7.1 矩陣，向量：加法與純量乘積 7.2 矩陣乘法

第 7 章 線性代數：矩陣，向量，行 列式，線性方程組

7.1 矩陣，向量：加法與純量乘積 7.2 矩陣乘法

7.3 線性方程組，高斯消去法

7.4 線性獨立，矩陣的秩，向量空間 7.5 線性系統的解： 存在性，唯一性 7.6 參考用： 二階與三階行列式

7.7 行列式，柯拉瑪法則

7.8 反矩陣，高斯—喬丹消去法

反矩陣，高斯
喬丹消去法

將 n × n 矩陣 A ＝ [a_jk

]

(1)

其中，I 為 n × n 單位矩陣（見 6.2 節）

若 A 有反矩陣，則 A 稱為非奇異矩陣（nonsingular matrix）。

若 A 沒有反矩陣，則 A 稱為奇異矩陣（singular matrix）。若 A 有 反矩陣，則此反矩陣為唯一。

事實上，若 B 與 C 均為 A 的反矩陣，則 AB

＝

＝

定理 1 反矩陣的存在性

定理 1 證明

令 A 為已知 n × n 矩陣，並考慮線性系統 (2)

若反矩陣 A

存在，則在上式兩邊由左邊乘上 A

，且利用 (1) 式可得

相反地，令 rank A＝ n。那麼根據相同定理，系統 (2) 對任 意 b 有唯一解 x。接著依照高斯消去法（6.3 節）的反向代入，

顯示 x 的分量 x

為 b 向量的線性組合。故可寫成

(3)

定理 1 證明

對任意 b 而言。故 C ＝ AB ＝ I，單位矩陣。同理，若將 (2) 式代入 (3) 式得到

對任意 x 而言（且b ＝ Ax），故 BA ＝ I。即存在 B ＝

。

高斯
喬丹法求反矩陣

對於實際求解非奇異 n × n 矩陣 A 的反矩陣 A^－1 而言，我們可 使用高斯消去法（6.3 節），事實上是它的變種，稱為高斯—喬丹 消去法（Gauss-Jordan elimina

tion）。此解法觀念如下：

使用 A 來構成 n 個線性系統

其中 e

,…,e

為 n × n 單位矩陣 I 的行；因此， e

＝ [1 0 … 0]

， e

＝ [0 1 0 …]

等。這些是以未知向量 x

, …, x

(n)

表示的 n 個向量方程式。再合併成單一矩陣方程式 AX ＝ I，

其中此未知矩陣 x 具有 x

, …, x

等行。然後，將對應的 n

個擴大矩陣[A e

],…, [A e

] 合併成一個 n × 2n 的擴大矩陣

à ＝[A I]。

那麼，將 AX ＝ I 由左邊乘以

而得 X ＝

。 由AX ＝ I 求解 X，我們可對 Ã ＝[A I] 使用高斯消去法而得 形式為 [U H] 的矩陣，其中 U 為上三角，因高斯消去法使系 統成為三角化。

高斯

喬丹消去法進一步使用基本列運算，將 U 簡化成對 角形式，事實上成為單位矩陣 I。此做法為消除 U 主對角線 上的項，並以乘法使對角線項變為全部是 1（見下面範例）。

當然，此方法在整個矩陣 [U H]上運算，同時將 H 轉換成 某一矩陣 K，因此[U H] 轉換成 [I K]。這也是 IX ＝ K 的擴 大矩陣。那麼如前所示 IX ＝ X ＝

。比較而得 K ＝

A^－1

，如此一來，可由 [I K] 讀出

。

求

的反矩陣

。

解

應用高斯消去法（6.3 節）到下列 n × 2n ＝ 3 × 6 的矩陣，

其中藍色恆指向先前的矩陣。

範例 1 反矩陣，高斯
喬丹消去法

此即 [U H]，如同依高斯消去法所產生一樣。那麼再依高 斯喬丹的步驟，將 U 減少至 I，亦即成為主對角線上均為 1 的對角矩陣。

範例 1 (續)

範例 1 (續)

最後三行構成

，驗算

因此，A

＝ I。同理，

範例 1 (續)

定理 2 反矩陣

定理 2 證明

將 (4) 式右邊表為 B，並證明 BA ＝ I。首先寫出 (5)

然後再證出 G ＝ I。那麼，根據矩陣乘法的定義以及 (4) 式 右邊 B 的形式，得到

(6)

（注意！是 C

而非 C

）

定理 2 證明

那麼由 6.7 節中 (9) 與 (10) 式知，當 l ＝ k 時，上式右邊的 和 (…) 為 D ＝ det A；而當 l ≠ k ，此和為零。因此

尤其當 n ＝ 2 時，由 (4) 式的第 1 列得到 C

＝ a

、C

＝

－a

，以及第 2 列得 C

＝ －a

、C

＝ a

。如此得證 (4*)

式。

範例 2 2 × 2 矩陣的反矩陣

範例 3 定理2 的進一步說明

試用 (4) 式計算

解

計算得到 det A ＝ －1(－7)－1．13＋2．8 ＝10 以及 (4)

式中

範例 3 (續)

使得(4) 式的結果與範例 1 一致。

對角矩陣

對角矩陣（diagonal matrix）A ＝ [a_jk

]，在 j ≠ k 時 a

＝ 0；

若且唯若 a

≠ 0 則 A 有反矩陣。那麼，

亦為對角矩陣，

同時各項為 1/a

,…,1/a

。

證明

就任一對角矩陣，可在 (4) 式得出

範例 4 對角矩陣的反矩陣

若令

則反矩陣為

矩陣乘法的罕見性質，消去法

接著採用 6.2 節尚未見到的秩與反矩陣等觀念，我們可以

說明所謂消去律 [2] 與 [3]如下的限制條件，這些偏離正規的

性質在實務上相當重要，同時務必小心觀察，如下所示

定理 3 消去律

矩陣乘積的行列式

矩陣乘積 AB 或 BA 的行列式可表為矩陣行列式的乘積。

雖然一般而言，AB ≠BA，但有趣的是，det AB ＝ dat BA。

我們偶爾需要此對應的公式 (10)，同時可藉高斯—喬丹消去

法（見範例 1）以及方才所證明的定理求得該公式。

定理 4 矩陣乘積的行列式

定理 4 證明

根據定理 3(c) 知若 A 或 B 為奇異矩陣，則 AB 與 BA 亦為 奇異矩陣，再者，由 6.7 節定理 3 知 (10) 式簡化為 0 ＝ 0。

那麼若令 A 與 B 為非奇異矩陣，則我們可以高斯—喬丹步 驟將 A 簡化成為對角矩陣 Â ＝[a

]。根據 6.7 節 (a) 與 (b) [非 (c)]的定理 1 知除了樞軸轉動的互換列或許引起負號外，經過 這些運算，det A 仍保持一定值。不過，同樣的運算簡化 AB 成 ÂB，對 det(AB) 具有相同效應。故仍要對 B 證明(10) 式，

寫出

定理 4 證明

定理 4 證明

現在取行列式 det(ÂB)。在右邊第一列取出 â

因子，第二

列取 â

,…, 由第 n 列取出 â

。不過因 Â 為對角矩陣，故這

乘積 â

…â

等於 det Â。剩下的行列式為 det B。此即證

明(10) 式的 det(AB)，同理可證明 det(BA)。