03 式的運算

03 式的運算

CHAPTER

目 錄

03 式的運算

CHAPTER

3-1

3-2

3-3

學習評量

3-1 習題

3-2 習題

3-3 習題

多項 的四 則運 算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3- 1

60

x

x

課本

定理 P. ⁶⁰

(1)

例如： f(x)=3

(2) 當 時， f(x) 稱為零多項式，沒有次數

只有一個就是 f(x)=0 。

a

0

a

= 0

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3- 1

• 依照 x 的次方由小而大的排列方式，稱為 升

冪排列。例如：

；

• 依照 x 的次方由大而小的排列方式，稱為 降

冪排列。例如：

。

3-1.1 有向線段與向量

61

f x ( ) = -1 + 2 - 4 x x

f x ( )

2 x

2 x

1

課本

例題

1

若 ，試求：

(1) f(x) 的降冪排列　 (2) f(x) 的升冪排列　 (3)

(4) f(x) 的領導係數　 (5) f(x) 的常數

61

解

f x ( )

3 x

5 x

4 x

1 2 x

(1) 。

(2)

(3)

(4)

(5)

f x ( )

4 x

3 x

5 x

2 x

1

f x ( ) 1 2

x

5 x

3 x

4 x

課本

隨堂練習

1

解

f x ( ) = px

+ qx

- 5 x

+ 4 -1 x

f x ( ) = qx

- 5 x

+ 4 -1 x

課本

例題 P.

因 f(x) 為零多項式，

故 a-3=0，b+1=0，c+2=0，

即得 a=3，b=-1，c=-2。

2

已知 為一零多項式，

求實數 a、 b 、 c 之值。

62

解

f x ( ) = ( - 3) a x

+ ( b

1) + ( x c

2)

課本

隨堂練習 P.

已知 為零次 多項式，求實數 a 、 b 之值。

2

解

a

x

b

x

( 3) - ( 1) + 9

因 f(x) 為零次多項式，

所以 ，即 。

a b

  

  



3 0 1 0

a b

  

 



3

1

課本

例題

3

美美家商服裝科的同學設計了一套禮服 如右圖，已知部分領口的弧度放入坐標 平面滿足多項式

，且 f(x) 為二次

多項式，求實數 a 、 b 之值。

62

解

f x ( ) (

a

1) x

( a

b

2) x

3 x

2 x

1

因 f(x) 為二次多項式，

故 a-1=0 ， a+b-2=0 ， 即得 a=1 ， b=1 。

課本

隨堂練習 P.

承【例題 3 】，若此多項式

，且 f(x) 為二次多 項式，求 f(x) 。

3

解

f x ( ) (

a

1) x

( a b

2) x

3 x

2 x

1

因 f(x) 為二次多項式，

由已知 a-3=0 ，得 a=3 。

故 。

f x ( ) = 2 x

+ 2 + 5 x

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.2 多項式的相等

1

63

• 若多項式 f(x) 和 g(x) 之次數相等，且同次 項係數皆相等，則稱兩多項式 f(x) 和 g(x) 相等，記作 f(x) ＝ g(x) 。

課本

例題

4

已知 ， ，其中 a

、 b 、 c 為實數，若 f(x)=g(x) ，求 a 、 b 、 c 之值

。

63

解

f x ( )

ax

2 x b

g x ( )

x

cx

3

因 f(x)=g(x) ，則同次項係數必相等，

故 a=-1 ， b=3 ， c=2 。

課本

隨堂練習 P.

已知 ，

　　 ，

其中 a 、 b 、 c 為實數，若 f(x)=g(x) ，求 a

、 b 、 c 之

。

4

解

f x ( ) (

a

2) x

3 x

6 x

3

g x ( ) 4

x

( b 3) x

( c 1) x

3

因 f(x)=g(x) ，

所以 ，故

。

a

b c

  

  

   



2 4

3 3

6 1

a b c

 

  

  



2 6

5

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.2 多項式的加法與減法

1

63

• 兩多項式 f(x) 、 g(x) 的相加或相減，其運算 方式乃是將 f(x) 及 g(x) 的同次項所對應的 係數相加或相減即可，以符號 f(x)+g(x) 或 f(x)-g(x) 表示。

• 其運算方式有下列三種： ( 一 ) 橫式計算法；

( 二 ) 直式計算法； ( 三 ) 分離係數法。

課本

例題

5

已知 ，

，求

(1) f(x)+g(x) (2) f(x)-g(x) 。

64

解

f x ( ) 4

x

3 x

5 x

2 x

1 g x ( ) 4

x

2 x



6 x

1

( 一 ) 橫式計算法：

f(x)+g(x)

x x x x x x x

x x x x

x x x x

        

           

    

4 3 2 3 2

4 3 2

4 3 2

(4 3 5 2 1) (4 2 6 1)

4 ( 3 4) (5 2) ( 2 6) ( 1 1)

4 3 4 2

課本

例題

5

解

( 一 ) 橫式計算法：

^{x x}   ^{x x}  

x x x x

             

   

4 3 2

4 3 2

4 ( 3 4) 5 ( 2) ( 2 6) 1 ( 1)

4 7 7 8

f(x)-g(x)

x x x x x x x



(4

3

5

2

1) (4

2

6

1)

課本

例題

5

解

( 二 ) 直式計算法：

f(x)+g(x) ：

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

   

   

    

   

   

    

4 3 2

3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

4 3 2

4 3 5 2 1

) 4 2 6 1

4 3 4 2

4 3 5 2 1

) 4 2 6 1

4 7 7 8 0

f(x) － g(x) ：

f(x) － g(x)

課本

例題

5

解

( 三 ) 分離系數法：同直式計算法，將多項式依降冪排列，

　 只寫係數， x 省略不寫，但缺項必須以 0 補之。

f(x)+g(x) ：

   

   

4 3 5 2 1

) 4 2 6 1

4 + 1 + 3 + 4 - 2

f x ( ) + ( ) = 4 g x x

+ x

+ 3 x

+ 4 - 2 x

即    

   

4 3 5 2 1

) 4 2 6 1

4 + 1 + 3 + 4 - 2

f(x)-g(x) ：

f x g x ( ) - ( ) = 4 x

- 7 x

+ 7 x

- 8 x

課本

隨堂練習 P.

已知

，

，求 。

5

解

f x ( ) 5

x

3 7 x

4 x

g x ( ) 3

x

8 x

6 4 x f x ( )

g x ( )

7 - 4 + 5 - 3 +) -8 + 3 - 4 + 6

-1 -1 + 1 + 3 f x

x

x

x ( ) + g(x)

= - - + + 3

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.4 多項式的乘法

1

65

課本

定理 多項式的乘法 P. ⁶⁵

n n

n n

f x ( ) = a x + a x

+

+ a x a

+

m m

m m

g x ( ) = b x + b

x

+

+ b x b

+

_{n m} ^n+m _{n m n m} ^{n m}

f x ( )

g x ( ) = a b x + ( a b

+ a b x

)

a b

a b x a b

+( + ) +

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.4 多項式的乘法

1

65

注意：

(1) 若 f(x)

　 則 deg(f(x) ‧g(x)) ＝ deg f(x) ＋ deg g(x) 。

(2) 若 f(x)

，

　 則 f(x) ‧g(x)=0 ，即 f(x) ‧g(x) 為零多項式

。

課本

例題

6

已知 ，

，求 f(x)‧

g(x) 。

66

解

f x ( )

x

2 x

1 g x ( ) 2

x

6 x

3

( 一 ) 橫式計算法：

f(x) )‧g(x)

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

    

        

 

    

3 2

3 2 3 3

5 4 3 2

( 2 1) (2 6 3)

( 2 1) 2 ( 2 1) ( 6 ) ( 2

1) ( 3)

2 6 14 3



 



課本

例題

6

解( 二 ) 直式計算法：

一般兩多項式相乘，兩式同時按某文字之降冪排 列，使相乘時所得各部分之積中，諸同類項集於

同一縱行以便合併，如下所示（遇有缺項，應以 零補足）。

f x ( ) ( ) 2

g x

x

6 x

x

14 x

3

即

課本

例題

6

(解三 ) 分離系數法：

將兩多項式依 x 之降冪排列，僅取其各項係數，

而以 0 補其缺項，再乘。

f x g x ( ) ( ) = 2

x

- 6 x

+ x

-14 x

+ 3

即

課本

隨堂練習

6

解

已知 ， ，

求 f(x) ‧g(x) 。

f x ( )

3 x

x

6 x

1 g x ( ) 3

x

2 x

6

f x ( ) ( ) = -9

g x x

+ 9 x

- 2 x

- 9 x

+ 38 - 6 x

即 。

由分離係數法：

課本

例題

7

求 展開 式中， 項之係數。

67

解

x

x

x

x

(3 2 1) (

2 3) x

〈解一〉利用多項式的乘法：

即 ，故 項之 係數為 11 。

x

x

x

x

x

x

3 - 6 + 11 - 5 + 8 - 3

課本

例題

7

解〈解二〉由 之展開式

中，發現產生 項的有 及 ，

　　　　故 項之係數為 3 3‧ ＋ 2 1‧ ＝ 11 。　 　　　

x

x

x

x

(3 2 1) (

2 3)

x

3

3

x

2  x x

x

課本

隨堂練習

7

解

求 展開式中， 項之係數。

3 2 2

( x

x

4) (2

x

5 x

1) x

在 之展開式中，

會產生 項的有 及 ， 故 項之係數為 。

3 2 2

( x

x

4) (2

x

5 x

1)

x

x

( 1)

x

5 x

x

1 ( 1) 1 5 4

課本

例題

8

甜點師傅小龜一向有將剩餘食材再利用的好習慣，而他正好發現此次用剩的四塊不同大小的巧 克力塊（如右圖所示）可以重新組合成正方形的巧克力塊，若不考慮巧克力塊排放過程中毀損 的狀況，試問重組後的正方形巧克力塊邊長為多少？

68

課本

例題

8

解

故正方形巧克力塊的邊長為 2x+5 。

2 2 2 2

2

2

( ) = ( + 6)( + 3) + ( -1)( + 3) + ( + 2)( + 6) + ( + 2)( -1)

= + 9 + 18 + + 2 - 3 + + 8 + 12 + + - 2 = 4 + 20 + 25

= (2 + 5)

f x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

x x

x 即

課本

隨堂練習

8

解

承【例題 8 】，若四塊巧克力塊 換為如右圖的形狀，試問重組後 的正方形巧克力塊邊長為多少？

故正方形巧克力塊的邊長為 2x-8 。

2 2 2 2

2

2

( ) = ( -12)x( + 4)x + ( - 8)( -12) + ( - 8)( + 4) = -12 + + 4 + - 20 + 96 + - 4 - 32 = 4 - 32 + 64

= (2 - 8)

f x x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x 即

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

69

課本

定理 多項式的除法原理 P. ⁶⁹

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

70

1 將 f(x) 、 g(x) 分別按降冪排列，缺項時以 0 補之

。

2 先由 g(x) 的首項，除 f(x) 的首項，得商式

之首項 ，再由 f(x) 減去

餘式 。

3 ，比較 和 的次數，若

，則繼續運算下去。

4 由 g(x) 的首項除 的首項，得商式

第二項 ，再由 減去 ，得第二次

餘式 。

一、長除法

1

( ) ( ) q x

g x

1

( ) r x 2

( )

1

( ) 0 g x

r x

r x

( ) deg ( ) r x

deg ( ) g x

3

1

( ) r x

2

( )

q x r x

( ) q x

( )

2

( )

r x

4

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

70

一、長除法

1

( ) 0

r x

r x

( ) deg ( ) deg ( ) r x

g x

1

( ) + ( ) +

q x q x

5 ，比較 和 g(x) 的次數

，若

，則繼續運算下去

。

6 直到 r(x)=0 或 r(x) 的次數小於 g(x) 的次

，則得到商式 q(x) ＝

餘式。

課本

例題

9

2 2

( ) 3 2 1

f x

x

x

g x ( ) 3

x

x 2

課本

例題

9

解( 一 ) 直式長除法：

3 2

3 x

3 x = x

因 因

3 x

3 x

= 1

所以 f(x)=g(x)(x+1)+3x+1 ，

故得商式為 x+1 ，餘式為 3x+1 。

課本

例題

9

解( 二 ) 分離係數法：

課本

隨堂練習

9

解

4 2

( ) = 3x 2 10 5

f x

x

x

g x ( ) = x

2 x

3

3

+ 6 + 1 - 6 - 8

x x

x

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

72

二、綜合除法

設 ，

　　　 ，

　 商式 ，

餘式 r(x)=R （餘式為常數）。

由多項式除法原理知： f(x)=g(x) ‧q(x)+r(x) ， 故

-1

-1 1 0

( ) = + + + +

( ) = -

n n

n n

f x a x a x a x a

g x x b



-1 -2

-1 -2 1 0

( ) =

+

+ + + q x c x c x

c x c

-1

-1 1 0

-1 -2

-1 -2 1 0

-2

-1 -2 0 1

( )( )

( ) ( )

( )

n n

n n

n n

n n

n n

n n n-1

0

a x + a x + + a x + a

= x - b c x + c x + + c x + c + R

= c x + c - b c x + + c - b c x + R - b c





  

 。

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

72

二、綜合除法

比較等式兩邊的同次項係數得：

-1

-1 -2 -1

1 0 1

0

-

- -

n n

n n n

a = c

a = c b c

a = c b c a = R b c



 



０ 

，

移項得

-2 -1 -1

0 1 1

0 0

+

+ +

n n n

c = a b c

c = a b c R = a b c









多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

72

二、綜合除法

由上面的關係式，我們可以取其規則，將運算過程寫 成下面的型式：

由上可得商式

，餘式 r(x)=R 。

-1 -2

-1 -2 1 0

( ) =

+

+ + +

q x c x c x  c x c

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3- 1

1 被除式按降冪排列，需注意缺項補 0 。 2 除式為 x-b ，則右側應記為 b 。

3 先將被除式的領導係數往下移至商式的第一個

位置，作為商式的領導係數。

4 以商式的領導係數乘以記於右側的數 b ，得 積列

於被除式第二項之下與被除式第二項相加列於 商式的第二個位置，即商式的第二項係數。

5 重複

4 的演算步驟直到得到商式的所有項之

數及最後一項餘式為止。

3-1.5 多項式的除法

73

二、綜合除法

綜合除法之運算步驟及注意事項

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3- 1

6 需注意的是：與長除法的差別，在於上下兩項

數字要

3-1.5 多項式的除法

73

二、綜合除法

綜合除法之運算步驟及注意事項

課本

例題

10

解

3 2

( ) 2 2 6

f x

x

x

x

所以 ， 故得商式為 ，餘式為 -2 。

x

2

( ) ( )(

2) 2

f x

g x x

課本

隨堂練習

10

解

3 2

( ) = - 2 - 5 + 3

f x x x x

2

- 5 + 10 - 27

x x

得商式為，餘式為。

多項 式的 四則 運算

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-1.5 多項式的除法

1

74

二、綜合除法

( ) = ( + ) ( ) + ( )

= + ( ) + ( )

= + ( ( )) + ( ) f x ax b q x r x

a x b q x r x a

x b a q x r x a

由

 

 

 

 

 

 





 

課本

例題

11

試用綜合除法求 之商式及餘式。

74

3 2

(4 x

2 x

1) (2 x

1)

課本

例題

11

解

3 2 2

2

4 + 2 + 1 = - 1 (4 + 4 + 2) + 2 2

= (2 -1)(2 + 2 + 1) + 2

x x x x x

x x x

 

 

 

即

所以商式為 ，餘式為 2 。

2 x

2 x

1

課本

隨堂練習

11

解

利用綜合除法，求 3x+1 除 之商式及餘式。

3 2

6 x - x + 5 + 4 x

故得商式為 ，餘式為 2 。

2 x

x 2

課本

習題

3-1

1. 已知

求實數 a 、 b 、 c 、 d 之值。

　 解

3 2

( ) = ( + 3) + ( - 3 ) + + ( + 2 )

f x a x b a x cx d c

課本

習題

3-1

2. 已知 ，

，求 f(x)+g(x) 與 f(x)-g(x) 。　

( ) = -6

- 7 - 5

f x x x g x ( ) = 2 x

- 3 + 3 x x

- 1

課本

習題

3-1

3. 試求下列各題之乘積：

(1) 。 (2) 。

解

3 2 2

(

-

- 3 -1) (-3 + 1 +

)

(-3 + 2 ) (2 - 5 + 3 )

課本

習題

3-1

解

課本

習題

3-1

4. 試求 除

解

4 3 2

2

-

- 4

+ 5 + 3

2

- + 1

課本

習題

3-1

5. 利用綜合除法，求下列各題除法中之商式及餘式：

(1) x-2 除 。

(2) x+1 除 。

(3) 2x-1 除 。 (4) 除以 3x+2 。

解

3

- 2 + 1

3 2

2

-1 +

-

3 2

2

- 5

+ 8

2

3 2

6

+

+ 7

5

課本

習題

3-1

解

課本

習題

3-1

解

課本

習題

3-1

解

課本

習題

3-1

6. 已知多項式 f(x) 除以多項式 g(x) ，得商式為

。

課本

習題

3-1

7. 若

，求　

(1) a+b+c+d (2) a-b+c-d 　之值。

（提示：可由比較係數、綜合除法或觀察多項式來思 考。）

3

- 2

+ 3 + 2 = ( -1) + ( -1) + ( -1) +

x x x a x b x c x d

課本

習題

3-1

解

課本

習題

3-1

解

課本

定理 餘式定理 P. ⁷⁷

餘式 與因 式定 理

0 3

HOME MENU EXIT

課本 P.

3-

3-2.1 餘式定理

2

77

( ) = ( + ) ( ) +

f x ax b q x r

課本

例題

1

求以 x-2 除 之餘式。

77

解

3 2

( ) = - 2 + 2 - 6

f x x x x

3 2

2 - 2 2 + 2 2 - 6 = -2

課本

隨堂練習 P.

求以 2x+1 除 之餘式。

1

解

3 2

8 x + 6 x + 5 + 5 x

3 2

8 x + 6 x + 5 + 5 x

故餘式為 3 。

課本

例題

2

求以 x+1 除 之餘式。

78

解

2017 70

( ) = + + 5

f x x x

由餘式定理可知，

以 x+1 除 f(x) 所得之餘式為 f(-1) ， 而 f(-1)=

　　　＝ -1 ＋ 1 ＋ 5 ＝ 5 ， 故餘式為 5 。

2017 70

(-1) + (-1) + 5

課本

隨堂練習 P.

求以 x+1 除 之餘式。

2

解

101

+ 98

- 20 - 24

x x x

由餘式定理可知，

所求餘式＝

　　　　＝＋ 98 ＋ 20 － 24 ＝ 93 。

101 48

(-1) + 98 (-1) - 20 (-1) - 24  

課本

例題

3

設 ，求 f(x)

除以 x-2 之餘式。

79

解

5 4 3 2

( ) = 147 - 307 + 30 - 3 - 13 + 9

f x x x x x x

由餘式定理可知： f(x) 除以 x-2 之餘式為 f(2) 。 若將 2 直接代入 f(x) ，

得 f(2)=147 2‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ＋ 9 ， 顯然計算不易。此處若用綜合除法，

其計算就簡單多了！

2 - 307

2 + 30

2 - 3

2 - 13

所以餘式為 3 。

課本

隨堂練習 P.

求以 x-7 除 之餘式。

3

解

4 3 2

5 x - 39 x + 30 x - 15 + 9 x

6=f(1)=a-2+2a-4

則 3a-12 ，故 a=4 。

課本

例題

4

若以 x-1 除 得餘式 6 ，求實數 a 之值。

79

解

3 2

( ) = a - 2 + 2 - 4

f x x x ax

由餘式定理

6 =f(1)=a-2+2a-4

則 3a-12 ，故 a=4 。