勾股定理證明-A017
【作輔助圖】
1. 從C 點作 AB 的垂線，交 AB 於D點。
2. 在AB 上取一點E，使得AE1。 3. 從E點作 AC 的垂線，交 AC 於F點。
A D B
C
E F
【求證過程】
在直角三角形 ABC 內作輔助線，讓裡面形成另外的直角三角形，先說明圖中所有 的三角形皆相似，最後利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係 式。
1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 ACD 、三角形AEF、三角形 CBD 皆相似：
因為ACB AFE ADC 90 且 CAB FAE DAC，可推得
~
ABC AEF ACD
(AA 相似)，同理，可推得 ABC CBD，所以
~ ~ .
ABC ACD AEF CBD
2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ACD 與三角形AEF相似可知：AC AE: AD AF: ，整理得
1 ,
AE AD AD AD
AC AF AF AF
又可知：CD EF: AD AF: ，整理得
AD EF. CD AF
3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 CBD 與三角形AEF相似可知：BD EF: CD AF: ，並將第 2 點的等式代 入，整理得
2
2. CD EF BD AF
AD EF EF AF AF AD EF
AF
4. 再利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形AEF相似可知：AB AE: AC AF: ，並將第 2 點的等式代 入整理得
2
1 ,
AE AC AC AC AD
AB AF AF AF AF
而 AB 又可拆成 AD BD ，並將第 3 點的等式代入上式整理得
2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1 .
AD AB AF
AD AD BD AF
AD EF
AD AD
AF AF
AD EF
AD
AF AF
AD AF EF
AD
AF AF
AF EF
5. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出兩三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形AEF相似可知：AB AE: AC AF: ，整理得
, AC AB AF
又可知：AB AE: BC EF: ，整理得
. BC AB EF
6. 最後將第 5 點的等式平方後相加整理，並將第 4 點的等式代入，推出勾股定理的關 係式：
2 2
2 2
2 2 2
2.
AC BC AB AF AB EF AB AF EF AB
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下期刊：
J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 45.
2. 心得：
此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定 理，由於此證明的相似三角形個數較多，所以過程較為繁瑣，學生閱讀起來 較吃力，而此證明的作圖可能會有問題，如果 AB 的長度不到 1，那麼就無法 找到E點，此證明後面有補充證明，是直接利用所知的等式，去求兩股平方 和的值。
3. 評量：
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4. 補充：此證明在最後有寫次要的證明方式：
由三角形 ABC 與三角形 AEF 相似可知：AB AE: AC AF: BC EF: ，整理得
. BC EF AC AF AC AB AF
假設AC2 BC2為某個值的平方，即x2 AC2 BC2，並利用上面推出的等式代入整理，
則
2 2
121
2 2
2
2
1
2 2
2
1
2 2 2
2
1
= 1
=
x AC BC AC BC
AC AC EF
AF AF EF AC
AF
將第 4 點所得到的等式AF2EF2 1代入，整理得
1 2 2
1
. x AC
AF AC AF AB
由此可知， x AB，即
2 2 2
. c a b
