101-4 共同考科 數學(A)卷
共 3 頁 第 1 頁
101 學年四技二專第四次聯合模擬考試 共同考科 數學(A)卷 詳解
數學(A)卷
101-4-A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D C A B C D C B A B C D C B A B C D C B A B C D
1. ∵log100.001=log1010−3 =−3<0
又∵ 0
8 1 2
2−3= 13 = > ，故P(−,+)∈Ⅱ
2. θ=5=5弧度≒5×57.3°=286.5°∈Ⅳ 3. 0<θ<π2中，取
3 2 30 cos 30 1 sec
30 =
= °
°
⇒
° θ =
45 2 cos 45 1 sec
45 =
= °
°
⇒
° θ=
60 2 cos 60 1 sec
60 =
= °
°
⇒
° θ=
2 6 2 6
4 75
cos 75 1 sec
75 = +
= −
= °
°
⇒
° θ=
故secθ為遞增函數
4. ∵ =3， =4， 與 之夾角 = =60° 3
θ π ，求
？
又∵ 2
10 ) 3 ( 25 2+
= cosθ+(4)2
301 60 241 60 cos 4 3 10 16
225+ + × × × °= + =
=
∴ 301
5. 令x+1=0⇒x=−1
則r= f(−1)=2012(−1)2013−2011(−1)3+2014 2013
2014 2011
2012+ + =
−
=
6. ∵a=5log53 =3，b=log553=3，∴a= b>0
∵ log 1 0
6
log 35< 3 =
c= ，∴c<0，故a=b>c
7. ○1 令
○2 令
⎩⎨
⎧
=
−
= +
) 2 ( 6 2 3
) 1 ( 6 3 2
L L
L L y x
y
x ，(1)×2+(2)×3
PQ x
x x
x+ = + ⇒ = ⇒ = =
⇒ 13
30 30 13 18 12 9 4
圍成面積為ΔAPB= ×AB×PQ 2
1
13 75 13 )] 30 3 ( 2 2 [
1× − − × =
= (平方單位)
8. ∵P(cos0°,sin270°)=P(1,−1)=P(x0,y0)
∵P(1,−1)代入圓左=12+(−1)2+3(1)+2(−1)−3
=
=
−
− + +
=1 1 3 2 3 0 圓右
∴P(1,−1)=P(cos0°,sin270°)在圓上一點 令 L 過P(cos0°,sin270°)且與圓相切的直線 (即過圓上一點的切線 L)
設 L： ) 3 0
( 2 2 2 ) (
3 0 0
0
0 + + x +x + y +y − =
y y x x
0 3 ) 1 ( ) 1 2)(
(3 ) 1 (
1x+ − y+ +x + − +y − = 0 3 1 ) 1 2)(
(3 + − + − = +
−y x y
x
0 6 2 2 3 3 2
2x− y+ + x− + y− = 0 1 0 5
5x− = ⇒x− =
9. a9 =S9−S8 =[3(9)2−5(9)]−[3(8)2−5(8)]
5 ) 64 81 ( 3 40 64 3 45 81
3× − − × + = − −
=
46 5 51 5 17
3× − = − =
=
10. 一卡不可二投，郵筒可以重複收取很多卡片 故有N=(可)不可=(3)102種
或每張卡片都有 3 個選擇，∴投法3102種 11. 如右圖所示：
64
2×
=
N (種)
12. P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AIB)
10 3 30
9 30
8 12 5 15
4 5 2 6
1 + − = =
=
− +
=
13. 小宇的最差排名N1=12000×[1−95%]=600(名) 14. 設α、β為一元二次方程式之二根
且α=5−4 3，β =5+4 3
101-4 共同考科 數學(A)卷
共 3 頁 第 2 頁
則
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
=
−
= +
−
=
⋅
= + +
−
= +
23 48 25
) 3 4 ( ) 5 ( ) 3 4 5 )(
3 4 5 (
10 3 4 5 3 4 5
2
β 2
α β α
方程式設為x2−(α+β)x+(αβ)=0⇒x2−10x−23=0
15. step 1： 14
5 70 5
) 12 15 15 14 14
( + + + + = =
= x
step 2：標準差
n x x
n
i
∑
i=
−
= 1
)2
(
5
) 14 12 ( ) 14 15 ( ) 14 15 ( ) 14 14 ( ) 14 14
( − 2+ − 2+ − 2+ − 2+ − 2
=
5 30 5 6 5
4 1 1 0
0+ + + + = =
=
16. 信賴區間=[34%−3.3%,34%+3.3%]
%]
3 . 37 ,
% 7 . 30
=[
17 令a1=25，a2=25+5=30，a3=25+5×2=30
=5
d ……等差數列
120 ) 5 )(
1 ( 25 120 ) 1 (
120⇒ 1+ − ≥ ⇒ + − ≥
≥ a n d n
an
20 19
1 95 ) 1 (
5 − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥
⇒ n n n
18. 如下圖所示，設L1⊥L且L2⊥L，L1//L2
2
1 L
L 、 先視為L3⊥L，L ：3 x−y+t=0 圓：(x−1)2+(y−4)2=50
2 5 50=
=
r ，d(Q→L1orL2)=r 10 3
2 5 ) 1 ( 1
4 1
2
2 = ⇒ − + =
− +
+
− t t
10 3 10
3+ =± ⇒ = ±
−
⇒ t t
故L3=L1：x−y+13=0orL3=L2：x−y−7=0
19. ∵ 3x+1 ≤ 2x−1 ，∴(3x+1)2≤(2x−1)2 1
4 4 1 6
9 2+ + ≤ 2− +
⇒ x x x x
0 10 5 0 4 4 6
9 2+ − 2+ ≤ ⇒ 2+ ≤
⇒ x x x x x x
0 ) 2 ( 0
2+2 ≤ ⇒ + ≤
⇒x x x x
令x=0orx=−2，如下圖所示：
，故取−2≤x≤0
20. ∵ 0
13
sinα = 5 > ，∴α Ⅰ或Ⅱ ∈
又∵cosα<0，∴α Ⅱ或Ⅲ，故取 ∈∈ α Ⅱ
如下圖所示，α Ⅱ且∈
13 sinα = 5
12 tan =− 5
⇒ α
21. 如右圖所示
∵∠BAC=90°
且∠ABC=45°=∠ACB
∴ΔABC為等腰直角Δ
2 2 (300) )
300
( +
= BC
2
=300 (km) 速度
2 2 25 24
2 300 =
= (km/hr)
22. θ=−2013°=−5×360°−213°=n×360°+(β)
°
−
=
⇒
∈Z β 213
n
°
=
° +
°
−
=
° +
=β 360 213 360 147 α
23. ∵ f(x)=g(x)，∴○1 a−4=4⇒a=8、
○2 b−5=2⇒b=7、○3 c+6=1⇒c=−5
○4 d+7=−5⇒d=−12
故a−b+c−d=8−7+(−5)−(−12)=1−5+12=8 24. 令 50 )50 2 50
2 (1 ) 5 . 0
( = = −
A= ，log10A=log10(2)−50 05 . 0 15 05 . 15 ] 3010 . 0 [ 50 ] 2 [log
50 10 =− =− =− −
−
=
α +
= +
−
=
− +
−
−
= 15 0.05 1 1 16 0.95 n )50
5 . 0
( 展開後在小數點後第 16 位起不為 0
∴k=15
25. 設種植文旦 x 甲、高麗菜 y 甲，則其限制條件如下：
⎪ ⇒
⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
≤ +
≥
≥
50 5 10
10 0 0
y x
y x
y
x ，
最大獲利f(x,y)=15x+10y(元)
令
) 1 (
1 x+ y=10LL
L ： ，L ：2 2x+ y=10LL(2) 0
) 1 ( ) 2
( − ⇒x= 代入(1)，y=10
101-4 共同考科 數學(A)卷
共 3 頁 第 3 頁
⇒ +
= x y
y x
f( , ) 15 10
○1 f(0,10)=15(0)+10(10)=100
○2 f(0,0)=15(0)+10(0)=0
○3 f(5,0)=15(5)+10(0)=75
故農民應全部種植高麗菜，獲利最大
