水桶的側面積

水桶的側面積

王湘君

高三模擬試題裡, 有一道題, 在做答時, 很容易發生誤解, 在此特別提出討論, 並做成 完整的結論, 以供學習者參考。

題目: 如圖, 無蓋鐵皮水桶, 高 12, 上下底 圓半徑各為 10 及 5, 求其斜高, 又銲接成此 水桶所裁剪的鐵皮, 其最小面積為何?

l

斜高好求, 只要用畢氏定理可求出 ℓ = 13。 然而水桶的側面, 大部分的學生視為梯 形, 這是很大的錯誤。 一個圓柱的側面, 是矩 形, 沒錯, 就順理成章地推想一個圓錐台的四 周是梯形, 這是錯的。 我們知道, 一個圓錐是 由一面扇形圍成的, 因此一個圓錐台, 應該是 大小扇形的差, 也就是弓形所圍成的。 讀者不

妨把一個紙杯, 用剪刀裁開來, 看一看紙杯的 四周是不是一個弓形。

好啦, 現在看一看弓形的面積怎麼算。

弓形面積 = 大扇形面積 − 小扇面積。

扇形面積 = 1

2 ·弧長 · 半徑

(令 θ 表角的弳度量, S 表弧長, r 表半徑) 弧長=半徑· 弳度量 (S = rθ)

1

2

82

9

θ

S₁ = r₁θ

S₂ = r₂θ =⇒ S₁ S₂ = r₁

r₂。

令 S₁ = 20π, S₂ = 10π, r₁−r₂ = 13。

20π

10π = 13 + r₂

r₂ , 所以r₂ = 13。

故弓形面積 = 1

2(S₁r₁−S₂r₂)

= 1

2(20π · 26 − 10π · 13) = 195π。

本題答案應為: 側面積+下底面積=

195π + 75π = 220π。

但在求解過程中, 如果我們事先知道弓 形面積的簡易算法, 則解答過程可簡化。

現在我們來看弓形面積的算法。

弓形面積 = 大扇形面積 − 小扇形面積

= 1

2(S₁r₁−S₂r₂)

= 1

2(S₁r₁−S₁r₂+ S₂r₁−S₂r₂) 因為S₁

S₂ = r₁

r₂ (前面證過)

= 1

2[S₁(r₁−r₂) + S₂(r₁−r₂)]

= 1

2(S₁+ S₂)(r₁−r₂)

= 1

2(上底+下底) · 斜高

類似梯形面積, (可幫助記憶)。

因此本題可簡答如下:

水桶側面積 = 1

2(10π+20π)×13 = 195π

—本文作者任教於師大附中—