多項式除法的商式和餘式

(1)

多項式除法的商式和餘式

吳波

文 [1] 中陳建燁先生給出了如下的「多項式除法基本定理」:

引理1 (見[1]): 設 p¹, p₂, . . . , p_m 兩兩不等, 且 n ≥ m ≥ 2, 則

xⁿ=

"

Y

1≤i≤m

(x − pⁱ)

#

·

"_n−m X

j=0

h_n−m−j(p)x^j

# +

m

X

j=1

pⁿ

j

Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj− pi). 其中 h_k(p) = P

λ1+λ2+···+λm=k, λ1,λ2,...,λm≥0

(p^λ1¹p^λ₂²· · · p^λm^m), 即 hk(p)是 p1, p₂, . . . , p_m 的 k 次完全齊次對稱多項式。

注: 為表述方便, 本文將文 [1] 中的 hk(p¹, p₂, . . . , p_m) 簡寫為 hk(p), 並將商式改為按 x 的升冪排列。

本文探求一般的 n 次多項式 f (x) = Pⁿ

i=0

a_ixⁱ 除以 Q

1≤i≤m

(x − pi) 所得的商式 q(x) 和餘式 r(x), 即:

f(x) = q(x) Y

1≤i≤m

(x − pi) + r(x).

其中 q(x) 是 n − m 次多項式 (n ≥ m), r(x) 是次數不超過 m − 1 的多項式。

本文還要用到文 [1] 中的 h − L 轉換公式:

引理2 (見[1]): m ≥ 2, k ≥ 0 且 k ∈ N, Lk(p) =

m

P

i=1

p^k

i

Q

1≤s≤m,s6=i

(pi− ps), 則:

h_k(p) = L_k+m−1(p).

(2)

一、求商式 q(x)

按文 [1] 的思路, 要求 q(x), r(x), 只需把 f (x) 的各項都除以 Q

1≤i≤m

(x − pi) 找到商式和餘式, 再分別求和。

對於商式 q(x), 只需考慮 f (x) 中次數不低於 m 的項「amx^m, am+1x^m+1, . . ., anxⁿ」所產生的商式即可。因此我們有必要將 f (x) 拆成兩部分, 即:

f(x) =

n

X

i=0

a_ixⁱ = u(x) + v(x), 其中 u(x) =

n

X

i=m

a_ixⁱ, v(x) =

m−1

X

i=0

a_ixⁱ. (1)

另外, 本文的推導中需要截取 f (x) 中的某些連續的項, 因此我們設:

u_k(x) =

n

X

i=k

a_ixⁱ (k = m, m + 1, . . . , n). (2)

注: (2) 式中的 um(x) 即是 (1) 式中的 u(x).

由 u(x) = um(x) =

n

P

i=m

a_ixⁱ, 結合引理 1 可知商式:

q(x) =

n

X

i=m

"

a_i

i−m

X

j=0

hi−m−j(p)x^j

#

=

n

X

i=m i−m

X

j=0

[aih

i−m−j(p)x^j]

=

n−m

X

j=0 n

X

i=m+j

a_ih_i−m−j(p)x^j. (3)

(3) 式給出的 q(x) 的運算式中含有係數 ai 和完全齊次對稱多項式 h_i−m−j(p), 顯得不夠簡潔。下面我們給出 q(x) 的另一種表達形式。

由 (3) 式和引理 2, 在 (3) 式中令 j = 0, 可得商式 q(x) 中的常數項為:

n

X

i=m

a_ih_i−m(p) =

n

X

i=m

a_iL_i−1(p) =

n

X

i=m





 a_i

m

X

s=1

pⁱ⁻¹

s

Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk)







=

n

X

i=m m

X

s=1

a_ipⁱ⁻¹

s

Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk) =

n

X

i=m m

X

s=1

a_ipⁱ

s

p_s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk)

=

m

X

s=1 n

X

i=m

a_ipⁱ

s

p_s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk) =

m

X

s=1

n

P

i=m

a_ipⁱ

s

p_s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk).

(3)

結合 (2) 式可知: 上式=

m

P

s=1

u_m(ps) p_s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk). 同理, 在 (3) 式中令 j = 1, 可得商式 q(x) 中 x 的係數為:

n

X

i=m+1

a_ih_i−m−1(p) =

n

X

i=m+1

a_iL_i−2(p) =

n

X

i=m+1





 a_i

m

X

s=1

pⁱ⁻²

s

Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk)







=

n

X

i=m+1 m

X

s=1

a_ipⁱ⁻²

s

Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk) =

n

X

i=m+1 m

X

s=1

a_ipⁱ

s

p²

s · Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk)

=

m

X

s=1 n

X

i=m+1

a_ipⁱ

s

p²

s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk) =

m

X

s=1

n

P

i=m+1

a_ipⁱ

s

p²

s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk)

=

m

X

s=1

u_m+1(ps) p²

s· Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk). 一般地, 可推得商式 q(x) 中 x^j 的係數為:

m

X

s=1

u_m+j(ps) p^j+1_s · Q

1≤k≤m,k6=s

(ps− pk) (j = 0, 1, . . . , n − m).

因此, 我們得到了 (3) 式的如下等價形式:

q(x) =

n−m

X

j=0 m

X

i=1

u_m+j(pi) p^j+1

i · Q

1≤k≤m,k6=i

(pi− pk)

x^j. (4)

二、求餘式 r(x)

由引理 1 知: f (x) 的第一部分 u(x) 除以 Q

1≤i≤m

(x − pi) 的餘式為:

m

X

j=1

u(pj) Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj− pi). 因此由 (1) 式知餘式

r(x) =

m

X

j=1

u(pj) Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj − pi)+ v(x).

(4)

注意到 v(x) 和

m

P

j=1

v(pj) Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj − pi) 次數都不超過 m − 1, 而它們在 x = p₁, p₂, . . . , p_m 處的值都分別相等, 因此

v(x) ≡

m

X

j=1

v(pj) Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj − pi).

所以

r(x) =

m

X

j=1

[u(pj) + v(pj)]

Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj− pi) =

m

X

j=1

f(pj) Q

1≤i≤m,i6=j

(x − pi) Q

1≤i≤m,i6=j

(pj − pi). (5)

由多項式插值理論知, (5) 式有如下等價形式:

r(x) = f (p¹) + c¹(x − p¹) + c²(x − p¹)(x − p²) + · · · + cm−1 m−1

Y

j=1

(x − pj). (6)

其中 c_j 是多項式 f (x) 關於插值點 p1, p₂, . . . , p_j 的 j 階差商, c_j 有如下計算公式:

c_j =

j+1

X

i=1

f(pi) Q

1≤k≤j+1,k6=i

(pi− pk) (j = 1, 2, 3, . . . , m − 1).

注: 由文 [2] 知 (5) 式是多項式 f (x) 關於插值點 p¹, p₂, . . . , p_m 的次數不超過 m − 1 的 Lagrange 插值多項式, 而 (6) 式是 f (x) 在相同插值點處的次數不超過 m − 1 的 Newton 插值多項式。而兩者在插值點 p1, p₂, . . . , p_m 處的值都分別相等, 因此這兩個多項式是粧等的。

三、結果與實例

綜合第一、二部分中的結果, 我們得到:

定理: 設 p¹, p₂, . . . , p_m 兩兩不等, n ≥ m ≥ 2, hk(p) 是 p¹, p₂, . . . , p_m 的 k 次完全齊次對稱多項式。多項式 f (x) =

n

P

i=0

a_ixⁱ, (an 6= 0), 而 uk(x) =

n

P

i=k

a_ixⁱ, (k = m, m + 1, . . . , n), 則 f (x) 除以多項式 Q

1≤i≤m

(x − pi) 的商式 q(x) 由 (3) 式或 (4) 式確定, 而餘式 r(x) 由 (5) 式或 (6) 式確定。

下面我們舉一個例子來驗證這個定理中的 (4)、 (5) 兩式。

(5)

設 f (x) = x⁶+ 2x⁵+ 3x⁴+ 4x³+ 5x²+ 6x + 7, Q

1≤i≤m(x − pi) = x(x + 1)(x + 2), 這裡 n = 6, m = 3. 因 u₃(x)

x = x⁵+ 2x⁴+ 3x³+ 4x² = x²(x³ + 2x²+ 3x + 4), 所以 u₃(0)

0 = 0, u₃(−1)

−1

= 2, u₃(−2)

−2 = −8.

注: u₃(0)

0 是將 x = 0 代入多項式 x⁵+ 2x⁴+ 3x³+ 4x² 進行計算, 是有意義的(參看 (4) 式的推導過程)。

而 Y

1≤k≤3,k6=1

(p¹− pk) = 2, Y

1≤k≤3,k6=2

(p²− pk) = −1, Y

1≤k≤3,k6=3

(p³− pk) = 2.

所以商式中常數項為:

3

X

i=1

u₃(pi) p_i Q

1≤k≤3,k6=i

(pi− pk) = 0 2+ 2

−1 + −8

2 = −6.

因 u₄(x)

x² = x⁴+ 2x³ + 3x² = x²(x²+ 2x + 3), 所以 u₄(0)

0 = 0, u₄(−1)

(−1)² = 2, u₄(−2) (−2)² = 12.

所以商式中 x 的係數為:

3

X

i=1

u₄(pi) p²

i

Q

1≤k≤3,k6=i

(pi− pk) = 0 2 + 2

−1 +12

2 = 4.

同理, 商式中 x² 的係數為

3

P

i=1

u₅(pi) p³

i

Q

1≤k≤3,k6=i

(pi− pk) = −1.

x³ 的係數為

3

P

i=1

u₆(pi) p⁴

i

Q

1≤k≤3,k6=i

(pi− pk) = 1.

結合 (4) 式即知商式

q(x) = x³− x

2+ 4x − 6.

而由 (5) 式知餘式

r(x) = 7 × (x + 1)(x + 2)

2 + 4 × x(x + 2)

−1 + 31 × x(x + 1) 2

= 15x²+ 18x + 7.

容易驗證: 上述結果與多項式做長除法時的結果是一致的。

(6)

參考資料

1. 陳建燁。商式定理。數學傳播季刊, 41(4), 78-88, 2017。

2. 喻文健。數值分析與算法。北京市: 清華大學出版社, 214-217, 2012。

—本文作者任教中國重慶市長壽龍溪中學_—

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