uuv uuv uuv uuv uuv

(1)

(d)定義R=( ,x y z A, ) ₁ =(a₁ ,b₁ ,c₁)，A₂ =(a₂ ,b₂ ,c₂)，A₃ =(a₃ ,b₃ ,c₃)

1 1

2 2

3 3

R A d R A d R A d

 ⋅ =

 ⋅ =

 ⋅ =



uv uuv uv uuv uv uuv

練習：證明 ₁ ² ³ ₂ ³ ¹ ₃ ¹ ²

1 2 3 1 2 3 1 2 3

( ) ( ) ( )

A A A A A A

B B B

A A A A A A A A A

× × ×

= = =

× ⋅ × ⋅ × ⋅

uuv uuv uuv uuv uuv uuv

uuv uuv uuv

uv uuv uuv， uv uuv uuv， uv uuv uuv

1 1 2 2 3 3

R=d B +d B +d B uv uuv uuv uuv

(e)如何推廣到 n 維？

2

1 1

1 2

2 2 1

1 1 1 3

2 2 2 1 2 3

, , 1

3 3 3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ij

i j k

a b

ij A i A j a b

a b c

a b c ijk A i A j A k a b c

=

= ∈

∑

uuv uuv

uuv uuv uuv

※

1 2

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1 2 1 1 2 2

1

1 ( ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

n n

n n n n

n

n n n

i i i

n A A A

A A A

n A A A

n i i i A i A i A i

=

∑

∈

L

uuv uuv uuv

uuv uuv L uuv L

M M M L M

uuv uuv uuv

L L

，

維，，，

列，，，

，，，

階行列式：，

2 2

1 2 1 1

1 2

1 2 1 2

1

1 2 1 2

1

1 2 3 1

2 1 3 1 1

2 3 1 4 1 1 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) :

n

p p n

n

n n

n i i n i

i i i i i

p p n

n i i n n

i i i

p q

n n

n A

i i i A A A

B i

i i i A A A i

A B

− + =

=

∈ =

∈ = − ⇒ ⇒ −

∈ = ⇒ ⇒ +



∈

=

∈

∑

L L

L

L uuv

L

uuv uuv uuv

L LL

uuv

uuv uuv uuv

L L

uuv u

，，，

，

，，，，

，，，，奇數次交換

，，，，，偶數次交換跳過

，

δpq

uv=

(2)

2 3 4

1 3 4

2 3

1 2 3 4 2 2 3 3 4 4 (2 3 4)

1 1

1 2 3 4

1 3 4 1 1 3 3 4 4

(2 3 4) 2 1

1 2 3 4

2 2 3 4 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

( )

i i i

i i i A i A i A i

B A A A A

i i i A i A i A i

B A A A A

i i i B

=

∈

= ∆

∈

= ∆

∈

=

∑

uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv

uuv

，，，，

，，

，，，

4

2 2 3 3 4 4

(1 3 4)

1 2 3 4

( ) ( ) ( )

( )

A i A i A i A A A A

=

∆

∑

ûuv ûuv ûuv

uuv uuv uuv uuv

，，

，，，

1 1 1 2 1 3 1 4

2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 4

1 2 4 1 4 2 4 3 4 4 1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , )

A A A A

B A A A A A A A A

−

= ∆

uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv

uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv uuv

餘因子： ( 1)− ^{p q}⁺ 刪掉 p 列，q 行的行列式。

2. 線性方程組的矩陣表示：

(a)二元方程組：

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

(A_i)_j a_ij a a x c

a a x c

x x y x

 ≡      

 =

 ≡ ≡      

      

 uuv

， (b)三元方程組：

11 12 13 1 1

1 2 3 21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

a a a x d

x x y x z x a a a x d

a a a x d

     

     

≡ ≡ =      =

     

     

，，

(c)n 元方程組：

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n n

n n nn n n

a a a x d

     

     

     =

     

     

L L

M M M

L

，，，

左手邊：

1 n

ij j j

a x

∑

= ^，右手邊^{di i}^， ⁼^{1 2}^{，，，}^L ⁿ

(3)

3. 矩陣：

11 12 1

21 22 2

1 2

: 1 ( )

n n

m m mn

A A A

A A A A

row m

A A A

→

 

 

↓  

 

 

L L

M M M

L

，，，

列

，，，

:

A m n× 的短陣， m=n方陣 (a)矩陣的係數積：

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn

CA CA CA

CA

CA CA CA

 

= 

 

 

L L

M M M

L

，，，

(b)矩陣相加：A，B 同為 m n× 的矩陣

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

m m m m mn mn

A B A B A B

A B

A B A B A B

+ + +

 

 + + + 

 

+ = 

 

 + + + 

 

L L

M M M

L

，，，

※線性組合cA+dB

(c)矩陣的乘法：A 為l×m的矩陣，B 為 m n× 的矩陣則可定義C = AB且 C 為 l×n的矩陣

1 m

ij ik kj

k

C A B

=

∑

例：

5 2

1 3 0 5 ( 9) 0 2 0 0 4 **

3 0

2 1 2 10 3 ( 2) 4 0 2 11 **

1 1

 

+ − + + + −

 − =  = 

 − −    + + − + +   

  −     

，，，

5 2 5 4 15 ( 2) 0 ( 4)

1 3 0

3 0 3 0 9 0 0 0

2 1 2

1 1 1 ( 2) 3 1 0 2

9 13 **

3 9 **

1 4 **

+ + − + −

   

 

−  = − + − + + 

  − −   

 −   + − + + 

   

 

 

= −− − 

，，

(4)

2 3 4 2 3 4

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0

A B

A A A B B B

=   = 

   

   

習題：

，

求，，，，，

4. 一次方程式的解與反矩陣：

(a)矩陣的列運算：

i. 將矩陣中某一列的每一個元都乘上一個不為零的數。

ii. 將矩陣中的某一列加到另外一列。

iii. 將矩陣中的某兩列位置互調。

(b)高斯消去法：

1

2

3

1 2 3 8

2 4 5 11

3 7 2 9

x x x

     

     =

     

 −     

     

第一列乘 ( 2)− 加到第二列：

1 2 3 8 0 0 1 5 3 7 2 9

 

 − − 

 

 − 

 

第一列乘 ( 3)− 加到第三列：

1 2 3 8

0 0 1 5

0 1 11 15

 

 − − 

 

 − − 

 

第三列乘 ( 2)− 加到第一列：

1 0 25 38

0 0 1 5

0 1 11 15

 

 − − 

 

 − − 

 

第二列乘 (25) 加到第一列；乘 ( 11)− 加到第三列：

1 0 0 87 0 0 1 5 0 1 0 40

 − 

 − − 

 

 

第二列乘 ( 1)− ；交換二，三列：

1 0 0 87 0 1 0 40 0 0 1 5

 − 

 

 

(5)

0 1

II 0

0 0 0 0 1

 

 

= 

 

 

(d)反矩陣：A⁻¹，A A⁻¹ = = ⋅II A A⁻¹

※若AB=C

1 1

1

A AB A C B A C

− −

−

=

⇒ =

※反矩陣存在的條件Det A( )≠0 (e)用高斯消去法求反矩陣。

1

1 2 3 2 4 5 3 7 2 A

A⁻

 

= 

 

 − 

 

習題：

，求

(f)(A⁻¹)_ij =Cofactor A14243( ) /_ji Det A( )

餘因子

( 1)− ^{i j}⁺ ×刪掉 j 列 i 行後剩下的行列式值

1 1

1 3 1

2 4 5 ( )

4 7 3

B B⁻ B B⁻

 − 

 

= − 

 − 

 

習題：求檢查

5. 行列式：

(a)行列式的列運算：

i. 將某一列乘上非零的數並加到另外一列(行列式值不變) ii. 從某一列提出公因子 C(行列式值變成原來的 1

C) iii. 行列互換(行列式值變號)

2 2

2 2 2

2 2

1 1

1 0

1 1

a a a a

b b b a b a

c c c a c a

a a a a

= − −

− −

(6)

1 2

( )( )( ) 0 1 ( )( )( )

0 0 1 a a

b a c a c b b a b a c a c b

= − − − + = − − −

習題：求

2 3

1 1 1 1

a a a b b b c c c d d d

(Vander monde 行列式)

(b)轉置矩陣： (A^T)_ij =( )A _ji行列式值不變 (c)行列式的降階：

可對某一列式某一行降階

1

Cofactor ( )

n

ij ij

j

A A

=

∑

×

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

1 1 ( 1) (1)

1 1

( ) ( ) ( )

a a

b b a a a a

b b

c c c c b b

c c

bc b c ac a c ab a b

= × + − +

= − − − + −

例：

1 0 0

1 1 0 0

0 1 0

0 1

0 0 0 1

a a

a

a 習題：

6. 基底：

(a)線性獨立：

1 2 n

V Vuuv uuv Vuuv L

，，，是一組向量

若 ₁

1

0

n i i

α V

=

∑

^uv = ^{唯一的解是}^{α α}¹⁼ ² ⁼^L⁼^αⁿ ⁼⁰ 則uuv uuv uuv

L

，，稱為線獨立(linear dependent)

(7)

例：V1 = +e$1 2e$2，V2 =3e$1+6e$2，則V V₁，線性相依 ₂

1 2

3 3 1 3

Vuuv= −e$ e$ ，，線性獨立 V Vuv uuv

i. 一個向量時，只有當向量本身是零向量才是線性相依 ii. 兩個向量時，若互相平行，則為線相依。

iii. 三個向量時，若共平面，則為線相依。

iv. 一般而言，若

1 m

c ij j

j

V V e

=

∑

⋅ uuv $

則V 可構成 n m_ij × 的矩陣，用高斯消去法簡化矩陣 V，若 V 乘下 n 列不 為零(rank n)則Vuuv₁ Vuuv_n

L

，，為線性獨立。否則 (rank <n)則為線性相依

1 2 3

1

1 3 4

2

1 2 3 4

3

2

2 3

2 2 3

1 2 1 0 1 2 1 0

2 0 1 3 0 4 3 3

1 2 2 3 0 4 3 3

1 2 1 0

0 4 3 3 2

0 0 0 0

V e e e

V e e e e

V

rankn

= + −

= + +

= − + − −

− −

   

= →

   − 

   

− − −   − − 

   

 − 

→ −  uv $ $ $ uuv $ $ $

uuv $ $ $ $ 例

。

V. 在 n 維空間最多只有 n 個互相線性獨立的向量 證明：

1

0

n i i i

αV

+

=

∑

^uv =

11 12 1 1

21 22 2 2

1 1 1 2 1 1

0

n n

n n n n n

V V V

α α

+ + + α +

   

   

⇒   =

   

   

 

L L

M M

L

，，，

(b)基底：

1 2

{euv uuve euuv_n} L

，，，構成一組基底的條件。

(8)

i. {euv₁ euuv_n} L

，，是線性獨立。

反言正法。

ii. n 維空間需要 n 個向量才能構成一組基底。

iii. 若{euv uuv₁ e₂ euuv_n} L

，，，為一組基底

1

1 1

( )

n

i i n

i

n

e

x x e x x

= e

  

= =  

  

∑

uv

v uv

L M

，， uuv

(c)線性(座標)變換：

1 2 1 2

{e euv uuv euuv_n} { 'euv uuve ' euuv_n'}

L L

，，，，，，

是新舊兩組基底：

且

1

'

n

i ij j

j

e S e

=

∑

uv $

若 µ µ

1 1

' '

n n

j j i i

j i

x x e x e

= =

=

∑

=

∑

v

µ µ µ

1 1 1 1 1

1

' { ' }

'

n n n n n

j j i ij j i ij j

j i j j i

n

j i ij

j

x e x S e x S e

x x S

= = = = =

=

⇒ = =

⇒ =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

1 1

2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2

' ' '

( ) ( ' ' ')

' " '

' "

;

' "

n n

n n n

e e

S

e e

x x x x x x S

e e e e

S S

e e e

   

   

 =  

   

   

=

     

     

 =    =

     

      uv uv

uuv uuv

M M

uuv uuv

L L

uv uv uv uv

uuv uuv uuv u

M M M

uuv uuv uuv 即

，，，，，

※

1 1

2 2

2 1

' '

" '

en

e e

S S

  

  

 

   

   

⇒ =  

   

uv uuvM

uv uv

uuv uuv

M M

uuv uuv

(9)

(d)線性關係(運算子)：y = A x( ) 在{euv₁ euuv_n}

L

，，基底下y e_juuv_j = A x e( _juuv_j)

j j i ( )i

j j i ij j

j i ij

y e x A e y e x A e y x A

=

⇒ =

uuv uv uuv uuv

在{ 'euv₁ euuv_n'}

L

，基底下 'y e_juuv_j'= A x e( '_iuuv' )_i

1 1

1

1 1

' ' '

( ) ( )

j i ij

n n

y x A

y y S x x S A

y y x x S A S⁻

⇒ =

=

L L

，，，，

，，

' 1

A S A S⁻

⇒ = (相似變換)

det ( ) 0 ( )_i _ij _j

S

A e A e

≠ uv = uuv

※