1.關於行列式的性質， 下列哪一選項恆成立？ (1) a b c a d g d e f b e h g h i c f i

CJT

99 年大學入學指定科目考試 數學乙 試題

第壹部分：選擇題(單選題、多選題及選填題共佔 76 分) 一、單選題(12 分)

說明：第 1 至 2 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題答對得 6 分，答錯或劃 記多於一個選項者倒扣 1.5 分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。

1.關於行列式的性質， 下列哪一選項恆成立？

(1)

a b c a d g

d e f b e h

g h i c f i

= − (2)

0 1 0 a b

a b d e

g h g h

= (3)

0 0

0

0 0

b d e f

h

=

(4) 0

0 0 0

0

a c

e

g i

= (5) a e b f a b e f c g d h c d g h

+ +

= +

+ +

解：(1)行列式行與列互換，其值不變。

(2)對第 3 行降階，

0

1 0 1 0

0 a b

d e a b a b a b

d e

g h g h d e g h

g h

= × − × + × = −

(3)展開其值為 0 (4)

i g

e c a

0 0 0

0

＝aei－ceg

(5) a e b f a b f e b f c g d h c d h g d h

+ + + +

= +

+ + + +

a b a f e b e f c d c h g d g h

= + + +

答：(3)

【選修 I 矩陣】

2.某校高三學生在一次考試中，成績呈常態分配，且已知其分數之平均數為 70 分，標準差為 10 分。若從這次考試的 學生中，隨機抽出一位學生，則這位學生的成績低於 60 分的機率最接近以下哪一選項？

(1) 0.16 (2) 0.32 (3) 0.34 (4) 0.68 (5) 0.84 解：根據常態分配 68－95－99.7，如右圖

∴低於 60 分的機率占

2 )%

68 100 ( −

＝16%＝0.16 答：(1)

出處：【第四冊 機率與統計(I)】

二、多選題(16 分)

說明：第 3 至 4 題為多選題，每題各有 4 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項， 劃記在答案卡之「解 答欄」。每題 8 分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得 2，每答錯一個選項，倒扣 2 分，完全答對得 8 分；

整題未作答者，不給分亦不倒扣分數。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣 2 分。倒扣到本大題之實得分數 為零為止。

3.關於多項式不等式：x x²( +5)(x+1)(x−4)(x− <7) (2x−3)(x+5)(x+1)(x−4)(x− 7) 下列哪些選項是它的一個解？

(1)−2π (2)−π (3)π (4)2π (π ≈3.14)

70 80 90 100 60

50 40

CJT

解：原不等式⇒x x²( +5)(x+1)(x−4)(x− −7) (2x−3)(x+5)(x+1)(x−4)(x− < 7) 0 (x 5)(x 1)(x 4)(x 7)(x2 2x 3) 0

⇒ + + − − − + <

∵^{x2−2x+ =3}

(

)

(x 5)(x 1)(x 4)(x 7) 0

⇒ + + − − <

5 x 1

⇒ − < < − 或 4< <x 7 π

− ，2π 符合 答：(2)(4)

出處：【選修(I) 不等式】

4.關於指數函數或對數函數圖形的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1)y=2010^x的圖形恆在y=99^x的上方

(2)y=log₉₉x與y=99^x兩函數的圖形對稱於直線 y= x (3)y=log₉₉x與 ₁

99

log

y= x兩函數的圖形對稱於 x 軸 (4)y=log₂₀₁₀(x²−10x+33)的圖形與 x 軸相交

解：(1)如右圖所示，

當x>0時， 2010^x >99^x； 當x<0時， 2010^x <99^x

(2)y=log₉₉x與y=99^x兩函數的圖形對稱於直線 y= x

(3)y=log₉₉x與 ₁

99

log

y= x兩函數的圖形對稱於 x 軸 (4)∵^x2−10x+33=

(

)

∴y＝log₂₀₁₀(x²−10x+33)≥log₂₀₁₀8>log₂₀₁₀1= 0

故y=log₂₀₁₀(x²−10x+33)的圖形在x軸上方，亦即與 x 軸不相交 答：(2)(3)

出處：【第二冊 指數與對數】

三、選填題( 48 分)

說明：A 至 F 題為選填題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(5– 25)內。每一題完全答對得 8 分，答 錯不倒扣；未完全答對不給分。

A.某商店進一批水果，平均單價為每個 50 元，標準差為 10 元。今每個水果以進價的 1.5 倍為售價出售，則水果平均 售價為每個____元，標準差為____元。

解：根據性質y ＝a_i x ＋b，則 y ＝a x ＋b，_i S ＝_y a S _x 設售價為y ，進價為_i x ，則_i y ＝1.5_i x ＋0 _i

∴平均售價 y ＝1.5 x ＝1.5×50＝75 標準差S ＝_y 1.5 S ＝1.5×10＝15 _x 答：平均售價為每個 75 元，標準差為 15 元 出處：【第四冊 機率與統計(I)】

－5 －1 4 7 ＋ － ＋ － ＋

99^x y= 2010^x y=

1

x y

99^x y=

log99

y= x

1

x y

1

y＝x

log99

y= x

x y

1

1 99

log

y= x

CJT

B.某公司委託經銷商銷售定價 a 元的產品，雙方言明，若經銷商減價 25 元賣出，則可得賣價的 8%為佣金，若減價 125 元賣出，則可得賣價的 2%為佣金；已知減價 25 元的佣金是減價 125 元佣金的 5 倍，則定價 a＝_____。

解：減價 25 元的佣金＝(a－25)×8%

減價 125 元的佣金＝(a－125)×2%

⇒ (a－25)×8%＝5(a－125)×2%，得 a＝525 答：525 元

出處：【第一冊 多項式】

C.棒球比賽每隊的先發守備位置有九個：投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、游擊手、右外野、中外野、左外野 各一位。某一棒球隊有 18 位可以先發的球員，由教練團認定可擔任的守備位置球員數情形如下：

(一)投手 4 位、捕手 2 位、一壘手 1 位、二壘手 2 位、三壘手 2 位、游擊手 2 位；

(二)外野手 4 位(每一位外野手都可擔任右外野、中外野或左外野的守備)；

(三)另外 1 位是全隊人氣最旺的明星球員，他可擔任一壘手與右外野的守備。

已知開幕戰的比賽，確定由某位投手先發，而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定，並由人氣最旺的明 星球員擔任一壘手守備，其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排，則此場開幕戰共有____種先發守備 陣容。(當九個守備位置只要有一個球員不同時，就視為不同的守備陣容)

解：∵投手、捕手與一壘手人選已決定 ⇒方法數＝1 二壘手 2 位選 1 位 ⇒方法數＝C ＝2 ₁²

三壘手 2 位選 1 位 ⇒方法數＝C ＝2 ₁² 游擊手 2 位選 1 位 ⇒方法數＝C ＝2 ₁²

外野手 4 位選 3 位擔任右外野、中外野和左外野 ⇒方法數＝C ×3!＝24 ₃⁴

∴共有 1×2×2×2×24＝192 種 出處：【第四冊 排列組合】

D.某公司舉辦年終尾牙餐會，會中安插了一項抽獎活動。在抽獎箱中放了一副 52 張的撲克牌，每人抽出一張牌，且 抽後放回；抽到紅心的紅色牌給獎金 8000 元，抽到方塊的紅色牌給獎金 6000 元，而抽到黑桃或梅花的黑色牌則一 律給 2000 元的獎金。假設每張牌被抽到的機率相等，那麼抽到獎金的數學期望值為_____元。

解：

事件(抽花色) 紅心 方塊 黑桃或梅花 數值(獎金) 8000 6000 2000

機率 4

1

4 1

4 2

抽到獎金的期望值＝8000×

4

1＋6000×

4

1＋2000×

4

2＝4500 答：4500 元

出處：【第四冊 機率與統計(I)】

E.調查某國家某一年 5 個地區的香煙與肺癌之相關性，所得到的數據為(x ，_i y_i)，i＝1，2，3，4，5，其中變數 X 表 示每人每年香煙消費量(單位：十包)，Y 表示每十萬人死於肺癌的人數。若已計算出下列數值：

5

1

135 ,

i i

x

=

∑

1

3661 ,

i i

x

=

∑

1

2842 ,

i i i

x y

=

∑

1

105 ,

i i

y

=

∑

1

2209 ,

i i

y

=

∑

(參考說明：相關係數 ^{1 1}

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

( )( )

)

( ) ( )

n n

i i i i

i i

n n n n

i i i i

i i i i

x x y y x y n x y

r

x x y y x n x y n y

= =

= = = =

− − − ⋅ ⋅

= =

− ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

CJT

解：由題意知算術平均數 ¹ 135 5 5 27

n i i

x

x=

∑

， ¹ 21 5

n i i

y y=

∑

相關係數 ¹

2 2

2 2

1 1

n i i i

n n

i i

i i

x y nx y r

x nx y n y

=

= =

−

=

− ⋅ −

∑

∑ ∑

＝ 2 2

21 5 2209 27

5 3661

21 27 5 2842

×

−

⋅

×

−

×

×

− ＝

4 16

2835 2842

⋅

− ＝0.875

答：0.875

出處：【選修( I ) 機率與統計(II)】

F.已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD 及其內部，其中 A(4，0)，B(8，10)， C(6，14)，D(2，6)為坐 標平面上的四個點。若目標函數 k＝ax＋by＋32(a，b 為實數)在四邊形 ABCD 的邊界上一點(4，10)有最小值 18，

則 a＝____，b＝____。

解：根據線性規劃原則，最大值與最小值會產生在各邊界的頂點。

依題意，在(4，10)產生最小值，但(4，10)並非 A，B，C，D 四頂點，且(4，10)位在CD上，所以CD上的每一點 代入目標函數 k＝ax＋by＋32 均會產生最小值 18。

將(4，10)代入得 4a＋10b＋32＝18，⇒ 2a＋5b＝－7 將 D(2，6)代入得 2a＋6b＋32＝18，⇒ a＋3b＝－7 解得 a＝14，b＝－7

答：a＝14，b＝－7 出處：【選修( I )不等式】

第貳部分：非選擇題(佔 24 分)

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號(一、二) 與子題號((1)、(2))，同 時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

一、設 a，b，c，d 都是 20 以內的正奇數，考慮五次整係數多項式函數 p(x)＝x⁵＋ax⁴＋bx³＋cx²＋dx＋2 (1)試問滿足上述條件的五次整係數多項式函數 p(x)共有多少個？ (4 分)

(2)試求多項式方程式 x⁵＋3x⁴＋5x³＋7x²＋3x＋2＝0 的所有整數根。 (8 分) 解：(1)20 以內的正奇數有 1，3，5，…，19 等 10 個

a，b，c，d 各別從 10 個數中任選 1 個，方法數有 10×10×10×10＝10000 個 (2)根據整係數多項式有理根檢驗法(牛頓法)

設 mx＋n 是 f (x)＝x⁵＋3x⁴＋5x³＋7x²＋3x＋2＝0 的有理根 則 a|1，b|2，得知可能的有理根為 x－1，x＋1，x－2，x＋2

∵f (1) ≠ 0，f (－1) ≠ 0，f (2) ≠ 0，f (－2)＝0

∴得知 f (x)＝0 的所有整數根為 x＝－2 答：(1)10000；(2)－2

出處：【排列組合】【多項式】

A(4,0)

B(8,10) C(6,14)

D(2,6) 可行解 (4,10)•

CJT

二、小惠有一台自行車，平時用一副四位數密碼的號碼鎖鎖住。有一天，志明向她借用這台自行車，她答應借用，但 只告訴志明號碼鎖的密碼 abcd 符合以下二階方陣的等式：

5 15 5 0

10 35 0 5

a b c d

 −     

−    = 

     

志明卻一直無法解出正確的密碼，而不能使用這台自行車。請你(妳)幫忙志明求出這副號碼鎖的正確密碼。

解 1： 5 15 5 0

10 35 0 5

a b c d

 −     

−    = 

     展開 5 15 5 10 35 0

a c

a c

− =

⇒ − + = 且 5 15 0 10 35 5

b d

b d

− =

− + =

 得知 a＝7，b＝3，c＝2，d＝1，即正確密碼為 7321 解 2：利用反矩陣法

5 15 5 0

10 35 0 5

a b c d

 −     

−    = 

     提出公因數 1 3 1 0

5 5

2 7 0 1

a b c d

 −     

⇒ −    =  

1 3 1 0

2 7 0 1

a b c d

 −     

⇒−      = 

⇒ 



 



 d c

b

a ＝

1

7 2

3

1 ⁻



 





−

− ＝

7 2

3 1

1

−

− 



 



 1 2

3

7 ＝ 



 



 1 2

3 7

得知正確密碼為 7321 出處：【選修(I) 矩陣】