 



 











  



1 cot 3

cot 3 3 cot

cot

tan 3 1

tan tan

3 3 tan

cos 3 cos 4 3 cos

sin 3 sin 4 3 sin

) cot 2(tan

csc 1 2sec

2 1 csc

2 3

2 3 3

3



 



 



 









 



 



  



sin cos sin cos sin

cos sin

cos cos cos sin cos sin

cos sin

n n C

C

n C C

C

n

n n

n

n n

    

 

     

 

 

 

  

 

 



 



1 3 3 3

5 5 5

2 2 2 4 4 4

6 6 6



 式中 n 为正整数.

[半角公式]

下列公式中根号所取符号与等号左边的符号一致.

1 sec

sec 2 csc2

1 sec

sec 2 sec2

cos 1

sin sin

cos 1 cos 1

cos 1 cot 2

cos 1

sin sin

cos 1 cos 1

cos 1 tan 2

2 cos 1 cos2

2 cos 1 sin 2

 



 



 

 



 



 

 



 



 



 





 



 



 



[降幂公式]

(12)

sin ( cos )

sin ( sin sin )

sin ( cos cos )

sin ( ) cos( )

sin ( ) sin( )

2

3

4

2

2 1 2

0 1

2

2 1

2 2 1

0

1

2 1 2

1

4 3 3

1

8 3 4 2 4

1

2 1 2 2 1

2 1

2 1 2 2 1

 

  

 

 

  

    

 



   









 







n

n k n k k

n

n n

n

n k n k k

n

C n k C

C n k

cos ( cos )

cos ( cos cos )

cos cos( )

2

3

4

2

2 1 2

0 1

2

2 1

2 2 1

0

1

2 1 2

1

4 3 3

1

8 3 4 2 4

1

2 2 2 1

2 1

2 2 2 1

 

  

 

 

  

   

 



  

 



 





n

n n

k k n

n n

n

n n

k k

n

C n k C

C n k

以上式中的 n 为正整数.

[三角函数有限和公式]

) 1 2 3 ( 1 1 cot 2

1 2 ) 2 sin

cos 1 2 ( cos2

2 ) 2 sin

cos 1 2 ( sin2

2 1 1 2

) 1 2 cos(

) 0 1 2 cos(

cot2 sin

1 2 1

1

2 1

1

2 1

1 1

1



 













 



 



















n n n

j

n n

j

n n

j n jn

j n

n j

n

j n

j







 

 









 

 



 











 

 



为偶数为奇数为偶数为奇数

n n

n n n

j

n n

n n n

j n n j

n n n

j

n

j n

j

2 , 1

), 1 2(

1 2

) 1 2 csc (

), 4 6(

1

), 1 6(

1 csc

4 2 ) 3 4 sec (

) 1 2 4 (

) 1 2 cot (

2 2 2

1 2

2 1 2

2 1

1 2

2 1

2



(13)

) 9 10 4

)(

1 2 45 (

1 1 cot 2

) 1 6 4 )(

1 2 3 ( 1 1 tan 2

) 1 3 (

4 1 csc 2

2 1

4

2 1

4 2

1 2







 





 



 





n n

n n n

j

n n n

n n j

n n n

j

n

j n

j



5. 反三角函数定义

[反三角函数的定义域与主值范围]

函数主值记号定义域主值范围

反正弦若xsiny，则yarc sinx 1x1

2 2



_ _

 y

反余弦若xcosy，则yarc cosx 1x1 0y



反正切若xtany，则_y__arc _tan_x x

2 2



 

 y

反余切若xcoty，则yarc cotx x 0y



反正割若xsecy，则yarcsecx x1,x1

0 

y

 

反余割若xcscy，则yarccscx x1,x1

2 2



  



y

一般反三角函数与主值的关系为

x n

x

x n

x

x n

x ⁿ

tan arc tan

Arc

arccos 2

Arccos

arcsin )

1 ( sin

Arc

















式中n 为任意整数.

[反三角函数的图形与特征]

反正弦曲线反余弦曲线

拐点（同曲线对称中心）：拐点（同曲线对称中心）：

) 0 , 0 (

O ，该点切线斜率为 1 ) ,2 0 (



A ，该点切线斜率为－1

反正切曲线反余切曲线

(14)

拐点（同曲线对称中心）：拐点：

) 0 , 0 (

O ，该点切线斜率为 1 )

,2 0 (



A ，该点切线斜率为－1

渐进线：

2







y 曲线对称中心： )

,2 0 (



A

渐近线：y0, y



反正割曲线反余割曲线

顶点：A(1,0), B(1,



) 顶点： ) , 2 1 ( 2), , 1

(



_ _



B

A

渐近线：

2





y 渐近线：y0

6. 反三角函数的相互关系与基本公式 [反三角函数的相互关系]

arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = )

sin(

arc x





arccos(x) arctan(x)



arccot( x ) x

arccos 2 



arcsinx

2 



arctanx

2 



arctanx

2 



* 1

arccos x² arcsin 1x² *

1 2

arcsin x x

 *

1 arcsin 1

x2

 1 2

arctan x x

 ^*

arctan 1

2

x

x *

1 arccos 1

x2

 arccos 1 ²

x x

 1 *

cot arc

2

x

x

1 2

cot arc

x x

 1*

cot

arc x 1*

arctan x 带有*号者只当 x 为正值时适用.

(15)

[反三角函数基本公式]

arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y =

) 1 ,

0 , 0 (

) 1 1

arcsin(

) 1 ,

0 , 0 (

) 1 1

arcsin(

) 1 0

(

) 1 1

arcsin(

2 2





































y x y x

x y y x

y x y x

x y y x

y x xy

x y y x



或

) 1 ,

0 , 0 (

) 1 1

arcsin(

) 1 ,

0 , 0 (

) 1 1

arcsin(

) 1 0

(

) 1 1

arcsin(

2 2





























y x y x

x y y x

y x y x

x y y x

y x xy

x y y x



或

arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y =

) 0 (

) 1 1

cos(

arc 2

) 0 (

) 1 1

cos(

arc

2 2













y x

xy

y x

xy



) (

) 1 1

cos(

arc

) (

) 1 1

cos(

arc

2 2

y x y x

xy

y x

xy















arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y =

) 1 , 0 1 (

arctan

) 1 , 0 1 (

arctan

) 1 1 (

arctan



 

 





 

 

 



xy xy x

y x

xy xy x

y x xy xy y x



) 1 ,

0 1 (

arctan

) 1 ,

0 1 (

arctan

) 1 1 (

arctan





 

 





 

 



 



xy xy x

y x

xy xy x

y x xy xy y x



2 arc sin x = 2 arc cos x =



 



  









  





 



 



2 1 2

) 1 2 ( sin arc

2 1 ) 2

1 2 ( sin arc

2 ) 2

1 2 ( sin arc

2 2 2

x x

x

x x

x

x x

x



) 0 1

( )

1 2 cos(

arc 2

) 1 0

( )

1 2 cos(

arc

2 2











x x



2 arc tanx = cos (n arc cos x) =

) 1 1 (

arctan 2

) 1 1 (

arctan 2

) 1 1 (

arctan 2

2 2 2



 





 



 

x x x x x x x x x



 ⁽ ¹⁾

2

) 1 (

) 1

( ² ²











n x

x x

x ⁿ ⁿ

7. 三角形基本定理

(16)

[正弦定理]

a A

b B

c

C R

sin  sin  sin 2 式中 R 为



ABC 的外接圆半径(图 1.3).

[余弦定理]

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

2 2 2

  

cos cos cos

[勾股定理] 在直角三角形(C 为直角)中，勾方加股方等于弦 方(图 1.4)，即

a² b² c²

勾股定理也称商高定理，外国书刊中称毕达哥拉斯定理.

[正切定理]

cot 2

tan 2 C

b a

b a B A



 

 或

a c

a c A C

A C c

b c b C B

C B b a

b a B A

B A



 







 







 





tan 2 tan 2 , tan 2

tan 2 , tan 2

tan 2

[半角与边长的关系公式]

) (

) )(

( tan 2

) (

) )(

( tan 2

) , (

) )(

( tan 2

) ( cos 2

), ( cos 2

) )(

( sin 2

), )(

( sin 2

), )(

( sin 2

c p p

b p a p c

p r C

b p p

a p c p b

p r B a

p p

c p b p a

p r A

ab c p p C ca

b p p B bc

a p p A

ab b p a p C

ca a p c p B

bc c p b p A



 



 



 



 



 



 

式中 p 1 a b c

2( ) ，r 为



ABC 的内切圆半径，且

t a n2 t a n2 t a n2 )

)(

( A B C

p p S p

c p b p a

r  p     式中 S 为



ABC 的面积.

8. 斜三角形解法

已知元素其他元素的求法

一边 a 及两角

B, C A

C c a

A B b a

C B

A sin

, sin sin ), sin (

180   

 两边 a, b 及夹角

C c

C B b

c C A a

C ab b

a

c

sin

sin sin ,

sin , cos

2

   



(17)

三边 a, b, c

C B C A

B A

ab c b C a

ca b a B c

bc a c A b

, , 2,

2, 2,

cos 2 2 ,

cos 2 ,

cos

2 2 2 2

2 2 2

2 2

即得公式先求出

或用半角与边长的关系



 



 



 

两边 a, b 及其中 一边的对角 A

A C c a

B A C

a A B b

sin sin

) ( 180 sin sin











 b sin A<a 时，有两解

b sin A>a 时，无解 b sin A=a 时，有一解

五、球面三角

1. 球面三角有关名称及性质

[大圆] 用一通过球心 O 的平面截球，在球表面所得的截线 称为大圆，其半径等于球的半径 R(图 1.5).

[大圆弧长] 连接球面上两点 A, B 的最短线是通过 A, B 的大 圆上较短的弧，其圆心角为 (以弧度计)，则 弧长 a = R.

[两大圆弧夹角] 两大圆弧的交点 A 上的相应大圆的切线 (AB', AC')间的夹角称为这两大圆弧的夹角，它也可用两平面 OAB 和 OAC 所构成的二面角来度量(图 1.6).

[球面二角形面积] 球面二角形 ABA'C 的面积(图 1.6 阴影部 分)S_A 2R²A(A 为两大圆弧夹角，单位是弧度).

[球面三角形的球面角超(或球面角过剩)] 三个大圆在球面上可构成几个球面三角形，我们只考虑三边和小于的哪些三角形.

设，，为三条边(即三段大圆弧长，以球半径 R 为度量单位)，

A，B，C 为三个角(即三段大圆弧的两两夹角，图 1.7).球面三角形的 三个角之和一定大于 180，其差 = A + B + C－



叫球面角超(单位弧度)， >0.

cos2 cos2 cos2 2

) sin(

sin sin2

















 

 p p p p

式中 ( )

2

1













p .

[球面三角形面积] 球面三角形 ABC(图 1.7 阴影部分)的面积 S

= R².

2. 球面三角形基本定理与公式 [正弦定理]

C B

A s i n

s i n s i n

s i n

  



 [余弦定理]

(18)

边：cos



cos



cos



sin



sin



cosA 角：cosAcosBcosCsinBsinCcos



[余切定理]

边：cot



sin



cos



cosCcotAsinC 角：cotAsinBcot



sin



cosBcos



[正切定理]

t a n 2 t a n 2 t a n 2

t a n 2













 

 B A

B A

[五元素公式]

边：sin



cosBcos



sin



sin



cos



cosA 角：sinAcos



cosBsinCsinBcosCcos



[半角公式]

) s i n ( s i n

) s i n ( ) s i n ( t a n2

s i n s i n

) s i n ( s i n c o s2

s i n , s i n

) s i n ( ) s i n ( s i n2























 



 

p p

A

p p A

p p

A

式中

( )

2 1     



p .

[半边公式]

) cos(

cos tan 2

sin sin

) cos(

cos 2 sin ,

sin

) cos(

cos sin 2

C P B

P

A P P

C B

C P B

P C

B

A P P



 



 



 



) 2(

1 A B C

P  

[德兰布-高斯公式]

s i n2 c o s2 s i n 2

s i n 2 , c o s2

c o s2 c o s 2

s i n 2













C

B A C

B A



 



 

2 s i n

2 s i n 2

s i n 2

c o s ,

2 c o s

2 s i n 2

c o s 2

c o s











 _C

B A C

B A



 



 

[耐普尔公式]

(19)

s i n 2

t a n2 s i n 2

t a n 2 , cos 2

tan2 cos 2

tan 2

sin 2

cot2 sin 2

tan 2 , cos 2

cot2 cos 2

tan 2

B A

C B

A C

B A





 





 





 





 

 

 





















3. 球面三角形解法

[一般球面三角形计算公式]

已知元素求解公式

三边：

 ,  , 

) 2(

, 1 sin

) sin(

cot2 ), sin(

cot 2 ), sin(

cot2





 













 



 

p p

m p

m p C

m p B

m p A

式中

三角：

A , B , C

) 2(

1

cos

) cos(

tan2 ), cos(

tan 2 ), cos(

tan 2

C B A P

P

C P B P A M P

M C P M

B P M

A P







 

式中







已知元素求解公式

两边及夹角：

 ,  , C

cos 2 tan 2 cos 2

tan2 . ,

cot 2 sin 2

sin 2 tan 2

cot 2 cos 2

cos 2 tan 2

B A B A B

A

C B

A

C B

A





















 





 



 

















解出由

(20)

两角及夹边：

A , B , 

cos 2 cot 2 cos 2

tan 2 .

,

tan 2 sin 2

sin 2 tan 2

tan 2 cos 2

cos 2 tan 2













































 





 

B A C

B A

解出由

两边及一对角：

 ,  , A

cos 2 tan 2 cos 2

tan2

cos 2 cot 2 cos 2

tan 2

sin sin sin sin

B A B A

B A C

B A















 







 



两角及一对边：

A , B , 

cos 2 cot 2 cos 2

tan 2

cos 2 tan 2 cos 2

tan2 sin ,

sin sin sin









 

 













B A C

B A B A

A B

[球面直角三角形计算公式]

已知元素求解公式已知元素求解公式

斜边及一角：

 , A

A B

A A

tan cos cot

cos tan tan

sin sin sin











 两直角边：

 , 















cot sin cot

sin cot cot

cos cos cos



B A

(21)

一直角边及其对角：

 , A



 





cos sin cos

sin sin sin

cot tan sin

B A

A A



 斜边及一直角边：

 , 









 

cot tan cos

sin sin sin

cos cos cos



B A

一直角边及其邻角：

 , B A B

B B

sin cos cos

cos cot cot

tan sin tan











 两角：

A , B

B A

A B B

A

cot cot cos

sin cos cos









计算时，应尽量利用含未知元素的正切(或余切)的公式，应避免采用正弦的公式，计算结果可代入正弦定理公式进行验算.

六、双曲函数

1. 双曲函数的定义、图形与特征 [双曲函数定义]

函数双曲正弦

sh x

双曲余弦 ch x

双曲正切 th x

双曲余切 cth x

双曲正割 sech x

双曲余割 csch x

定义 2

x

x e

e  ^

2

x

x e

e  ^

x x

e e

x x





 ch  sh

x x

e e

x x



 sh  ch

x

x e

e x

 

 2 ch

1

x

x e

e x

 

 2 sh

1

[双曲函数的图形与特征]

双曲正弦曲线双曲余弦曲线

yshx ychx

曲线关于原点对称. 曲线关于 y 轴对称.

(22)

拐点（同曲线对称中心）：顶点（同极小值点）：A(0,1) O(0,0)，该点切线斜率为 1

双曲正切曲线双曲余切曲线 ythx yc t hx

曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称.

拐点（同曲线对称中心）：不连续点：x0 O(0,0)，该点切线斜率为 1 渐近线：x0, y1 渐近线：y1

双曲正割曲线双曲余割曲线 ysechx yc s c hx

曲线关于 y 轴对称. 曲线关于原点对称.

顶点（同极大点）：A(0,1) 不连续点：x0 拐点： _



 





2 , 2 2 th 2 Ar

B 渐近线：x0, y0

_









2 , 2 2 th 2 Ar C

渐近线：y0

2. 双曲函数的相互关系和基本公式 [双曲函数的相互关系]

§2 初等函数及其数值计算