4 微分的應用

4 ^{微分的應用}

4.9 _反導函數

反導函數

討論物理問題時，了解物體全程速度的同時，可能會反回去 關心物體的位置。

討論工程問題時，則可能想在了解水池放水的全程流速時，

同時也了解水池剩下的水量。

生物學問題也是一樣，若我們了解一個細菌族群生長的速度

（假設正比於族群大小），則我們想反過來了解整體的族群 大小在某個時間點會有多大。

反導函數

在這些問題當中有一個共同的點：我們想找一個函數 F ，其 導函數為某個已知函數 f 。

若這樣的 F 存在，我們稱 F 為 f 的一個反導函數 (anti- derivative) 。

我們這裡做一個定義：

[定義] 給定函數 f(x) ，對任意 F 若滿足 F’(x) = f(x) 則稱 F(x) 為 f(x) 的反導函數。

反導函數

例如 f(x) = x² ，求 f(x) 的反導函數。

事實上這個並不難，因為 f(x) 是多項式，可以利用多項式的 微分公式反推回去：考慮 F(x) = x³ 則有 F(x) = x² 。

但同時，我們也發現 G(x) = x³ + 100 同時也滿足 G



x

因此， F, G 都是 f 的反導函數。

更進一步來說，任何函數 H(x) = x³ + C 其中 C 為任一常數，

這樣的 H 都是 f 的反導函數。

反導函數

我們在學了為積分基本定理之後可以證明：若 F(x) 是 f(x) 的 反導函數，那任意的反導函數 G(x) ，會跟 F(x) 相差一個常 數。

也因此，在前面的例子中 f(x) 的反導函數是 x³/3 ，更進一步 我們還可以知道，任意一個 f(x) 的反導函數，可以表示

成 x³/3 + C 的形式，其中 C 為一常數。

反導函數

在給定不同常數 C 的情況下，得到的各個反導函數如下圖。

可以發現函數圖形在相同 x 點的切線斜率完全一樣。

範例一

試求下列函數的所有反導函數

(a) f(x) = sin x (b) f(x) = 1/x (c) f(x) = x

(a) 從微分攻勢 F(x) = –cos x => F (x) = sin x ，可知 sin(x)

因此一般的反導函數形式為 G(x) = –cos x + C

範例一 / 解

(b) 考慮

因此在 x 範圍為正時 (0, ) ，1/x 的反導函數為 ln x + C 同時更一般的情況下，對於 x 為負的時候，有

因此 1/x 的反導函數為 In |x| + C ，唯一只有在 x = 0 時 不存在。換句話說：

cont’d

範例一 / 解

我們寫成分段定義的形式，因為兩邊取的常數可能不一樣

為 1/x 所有可能的反導函數。

(c) 我們利用多項式的微分反推， n >

cont’d

範例一 / 解

若考慮 n < -1 的情況，反推微分公式得到的結果也算大致 上正確。但由於 n < -1 為負， xn+1 在 x = 0 上並無定義，

因此這個反導函數也只在任意不包含 0 的區間上成立。

cont’d

反導函數

從各種微分公式，我們可以反推現有一些常見函數的反導函 數，如下：

反導函數

函數 函數 反導函數

反導函數

特別的，表列出的第一項與第二項公式表示：

(1) f 的反導函數成上 c 的係數積是 cf 的反導函數。

(2) 兩個函數 f, g 的反導函數加法，是 f + g 的反導函數。

這也就是說，若函數可以分成好幾項相加，則我們可以分別 先求各項的反導函數，在相加總得到整個的反導函數。