高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：96.05.15 班級 普三 班
範
圍 Book3 All
座號
姓 名 一、選擇題
1. 三階行列式
b a a c c b
c b
a
c b
a
+ +
+
2 2
2 可化簡為
(A) abc(a + b + c) (B) (a − b)(b − c)(c − a) (C) (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c) (D) (a + b)(b + c)(c + a)(a + b + c) (E) (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca)
【解答】(C)
【詳解】
b a a c c b
c b
a
c b
a
+ +
+
2 2
2
×(− 1)
=
b a b c a c
c c b c a
c c b c a
+
−
−
−
−
−
−
2 2 2 2
2 = (a − c)(b − c)
b a
c c b c a
c
+
−
−
+ +
1 1
1 1
2
×(− 1)
= (a−c)(b−c)
b a
c a b c a
c
+
−
− +
0 1
0 1
2 = (a−c)(b−c)(b−a)
b a
c +
−1
1 = (a−b)(b−c)(c−a)(a
+b+c)
2. 設實數 x，y，z 滿足 x2 +y2 +z2 = 1，若 x +y +z =k，則
(A) k 的最大值為 2 (B) k 的最小值為 − 2 (C) k 有最大值時，x =y =z = 1 (D) k 有最 小值時，x =y =z =
3
−1
(E) k 無最大或最小值
【解答】(D)
【詳解】
由柯西不等式(x2 +y2 +z2)(12 + 12 + 12) ≥ (x +y +z)2 ⇒ 1 × 3 ≥k2 ⇒ − 3≤k ≤ 3 當 k 有最大值 3時，
1 x=
1 y =
1
z 且 x +y +z= 3，得 x =y =z= 3
3
當 k 有最小值− 3時，
1 x=
1 y =
1
z 且 x +y +z=− 3，當 x =y =z= 3
− 3
= 3
−1
，故選(D) 3. 光源放在點 A(1，2，3)，向球面 S：(x− 1)2+ (y− 2)2+ (z− 1)2= 1照射，則在 xy 平面上的
射影區域面積為
(A) 3π (B) 4π (C) 5π (D) 6π (E) 9π
【解答】(A)
【詳解】
如下圖，其射影為一個圓區域，中心為 D(1，2，0)，BC為直徑
∵ AD=3 ， AQ=2 ， QE=1 ， AE = 3，而△AEQ ～△ADB ∴ BD ： QE = AD ： AE
⇒ BD ：1 = 3： 3 ⇒ BD = 3 ∴ 所求面積 =π ( 3 )2= 3π
4. 包含二平行直線 1
+1 x =
2
−2
y = 3 − z與x = 2 +1
y = 1 − z的平面方程式為
(A) 7x − y + 5z − 6 = 0 (B) 7x + y − 5z + 6 = 0 (C) x + 2y + 3z − 8 = 0 (D) 4x + 4y − 5z − 3
= 0 (E) x + 2y − z − 1 = 0
【解答】(A)
【詳解】
−
= −
= +
−
= −
= − +
1 1 2
1 1
1 3 2
2 1
1
2 1
z y
L x
z y
L x
：
：
L1過點A( − 1，2，3)，L2過點B(0，− 1，1)，其方向向量 d
= (1，2，− 1) AB
_____\
× d
= (
1 2
2 3
−
−
− ，
1 1
1 2
−
− ，
2 1
3 1 −
) = (7，− 1，5) 取平面E之法向量 n
= (7，− 1，5)且E過點A( − 1，2，3) 則E：7(x + 1) − (y − 2) + 5(z − 3) = 0 ⇒ E：7x − y + 5z − 6 = 0 5. 設相異兩點A，B都在直線L1：
= +
− +
=
− +
−
0 14 3 2
0 7 3
z y x
z y
x 上，也都在直線L2： 2
−1 x =
m b y−
= n c z−
上，m，n，b，c ∈ R，則m + n之值為 (A) 5 (B) 6 (C) 11 (D) 16 (E) 17
【解答】(D)
【詳解】
AB= L1 = L2
1 2
1 3 −
3 1
− 2 3
3 1
1 1
−
− ⇒ L1的方向向量為(2，11，5)
∴ (2，11，5) = (2，m，n) ⇒ m = 11，n = 5 ⇒ m + n = 16
【註】 ∵ (1，b，c) ∈ L2 ∴ (1，b，c) ∈ L1
∴
= +
− +
=
− +
−
0 14 3 2
0 7 3
c b
c
b ⇒ b = 2，c = 6
6. 設x，y∈R，若2x2+ 3y2= 7，且3x − 5y的最大值為K，則K的值 = (A) 5
6
11 (B) 6 6
11 (C) 7 6
11 (D) 8 6
11 (E) 9 6 11
【解答】(C)
【詳解】
由柯西不等式知[( 2 x)2+ ( 3 y)2][(
2 3 )2+ (
3
−5
)2] ≥ ( 2 x． 2
3 + 3 y． 3
−5 )2
⇒ (2x2+ 3y2)(
2 9+
3
25) ≥ (3x − 5y)2 ⇒ 7 × 6
77≥ (3x − 5y)2
⇒ − 7 6
11≤ 3x − 5y ≤ 7 6
11，得最大值K = 7 6 11
7. 設點A (a2− 2a + 2，a2+ 2a)，B (a2+ 3，2a2+ 5a − 1)，若____AB 的方向角為\ 45°，則實數a之 值為(A) − 2 (B) 1 (C) 2 (D) − 1 (E) 3
【解答】(B)
【詳解】
____\
AB= (2a + 1，a2+ 3a − 1) = (ABcos45°， ABsin45°)
∴ cos45°= AB a 1 2 +
，sin45°=
AB a a2 +3 −1
相除 ∴
1 2
1
2 3 +
− +
a a
a = tan45°= 1 ∴ a2+ a − 2 = 0 ∴ a = 1或a =− 2 由2a + 1 = ABcos45°> 0 ∴ 取a = 1
8. (複選)如下圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，則下列敘述何者正確？
(A) (1 3)
____\
= ，
BC (B)
____\ ____\
FE
BC = (C) ( 1 3)
____\
− ，
=
CD (D)點C的坐標為(3， 3 ) (E) |
− | 2
____\ ____\ ____\
=
− +CD BC AB
【解答】(A)(B)(C)
【詳解】
(A)BC=2，____BC 方向角為\ 60° ∴ \
____
BC= (2cos60°，2sin60°) = (1， 3 ) (B)∵ BC //FE，且BC = FE=2 ∴ \
\ ____
____
FE BC= (C)CD=2， \
____
CD 方向角為120° ∴ \
____
CD= (2cos120°，2sin120°) = (− 1， 3 ) (D)當A(0，0)時，B(2，0) ⇒ C(2 + 1，0 + 3 ) = C(3， 3 )，但A未必是原點
∴ 點C的坐標未必為(3， 3 ) (E) − \
____
AB+ \
____
CD− \
____
BC= \
____
BA+ \
____
CD+ \
____
CB= ( \
____
CB+ \
____
BA ) + \
____
CD= \
____
CA+ \
____
CD= \
____
CA+ \
____
AF = \
____
CF
∴ | − \
____
AB+ \
____
CD+ \
____
BC| = CF = 2AB= 4 9. (複選)設a，b，c表△ABC三邊長，若
a c b
b a c
c b a
= 0，則△ABC為
(A)等腰三角形 (B)銳角三角形 (C)直角三角形 (D)正三角形 (E)鈍角三角形
【解答】(A)(B)(D)
【詳解】
a c b
b a c
c b a
= 0 ⇒ a3 + b3 + c3 − 3abc = 0 ⇒ (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = 0
⇒ (a + b + c)(2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 2ca) = 0
⇒ (a + b + c)[(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2] = 0
∵ a，b，c表△ABC的三邊長 ∴ a + b + c > 0
∴ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0 ⇒ a = b = c ∴ △ABC為正三角形，故選(A)(B)(D) 10. (複選)xy平面上，過點A(1，2)作圓C：x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0的兩切線，切點為B，C，
則
(A)AB= 1 (B) BC的方程式為x − 3y + 4 = 0 (C)
5 10
=3
BC (D)△ABC的面積為 10
3
(E)△ABC的外接圓方程式為x2 + y2 − 3x − y + 1 = 0
【解答】(A)(B)(C)(D)
【詳解】
(A)AB= 12 +22 −4×1+2×2−4= 1
(B)(E)△ABC的外接圓 = 以 AQ 為直徑的圓
∴ 其方程式為(x − 2)(x − 1) + (y + 1)(y − 2) = 0，即x2 + y2 − 3x − y = 0
∴ BC：(x2 + y2 − 3x − y) − (x2 + y2 − 4x + 2y − 4) = 0 ⇒ BC：x − 3y + 4 = 0 (C)∵ d(Q；BC ) =
10 9 ⇒
5 10 3 10 ) 6
10 ( 9 3
2 2 − 2 = =
= BC
(D)△ABC面積 =
10 3 10 1 5
10 3 2 )] 1 (
2 [
1BC d A；BC = × × =
11. (複選)設曲線y = 1−x2 與直線y = x + k相交n個點，則
(A)當 − 2 < k < 2時，n = 2 (B)當k > 2或k < − 1時，n = 0 (C)當1 < k < 2時，n = 2 (D)當 − 1 ≤ k < 1時，n = 1 (E)當k = − 2時，n = 1
【解答】(B)(C)(D)
【詳解】
(1) y = 1−x2 ⇔ x2 + y2 = 1，y ≥ 0，其圖形如上
(2) y = x + k過(1，0) ⇒ L1：y = x − 1；y = x + k過( − 1，0) ⇒ L2：y = x + 1 y = x + k與y = 1−x2 相切 ⇒ L3：y = x + 2（利用圓心到y = x + k距離 = 半徑）
(3)當 − 1 ≤ k < 1或k = 2時，n = 1，當1 ≤ k < 2時，n = 2，當k > 2或k < − 1時，n = 0 二、填充題)
1. 長方體的一頂點O，以O為頂點的三邊為OA，OB，OC，若 AB= 3，AC = 2，∠BAC = 60°， 則(1)OA2 = 。 (2)OB2 = 。 (3)OC2 = 。 (4) O到平 面ABC的距離 = 。
【解答】(1) 3 (2) 6 (3) 1 (4) 3
6
【詳解】
長方體如下圖：
設OA = x，OB = y，OC = z，則AB2 = x2 + y2 = 9……，AC2 = x2 + z2 = 4……
又∠BAC = 60°，由餘弦定理得
BC2 = 32 + 22 − 2．3．2cos60° = 9 + 4 − 6 = 7 ∴ y2 + z2 = 7……
解，，得x2 = 3，y2 = 6，z2 = 1 四面體OABC的體積V =
3
1 OA．△OBC = 6
1．OA．OB．OC = 6
1． 3． 6．1 = 2
2
另一方面，設O到平面ABC的距離h V =3
1．h．△ABC = 3 1h．
2
1 AB ．AC sin60° = 2
3h（已知 AB= 3，AC = 2）
∴ 2 3 h =
2
2 ⇒ h = 3
6
2. 若一個正四面體相鄰兩面的夾角為θ ，求sinθ = 。
【解答】 3 2 2
【詳解】
AB= a， BE= 2
3a =AE ， AH= 2 2 12
1 4
3a − a = 3
6 a，sinθ = a a
2 3 3
6
= 3 2 2
3. 設A(10，3，4)，B(4，5，3)，點P在x軸上移動，點Q在y軸上移動，則 AP+PQ+QB 的
最小值為 。
【解答】5 13
【詳解】
(1) A(10，3，4)到x軸的投影點為C(10，0，0) B(4，5，3)到y軸的投影點為D(0，5，0)
(2)在xy平面上找到A'(10，− 5，0)，B'(− 5，5，0)
使A'，B' 都不在第一象限且A′C⊥ x軸，A′C= AC；B′D⊥ y軸，B′D=BD (3)∵ AC=A′C，AC⊥ x軸，A′C⊥ x軸 ⇒ x軸上任意點到A，A' 都等距 同理，y軸上任意點到B，B' 都等距
(4)∵ AP+PQ+QB=A′P+PQ+Q ′B ≥A ′′B = 5 13 ∴ 最小值為5 13
4.設A(3，− 1，2)，B(2，1，1)，若點P在zx平面上使△ABP為正三角形，則P點坐標為 或 。
【解答】(1，0，3)或(4，0，0)
【詳解】
∵ P在zx平面上 ∴ 設P(x，0，z)，由 PA=PB=AB 得
2
2 1 ( 2)
) 3
(x− + + z− = (x−2)2 +1+(z−1)2 = 1+4+1
⇒
=
− + +
−
=
− + +
−
6 ) 1 ( 1 ) 2 (
6 ) 2 ( 1 ) 3 (
2 2
2 2
z x
z
x ⇒
=
−
− +
−
=
−
− +
0 2 4
8 4
6
2 2
2 2
z x z x
z x z
x ……
……
− 得 − 2x − 2z = − 8 ⇒ x + z = 4 ∴ z = 4 − x代入得 x2 + (4 − x)2 − 4x − 2(4 − x) = 0 ⇒ x2 − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1或x = 4
∴ z = 3或z = 0，故P(1，0，3)或P(4，0，0)
5.坐標平面上三點A(2，− 1)，B(− 1，3)，C(3，2)，若平面上一點D滿足 CD_____\ //_____AB\ 且 BD_____\ ⊥_____AC\， 求D點坐標 。
【解答】( 3 10，
9 14)
【詳解】
設D之坐標為(x，y) CD
_____\
= (x − 3，y − 2)， AB_____\ = (− 3，4)， BD_____\ = (x + 1，y − 3)， AC_____\ = (1，3) CD
_____\
// AB\
_____
⇒ 3 3
−
− x =
4
−2
y ，得4x + 3y = 18……
BD
_____\
⊥_____AC\ ⇒ (x + 1，y − 3)．(1，3) = 0，得x + 3y = 8……
解， ⇒ D(x，y) = ( 3 10，
9 14)
6. x，y∈R，已知x − 2y = 5，求4x2 + 9y2之最小值 ，並求當4x2 + 9y2最小時，數對 (x，y) = 。
【解答】36，( 5 9，
5
−8 )
【詳解】
由柯西不等式知[(2x)2 + (3y)2][(
2 1)2 + (
3
−2
)2] ≥ (x − 2y)2
⇒ (4x2 + 9y2)． 36
25≥ 25 ⇒ 4x2 + 9y2 ≥ 36 即最小值為36，此時
2 1 2x=
3 2 3
−
y ⇒ y = 9
−8 x
已知x − 2y = 5，x − 2(
9
−8
x) = 5，得x = 5
9，則y = 5
−8
7. 直線L過點A(3，1)且與直線 ：x + 3 y = 3夾角為60°，則L的方程式為 。
【解答】x = 3或x − 3 y = 3 − 3
【詳解】
∵ ：x + 3 y = 3的方向向量 u
= ( 3，− 1) = 2(cos330°，sin330°) 所求直線L的斜角α = 30°或90° ∴ L的斜率為tanα =
3
1 或不存在
∵ L過點A(3，1) ∴ L的方程式為x = 3或x − 3 y = 3 − 3
8. 過(4，5)且與二直線L1：3x − 4y − 7 = 0及L2：12x − 5y + 6 = 0成等角之直線方程式 為 。
【解答】9x − 7y − 1 = 0或7x + 9y − 73 = 0
【詳解】
L1：3x − 4y − 7 = 0 ⇒ 取法向量 \
___
N1 = (3，− 4) L2：12x − 5y + 6 = 0 ⇒ \
___
N2 = (12，− 5) 設所求直線L之法向量為 N
= (a，b)，由L與L1，L2成等角
⇒
|
|
|
|
|
|
___\ 1 ___\
1
N N
N N
．
．
=
|
|
|
|
|
|
___\ 2 ___\
2
N N
N N
．
．
⇒ |
___\
N |2 ．|N
． \
___
N | = |1 \ ___
N |1 ．|N
． \
___
N | 2
⇒ 13| 3a − 4b | = 5 | 12a − 5b | ⇒ 13(3a − 4b) = ± 5(12a − 5b)
⇒ 7a + 9b = 0或9a − 7b = 0 ⇒ 取 N
= (9，− 7)或(7，9)
∵ 過點(4，5) ⇒ L：9x − 7y − 1 = 0或7x + 9y − 73 = 0
9. 如下圖，有一邊長為1的正立方體，今置頂點A於空間坐標系中的原點(0，0，0)，置頂點 G於正z軸上，則頂點C之z坐標為 。
【解答】 3 3
【詳解】
如下圖，cosA = AC AH =
AG
AC ∴ AH= AC． AG AC=
3 1 =
3
3 ∴ C點之z坐標為 3
3
10.颱風中心P在清晨0時位於A (3，− 1)，清晨1時已到B (2，1)，若該颱風作等速直線行 進，則清晨6時的颱風中心P之坐標為 ，若暴風半徑為2單位，則甲地(− 1， 5)在清晨 時 分進入暴風圈，又於 時 分脫離暴 風圈。
【解答】P(− 3，11)，清晨2時24分進入，清晨4時0分脫離
【詳解】
2 1 1 3=− +
− y
x ⇒ 2x + y − 5 = 0，
+
−
=
−
=
t y
t x
2 1
3 （t ∈ R） 設P(3 − t，− 1 + 2t) ⇒ P(3 − 6，− 1 + 12) = P (− 3，11) 又d(甲，P) < 2 ⇒ (4 − t)2 + (6 − 2t)2 < 4 ⇒
5
12< t < 4
P介於( 5 3，
5
19)與(− 1，7)之間
⇒ 甲地在清晨2時24分進入暴風圈，又於清晨4時0分脫離
11.空間坐標系中，有一平面鏡E，有一雷射光線經過點A(1，3，2)射向鏡面E上的點B(0，1， 0)，反射又經過點C(− 4，5，2)，則平面E方程式為 。
【解答】x − 4y − 3z + 4 = 0
【詳解】
由光學原理，BC之延長線會經過A關於平面E的對稱點A′，且A′B=AB= 3
____\
BC= (− 4，4，2)，則單位向量 u
=
|
|
____\ ____\
BC BC =
6 ) 2 4 4 (− ，，
= ( 3
−2
，3 2，
3 1)
⇒ A′____B\ = 3u
= 3．(
|
|
____\ ____\
BC
BC ) = 3．( 3
−2
，3 2，
3
1) = (− 2，2，1)
即(− x，1 − y，− z) = (− 2，2，1)，得A′(x，y，z) = (2，− 1，− 1) 平面E之法向量為 \
____
A
A ′= (1，− 4，− 3)，又過B點(0，1，0)
∴ E：(x − 0) − 4(y − 1) − 3(z − 0) = 0，即E：x − 4y − 3z + 4 = 0
12.△ABC中，D是 AB 中點，E點在AC上，且 AE ：EC= 2：1，CD與 BE 交於P點，
(1)設 \
____
AP= x \
____
AB+ y \
____
AC ，求數對(x，y) = 。 (2)求 BP ： PE= 。
【解答】(1) ( 4 1，
2
1) (2) 3：1
【詳解】
(1) \
____
AP= x \
____
AB+ y \
____
AC= x \
____
AB+ 2 3y
____\
AE（∵ AE ：EC= 2：1）
∵ B，P，E三點共線 ∴ x + 2
3y = 1……
____\
AP= x \
____
AB+ y \
____
AC= 2x \
____
AD+ y \
____
AC （∵ AD ： DB= 1：1）
∵ D，P，C三點共線 ∴ 2x + y = 1……
由得(x，y) = ( 4 1，
2 1)
(2)由(1)，____AP\= 4 1 ____\
AB+ 2 1 ____\
AC ⇒
____\
AP= 4 1 ____\
AB+ 4 3 ____\
AE
⇒ (
____\
BP− \
____
BA ) = 4 1(− \
____
BA ) + 4 3(
____\
BE − \
____
BA ) ⇒ \
____
BP= 4 3 ____\
BE
∴ BP ： PE= 3：1
13.平面上有二直線L1：7x + 6y − 12 = 0，L2：2x − 9y + 18 = 0及一點A( − 11，9)，則 (1) L1，L2之交角平分線為 及 。
(2)點A至L2之距離 = 。
【解答】(1) x + 3y − 6 = 0，3x − y + 2 = 0 (2) 85
【詳解】
L1：7x + 6y − 12 = 0，L2：2x − 9y + 18 = 0，A( − 11，9) (1) P(x，y)為L1，L2交角之平分線上任一點
⇒ d(P；L1) = d (P；L2)（d(P；L)表點P至直線L之距離）
⇒
36 49
| 12 6 7
|
+
− + y
x =
81 4
| 18 9 2
|
+ +
− y
x ⇒ 7x + 6y − 12 = ± (2x − 9y + 18)
⇒ 5x + 15y − 30 = 0或9x − 3y + 6 = 0 ⇒ x + 3y − 6 = 0或3x − y + 2 = 0
(2) d(A；L2) =
85
| 18 81 22
|− − +
= 85
85 = 85
14.已知兩平行線L1： 2
+1 x =
2 2
−
−
y = z − 3，L2： 2
−3 x =
2 1
− +
y = z + 2，試求
(1) L1，L2的最短距離 = 。 (2)包含L1，L2的平面方程式為 。
【解答】(1) 41 (2) 13x + 14y + 2z = 21
【詳解】
(1)設P(3，− 1，− 2)∈L2且P在L1之垂足為H，則H( −1 + 2t，2 − 2t，3 + t) PH
_____\
= ( − 4 + 2t，3 − 2t，5 + t) ⊥ L1之方向向量 d
= (2，− 2，1) PH
_____\
． d
= − 8 + 4t − 6 + 4t + 5 + t = 0 ⇒ t = 1，得H(1，0，4) 所求 = d(L1；L2) = d(P；L1) =PH = 4+1+36= 41
(2) PQ\
_____
= ( − 4，3，5)， d
= (2，− 2，1) 則 PQ
_____\
×d
= ( 2 1 5 3
− ， 1 2
4 5 −
， 2 2 3 4
−
− ) = (13，14，2) 取所求平面E之法向量 n
= (13，14，2)且E過P(3，− 1，− 2) 則E：13(x − 3) + 14(y + 1) + 2(z + 2) = 0 ⇒ E：13x + 14y + 2z = 21
15.設A點在圓x2 + y2 = 4上移動，B點在圓x2 + y2 = 16上移動，則所有 AB 中點所成圖形的 面積 = 。
【解答】8π
【詳解】
設A(2cosα，2sinα)，B(4cosβ，4sinβ)， AB 中點P(x，y) 則x =
2
1(2cosα + 4cosβ) = cosα + 2cosβ，y = 2
1(2sinα + 4sinβ) = sinα + 2sinβ
⇒ x2 + y2 = (cosα + 2cosβ)2 + (sinα + 2sinβ)2 = 5 + 4cos(α − β)
∵ − 1 ≤ cos(α − β) ≤ 1 ∴ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9，圖形面積 = 9π − π = 8π 16.包含二平行直線
2 +1 x =
1
−1 y =
1 2
− +
z 及
2 x=
1 +1 y =
1 1
−
−
z 之平面方程式為 。
【解答】x − 7y − 5z = 2
【詳解】
AP
_____\
= (x + 1，y − 1，z + 2)， AB_____\ = (1，− 2，3)及方向向量 d
= (2，1，− 1)共平面 故平行六面體體積為0 ⇒ |
1 1
2
3 2 1
2 1
1
−
−
+
−
+ y z
x
| = 0
得平面方程式為x − 7y − 5z = 2
17.設O-xyz空間有四個點A( − 2，− 3，1)，B( − 6，1，− 5)，C(3，4，− 3)，D(1，3，3)，則 (1)點D與直線AB之距離為 。 (2)兩直線AB與CD之距離為 。
【解答】(1) 7 (2) 7
【詳解】
(1) AB：
−
= +
−
=
−
−
= t z
t y
t x
6 1
4 3
4 2
，t∈R，由D向AB作垂直線，其垂足為Q， DQ 長即為所求
∵ Q∈ AB ∴ 令Q( − 2 − 4t，− 3 + 4t，1 − 6t)，DQ
_____\
= ( − 3 − 4t，− 6 + 4t，− 2 − 6t) 又DQ
_____\
⊥ ( − 4，4，− 6) ⇒ 12 + 16t − 24 + 16t + 12 + 36t = 0 ⇒ t = 0
∴ Q = A = ( − 2，− 3，1) ⇒ d(D；AB ) =DQ=DA= 9+36+4= 7 (2)由(1)可知AD為AB及CD之公垂線 ∴ d( AB；CD ) =DQ=DA= 7
18.兩歪斜線L1： 2 +5 x =
1 5
−
− y =
3 +6
z 與L2： 1
−1 x =
2 +7 y =
1 3
−
−
z 之最短距離為m，公垂線方程
式為 1 h x−
= 6
−2 y =
c k z−
，則(1) m = 。 (2) h + k + b + c = 。
【解答】(1) 3 3 (2) 2
【詳解】
設公垂線與L1及L2分別交於P，Q兩點
則P( − 5 + 2t，5 − t，− 6 + 3t)，Q(1 + s，− 7 + 2s，3 − s) 而 PQ\
_____
= (6 + s − 2t，− 12 + 2s + t，9 − s − 3t)與L1及L2之方向向量 1\
___
d = (2，− 1，3)及
2 ___\
d = (1，2，− 1)均垂直
=
= 0 0
2 ___\ _____\
1 ___\ _____\
d PQ PQ d
．
． ⇒
= + +
−
=
−
−
0 3 6 27
0 14 3 51
t s
t
s ⇒
=
= 3 3 s
t ，即
−1 0) 4
(
) 3 2 1 (
，
，
，
， Q P
則m =PQ= 9+9+9= 3 3，公垂線PQ： 1
−1 x =
1 2
−
− y =
1 3
−
− z
⇒ h = 1，k = 3，b = − 1，c = − 1，即h + k + b + c = 2 19.(1)求直線
=
= +
0 1 2 z
y
x 的參數式為 。
(2)求直線
=
= +
0 1 2 z
y
x 與原點(0，0，0)的距離為 。
(3)求包含直線
=
= +
0 1 2 z
y
x 與過原點(0，0，0)的平面方程式為 。
【解答】(1)
=
=
−
= 0
2 1 z
t y
t x
，t∈R (2) 5
5 (3) z = 0
【詳解】
(1)由L：
=
= +
0 1 2 z
y
x ，令y = t ⇒ L：
=
=
−
= 0
2 1 z
t y
t x
，t∈R
(2)設P∈L，則P(1 − 2t，t，0)
OP= (1−2t)2 +t2 +02 = 5t2 − t4 +1=
5 ) 1 5 ( 2
5 t− 2 + 當t =
5
2時，OP有最小值 5
1 ，即d(O；L) = 5
5
(3)包含L：
=
=
− +
0
0 1 2
2 1
z E
y x E
：
： 之平面E，且過O(0，0，0)
設E：z + k(x + 2y − 1) = 0……
O(0，0，0)代入E ⇒ 0 − k = 0 ⇒ k = 0代入，得E：z = 0 20.點P(1，− 1，0)，直線L：x = 2t，y = 1 + t，z = 1 + t，t∈R，
(1)過P與L之平面方程式為 。 (2) P在L之投影點為 。
【解答】(1) x + 3y − 5z + 2 = 0 (2) ( − 3 1，
6 5，
6 5)
【詳解】
(1) AP\
_____
= (1，− 2，− 1)及L之方向向量 d
= (2，1，1) AP
_____\
×d
= ( 1 1
1 2 −
− ，
2 1
1
−1
， 2 1 2 1 −
) = ( − 1，− 3，5) 取平面E之法向量 n
= (1，3，− 5)，且E過點P(1，− 1，0)
∴ E：(x − 1) + 3(y + 1) − 5(z − 0) = 0 ⇒ E：x + 3y − 5z + 2 = 0
(2)設P在L之投影點為H，則H(2t，1 + t，1 + t) PH
_____\
= (2t − 1，2 + t，1 + t)⊥d
= (2，1，1) PH
_____\
． d
= 0 ⇒ 4t − 2 + 2 + t + 1 + t = 0 ⇒ t = 6
−1
∴ H( − 3 1，
6 5，
6 5)
21.L1： 1
−1 x =
2 2
−
− y= 2 13
− +
z ，L2： 1
−2 x =
2 +2 y =
2 3
− +
z 之距離為 。
【解答】6
【詳解】
L1上一點P(1，2，− 13)，L2的方向向量V
= (1，2，− 2)與一點A(2，− 2，− 3)
____\
AP= (− 1，4，− 10)，|
____\
AP×V
| = | (12，− 12，− 6) | = 18，|V
| = 3 ⇒
|
|
|
|
____\
V V AP
× = 6
22.包含直線L： 3 +1 x =
2
−1 y =
4
−2
z 的平面E，若與平面F：2x − y + 3z + 7 = 0垂直，則其方程 式為 。
【解答】10x − y − 7z + 25 = 0
【詳解】
設平面E，F的法線向量各為 \
__
n1， \
__
n2，取 \
__
n2= (2，− 1，3)
∵ E⊥F ⇒ __n\1⊥ \
__
n2 ∵ L ⊂ E ⇒ __n\1⊥L，L的方向向量為(3，2，4) 2 − 1 3 2 − 1 3
3 2 4 3 2 4
∴ n__2\ ，L的公垂向量__n\1= (10，− 1，− 7) E：10x − y − 7z = − 25（∵ 點(−1，1，2) ∈ L ⇒ (−1，1，2) ∈ E）
23.設A(1，− 1，− 2)，B(1，2，1)，通過A與B的平面E與球面S：x2 + y2 + z2 = 2截出的所 有圓中，面積最小值 = ，此時平面E的方程式為 。
【解答】2
1π，2x + y − z − 3 = 0
【詳解】
____\
AB= (0，3，3) = 3(0，1，1)，直線AB的方程式
+
−
= +
−
=
= t z
t y
x
2 1 1
代入x2 + y2 + z2 = 2
1 + ( − 1 + t)2 + ( − 2 + t)2 = 2 ⇒ t2 − 3t + 2 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 2) = 0 ⇒ t = 1，2
∴ 直線AB與球面S的交點為P(1，0，− 1)，Q(1，1，0)， PQ 中點M(1， 2 1，−
2 1 ) 則包含A，B的平面E與OM垂直時，截圓面積最小，此圓即以 PQ 為直徑的圓 (1)設最小圓的半徑r，則r2 =
2 ) 1 2 2 (1 2 )
(1PQ 2 = 2 = ∴ 圓面積為 2 1π
(2)平面E以 )
2 1 2 1 1 (
_____\
−
= ， ，
OM 為法向量且過A(1，− 1，− 2)
∴ E的方程式為(x − 1) + 2
1(y + 1) − 2
1(z + 2) = 0，即2x + y − z − 3 = 0
【說明】
直線AB與球面不相交時，沒有最小圓。
通過A，B之平面E與球面所交最大圓為球的大圓，即平面E通過球心時所截出的圓。
24.△ABC之三邊 AB= 3，BC= 5，CA= 4，又平面上一點P，且x
____\
PA+ y \
____
PB+ z \
____
PC=0
，其中x，y，z ∈ N ∪ {0}，x，y，z互質，
(1)若P為△ABC之內心，則(x，y，z) = 。 (2)若P為△ABC之垂心，則(x，y，z) = 。 (3)若P為△ABC之外心，則(x，y，z) = 。 (4)若P為△ABC之重心，則(x，y，z) = 。
【解答】(1) (5，4，3) (2) (1，0，0) (3) (0，1，1) (4) (1，1，1)
【詳解】
(1) a = BC = 5，b = AC = 4，c =AB= 3
I為內心 ⇒ a△IAB：a△IBC：a△ICA = 3：5：4
⇒ 5
____\
IA + 4 \
____
IB + 3 \
____
IC =0
⇒ x = 5，y = 4，z = 3 (2)△ABC為一直角三角形，∠A = 90°，斜邊BC
如下圖：△ABC之垂心H = A，△ABC之外心為斜邊之中點T H為△ABC之垂心 ⇒ ____HA\=0
⇒ x = 1，y = 0，z = 0
(3) T為△ABC之外心 ⇒ ____TB\+
____\
TC=0
⇒ x = 0，y = 1，z = 1 (4)∵ P為△ABC之重心 ⇒ ____PA\+ \
____
PB+ \
____
PC=0
⇒ x
____\
PA+ y \
____
PB+ z \
____
PC=0
……
已知x \
____
PA+ y \
____
PB+ z \
____
PC=0
……
由，相減 ∴ (x − y) \
____
PB+ (x − z) \
____
PC=0
但 \
____
PB
____\
PC ∴ x − y = 0，x − z = 0 ⇒ x = y = z 但x，y，z ∈ N ∪ {0}，x，y，z互質 ∴ x = y = z = 1
25.設點A(5，6，7)在xy平面，yz平面，zx平面之投影點分別為B，C，D，則四面體ABCD 之體積 = 。（四面體體積 =
3
1×底面積×高）
【解答】35
【詳解】
B (5，6，0)，C (0，6，7)，D (5，0，7) ⇒ ____BC\= (− 5，0，7)， \
____
BD = (0，− 6，7)
____\
BC× \
____
BD = (42，35，30) ⇒ △BCD = 2 1|
____\
BC× \
____
BD | = 2
1 3889 含B、C、D三點的平面E：42x + 35y + 30z = 420
∴ d (A，E) =
2 2
2 35 30
42
420 7 30 6 35 5 42
+ +
− +
+ ． ．
． =
3889 210
∴ ABCD之體積= 3
1△BCD．d (A，E) = 3 1．
2
1 3889．
3889 210 = 35
26.空間相交二直線L1：
=
−
−
=
−
−
13 4 4
41 4 5 12
z y x
z y
x ，L2：x = 1 + 4t，y = 1 + 2t，z = − 3 + 4t，t∈R，則
L1，L2所決定之平面方程式為 。
【解答】7x − 2y − 6z − 23 = 0
【詳解】
=
=
−
−
×
−
−
=
) 4 2 4 (
) 8 32 16 ( ) 4 1 4 ( ) 4 5 12 (
2 ___\ 2
1 ___\ 1
，
， 之方向向量
，
，
，
，
，
， 之方向向量
d L
L d ⇒ ___d1\ × 2\
___
d = (
4 2
8
32 ，
4 4
16
8 ，
2 4
32
16 ) = (112，− 32，− 96) 取所求平面E之法向量 n
= (7，− 2，− 6)且平面E過點(1，1，− 3)
⇒ E：7(x − 1) − 2(y − 1) − 6(z + 3) = 0，得E：7x − 2y − 6z − 23 = 0
