 PQRS 面積＝

(1)

1

高毅甲 0917 數學詳解 1-1 1-2 1-3單一選擇題：

每題10分，共30分

1. ( )若θ為銳角，且 tanθ＝

12

5 ，則 sinθ－cosθ＝

(Ａ)12

5 (Ｂ) 5

13 (Ｃ)－

13

7 (Ｄ) 13

9 (Ｅ) 5 12

。答案：(Ｃ) 解析：∵tanθ＝

12

5 ，且θ為銳角

∴考慮如圖 5－12－13 之直角三角形

 sinθ＝

13

5 ，cosθ＝

13

12

 sinθ－cosθ＝－

13 7

故選(Ｃ)

2. ( )設 P 為銳角△ABC 之外心，且點 P 到三邊 BC 、 AC 、 AB 之距離依次為 x、y、z，則 x：y：z＝

(Ａ) sinA：sinB：sinC (Ｂ) cosA：cosB：cosC (Ｃ) tanA：tanB：tanC (Ｄ)

A tan

1 ： B tan

1 ：

C tan

1 (Ｅ) A sin

1 ： B sin

1 ： C sin

1 。答案：(Ｂ)

解析：

∵P 為△ABC 之外心

∴ PA ＝ PB ＝ PC

對於△ABC 之外接圓，∠A 與∠BPC 對同弧

∴∠BPC＝2∠A 又∵ PD 垂直平分 BC

∴∠BPD＝

2

1∠BPC＝∠A

得 x＝ PD ＝ PB ．cos∠BPD＝ PB ．cosA 同理 y＝ PC ．cosB，z＝ PB ．cosC

 x：y：z

＝（ PB ．cosA）：（ PC ．cosB）：（ PB ．cosC）

＝cosA：cosB：cosC 故選(Ｂ)

3. ( )如圖，ABCD 及 PQRS 均為長方形，若AQ＝x，

BQ＝y，∠PQA＝θ，則 PQRS 之面積為

(Ａ)（x＋y）sinθcosθ (Ｂ) xy（sinθ＋cosθ） (Ｃ )sinθcosθ

xy (Ｄ) xy sinθcosθ (Ｅ)

θ θ cos sin y

x 。【高雄中

學】

答案：(Ｃ)

解析：∠PQA＝θ，∠PQR＝90° ∠BQR＝90°－θ 又∠BQR＋∠QRB＝90° ∠QRB＝θ

考慮△PQA，cosθ＝

PQ QA _

PQ＝ θ cos

x

考慮△QBR，sinθ＝

QR

QB  QR＝ θ sin

y

 PQRS 面積＝

PQ×QR＝ θ cos

x × θ sin

y ＝

θ θcos sin

xy 故選(Ｃ)

一、填充題：每題 10 分，共 70 分

1. 設 P 點的極坐標為[ 8，θ]且θ滿足 4 cos²θ－8 cosθ

－5＝0，又 tanθ＞0，求 P 點的直角坐標為【

】。【嘉義女中】

答案：（－4，－4 3）

解析：4 cos²θ－8 cosθ－5＝0

 （2 cosθ＋1）（2 cosθ

－5）＝0

 cosθ＝－

2 1或

2

5（不合），又 tanθ＞0

∴θ在第三象限

 sinθ＝－

1－cos²θ＝－

2 3

[ 8，θ]＝（8 cosθ，8 sinθ）＝























 





2 8 3

2

8 －1 ，－＝（－4，－4 3）

2. 已知極坐標平面上的極點 O 及兩點 A [4，30°]，B [6，

150°]，若 OC 為∠AOB 的角平分線，C 在AB上，求 OC 的長度為【】。

答案： 5 12

解析：∠AOB＝150°－30°＝120°，

又 OC 為∠AOB 的角平分線，得∠AOC＝

2 120



＝60°

，所以 C 落在 y 軸上

又由 A [4，30°]，B [6，150°]得點 A，B 的直角坐標 為

A（4 cos30°，4 sin30°）＝（2 3，2），

B（6 cos150°，6 sin150°）＝（－3 3，3）

再由角平分線性質知 AC ： CB ＝OA： OB ＝4：6＝

2：3，

因此，由分點公式得點 C 坐標為







    

2 3

3 2 2 3 2

3

3 3 2 3 2 3

＋

，＋

＋

）

（－

＋＝ _



 



 5 0 ，12

所以 OC 的長度為 5 12

3. 如圖，ABCD 為圓內接四邊形，若∠DBC＝30°，∠

ABD＝45°，CD＝3，則 AD ＝【】。【臺中 一中】

(2)

2

答案： 2

解析：△ABD 與△BCD 有相同外接圓

 即有相同半徑

由正弦定理可知，2R＝ _

30 sin

3 ＝ _

45 sin

AD

∴ AD ＝ _



30 sin

45 sin

3 ＝

2 3 1

2 3 2



＝ 2

4. △ABC 中，a＝5，b＝6，c＝7，試求下列之值：

A c b

B c a

cos cos

－

－＝【】。

答案：5 6

解析：cosB＝

ac b c a

2

2 2

2＋－

＝ 2 5 7 6 7 5² ² ²

．

－

＋＝

35 19

cosA＝

bc a c b

2

2 2

2＋－

＝ 2 6 7 5 7 6² ² ²

．

－

＋＝

7 5

A c b

B c a

cos cos

－

－＝

7 7 5 6

35 7 19 5

．

－

．

－

＝ 6 5 5 5 19

－

＝5 6

5. 設△ABC 中，sinA：sinB：sinC＝2：3：4 且其周長為 18 單位，求其面積為【】平方單位。【新竹高中】

答案：3 15

解析：由正弦定理知，a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝2：3：

4

又已知周長為 18，則 a＝18×

9

2＝4，b＝18×

9

3＝6，c

＝18×9 4＝8 故半周長 s＝

2

1 ×18＝9

由海龍公式可知△ABC 面積為

）

－

（

）

－

（

）

－

（s a s b s c s

＝ 9（9－4）（9－6）（9－8）＝ 9．5．3．1＝3 15

6. 已知△ABC 中，sinA：sinB：sinC＝4：3：2，若 BC ＝ 8，試求下列各值：

(１)△ABC 面積＝【】。

(２) sinA＝【】。【屏東高中】

答案：(１) 3 15；(２) 4 15

解析：(１)由正弦定理知，sinA：sinB：sinC＝ BC ： AC ： AB＝4：3：2

 8： AC ：

AB＝4：3：2

 AC ＝6，

AB＝4

令 s＝

2

1×（8＋6＋4）＝9，由海龍公式可得△

ABC 面積＝ 9



（9－8）



（9－6）



（9－4）＝3 15 (２)由△ABC 面積＝3 15＝

R abc

4 ，R 為△ABC 之外 接圓半徑，a＝ BC ，b＝ AC ，c＝AB

 3

15＝ R 4

4 6

8

   R＝

15 16

由正弦定理知，

A BC

sin ＝2R

 sinA＝

R BC 2 ＝

15 32

8

＝ 4 15

7. 如圖，ABCD 為圓內接四邊形，若 AB ＝5， BC ＝3，

CD ＝2，且∠D＝120°，則：

(１) AC ＝【】。

(２) AD ＝【】。

(３)四邊形 ABCD 面積為【】。

答案：(１) 19；(２) 3；(３) 4

3 21

解析：∵∠D＝120° ∴∠B＝60°

(１) AC²＝5²＋3²－2×5×3×cos60°＝25＋9－15＝19



AC ＝ 19 (２)設 AD ＝x

19＝2²＋x²－2×2×x×cos120°

 x

²＋2x－15＝0

（x－3）（x＋5）＝0  x

＝3 或－5（不合）

∴ AD ＝3

(３)四邊形 ABCD 面積＝△ABC 面積＋△ACD 面積

＝2

1×5×3×sin60°＋

2

1×2×3×sin120°

＝ 4 3 15 ＋

4 3

6 ＝

4 3 21