格子圖形中的格子直線數

格子圖形中的格子直線數

范谷瑜 · ^林鳳美

在 k 維空間中, 由 k 個整數為坐標的點 (x1, x2, . . . , xk) 稱為格子點。 以格子點為頂 點的圖形稱為格子圖形。 皮克 (Pick, 1859∼1942) 在 1899 年提出一個計算格子單純多邊形 (simple polygon) 的面積公式, 這公式僅需要知道多邊形中邊上及內部格子點的個數就可算出 面積, 這是一個簡單又實用的計數方式。

本文選定某些特定格子圖形作探討, 計算通過特定格子圖形內所有點所需的格子直線之個 數, 此個數簡稱格子直線數。 注意本文所談的格子直線必過原點 O 且過非原點的格子點所成的 連線。 首先選定特定格子圖形是平面上的格子三角形, 計算格子直線數中, 進而探究出歐拉函數 (totient function) 的恆等式 (異於 (1) 式的式子)。 為了推廣, 將歐拉函數記作 ϕ₁(n), 其中

ϕ1(n) 表示為不大於 n 且與 n 互質的正整數個數且 ϕ1(1) = 1, 而歐拉函數 ϕ₁(n) 的推廣為喬丹函數 (Jordan’s totient function), 記作 ϕk(n), 即

ϕk(n) = n^k 1 − 1

p^k₁

1 − 1 p^k₂

· · · 1 − 1

p^k_m



, 其中 ϕk(1) = 1, (1) p1, . . . , pk 為質因數。 注意 (1) 式中 k = 1 時, 指常見的歐拉函數 ϕ1(n)。

本文遵循歐拉函數出發與類推, 再配合平面至空間類推概念, 首先選定平面上的格子正方 形及空間中的格子立方體來同步探究, 逐步發現其一般的規律, 因而擴充得到格子 k–超立方體 (k-hypercube) 的喬丹函數之恆等式, 驚喜地推導出兩個恆等式。

從選定某些特定圖形中, 配合特例, 進而發現規律到一般化的論證過程, 都富有創造性的 思考啟發性, 值得追根究柢。

1. 歐拉函數的恆等式

甲、 問題探原

歐氏幾何告訴我們 「相異兩點決定一直線」, 由於同一條格子直線上有無限多個非原點的 格子點型如:

(x1, x₂, . . . , x_k), (2x1,2x2, . . . ,2xk), . . . , (dx1, dx₂, . . . , dx_k), 其中 d 為正整數。

事實上, 此格子直線可由原點 O 與非原點的格子點 (x1, x2, . . . , xk) 所決定。

換言之, 所決定非原點的格子點為滿足 gcd(x₁, x₂, . . . , x_k) = 1 的格子點。 因此, 非原點 的格子點滿足 gcd(x₁, x₂, . . . , xk) = 1 的個數等於格子直線數。

例 1: 計算圖 1 中底與高皆為 3 的格子三角形中格子直線數為 1 +

3

X

i=1

ϕ₁(i)。

解答: 用描點法可知格子直線是由原點 O 分別與格子點 (1, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2) 五 點連線所決定, 所以格子直線數為 5。

O x

y

(1, 0)

(1, 1) (2, 1)

(3, 2) (3, 1)

圖 1 : 底與高皆為3的格子三角形

我們不妨考慮將圖 1中格子三角形之格子直線數以歐拉函數 ϕ₁(n) 來表示, 這絕對可辦到 的。 因為非原點的格子點滿足 gcd(x₁, x₂, . . . , x_k) = 1 的個數等於格子直線數, 而 gcd(x1, x₂)

= 1 這概念正符合歐拉函數, 建構方式是將非原點的格子點用直線 x = i 上來區分 (i = 1, 2, 3), 分成三類:

(i) 在直線 x = 1 上 : 包含格子點有 (1, 0) 與 (1, 1)。 由於 gcd(1, 0) = 1, 可決定一條格子 直線, 方便推廣將此格子直線數特別定義為 ϕ₀(1) = 1。

又由於 gcd(1, 1) = 1, 可決定一條格子直線, 此格子直線數視為 ϕ₁(1) = 1。

(ii) 在直線 x = 2 上 : 滿足 gcd(2, x2) = 1 的格子點僅有 (2,1), 可決定一條格子直線, 此 格子直線數視為 ϕ₁(2) = 1。

(iii) 在直線 x = 3 上 : 滿足 gcd(3, x2) = 1 的格子點有 (3, 1), (3, 2), 可決定二條格子直 線, 此格子直線數視為 ϕ1(3) = 2。

因此, 由 (i)∼(iii) 知底與高皆為 3 的格子三角形中的格子直線數為

ϕ₀(1) + ϕ1(1) + ϕ1(2) + ϕ1(3) = 1 +

3

X

i=1

ϕ₁(i)。 

由例 1 給我們二個啟發:

一、 可用歐拉函數 ϕ1(n) 來協助計算格子三角形中的格子直線數。

二、 在平面上, 由格子點 (n, 1), (n, 2), . . . , (n, t), . . . , (n, n) 所成線段, 此線段上滿足 gcd(n, t) = 1 的格子點個數為 ϕ1(n), 其中 n ≥ 2, t = 1, 2, . . . , n。

當然將格子點 (n, t) 改為 (t, n) 也成立。

同理, 推廣至 k 維空間中, 歐拉函數 ϕ₁(n) 可視為滿足 gcd(n, n, n, . . . , t) = 1 的格子 點 (n, n, n, . . . , t) 之個數, 其中 t = 1, 2, 3, . . . , n。

當然將格子點 (n, n, n, . . . , t) 改為 (n, n, . . . , t, n)、 · · · 、 (t, n, n, . . . , n) 均成立。

乙、 計數格子直線數

給定圖 1 中的格子三角形一般定義:

定義 1: 在平面上, 滿足 0 ≤ x2 ≤ x1 ≤ n 的所有格子點所成的集合, 稱為底與高皆為 n 的 格子三角形, 記作 S([0, n]²), 參見圖 1 中格子三角形 S([0, 3]²)。 令 a2(n) 表示過原點且過在 S([0, n]²) 中非原點的格子點之格子直線數。

O x

y

(3, 2) (3, 1)

O x

y

(2, 1)

O x

y

(1, 1)

圖 2 : 格子三角形

例 1 中想用歐拉函數來協助計算格子直線數, 於是定義在 S([0, n]²) 而不在 S([0, n−1]²) 滿足 gcd(x1, x2) = 1 的格子點稱為新增格子點, 連接原點 O 與新增格子點的直線稱為新增格 子直線, 即新增格子直線數為 a2(n)−a2(n−1)。 又從例 1 中得知 a2(n)−a2(n−1) = ϕ1(n), 參見圖 2, 即

a2(n) = a2(n − 1) + ϕ1(n), 其中 ϕ1(1) = 1。 (2) 如此一來, 歐拉函數 ϕ1(n) 可視為

S([0, n]²) 而不在 S([0, n − 1]²) 的新增格子點之個數。

同樣地, 當後面計算在格子 k-超立方體中的格子直線數也是類推如 (2) 式的遞迴關係來 協助計數。

定理1: (計算在格子三角形中的格子直線數)設 a₂(n) 為在格子三角形 S([0, n]²) 中的格子直 線數, 則 a2(n) = 1 +Pⁿ

i=1

ϕ1(i)。

證明: 由 (2) 式知 a₂(n) = a₂(n − 1) + ϕ₁(n)。 由遞迴關係可求得 a₂(n) = a₂(1) + ϕ₁(2) + ϕ₁(3) + · · · + ϕ₁(n)。

又 a2(1) = 2, ϕ1(1) = 1 所以

a₂(n) = 1 + (ϕ1(1) + ϕ1(2) + · · · + ϕ1(n)) = 1 +

n

X

i=1

ϕ₁(i)。 

2. 喬丹函 數的恆等式

甲、 推導恆等式 (I)

前面推導歐拉函數 ϕ1(n) 的恆等式是針對滿足 gcd(n, t) = 1 的格子點個數, 其中 t = 1, 2, 3, . . . , n。 根據平面至空間類推概念, 可猜測喬丹函數 ϕk(n) 的恆等式也可針對滿足 gcd(x1, x₂, . . . , x_k, n) = 1 的格子點 (x1, x₂, . . . , x_k) 個數, 不妨採用格子正方形及格子立方 體來思考是否可推導出 ϕ₂(n) 與 ϕ₃(n), 然而其推廣圖形即格子 k-超立方體, 定義為

定義 2: 在 k 維空間中, 若滿足 m ≤ xi ≤ n (i = 1, 2, . . . , k) 的所有格子點形成的集合, 記 為 [m, n]^k, 其中 m, n 為整數。 當 m = 0, n > 0 時, 則 [0, n]^k 是一個邊長為 n 的格子 k-超 立方體 (k-hypercube), 含有 (n + 1)^k 個格子點, 參見圖 3 與圖 4。 當 n = 0 時, 則 [0, n]^k 恰含一個唯一的格子點, 就是原點 O(0, 0, . . . , 0)。

O x

y [0, 4]²

O x

y [1, 4]²

(4,4)

(4,2) (2,4)

(2,2)

y x

z

圖 3 : 格子正方形 [0, 4]² 與 [1, 4]² 圖 4 : 格子立方體

我們可以考慮 [1, n]^k 或 [0, n − 1]^k, 底下就先從 [1, n]^k 著手, 先觀察兩個特例。

例 2: 計算在 [1, 4]² 中滿足 gcd(x₁, x₂,4) = 1 的格子點 (x₁, x₂) 個數為 ϕ₂(4)。

解答: 由定義 2 知 [1, 4]² 中含有 16 個格子點, 但若要滿足 gcd(x₁, x₂,4) = 1 的格子 點, 必須刪掉四個格子點 (2,2), (2,4), (4,2), (4,4), 所以得到 12 個格子點, 參見圖 3。 又 ϕ2(4) = 4²

1 − 1 2²

= 12, 故這樣的格子點個數剛好等於 ϕ2(4)。 

例 3: 計算在 [1, 2]³ 中滿足 gcd(x1, x2, x3,2) = 1 的格子點 (x1, x2, x3) 個數為 ϕ3(2)。

解答: 由定義 2 知 [1, 2]³ 中含有 8 個格子點, 但若要滿足 gcd(x₁, x₂, x₃,2) = 1 的格子點, 必須刪掉格子點 (2,2,2), 所以得到 7 個格子點, 參見圖 5。

又 ϕ3(2) = 2³ 1 − 1

2²

= 7, 故這樣的格子點個數剛好等於 ϕ3(2)。 

y x

[0,2]³

z

[1,2]³ (1,1,2)

(1,2,2) (2,2,2)

(1,2,1) (2,2,1) (2,1,1)

(1,1,1) (2,1,2)

圖 5 : 格子立方體 [0, 2]³ 與 [1, 2]³

由例 2 與例 3 中可推測知喬丹函數 ϕk(n) 表示在格子 k-超立方體 [1, n]^k 中滿足 gcd(x1, x2, . . . , xk, n) = 1 的格子點 (x1, x2, . . . , xk) 的個數。 特別是 [1, 1]^k 含 1 個格子點, 不難看出 ϕ_k(1) = 1, 當 n > 1, 則有定理 2。

定理2: (喬丹函數的恆等式 (I)) 設 n 的標準分解式為 n = p^a₁¹·p^a₂²· · · p^a_m^m, 其中 p1, p₂, . . . , p_m 為相異質數且 α₁, α₂, . . . , αm ∈ N, 若 ϕk(n) 為 k-超立方體 [1, n]^k 中滿足

gcd(x1, x₂, . . . , xk, n) = 1 的格子點 (x1, x₂, . . . , xk) 的個數, 則 ϕ_k(n) = n^k

1 − 1 p^k₁

1 − 1 p^k₂

· · · 1 − 1

p^k_m

, 其中 ϕ_k = 1。

證明: 底下就來證明 n > 1 的情形。 若 d 為 n 的正因數, 令 Md 是在 [1, n]^k 中滿足坐標 x1, x2, . . . , xk 都是 d 的倍數的格子點 (x1, x2, . . . , xk) 所成的集合。

因為每個整數都是 1 的倍數, 得到 M1 = [1, n]^k。

由於 (x₁, x2, . . . , xk) ∈ Md 的充要條件為 x_i ∈n

1d, 2d, . . . ,n d

 do

, 所以 |Md| =n d

k

。 因此, 由取捨原理知

ϕk(n) =

[1, n]^k− Mp1∪ Mp2 ∪ · · · ∪ Mpm

= [1, n]^k

−X

1≤i≤m

|Mp1| + X

1≤i<j≤m

Mpi∩Mpj

−· · ·+(−1)^m|Mp1∩Mp2∩· · ·∩Mpm|

= |M1| −X

1≤i≤m

|Mp1| + X

1≤i<j≤m

|Mpipj|−· · ·+(−1)^m|Mp1p2···pm|

=n 1

k

−X

1≤i≤m

n pi

k

+ X

1≤i<j≤m

 n pipj

k

−· · ·+(−1)^m n pipj· · · pm

k

= n^kn

1 −X

1≤i≤m

1

p^k_i + X

1≤i<j≤m

1 p^k_i · 1

p^k_j−· · ·+(−1)^m 1 p^k_i · 1

p^k_j · · · 1 p^k_m

o

= n^k 1 − 1

p^k₁

1 − 1 p^k₂

· · · 1 − 1

p^k_m

 .

乙、 推導恆等式 (II)

現在從 [0, n − 1]^k 中推導喬丹函數的第二個恆等式, 先觀察一個特例:

例 4: 計算在 [0, 3]² 中滿足 gcd(x1, x2,4) = 1 的格子點 (x1, x2) 個數為 ϕ2(4)。

O x

y A

B

C

[1, 4]² O x

y

P

[0, 3]² Q 圖 6 : 格子正方形 [1, 4]² 與 [0, 3]²

解答: 考慮 [1, 4]² 與 [0, 3]² 中不重疊的格子點 (x₁, x₂), 參見圖 6, 在 [1, 4]² 中為 AB 與 BC 上的格子點, 而在 [0, 3]² 中為 OQ 與 OP 上的格子點。 由於 OP ≡ n(mod n), 所以 [1, 4]² 中 AB 與 BC 上滿足 gcd(x1, x2,4) = 1 的格子點 (x1, x2) 分別對應 OQ 與 OP 上 滿足 gcd(x1, x2,4) = 1 的格子點 (x1, x2), 所以在 [1, 4]² 中滿足 gcd(x1, x2,4) = 1 的格子 點 (x1, x2) 個數等於在 [0, 3]² 中滿足 gcd(x1, x2,4) = 1 的格子點 (x1, x2) 個數, 因此, 由 定理 2 知在 [0, 3]² 中滿足 gcd(x1, x2,4) = 1 的格子點 (x1, x2) 個數為 ϕ2(4)。

由例 4 可推論出k-超立方體 [0, n − 1]^k 中 gcd(x1, x₂, . . . , x_k, n) = 1 的格子點個數 為 ϕk(n), 為了區別證明, 將 [0, n − 1]^k 中 gcd(x₁, x₂, . . . , xk, n) = 1 的格子點個數記作 ϕ^∗_k(n), 於是 ϕ^∗_k(n) = ϕk(n)。

定理3:(喬丹函數的恆等式 (II)) 設 ϕ^∗_k(n) 為 k-超立方體 [0, n−1]^k中 gcd(x1, x2, . . . , xk, n)

= 1 的格子點 (x1, x2, . . . , xk) 的個數, 則 ϕ^∗_k(n) = ϕk(n), 其中 ϕk(1) = 1 及 ϕ^∗₀(n) = (1, 當 n = 1

0, 當 n 6= 1。

證明: 當 n = 1 時, [0, n−1]^k恰含唯一的格子點, 即原點 O = (0, 0, . . . , 0)。 又 gcd(0, . . . , 0, 1) = 1, 所以 ϕ^∗₀(1) = 1。 當 n 6= 1 時, gcd(0, . . . , 0, 1) 6= 1, 所以 ϕ^∗₀(n) = 0。 其餘的情形 仿照定理 2 來證明。 將定理 2 中n

1d, 2d, . . . ,n d

do 以 n

0, 1d, 2d, . . . ,n d − 1

do 取代, 並討論之, 同時也可以得到 ϕk(n) 也是在 [0, n − 1]^k 中滿足條件 gcd(0, . . . , 0, 1) = 1 的格

子點個數。 

3. 計數格子直線數

現在要採用喬丹函數來計算在 [0, n]^k 中的格子直線數, 於是令 bk(n) 表示過原點且過在 [0, n]^k中非原點的格子點之格子直線數。 定義在 [0, n]^k而不在 [0, n−1]^k滿足 gcd(x₁, x₂) = 1 的格子點稱為新增格子點, 連接原點 O 與新增格子點的直線稱為新增格子直線, 即新增格子 直線數為 bk(n) − bk(n − 1)。

(2) 式談到新增格子直線數 a₂(n) − a₂(n − 1) = ϕ₁(n), 但此時 新增格子直線數 b_k(n) − bk(n − 1) 6= ϕ^∗_k(n)。

這乃是類推至高階的妙趣所在, 就從一個特例一看究竟。

例 5: 計算在 [0, n]² 中的格子直線數為 b2(n) = 3 + C₁²

n

X

i=2

ϕ^∗₁(i)。

解答: 顯然在 [0, 1]² 中但不在 [0, 0]² 的新增格子直線數為 2²− 1, 即 b2(1) = 3。

O x

y (1,4)

(4,1) (4,3) (3,4)

B

A(4, 0) C(0, 4)

1

1 y

x

z

A

B C D

E F

G

圖 7 : 計算 [0, n]² 的格子直線數 圖 8 : 計算 [0, n]³ 的格子直線數

由圖 7 知新增格子點落在線段 AB 與 BC 上的格子點, 這些格子點型如:

(t, n) 及 (n, t) 等二種情形, 其中 0 ≤ t ≤ n。

又每種滿足 gcd(t, n) = 1 的格子點個數等於 ϕ^∗₁(n), 所以

b2(n) − b2(n − 1) = 2ϕ^∗₁(n), 即 b2(n) = b2(n − 1) + 2ϕ^∗₁(n)。

由遞迴關係可求得

b2(n) = b2(1) + 2(ϕ^∗₁(2) + ϕ^∗₁(3) + · · · + ϕ^∗₁(n))。

又 b2(1) = 3, 因此, b2(n) = 3 + 2

n

X

i=2

ϕ^∗₁(i), 方便推廣寫成 b2(n) = 3 + C₁²

n

X

i=2

ϕ^∗₁(i)。 

底下要計數在 [0, n]³ 中的格子直線數, 仿照例 5 的推導方式。

定理 4: (計算在 [0, n]³ 中的格子直線數) 設 b3(n) 為在 [0, n]³ 中的格子直線數, 則

b₃(n) = 7 +

2

X

j=1 n

X

i=2

C_j³ϕ^∗_j(i)。

證明: 顯然在 [0, 1]³ 中但不在 [0, 0]³ 的新增格子直線數為 2³ − 1, 即 b3(1) = 7。 底下 n ≥ 2 的情形, 欲求新增格子直線數 b3(n) − b3(n − 1), 即求新增格子點數。 由圖 8 知新增 格子點落在平面 DEF G、 ABF E 與 BCGF 上的格子點 (x₁, x₂, x₃), 將 x1, x₂, x₃ 排序 x₍₃₎ ≤ x(2) ≤ x(1) = n 分成互斥 2 類:

(i) 當 0 ≤ x(3) ≤ x(2) ≤ x(1) = n 時, 是指圖 8 中不含 BF 、 EF 及 F G 的平面 DEF G、

ABF E 與 BCGF 上的格子點。 又每種平面上的格子點個數為 ϕ^∗₂(n), 共有三種, 所以 新增格子直線數為 3ϕ^∗₂(n), 方便推廣可寫成 C₂³ϕ^∗₂(n)。

(ii) 當 0 ≤ x(3) ≤ x(2) = x(1) = n 時, 是指圖 8 中 BF 、 EF 及 F G 的上的格子點, 又每 種線段上的格子點個數為 ϕ^∗₁(n), 共有三種, 所以新增格子直線數為 3ϕ^∗₁(n), 方便推廣可 寫成 C₁³ϕ^∗₁(n)。

由 (i) 與 (ii) 知故 b₃(n) − b3(n − 1) = C₁³ϕ^∗₁(n) + C₂³ϕ^∗₂(n), 即

b₃(n) = b₃(n − 1) +

2

X

j=1

C_j³ϕ^∗_j(n)。

由遞迴關係可求得

b3(n) = b3(1) +

2

X

j=1

C_j³ϕ^∗_j(2) +

2

X

j=1

C_j³ϕ^∗_j(3) + · · · +

2

X

j=1

C_j³ϕ^∗_j(n)。

又 b₃(1) = 2³− 1 = 7, 因此, b₃(n) = 7 + P²

j=1 n

P

i=2

C_j³ϕ^∗_j(i)。 

仿照定理 4 推廣至 k 維, 同樣地可用 ϕ^∗₁(n), ϕ^∗₂(n), . . . , ϕ^∗_k−1(n) 來計數格子直線數 bk(n), 參見定理 5。

定理 5: (計算在 [0, n]^k 中的格子直線數) 設 bk(n) 為在 [0, n]^k 中的格子直線數, 則 b_k(n) = (2^k− 1) +

k−1

X

j=1 n

X

i=2

C_j^kϕ^∗_j(i)。

特別的, 考慮 0 維的情形, 可將式子再改寫成 b_k(n) =

k−1

P

j=0 n

P

i=1

C_j^kϕ^∗_j(i)。

4. 結語

本文探討某特定格子圖形中過原點的格子點的直線數, 若計數不採新增格子點方式來看, 相當困難的, 於是為了克服計算部分, 不停地在數量上做些改變, 驚喜地得到了喬丹函數的二個 恆等式, 因而在計數上化繁為簡。

這裡探究過程中正符合是古希臘哲學家蘇格拉底所採用的「產婆法」–知識是一種 「發現」, 強調 「引出」、 「誘發」, 從解決 「計算格子直線數」 這單純問題, 建構一套合理的論述, 再由數學 概念理解發展至理論化, 驚喜開拓了喬丹函數的數學世界, 也享受開啟數學知識的喜悅。

此外, 若配合由平面上格子三角形類推空間中格子三角錐來聯想, 理論上還可以擴充至格 子 k-單體 (simplex), 這圖形內格子點較特殊, 將成另一篇文章展現, 敬請期待, 有興趣讀者, 不妨試一試。

數學家拉普拉斯 (Laplace, 1749∼1827) 說:

讀 Euler, 讀 Euler, 他是我們全能的大師。

Read Euler, read Euler, he is the master of us all.

有人將歐拉比擬為數學界的莎士比亞 (the Shakespeare of Mathematics):

普世性, 鉅細靡遺, 取之不盡, 用之不竭。

Universal, richly detailed, and inexhaustible.

可見歐拉活在的每個數學角落裡, 他提出的數學創作值得我們永恆地拜讀, 甚至使之美麗。

本文是指導范同學參賽 2017 年台灣區國際科展作品 : 「格子直線數與歐拉函數之探討與 推廣」, 提及在特定格子圖形中利用喬丹函數來計算格子直線數, 這是一個美妙的發想。 有感指 導參賽作品內容複雜且難以閱讀, 於是改寫參賽作品中最精髓部分將它描述清楚, 使成為更清 晰可見的文章。 再者, 分享計數上一個不錯的結果, 也作為喬丹函數的應用範疇。 最後深深感謝 審稿教授對此文章的指正與建議, 使本文有更好論述的標題及內容。

參考文獻

1. Andrica, D. and Piticari, M., On some extensions of Jordan’s arithmetic functions.

Acta Univ. Apulensis Math. Inf., No.7, 13-22, 2004.

2. Dickson, L., History of The Theory of Numbers. I, Chelsea Publishing Co., New York, 1996.

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