−−− 111111111 = − 4 ++++++ cbacbacbacba = 0 (C) = 111 312321123 = 12 (B) (A) (B)(D) cbacba (E) a ≠ b ≠ c ≠ a 111 312321123 +++ baaccbcba −−− −−−−−−−−− cbbaacbaaccbaccbba (B) (C)111111111 (D) 111 a b b c c a a b c ABC a b c ABC a b c a b c a b b c c a a b

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.11.28 班級 普二 班

範 圍

3-2

行列式 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)設 a，b，c 表△ABC 三邊長，若

a c b

b a c

c b a

= 0，則△ABC 為

(A)等腰三角形 (B)銳角三角形 (C)直角三角形 (D)正三角形 (E)鈍角三角形

【解答】(A)(B)(D)

【詳解】

a c b

b a c

c b a

= 0 ⇒ a³ + b³ + c³ − 3abc = 0 ⇒ (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) = 0

⇒ ¹

2(a + b + c)(2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2bc − 2ca) = 0

⇒ ¹

2(a + b + c)[(a − b)² + (b − c)² + (c − a)²] = 0

∵ a，b，c表△ABC的三邊長 ∴ a + b + c > 0

∴ (a − b)² + (b − c)² + (c − a)² = 0 ⇒ a = b = c ⇒△ABC為正三角形，故選(A)(B)(D) 2. (複選)試問下列行列式，其值何者為 0？

(A)

3 1 2

3 2 1

1 2 3

(B)

b a a c c b

c b

a

+ +

+

1 1

1

(C)

1 1 1

1 1 1

1 1 1

−

−

−

(D)

c b b a a c

b a a c c b

a c c b b a

−

−

−

−

−

−

−

−

−

(E)

2 2 2

1 1 1

c b a

c b

a

【解答】(B)(D)

【詳解】

(A)錯。

3 1 2

3 2 1

1 2 3

= 12

(B)對。

b a a c c b

c b

a

+ +

+

1 1

1

（第一，三列成比例）

× 1=

c b a c b a c b a

c b

a

+ + +

+ +

+

1 1

1

= 0

(C)錯。 1 1 1 1 1 1

−

−

= − 4

(D)對。

c b b a a c

b a a c c b

a c c b b a

−

−

−

−

−

−

−

−

−

× 1

× 1

=

c b b a a c

b a a c c b

−

−

−

−

−

−

0 0

0

= 0

(E)錯。

2 2 2

1 1 1

c b a

c b

a

二、填充題(每題 10 分) 1. 試求

13 0 52

0 64 16

72 108 12

之值為 。

【解答】− 252096

【詳解】原式 = 12 × 16 × 13 ×

1 0 4

0 4 1

6 9 1

= 12 × 16 × 13 × ( − 101) = − 252096

2. 設三平面分別為E₁：3x + 5y − z = − 1，E₂：x − y + 4z = 11，E₃：x + 7y − 9z = − 23，求三 平面共同的交點 。

【解答】

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

=

+

= −

13 34 8

13 7 19

z t t y x t

，t ∈ R

【詳解】

由c − d × 3 得 8y − 13z = − 34……f，由e − d得 8y − 13z = − 34……g

由f，g知有無限多組解，其解為

t ∈ R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

− +

= +

−

−

=

− +

23 9

7 :

11 4 :

1 5

3 :

3 2 1

z y x E

z y x E

z y x

E

……d

……e

2 19 1 13 , 2 8

x t

y

z t

⎧ = +

⎪ = − −

⎨⎪ = −

⎩

t

3. 已知

i h g

f e d

c b a

= 3，行列式

i i h h g

f f e e d

c c b b a

5 4 3 3 2

5 4 3 3 2

5 4 3 3 2

−

−

−

−

−

−

的值 = 。

【解答】90

【詳解】

原式 = 5

× 4

i i h h g

f f e e d

c c b b a

4 3 3 2

4 3 3 2

4 3 3 2

−

−

−

−

−

−

= 5

× 1

i h h g

f e e d

c b b a

3 3 2

3 3 2

3 3 2

−

−

−

= 5

i h g

f e d

c b a

3 2

3 2

3 2

= 5 × 2 × 3

i h g

f e d

c b a

= (5 × 2 × 3) × 3 = 90

4. 利用克拉瑪公式解方程組 ，則( x，y，z ) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

52 25 24 23

51 28 23 22

50 27 22 21

z y x

z y x

z y x

。

【解答】( − 28，29，0)

【詳解】

△ =

25 24 23

28 23 22

27 22 21

× ( − 1)

× ( − 1)=

2 2 2

1 1 1

27 22 21

−

= 4

△_x =

25 24 52

28 23 51

27 22 50

× ( − 1)

× ( − 1)=

2 2 2

1 1 1

27 22 50

−

= − 112

△y =

21 50 27 22 51 28 23 52 25

× ( − 1)

× ( − 1) =

21 50 27

1 1 1

2 2 −2

=

21 29 6 1 0 0 2 0 −4

=116

△_z =

52 24 23

51 23 22

50 22 21

× ( − 1)

× ( − 1)=

2 2 2

1 1 1

50 22 21

= 0

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧x = △

△_x

= 4

−112= − 28

y =

△_y

= 4 116= 29

z =

△_z

=4 0= 0

∴ (x，y，z) = ( − 28，29，0)

5. 設方程組 恰有一解，則k值有何限制？

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

+ + =

+

= + +

kz z y x

ky z y x

kx z y x

5 4 3

5 4 3

5 4 3

。

【解答】k ≠ 0，12

= + +

−

△ =

k k

k

−

−

−

5 4 3

5 4

3

5 4

3

( × 1) ( × 1)

= (12 − k)

k k

−

− 5 4 1

5 4

1

5 4

1

= (12 − k)

k k

−

− 0 0

0 0

5 4 1

= (12 − k) 0 0

k k

−

− = (12 − k)．k² ≠ 0，即k ≠ 0，12

6. 設方程組 有無限多解，則a =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

+ + =

+

= +

+

0 578 34

2

0 32 8 2

0 2

2

2 ²

z y

x

z y x

z a ay x

。

【解答】4，17

【詳解】

齊次方程組有無限多解，則△ = 0

△ =

578 34 2

32 8 2

2 2

2 a a²

= 8

2 2 2

17 17 1

4 4 1

1 a a

= 8( a −4 )( 4 − 17 )( 17 − a )= 0 ⇒ a = 4，17

7. 求

2 2 2

2 2 2

2 2 2

9 8 7

6 5 4

3 2 1

之值為 。

【解答】− 216

【詳解】

× (− 1)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

9 8 7

6 5 4

3 2 1

=

× (− 1)

17 8 7

11 5 4

5 2 1

2 2

2 2

2 2

=

× (− 1)

17 15 49

11 9 16

5 3 1

=

2 15 49

2 9 16

2 3 1

= 15 2 2 9 − 3

2 49

2 16 + 2

15 49

9

16 = (18 − 30) − 3(32 − 98) + 2(240 − 441) = − 216

8. 行列式

48 44 42

37 36 35

84 42 42

= 。

【解答】1260

【詳解】

48 44 42

37 36 35

84 42 42

× ( − 1)=

48 44 42

37 36 35

36 2 0 −

× ( − 1)=

× (− 1) × (− 1)

11 8 7

37 36 35

36 2 0 −

=

4 1 7

2 1 35

36 2 0 −

= 1260

9. 已知空間中四平面E₁：x − 2y + 3z = 5，E₂：2x + y − 3z = − 3，E₃：3x + y + 2z = 8，

E

【解答】12

【詳解】三平面

⎪⎩

⎪⎨

⎧

：

：

：

3 2 1

E E E

8 2 3

3 3 2

5 3 2

= + +

−

=

− +

= +

−

z y x

z y x

z y x

解之，交點(1，1，2)

又四平面交於一點 ∴ (1，1，2) ∈ E₄ 代入⇒ 1 + 3 + 8 = k ⇒ k = 12

10.空間中四點A(1，1，1)，B(1，2，− 7)，C(3，4，5)，D(4，5，− 7)，則四面體ABCD之 體積為 。

【解答】6

【詳解】 = (0，1，− 8)， = (2，3，4)， = (3，4，− 8) 四面體 ABCD 之體積 =

____\

AB

____\

AC

____\

AD

6 1 |

8 4 3

4 3 2

8 1 0

−

−

| =6

1 | 36 | = 6

11.若a ∈ R且方程組 恰有一解，則a之值=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− + +

= +

− +

= + +

−

0 ) 3 ( 3

0 3 ) 3 (

0 3 3 ) 1 (

a y

x

y a x

y x a

。

【解答】7

【詳解】方程組恰有一解 ⇒ 平面上三直線共點

⇒

a a

a

−

−

−

3 3 1

3 3

1

3 3

1

= 0 ⇒ a² (7 − a) = 0 ⇒ a = 0，7 但當a = 0 時 ⇒ 三直線重合 ⇒ 無限多解，不合

12.設k為一正數，若A(3，2，2)，B(5，k − 1，1)，C(1，1，0)，D(− 1，k² + 2，1)四點共平 面，則k為 。

【解答】1

【詳解】A，B，C，D四點共平面，則 = (2，k − 3，− 1)， = ( − 2，− 1，− 2)，

= ( − 4，k

____\

AB

____\

AC

____\

AD

即

1 4

2 1 2

1 3 2

2 −

−

−

−

−

−

−

k k

= 0 ⇒ k² + k − 2 = 0 ⇒ k = 1，− 2（不合，因k > 0）

13.設 0 ≤ x ≤ 2

π

1 1 1 −

= 0，則x = 。

【解答】6 π ，

6 5π

， 2 3π

【詳解】

x x

1

4 1 2

1 1

1 1 1 −

=

x

x ²

2 2

sin sin 1

2) (1 2 1 1

) 1 ( ) 1 (

1 − −

= [(− 1) − 2 1](

2

1 − sin x)[sin x − (− 1)] = 0

⇒ sin x = 2

1或 sin x = −1 且 0 ≤ x ≤ 2

π

6 5π

或 2 3π

14.若三平面kx + 5y + z = 0，x − ky − z = − 2k，2x + ky − z = − 3 相交於一直線，則k =

。

【解答】1

【詳解】△ =

1 2

1 1

1 5

−

−

−

k k k

= 0 ⇒ 2k² + 3k − 5 = 0 ⇒ k = 1，

2

−5

△x =

1 3

1 2

1 5 0

−

−

−

−

−

k k

k

2

−15

三平面相交於一直線即無限多解 ⇒ △ = △x = △y = △z = 0，故k = 1

15.不等式

1 9 3

1 25 5

2 1

− x x

< 0 的解為 。

【解答】x > 5 或 x < − 3

【詳解】令 f (x) =

2 1

5 25 1 3 9 1 x x

−

=

2 2 2

1

1 5 5 1 3 3 x x

−

= (x − 5) (5 + 3) (−3− x)

∴ f (x) < 0 ⇔ − 8(x − 5)(x + 3) < 0⇔ (x − 5)(x + 3) > 0 ⇔ x > 5 或 x < − 3

16.設方程式x³ + 2x − 1 = 0 之三根為a，b，c，則

2 2

2

) ( ) ( ) (

b a cb

ca

bc a

c ba

ac ab

c b

+ +

+

= 。

【解答】0

【詳解】a，b，c為x³ + 2x − 1 = 0 之三根，

則a + b + c = 0，abc = − 1，且a+ = −b c, b+ = −c a, c+ = −a b

2 2

2

) ( ) ( ) (

b a bc

ca

bc a

c ab

ca ab

c b

+ +

+

（第一、二、三行分別提出a，b，c）

= abc

c b c a

c

b b a b c

a a a

c b

2 2

2

) ( ) ( ) (

+ +

+

（第一、二、三列分別再提出a，b，c）

= a b c^{2 2 2}

2

2

2

( ) 1 1

1 ( ) 1

1 1 ( )

b c a

c a b

a b c

+

+

( 1)2

= −

2

2

2

( 1) 1 1

1 ( 1) 1

1 1 ( 1)

−

−

−

= 0

17.平面上三相異直線L1：3x − 8y = t − 4，L2：− 2x + (t + 3)y = 4，L3：x + (1 − t)y = − 2 相交 於一點，求t值 = 。

【解答】− 2

【詳解】三直線共點 ⇒

2 1

1

4 3 2

4 8

3

−

− +

−

−

−

t t

t

= 0

⇒ − 6(t + 3) − 32 − 2(t − 4)(1 − t) − (t − 4)(t + 3) + 32 − 12(1 − t) = 0

⇒ t² − 3t − 10 = 0 ⇒ (t + 2)(t − 5) = 0 ⇒ t = 5 或t = − 2

c當t = 5 時，三直線為 ，但L

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

= +

−

=

−

2 4

:

4 8 2 :

1 8 3 :

3 2 1

y x L

y x L

y x L

2與L₃重合，故不合

d當t = − 2 時，三直線為 均相異，故t = − 2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

= +

−

−

=

−

2 3 :

4 2

:

6 8 3 :

3 2 1

y x L

y x L

y x L

18.若方程組

1 2

1 2

2 2 3

−

= + +

−

= + +

−

= + +

⎪⎩

⎪⎨

⎧

kz y x

z ky x

k z y kx

　 （k為常數），

(1)無解時，k = 。 (2)無限多組解時，k = 。 2

【解答】(1) k = − 1 (2) k = 1

【詳解】

1 2

1 2

2 2 3

−

= + +

−

= + +

−

= + +

⎪⎩

⎪⎨

⎧

kz y x

z ky x

k z y kx

　 無解或無限多解時，必△ =

k k k

2 1 1

1 2 1

1 1 2

= 0

(1) k = − 1 時，原式

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

− +

−

= +

−

−

= + +

−

1 2 2 1

2 2 5

z y x

z y x

z y

x ……c

……d

……e d − c得 3x − 3y =

2

3 ⇒ x − y = 2

1……f d × 2 + e得 3x − 3y = − 3 ⇒ x − y = − 1……g f、g矛盾，無解，即原方程組無解

(2) k = 2

1 時，原式為 ，即x + y + z = − 1，有無限多解

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= + +

−

= + +

−

= + +

1 1 1

z y x

z y x

z y x

19.設k為一正數，且方程組 有異於(0，0，0)之解，試求：

(1) k =？ (2) x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= +

−

= +

−

0 2 3

0 5 3

0

z y kx

z ky x

z y x

2 + y² + z² − 8x + 2z + 2 之最小值為何？

【解答】(1) k = 7 (2) − 4

【詳解】

(1)齊次方程組有異於(0，0，0)之解，則 △ =

2 3

5 3

1 1 1

k

−

k

−

= 0 ⇒ k² − 7k = 0 ⇒ k = 7 或 0（不合）

(2) k = 7 時，方程組之解表三相異平面交於一直線L

而L： ⇒ L： ，t∈R

x

⎩⎨

⎧ −− + += = 0 5 7 3

0 z y x

z y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

=

=

t z

t y

t x

2

2 + y² + z² − 8x + 2z + 2 = t² + t² + 4t² − 8t − 4t + 2 = 6t² − 12t + 2 = 6(t − 1)² − 4 當t = 1 時，有最小值為 − 4

20.設 x，y，a∈R，若| 3x − 2y + 9a | + | 4x + y + 5a + 3 | + | 5x + 4y + 4a | = 0 有解，則 a 之值 為何？

【解答】2

【詳解】原式有解，表示 有解，即相異三直線交於一點

⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= + + +

= +

−

0 4 4 5

0 3 5 4

0 9 2 3

a y x

a y x

a y x

a a

a

4 4 5

3 5 1 4

9 2 3

+

−

= 0 ⇒ 33a − 66 = 0，得 a = 2